CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC

Mặt bên S AB là tam giác cân tạiS, mặt phẳngS ABvuông góc với đáy, mặt phẳngSCDtạo với đáy góc 600 và cách đường thẳng ABmột khoảng làa.. Tính diện tích tam giác S ABvà khoảng cách từ tâ

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC

2d(S, (ABCD)) =1

2S I =a

p34

4 =a

3p3

24 .

24

2+ CD2

4 nêndt(J AC) =1

2.

ap

2.

p7

4 =a

2p78

Vậy d(D, (J AC)) =

3.a

3p324

a2p78

=a

p21

Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là

trung điểm H của DI) Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với

K thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC

Bài 1.2. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình thoi ; hai đường chéo AC = 2p3a, BD =2avà cắt nhau tạiO;hai mặt phẳng(S AC)và(SBD)cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD)

Biết khoảng cách từ điểmOđến mặt phẳng(S AB)bằng a

p3

4 , tính thể tích khối chópS.ABCD

theoa.

(ABCD)nên giao tuyến của chúng làSO ⊥ (ABCD).

và DH = ap3; OK //DH vàOK =1

2DH = a

p3

2 ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)Gọi I là hình chiếu của

(S AB) Tam giác SOK vuông tạiO, OI là đường cao ⇒ 1

Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng3cm , các cạnh S A =

SB = SC = 3cm Tam giácSBD có diện tích bằng6cm2 .Tính thể tích của khối chópS.ABCD.

5 .

2 nên AO =

p11

p11

2 .

3SH.dt(ABCD) = 2p11

Bài 1.4. Cho hình chópS.ABC cóS A = 3a(vớia > 0);S Atạo với đáy(ABC)một góc bằng600

Tam giác ABC vuông tại B, ƒACB = 300.G là trọng tâm tam giác ABC.Hai mặt phẳng(SGB)

và(SGC)cùng vuông góc với mặt phẳng(ABC).Tính thể tích hình chópS.ABCtheoa

2 .

p714

á

((S AB), (ABCD)) = á(SM, MH) = ƒSMH = 600⇒ SM = SH.p2

3.

Từ điểm Nkẻ N P vuông góc vớiSM thì dễ thấy N P là khoảng cách giữa hai đường thẳng S A

3 =8

p3a3

Bài 1.6. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a.Cạnh bên

S A vuông góc với mặt đáy, S A = a Gọi H là hình chiếu của A trên SB Tính thể tích khối chópH.ACD theo avà côsin của góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(SCD).

KẻHE//S A(E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ (ABCD)

2 , S A

2= SH.SB ⇒ SH = a

p22

5, SK =pa

5cos ƒBSD =SB

2+ SD2− BD22.SB.SD =SH

2+ SK2− HK22.SH.SK ⇒ HK2=a

22

2+ AK2− HK2

p10

5 > 0 ⇒ cos((SBC)á, (SCD)) =

p10

Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Mặt bên S AB là tam giác cân tạiS, mặt phẳng(S AB)vuông góc với đáy, mặt phẳng(SCD)tạo với đáy góc 600 và cách đường thẳng ABmột khoảng làa Tính thể tích khối chópS.ABCD theoa.

Giải:

Ta cóAH2+BH2= 4a2= AB2⇒ AH⊥BH, kết hợp vớiAHvuông góc vớiSHta đượcAH ⊥ (SHB).

2 - Khối lăng trụ

Bài 2.1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh2a,điểm A1

cách đều ba điểm A, B, C Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc α Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1bằng2p

A1

B1

C1

3AH =2a

p33

p3

3 .tanα.

Bài 2.2. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc

ƒ

B AC = 1200 , cạnh bên BB0= a Gọi I là trung điểm của CC0 Chứng minh tam giác AB0I

vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng(ABC)và(AB0I).

Giải:

2 a, AB

0=p2a, B0I =

p13

4 a

2,SABC=

p3

4 a

p10

4 cosα =

p3

⇒ d(a, (MBA1) ) = 3V

SMB A1 = 6V

MB.M A1 =a

p5

Bài 2.4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằnga, góc tạo bởi cạnh bên

và mặt đáy bằng 300 Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng (A1B1C1)thuộc đường thẳng B1C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A A1 vàB1C1 theoa

p3

p32

8 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theoa.

