ekholm, eriksen - linjär algebra och bioinformatik

Evolutiondra avstand Det finns manga satt att ange hur pass nara slakt tva genom ar, och vi kommer att kalla alla dessa for evolutionéra avstand.. Det 4r viktigt att notera att dessa oli

KTHs Matematiska Cirkel

LINJAR ALGEBRA OCH BIOINFORMATIK

TOMAS EKHOLM NIKLAS ERIKSEN

INSTITUTIONEN FOR MATEMATIK, 2003 FINANSIERAT AV MARIANNE OCH MARCUS WALLENBERGS STIFTELSE

Grekiska alfabetet

Innehall

Biologisk modell och grundlaggande kombinatorik

1.1 Enkel evolutlonär blologl ẶẶ Ặ

12 Matematisk modell av genomet -

13 Evolutionära avstắnd Ặ 020+ eee

14 Induktion 2.0 2000 eee ee eee 1.5 V&andningar och binomialkoefficienter

Kortaste avstand mellan tva genom

2.1 Brytpunkter Ặ Q HQ Q ko 2.2 GTAaÍleOrL Q Q Q k k k k va 2.3 Brytpunktsgrafn -Ặ Ặ Q Q SH HS HE Ủ 2.4 Sorteragenom Q HQ Q eee ee ee 2ð Btt bãttre avständsmäit

Matriser

3.1 MatrlSer Q Q Q Q eee 3.2 InverterbarheE Q Q Q Q Q ee ee ee 3.3 Transponering av matriser -.2.200000 00] 3.4 Skalérprodukt och lingd av vektorer

Baser och dimension

41 Delrum .0.02 0.00 2 eee ee eee 4.2 Ortonormerade baser -.0 0800 ee ee eee

Sannolikhet och Markovkedjor

5.1 ĐSannolikheler Ặ HQ Q kg ö.2 Markovkedjor Q Q KV ko 5.3 Antalet brytpunkter efter t vindningar

Determinanter

6.1 Definitionen

6.2 Egenskaper

6.3 Ovningar

Egenvärden och egenvektorer

Egenvarden och egenvektorer

Férvantat avstand mellan genom

9.1 De stérsta egenvardena och deras egenvektorer

9.2 Berdkning av formel och dess invers

9.3 Ovningar

10 Appendix: Algebrans Fundamentalsats

10.1 Komplexa och reella vektorrum

Nagra ord pa vagen

Detta kompendium 4r skapat for att anvandas som litteratur till K THs MATE- MATISKA CIRKEL under lasaret 2003-2004 Kompendiet bestar av nio av- snitt, samt ett inledande avsnitt Kompendiet dr inte tankt att lisas pa egen hand, utan ska ses som ett skriftligt komplement till undervisningen pa de sju traffarna

Som den mesta matematik pa hégre niva ar kompendiet kompakt skrivet Detta innebar att man i allmanhet inte kan lisa det som en vanlig bok Istallet bér man préva nya satser och definitioner genom att pa egen hand exemplifiera Darmed uppnar man oftast en mycket battre forstaelse av vad dessa satser och deras bevis gar ut pa

Ovningsuppgifterna dr fordelade i tva kategorier De med udda nummer har facit, och syftet med dessa ar att eleverna ska kunna rakna dem och pa egen hand kontrollera att de férstatt materialet De med jimna nummer saknar facit och kan anvindas som examination Det rekommenderas dock att man forsdker lésa aven dessa uppgifter 4ven om man inte examineras pa dem Om man kor fast kan man alltid fraga en kompis, en lirare pa sin skola eller nagon

av OSS

Vi b6ér ocksa naémna att fa av uppgifterna ar helt enkla Kika darf6r inte i facit efter nagra fa minuter (om du inte lést uppgiften), utan prata forst med kompisar eller férs6k litet till Alla uppgifter ska ga att lésa med hjalp av informationen i detta kompendium

Arets kompendium dr baserat pa en forskningsartikel av Niklas Eriksen, som den intresserade kan ladda hem och skriva ut fran internet ! Artikeln in- nehaller inte presentationen av den linjira algebran, men borde efter ge- nomférd kurs kunna vara begriplig

KTHs Matematiska Cirkel finasieras av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Vi tackar professorn Dan Laksov och lektorn Roy Skelnes for deras givande kommentarer om denna skrift

“http: //www.math.kth.se/~niklase/publ/wabi_appr_final.pdf

Nagra ord om Cirkeln

KTHs Matematiska Cirkel, i dagligt tal benamnd Cirkeln, startade 1999 Dess ambition Ar att sprida kunskap om matematiken och dess anvandnings- omraden utéver vad eleverna far genom gymnasiekurser, och att etablera ett nirmare samarbete mellan gymnasieskolan och högskolan Cirkeln skall sdrskilt stimulera elevernas matematikintresse och inspirera dem till fortsatta naturvetenskapliga studier Den kan vid behov ge eleverna férslag pa 4mnen till projektarbeten vid gymnasiet

