b, Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng 1.. Gọi d và d’ lần lượt là các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B.. a, Chứng minh MCD cân và CD là tiếp tuyến
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: Toán
( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề )
Bài 1: ( 2,5 điểm )
Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 – 3( x + y ) + 2013
Biết x = + ; y = +
Bài 2: ( 1 điểm )
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( x + y )2 = ( x - 1 )( y - 1 )
Bài 3 : ( 2 điểm )
Cho biểu thức P = + : -
a, Rút gọn P
b, Tìm x để P > 2
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 4 : ( 2 điểm )
Cho đường thẳng y = ( m - 2 )x +3 ( m là tham số ) ( d )
a, Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
b, Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) bằng 1
Bài 5 : ( 3,5 điểm )
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi d và d’ lần lượt là các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B Điểm C thuộc đường thẳng d ( C khác A) Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d và d’ theo thứ tự tại M và D
a, Chứng minh MCD cân và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b, Chứng minh rằng khi C di chuyển trên đường thẳng d thì tích AC.BD
có giá trị không đổi
c, Điểm C ở vị trí nào trên đường thẳng d thì diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R
Trang 2
Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn : Toán Bài 1: ( 1,5 điểm )
Ta có: x3 = +
= 3 + 2 + 3 - 2 + 3.( + )
= 6 + 3.( + )
= 6 + 3.( + ).1
= 6 + 3.( + )
= 6 + 3x
y3 = +
= 17+12+17-12+3.(+)
=34 + 3.(+ )
=34 +3.(+ ).1
= 34+ 3.(+
= 34 + 3y
A = x3 + y3 - 3( x + y ) + 2013
= 6 + 3x + 34 + 3y - 3 ( x + y ) + 2013
= 40 + 3 ( x + y ) - 3 (x + y ) + 2013
= 40 + 2013 = 2053
Bài 2: ( 1 điểm )
(x + y )2 = ( x - 1 )( y + 1 )
x2 + 2xy + y2 = xy + x - y - 1
x2 + xy + y2 - x + y + 1 = 0
2x2 + 2xy + 2y2 -2x + 2y + 2 = 0
( x2 + 2xy + y2 ) + ( x2 - 2x +1 ) + ( y2 + 2y + 1 ) = 0
( x + y )2 + ( x - 1)2 + ( y + 1 )2 = 0
(x + y )2 = 0 và ( x - 1 )2 = 0 và ( y + 1 )2 = 0
x = 1; y = -1
Bài 3: ( 2 điểm )
Trang 3a, (1 điểm)
P = + : - ĐKXĐ: x > 0 và x ≠ 1
= + : -
= :
= :
= :
= *
=
b,( 0,5 điểm)
P > 2 > 2 -2 > 0 > 0
> 0 vì x >0 và x ≠ 1 nên ( - 1 )2 + 1 > 0
- 1 > 0 > 1 x > 1
Kết hợp với ĐK x>0 và x ≠ 1 Vậy x > 1 thì P > 2
c,( 0,5 điểm )
Để có thì P > 0 > 0 vì x > 0 nên - 1 > 0 x > 1
Vậy ĐK để có là x > 1
Để có GTNN thì P phải có GTNN
Ta có P = = = = +1 +
= - 1 + +2
Vì x >1 nên - 1 > 0 ; > 0
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương ta có
- 1 + 2 = 2 dấu = xảy ra - 1 =
( - 1 )2 = 1 - 1 = 1 = 2 x = 4 ( TMĐK )
P = - 1 + +2 2 + 2 = 4
Vậy có GTNN là = 2 khi x = 4
Bài 4: ( 2 điểm )
a,(1 điểm )
Giả sử đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định là M ( x0; y0 ) với m
x =x0 ; y = y0 Thay x =x0 ; y = y0 vào đường thẳng (d) ta có
Trang 4 y0 = mx0 - 2x0 + 3 với m
mx0 - 2x0 + 3 - y0 = 0 với m
mx0 - ( 2x0 - 3 + y0 ) = 0 với m
`
Vậy (d) luôn đi qua 1 điểm cố định là M( 0; 3 ) với mọi m
b,
y
x d
H
N
M
O
Vẽ đường thẳng (d) đi qua điểm M ( 0; 3) cắt Ox tại N Kẻ OH (d )
Vì (d) cắt Ox tại N y = 0, Thay y = 0 vào đường thẳng (d) ta có
(m - 2 )x + 3 = 0 (m - 2 )x = -3 x = ( với m ≠ 2 )
N ; 0
Xét tam giác vuông OMN có OH MN
= + + 1: = 1 + = 1
( m2 -4m + 4 ) = 8 (m-2)2 = 8
m -2 = 2 hoặc m -2 = -2
m = 2 + 2 ( TMĐK) hoặc m = 2 - 2 ( TMĐK )
Vậy m = 2 + 2 hoặc m = 2 - 2 thì khoảng cách từ gốc toạ độ đến (d) bằng 1
Bài 4 : ( 3,5 điểm )
Trang 5d
d'
o
H
D
M
A
C
a, +/( vuông AOM và vuông BOD có OA = OB ( cùng bk)
= ( vì 2 góc đối đỉnh )
vuông AOM = vuông BOD ( g.c.g ) OM = OD ( 2 cạnh T Ư )
MCD có OC MD ( gt ); OC là đường trung tuyến ( Vì OM = OD )
MCD cân tại C
+, Từ O kẻ OH CD vuông AOM = vuông HOD ( vì có OM = OD ;
= ( 2 góc ở đáy của cân MCD ) OH = OA = R; OH CD tại H CD là tiếp tuyến của (O)
b, Ta có CA và CH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C CA = CH ( t/c của 2 tiếp tuyến cắt nhau), DH và BD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D DB = DH ( t/c của 2 tiếp tuyến cắt nhau),
vuông COD có OH CD ( cmt ) OH2 = CH HD ( HT giữa cạnh và đường cao trong vuông ) OH2 = CA BD CA.BD = R2
Vậy tích CA BD = R2 không đổi khi C di chuyển trên d
c, tứ giác ABDC là hình thang vuông ( Vì có AC ∥ BD do cùng AB) SABDC =
mà AC = CH; BD = HD ( cmt) AC + BD = CH + HD = CD
SABCD = do AB = 2R có độ dài không đổi Nên để SABCD có GTNN
Trang 6nhật OH CD OH AB H là điểm chính giữa của cung AB Vậy C là giao điểm của tiếp tuyến tại H của (O) với d Khi đó AC = BD = OH = R
SABDC = AB AC = 2R R = 2R2