Do tam giác ABC đều cạnhanên AM =a

p3

2 , AO =2

3AM =a

p33

2p3

8 ⇒1

2H M.BC =a

2p3

8 ⇒ HM =a

p3

4 ,

AH =pAM2− HM2=

s3a2

4 −3a

2

16 =3a4

ap34

43a=a3

2A

0O.AM.BC =1

2

a3

ap3

2 a =a

3p3

3 - Khối tròn xoay

Bài 3.1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằngavà đường cao bằngap

2 a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của M N và đáy bằng α Tính khoảng cách từ trục đếnM N.

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ

Giải:

C

A

B O

2 = x

p3

6 ⇒ x =6Rp

3 =p6a3

VABC.A0 B 0 C 0=x

2p3

4 .OO

0=36a

2p3

12 .a

p

2 = 3a2.p

6

Sxq= 3x.OO0=18ap

3.a

p

Bài 3.2. Cho hình nón đỉnhS có đường sinh là a,góc giữa đường sinh và đáy là α

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.

b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh S A và SB Tính diện tích tam giác S ABvà khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này.

3π.a3 cos2α.sinα

Sxq = π.AO.S A = π.a2 cosα

KẻOH⊥AB ⇒ SH⊥AB, do đó SOH = 60ƒ 0

2 =a sinα

Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên S A vuông góc với đáy.

a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chópS ABCD.

b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB, SC, SD lần lượt tại B0, C0, D0 Chứng tỏ rằng bảy điểm A, B, C, D, B0, C0, D0cùng nằm trên một mặt cầu.

Giải:

chópS.ABCD là trung điểm I củaSC.

4 - Bài tập tự luyện có đáp số

SB = SC Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khốichópS.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC theoa

p3a3

3 , R =2a

p33

cân, A0C = a Tính thể tích của khối tứ diện ABB0C0 và khoảng cách từ điểm A đến mặt

3p2

48 , d =a

p66

p11a396

3p7

12 , g = a

p428

5 (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, S A

3p336

p3913

a, AD = ap3.Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng(ABCD)trùng với giao

3

2 , d =a

p32

p77

p3a3

24 , d =2

p3ap19

AC

3p1448

3p56

3p3, R =7a

13 (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, S A = ap2 Gọi M, N và P lần

3p648

AD = 2a, CD = a;góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABCD)bằng600 Gọi Ilà trung điểm

p15a35

3208

AB = a, A A0= 2a, A0C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A0C0, I là giao điểm của

BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy và S A = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểmcủa S A, SD Chứng minh rằng BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp

S.BCN M theoa

33

(ABC)là trung điểm của cạnh BC Tính theo athể tích khối chóp A0.ABC và tính cosin

3

2 , cosϕ =1

4

3p3

3 , cosϕ =

p55

lăng trụ ABC.A0B0C0và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0C.

3p2

2 , d =

p7a7

CM N P

p3a396

M N và AC

p24

a, AD = 2a Cạnh bênS A vuông góc với đáy và S A = ap2 GọiH là hình chiếu vuông góc

3

p3a312

AD = ap2, S A = avà S Avuông góc với mặt phẳng(ABCD) GọiM và N lần

p2a336

p3a350

p2a3tanϕ

6

phẳng(Q)lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB Tính bán

p3

2 , d =a

p22

cạnhBB1, CD, A1D1.Tính góc giữa hai đường thẳng MP vàC1N

6, g = 900

4cm; AB = 3cm; BC = 5cm.Tính khoảng cách từ điểm Atới mặt phẳng (BCD)

p3417

p53

13

327

3p612

a, A A1= ap2.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A1, BC1 Chứng minh MN là đường

3p212

p3010

SE = 2a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC; M là điểm di động trên tia đối của

3sin2α

8

S A = SB = SC = a.Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC,

BC; D là điểm đối xứng của SquaE; I là giao điểm của đường thẳng AD với

diệnMBS I

336

3p3

6 , cosα =

p24

3p2

12 , g = 600

5 - Các bài toán về khoảng cách

Phạm vi những bài tập này tôi sẽ đề cập một phương pháp xuyên suốt để giải các bài toán vềkhoảng cách trong không gian đó là quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đườngcao đến một mặt của hình chóp

Tính khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng(SBC)

liên quan đến khoảng cách:

- Nếu−−→

AM = k−−→BM thìdA/(P)= |k|dB/(P)trong đó(P)là mặt phẳng đi quaM

Trên cơ sở các tính chất trên Khi cần tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ,hay tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta luôn quy được về bài toán cơ bản

Ta xét các bài toán sau:

Bài 5.1.

Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD là hình thangƒABC = ƒB AD = 90o,B A = BC = a, AD = 2a Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = ap2, góc tạo bởi SC và (S AD) bằng 30o Gọi G là trọng tâm tam giác(S AB) Tính khoảng cách từG đến mặt phẳng(SCD)

Giải:

⇒ C ˆSE = 300⇒ SE = CE tan 60 = ap3 ⇒ S A = ap2

S A2+ SC2 = a

Bài 5.2.

Cho hình lăng trụ ABC A0B0C0có đáy ABC là tam giác vuông cân tạiAcạnh huyền BC = ap2

cạnh bên A A0= 2a, biết A0 cách đều các đỉnh A, B, C Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

A A0, AC Tính thể tích khối chópC0M NB và khoảng cách từC0đến mặt phẳng(M NB)

Giải:

- Tính thể tích:

ap14

2 =a

p144

3.

ap14

4 .

a2

4 =

p14a3

p14a316

khó Để khắc phục khó khăn này ta sẽ tạo ra bài toán cơ bản tính khoảng cách từ chân đường

Hạ EP⊥BN

EQ⊥MP ⇒ EQ⊥(MNB) ⇒ dE/(M NB)= EQ =

EP.EMp

12 ;BF =a

p53

p5

20 ⇒ EQ =p EP.EM

EP2+ EM2 =

p994a284

Vậy dC0 /(BM N)= 12dE/(BM N)= 12

p994a

284 =3

p994a

VìSH⊥(ABCD)nên HClà hình chiếu vuông góc của SClên mặt phẳng (ABCD)

p7

3 ⇒ SH = HC tan ƒSCH =a

p7

3 .

p

3 =a

p213

3SH.S∆ABC=1

3

ap21

- Tính khoảng cách:

2dH/(S AD)

Kẻ

(HF⊥AD

2 =

p3a

3 .

HS2+ HF2 =

p3a

3 .

ap213

r 3

9a

2+21

9 a2

=

p42

12 a

Vậy dS A/BC=3

2.

p42

12 a =

p42

6 - Giải toán Hình không gian bằng Phương pháp tọa độ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

J Phương pháp

• Bước 1: Chọn hệ trục tọaOx yz.Xác định một góc tam diện vuông trên cơ sở có sẵn củahình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều ), hoặc dựa trên cácmặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ.

đến giả thiết và kết luận của bài toán Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song,vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán

quan Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận

cầu của bài toán hình không gian

Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích

J Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian

H Tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Ox, O y, Oz.Tọa độ các điểm khi đó là

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A0(0; 0; c),C(a; b; 0), B0(a; 0; c), D0(0; b; c), C0(a; b; c)

H Hình chóp tứ giác đều, tam giác đều

O A,−−→

OB,−−→

Tọa độ các điểm khi đó là

O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(−a; 0; 0), D(0; −b; 0)

3 ; 0; 0

!, B

Ã

−a

p6

3 ;

a

2; 0

!, C

Ã

−a

p6

3 ; −a

2; 0

!

J Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ Trong nhiều trườnghợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằmthu gọn lời giải

B CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài 6.1.

Cho hình chóp S.ABC, trong đóS A vuông góc với mặt đáy ABC Đáy là tam giác cân tại A,

đồ dài trung tuyên AD = a,; cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc α và tạo với mặt phẳng

(S AD)góc β Tìm thể tích hình chópS.ABC.

Giải:

Chọn hệ trục tọa độOx yznhư hình vẽ Tọa độ các đỉnh

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A0(0; 0; a),C(a; a; 0), D0(0; a; a), B0(a; 0; a), C0(a; a; a)

2; a; 0

´, P³0; a

2; a

´

´,−−−→

´,−−−→

MC0³0; a; a

2

´,−−−→

4 ;

a2

2 ; −a2

¶

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

SB, BC, CD.Chứng minh AM vuông góc vớiBP và tính thể tích của khối tứ diệnCM N P

Giải:

SO⊥(ABCD) Chọn hệ trục tọa độOx yznhư hình vẽ (O ysong song với AB) Tọa độ các đỉnh

O(0; 0; 0), S

Ã0; 0; a

p34

!, D³a

2; 0; 0

´, A³−a

2; 0; 0

´, C³a

2; a; 0

´, B³−a

2; a; 0

´

2;

a

2; 0

´, N (0; a; 0) , M

!