Till varje kurs produceras ett kompendium som distribueras gratis till eleverna Detta material, liksom évriga uppgifter om KTHs Matematiska Cirkel, finns tillgingligt pa

http://www.math.kth.se/cirkel

Sedan 2001 godkanns Cirkeln av Stockholms Stad som en 50-podngskurs eller som matematisk breddning Det dr upp till varje skola att godkanna Cirkeln som en kurs och det dr lararna fran varje skola som satter betyg pa kur- sen Lãrarna ar sjilvklart ocksa valkomna till Cirkeln och manga har kommit 6verens med sin egen skola om att fa Cirkeln godkand som fortbildning eller som undervisning Vi ska papeka att forelaisningarna fortfarande ar 6ppna f6r envar

Vi har avsiktligt valt materialet for att ge eleverna en inblick i matematisk teori och tankesatt och presenterar darf6r bade nagra huvudsatser inom varje omrade och bevisen fér dessa resultat Vi har ocksé som malsattning att bevi-

sa alla satser som anviands om de inte kan f6rutsdttas bekanta av elever fran gymnasiet Detta, och att flera 4mnen 4r pa universitetsniva, gdr att lararna och eleverna kan uppleva programmet som tungt, och alltfor langt 6ver gym- nasienivan Meningen ar emellertid inte att lararna och eleverna skall beharska dimnet fullt ut och att lara in det pa samma satt som gymnasiekurserna Det viktigaste ar att eleverna kommer i kontakt med teoretisk matematik och far

en inblick i matematikens vdsen Var forhoppning dr att lararna med denna utgangspunkt skall ha lattare att upplysa intresserade elever om KTHs Mate- matiska Cirkel och é6vertyga skolledarna om vikten av att lata bade elever och larare delta i programmet

Nagra ord om betygssattning

Ett speciellt problem tidigare ar har varit betygssattningen Detta borde em- ellertid bara vara ett problem om laérarna anvander sig av samma, standard som

de gör nar de sadtter betyg pa ordinarie gymnasiekurser Om utgangspunkten istallet ar att eleverna skall fa insikt i matematiken genom att ga pa f6re- lasningarna och att eleven gor sitt basta for att forsta materialet och lésa uppgifterna, blir betygsadttningen lattare Sjalvklart betyder det mycket vad eleverna har lart av materialet i kursen, men lérarna kan bara f6rvanta sig att ett fatal elever beharskar 4mnet fullt ut I det perspektivet blir det latt att anvanda de officiella kriterierna:

Godkdnd: Eleven har viss insikt ide moment som ingar i kursen och kan pa ett godtagbart satt redovisa valda delar av kursen saval muntligt som skriftligt Detta kan ske genom att eleven haller f6redrag infor klassen, redovisar eller lamnar en rapport till sin matematiklarare

Val godkénd: Eleven har god insikt i flera moment fran kursen Eleven kan redovisa dessa moment bade skriftligt och muntligt och dessutom uppvisa lésningar pa problem som givits pa kursen Detta kan ske genom att eleven haller foredrag infér klassen, redovisar eller limnar en rapport till sin mate- matiklarare

Mycket val godkénd: Eleven har mycket god insikt i flera moment av kur- sen och lamnar skriftliga redovisningar av flera delar av kursen eller lamnar ldsningar pa problem som givits pa kursen Detta kan ske genom att eleven hảiller föredrag Inför klassen, redovisar eller limnar en rapport till sin mate- matiklarare

Det ar ocksa mdjligt att skolorna samarbetar, sa elever fran en skola redovisar eller l4mnar rapport f6r en lirare i en annan skola

Foérfattarna, september 2003

1 Biologisk modell och grundlaggande kombinatorik

Vi skall i detta hafte ge ett exempel pa en matematisk modell for en speciell typ av mutationer av genom och analysera denna modell matematiskt I detta kapitel forklarar vi den bakom liggande genetiken och skapar utifran detta var forenklade matematiska modell Vi tittar dessutom litet narmare pa hur manga saitt det finns att valja k objekt bland n mdjliga, vilket beraknas med hjalp av induktion

1.1 Enkel evolutiondr biologi

Aven om detta huvudsakligen ar en matematisk skrift maste vi ind kortfattat beskriva hur den verklighet ser ut som vi vill siga nagot om Har féljer darfér

en mycket kort beskrivning av var arvsmassa

En individs arvsmassa (eller genom, med betoning pa andra stavelsen) ar det

som tillsammans med yttre faktorer bestammer hur individen ser ut och fun- gerar Arvsmassan bestar av DNA, som ar en férkortning av deoxyribonukle- insyra DNAn ar uppbyged av nukleotider Det finns fyra nukleotider: Ade-

nin (A), Cytosin (C), Guanin (G) och Tymin (T) Dessa finns hopparade i

langa par av strangar, A parat med T och C med G (se figur 1) Om man vet vad som finns i ena strangen vet man alltsa dven vad som finns i andra strangen Ett sadant par av strangar kallas en kromosom Manniskan har 46 kromosomer, men de flesta bakterier har bara en, som 4r cirkular