!,−−→

!,−−→

NC³a

2; 0; 0

´,−−→

2p3

8 ;

a24

!

Bài 6.3.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, A A0= ap2

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn A A0và BC0.Chứng minh M N là đường vuông góc chung của A A0vàBC0.Tính thể tích khối tứ diệnM A0BC0

Giải:

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0)A0(0; 0; a), B0(a; 0; a), C0(0; a; a), M³0; 0;a

2

´, N³a

2;

a

2;

a2

´

p22

!,−−→

MB

Ã0; a; −a

p22

!,−−−→

MC0

Ãa; 0; a

p22

2 ; 0; 0

!,

Bài 6.4.

S A⊥(ABCD), S A = ap3 Điểm M chia đoạn SB theo tỷ số −3, điểm I chia đoạn DS theo

tỷ số−4

3.Mặt phẳng(AM I)cắtSC tạiN

a) Chứng minh N là trung điểm củaSC

b) Chứng minhSD⊥(AM I)và AM N I thuộc một đường tròn.

c) Tính khoảng cách từ trung điểm của AD đến mặt phẳng(AM N I)

Giải:

A(0; −a; 0)B

Ã

ap3

2 ; −a

2; 0

!, D(0; a; 0), C

Ã

ap3

2 ;

a

2; 0

!, S³0; −a; ap3´

8 ; −5a

8 ;

p3a4

!, I

Ã0; −a

7;

4p3a7

!

AM

Ã

3p3a

8 ;

3a

8 ;

2p3a8

!,−→

A I

Ã0; 6a

7 ;

4p3a7

!

Ãp3a

4 ; −a

4;

p3a2

!

!

AM.−−→

I M = 0,hay ƒAM I = 90o.Tương tự AN I = 90 o

Vậy các điểm tứ giác AM N I nội tiếp trong đường tròn đường kính A I.

02+ 22+ (−p3)2

=2

p7

Bài 6.5.

Cho hình chóp S.ABCcóƒASC = 90o, CSB = 60o, BS A = 120o, S A = SB = SC = a

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng(S AC)và(SBC)

b) GọiM, N lần lượt chia đoạnSB, CStheo tỷ số−3.Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AN, CM

Giải:

Tọa độ các đỉnh của hình chóp là

S³0; 0; a

2

´, A

Ãa

2; −a

p2

2 ; 0

!, B

Ã

−a

2;

ap2

2 ; 0

!, C

Ãa

2;

ap2

2 ; 0

!

2 ; −a

2p22

Khi đócosϕ = ¯¯cos(~n(S AB),~n(SBC))¯¯=1

8 ;

a8

!, N

Ãa

8;

ap2

8 ;

3a8

!

8 ;

3a8

!,−−→

8 ;

a8

!,−−→

AC

³0; ap2; 0

8 ; −9a

2

32 ;

19p2.a232

!

1768 ⇒ ϕ = arccos7

p221

b) Tính góc giữa hai đường thẳng AE và SF.

c) Mặt phẳng(α) chứaADvà vuông góc với(SBC)cắt hình chópS.ABCD theo một thiết diện Tính diện tích thiết diện đó.

2 ; 0; 0

!, D³0; −a

2; 0

´, C

Ã

−a

p3

2 ; 0; 0

!, B³0; a

2; 0

´, S

µ0; 0;3a4

¶

¶,−−→

SC

Ã

−a

p3

4 ;

a

2; 0

!, F

Ã

−a

p3

8 ;

a

2; 0

!

4 ;

a

2; 0

!,−−→

BF

Ã

−a

p3

8 ; 0; 0

!,nên

31 ⇒ ϕ = arccos3

p93

4;

3a8

¶, (α) ∩ SC = N

Ã

−a

p3

4 ; 0;

3a8

!

2(AD + MN).d(A, (SBC)) =9a

2

Bài 6.7.

Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = BS = a, BS⊥(ABC).Gọi M, N

lần lượt là trung điểm các cạnhS Avà BC

a) Tính độ dài đoạn thẳngM N

b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, M N

Giải:

Chọn hệ trục tọa độOx yz(hình vẽ), với O ≡ B,trụcOzchứaBS,trụcO y chứaBC.

4;

a

4;

a2

´, N³0; a

2; 0

´

´

Nên M N =a

p6

4 ;

a2

4 ;

a24

¶

¶

M N(−a; b; h),−−→I M

µa; 0; h2

s2ab3+ 2ba3+ 4a2b24(a2+ b2+ h2) =

sab

Bài 6.9.

Trên các tia Ox, O y, Oz của góc tam diện vuông Ox yz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho

O A = a, OB = ap2, OC = c, (a, c > 0) Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD

và M là trung điểm của đoạn BC Mặt phẳng (α) qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM

a) GọiE là giao điểm của(α) với đường thẳngOC Tính độ dài đoạn thẳngOE

b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chópC.AOBDbởi mặt phẳng(α).

p2

2 ;

c2

!

GọiF = (α) ∩ CD thìEF là giao tuyến của(α)với(OCD),ta cóEF⊥AM

2 ;

c2

p2cx − c y + 3p2az − acp2 = 0

3 ;

2p2a

3 ;

c3

¶

=13

2c2+ c2+ 18a2=

2p6ac

3p

c2+ 6a2

Chú ý:

+) Hoàn toàn có thể tính tỷ số của câu b bằng phương pháp hình giải tích nhưng sẽ dài vàphức tạp

2 ,hayF

Ã

ap6

2 ;

ap2

2 ; 0

!, E

Ã

ap6

2 ;

ap2

2 ; a

!

4 ;

3ap2

4 ; 0

!

3, n =a

p2

6 ⇒−−→HK

Ã

ap6

6 ; −a

p2

6 ;

a3

!

p3

p2

3 ;

a3

!,−−→

AK

Ã

ap6

6 ;

ap2

6 ;

2a3

!,

−−→

HK

Ã

ap6

6 ; −a

p2

6 ;

a3

!,−−→

BH

Ã0; a

p2

3 ; −2a

3

!

6 , SABK=a

2p2

6 ⇒ St p=a

2(1 +p2)

µ

y −12

¶2+

µ

z −12

¶2

=1

4.

¶

2− 1

¯

¯

¯r

m+1

n−12

2; 0;

12

¶

; I2

µ0; 1

2;

12

2 ;

p2

2 ;

p22

!

S A

Ãp2

2 ; −

p2

2 ; −

p22

!, −−→

SB

Ã

−

p2

2 ;

p2

2 ; −

p22

!,

!,−−→

SD

Ã

−

p2

2 ; −

p2

2 ; −

p22

!

Gọi~e(x; y; z)là véc tơ đơn vị của đường thẳng∆.Khi đó

3 .

C BÀI TẬP

Bài 6.13.

Cho hình chópO.ABC cóO A, OB, OCđôi một vuông góc vàO A = a, OB = b, OC = c

a) Chứng minh rằngOH⊥(ABC), H ∈ (ABC)khi và chỉ khi Hlà trực tâm của tam giác ABC

b) Tính khoảng cách từOđến mặt phẳng(ABC)

c) Tính khoảng cách từOđến tâm đường tròn ngoại tiếp Icủa tam giác ABC

d) Cho M là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng(ABC),không trùng với A, B, C, H (H trực tâm tam giác ABC) Chứng minh rằng AM

b) Khi Mlà trung điểm AD Tính diện tích thiết diện cắt hình hộp bởi mặt phẳng(B0CK )

c) Khi M là trung điểm AD.Chứng minh rằng đường thẳng B0Mtiếp xúc với mặt cầu đường kính A A0

Giải:

Bài 6.15.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AB = a, AC = 2a, A A0= 2ap5 và ƒB AC = 120o Gọi M

là trung điểm củaCC0.Chứng minh MB⊥M A0và tính khoảng cách từ điểm Atới mặt phẳng

(A0BM)

Giải:

Kết luận: 

Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thang,B A = BC = a, AD = 2a, ƒABC = ƒB AD = 900.Cạnh bênS Avuông góc với đáy vàS A = ap2.GọiH là hình chiếu vuông góc của A trênSB.Chứng minh tam giácSCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng(SCD)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có đáy ABClà tam giác vuông, AB = BC = a, A A0= ap2

Gọi Mlà trung điểm của cạnh BC.Tính theoathể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0C

Giải:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, A A0=2a, A0C = 3a.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A0C0, I là giao điểm của AM và A0C Tính theoathể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(IBC)

Giải:

Bài 6.21.

Cho hình chóp đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, SC

Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCbiết rằngBM⊥AN

Giải:

Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1cóMlà trung điểm cạnh AB,BC = 2a, ƒACB = 90ovàƒABC =

60o,cạnh bênCC1tạo với mặt phẳng(ABC)một góc45o,hình chiếu vuông góc củaC1lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặt phẳng(ABC)và(ACC1A1).

Giải:

2AB = 2a

⇒ CH = a ⇒ C1H = CH tan45o= a VABC.A1 B 1 C 1= C1H.SABC= a.2a2p3 = 2p3a3

KẻHK ⊥AC ⇒đường xiên C1K ⊥AC ⇒((ABC); (ACCá 1A1)) = àC1K H

2

⇒ tan( àC1K H) =CH

Bài 7.2.

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = DC, AB = 2AD,

mặt bênSBClà tam giác đều cạnh2avà thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng(ABCD)

Tính thể tích khối chópS.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳngBCvà S Atheoa.

3SH.SABCD=p3a3

HạHK ⊥SI (K ∈ SI).Suy raHK ⊥(S AI).Do đód(H, (S A I)) = HK

H I2+ SH2=

2p21a

Bài 7.3.

Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC là tam giác đều cạnha, hình chiếu vuông góc của đỉnh S

trên mặt phẳng(ABC) là trung điểm cạnh AB.Gọi M là trung điểm cạnh BC.Biết góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABC)bằng45o.Tính thể tích khối chópS.ABCvà khoảng cách giữa hai đường thẳng ABvà SM theoa.

4 .

2AM.BC =a

2p3

3SH.SABC= a

3

16.

HạH J⊥SI ⇒ H J⊥(SMN) ⇒ d(H, (SMN)) = H J Ta cóH I =1

2CH = a

p34

nênd(AB, SM) = H J =p H I.SH

H I2+ SH2=

ap6

Bài 7.4.

Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình thoi cạnh a, ƒB AD = α với cosα =3

4, cạnh bên A A0= 2a Gọi M là điểm thỏa mãn −−→D M = k.−−→D A và N là trung điểm của cạnh A0B0 Tính thể tích khối tứ diệnC0MD0N theoavà tìm k đểC0M⊥D0N

4= 0 ⇔ k = −2

Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnhap

3,tam giácSBCvuông tạiS và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC)một góc bằng60o.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo avà tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và

(ABCD)

Giải:

Vì(SBC)⊥(ABCD), CD⊥BC, CD ⊂ (ABCD) nênCD⊥(SBC) ⇒ ƒDSC = (SD; (SBC)) = 60o

⇒ SC = CD cot 60o= a.Suy raSB = ap2.Kẻ SH⊥BC ⇒ SH⊥(ABCD)

p2p

3SH.SABCD=a

3p6

3 .

KẻSK ⊥BD.Khi đó hình chiếu HK ⊥BD.Suy ra(SBD, ABCD) = ƒSK H

2

BC =p2a

3⇒ HK = BH sin 45o=a

p2p

Giải:

GọiO = AC ∩BD.Từ giả thiết suy ra AC⊥(SBD)tại O nênƒASO = (S A; (SBD) = α. B AD = 120ƒ o

⇒ ƒADC = 60o⇒ 4ADCđều cạnha Suy raSABCD= 2SADC=a

2p3

2 vàDO = a

p3

4 .

KẻDH⊥SO.Vì AC⊥(SBD) nên AC⊥DH Suy raDH⊥(S AC) (1)

p2

2 (2)

Từ(1), (2)và(3) ta suy rad(B; (S AC)) = a

p2

Bài 7.8.

Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang cân(ABkCD), AB = 2CD = 4a,BC = ap10

Gọi O là giao điểm củaACvàBD BiếtSOvuông góc với mặt phẳng(ABCD)và mặt bênS AB

là tam giác đều Tính thể tích khối chópS.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳngSD

vàBC.

Giải:

2 = a ⇒ CH = 3a ⇒ OM = 2a, ON = anên∆O AB vuông cân

KẻCH⊥AB.Vì A A0⊥(ABC)nên A A0⊥CH ⇒ CH⊥(ABB0A0) ⇒ àC A0H = (A0C, (ABB0A0)) = 30o

2 =a

3p105

Bài 7.10.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = ap2,góc giữa hai mặt phẳng (S AC) và (ABCD)bằng 60o Gọi H là trung điểm của AB Biết mặt bên S AB là tam giác cân tại đỉnhS và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chópS.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.AHC

Giải:

2BE =a

p2

2p

3.

p2

2 .

0D2+ A0I2− D I22A0D.A0I = 3

Bài 7.12.

Cho hình chópS.ABC có mặt phẳng(S AC) vuông góc với mặt phẳng(ABC)và có S A = SB =

SC = 2a, AB = 3a, BC = ap3 (a > 0).Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theoa.

Giải:

KẻSH⊥AC DoS A = SC nênH là trung điểm AC (1)

Vì(S AC)⊥(ABC)nên SH⊥(ABC) ⇒ H A = HC = HB (2)

bằng30o.Tính thể tích khối trụ theoa.

Giải:

0Msin 30o = 2.O0M.MàO0M =

p2

Mặt phẳng(BB1C)chứaB1C và song song với A A1 nênd(A A1; B1C) = d(A ; BB1C) = 2a.

Giải:

2x22a2+ x2.

2+ x2)3(2a2+ x2)=13

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, A = bb D = 90o, AB = AD = 2a,

CD = a, góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD) bằng 60o, mặt bên S AD là tam giác cân tạiS, mặt phẳng(S AD)vuông góc với mặt đáy Tính thể tích của khối chópS.ABCD

và khoảng cách từ điểmD đến mặt phẳng(SBC)theoa.

Giải:

KẻHK ⊥BC thìSK ⊥BC, tứcSK Hƒ là góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABCD)

p5

5 .

p15

3.SABCD.SH =1

6(AB + CD).AD.SH =3a

3p155

KẻH I⊥SK(I ∈ SK), suy ra:H I⊥(SBC).GọiE là giao điểm củaAD và BC

p2

Bài 7.17.

Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình chữ nhật cóAB = 3, BC = 6,mặt phẳng (S AB)vuông góc với mặt phẳng đáy,các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng (ABCD)các góc bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳngS AvàBDbằngp6.Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và côsin góc giữa hai đường thẳngS AvàBD.

Giải:

HạSH⊥AB ⇒ SH⊥(ABCD)(do(S AB) ⊥(ABCD) = AB)

KẻHK ⊥CD ⇒tứ giác HBCK là hình chữ nhật

màS A ∈ (S AK) ⇒ d (BD, S A) = d (BD,(S AK)) = d (D,(S AK)) = d (H,(S AK))=p6 = h

2.3p5.3p

5 =15

⇒ VS.ABCD= 2VS.ABD=a

3p2

Vậy d(AC, BD) = OH =1

2SB = a

Bài 7.19.

Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A

trên(A0B0C0)trùng với trọng tâmGcủa4A0B0C0.Mặt phẳng(BB0C0C)tạo với(A0B0C0)góc60o Tính thể tích lăng trụ ABC.A0B0C0theoa.

Giải:

A0M0 và M M0bằngMà0M A = 60o

Đặtx = AB Ta có4ABC đều cạnhx có AM là đường cao.⇒ AM =x

p3

2 = A0M0, A0G =x

p3

3 .

p3

2 ; A

0G = A A0cos 60o=a

2= x

p3

3 ⇔ x =a

p3

2 .

2AB.AC sin 60

o= x

2p3

4 =

p34

Ã

ap32

!2

=3a

2p3

16 .

VABC.A0 B 0 C 0= AG.S∆ABC=a

p32

3a2p3

D

I

S

M H

K

p3

2 .

Kẻ I H ⊥ ABtạiH, thì ta có SH ⊥ AB Bởi vậy:

á(m p(S AB); m p(ABCD)) = SH I = 300 và I H =1

2CM = a

p34

S I = IH tan SH I =a

p3

4 tan 30

0= a4

2 .

a

4=a

3p3

24 .

Kẻ I K ⊥ SHtạiK, khi đó I K ⊥ mp(S AB)

p3

8 =a

p34

3p3

24 ;d(S A; CD) = a

p3