TAATCAGGAT

ATTAGTCCTA

Figur 1: En kort del av en kromosom

Olika delar av kromosomerna fungerar som ritning for olika proteiner Den del som kodar f6r ett protein kallas en gen En bakterie har ofta runt 500 till 1000 gener och manniskan har atminstone 30000 gener Stringen av nukleotider som en gen 4r uppbyged av har en boérjan och ett slut Varje gen har darf6r

en riktning

En mutation 4r en f6rdndring av arvsmassan Det finns flera olika föränd- ringar som kan ske Vissa 4ndrar bara en nukleotid, vilket kan f6randra en gen till det battre eller det samre Andra mutationer 4ndrar ordningen pa generna, men inte deras innehall Dessa mutationer har ofta mindre paverkan

pa individen, men troligtvis dr de inte helt utan betydelse Antalet mutationer som sker under en tidsperiod ar ungefar proportionellt mot periodens lingd,

sa om vi kan berikna antalet mutationer och den genomsnittliga frekvensen for en mutation far vi reda pa hur lange genomet har muterat

Genom mutationer uppstar olika arter Det kan exempelvis ske genom att en art delas i tva populationer, som inte interagerar med varandra De kommer

da att utvecklas oberoende och sa smaningom bilda olika arter

1.2 Matematisk modell av genomet

Vi vill beskriva en matematisk modell f6r en speciell typ av mutationer En sadan modell bér vara sapass forenklad att berékningar ar mdjliga, men anda

ha kvar de viktigaste egenskaperna hos det vi studerar

I var modell struntar vi fullstandigt i vilka nukleotider som bygger upp en gen

I olika arters genom finns varianter av samma gen, som alla skiljer sig litet pa nukleotidniva, men som skapar samma, eller liknande, proteiner Genom att strunta i innehallet i generna kan vi se varje kromosom som en f6ljd av gener Den kraftigaste forenklingen vi gér ar att bara betrakta de mutationer som förändrar genernas ordning Vị struntar därmed i all information vi kunnat

fa genom att betrakta mutationerna pa nukleotidniva Férdelen med detta ar att vi far en enklare modell, som vi klarar av att hantera generellt

Ett begrepp som studerats mycket inom matematiken 4r permutationer Man utgar da fran en maingd av element, och varje sétt att ordna dessa, att skriva dem i en féljd, 4r en permutation Genomet Ar en f6ljd av gener och kan darfér ses som en permutation av dessa

Har har vi gjort antagandet att ingen gen forekommer tva ganger i samma ge- nom Det stammer inte riktigt med verkligheten, men gér att vara berakningar blir mycket lattare Vi later dirfor modellen ha denna begransning och hoppas att det inte paverkar resultatet alltfor mycket Vi antar ocksa att alla genom innehaller samma gener Aven detta dr litet felaktigt, men det ar nastan sant

om genomen ar nagorlunda nara slakt Nar vi vill jimf6ra tva verkliga genom kastar vi bort de gener som antingen saknas eller f6rekommer dubbelt i nagot

genom

For att fa samma utseende som bakteriella genom later vi vara permutationer vara cirkulara, det vill saga att vi later första elementet följa direkt efter sista elementet Vi tar ocksa tillvara den information vi har om genernas riktning genom att sdtta ett minustecken framf6r de gener som 4r riktade i motsatt riktning

For att skriva ett genom anvander vi notationen g = [g1 g2 Gnl, dar gi

ar elementen som svarar mot generna Vi boér har tanka pa att ett genom kan skrivas pa flera olika sétt Om vi vrider genomet, eller vander det uppochner har vi fortfarande samma genom, och det maste gilla Aven nar vi ser det som

en permutation

Exempel 1.1 Genomet i figur 2 kan skrivas som [go g2 —g1] eller [g2 —g1 go]

eller till och med [—gz —gọ gì], om vi laser det baklinges Vanligtvis skriver

vi dock go forst Detta satt att skriva genomet kallar vi normalform A Den evolutiondra process vi kommer att koncentrera oss pa i detta kompen- dium kallas vandning En vandning gar till sa att en f6ljd av en eller flera

Figur 3: Definition av vandning, forflyttning och vand forflyttning

gener tas ut ur genomet och satts in i omvand ordning Detta finns avbildat i figur 3 Dar ges Aven exempel pa tva andra operationer som kan f6rekomma:

en férflyttning lyfter ut ett segment av gener ur genomet och satter in det nagon annanstans och en vänd förfyttning lyfter ut ett segment och satter

in det vant pa ett annat stalle Vi kommer dock att anta att det bara ar vandningar som sker, och att alla vandningar är lika sannolika

Det finns flera anledningar till denna begransning En 4r att det bland vissa, bakterier troligen skett mest vandningar En annan 4r att dessa har mycket battre matematiska egenskaper 4n férflyttningar Det finns inga motsvarighe- ter for forflyttningar till de resultat vi presenterar har

Ett bra satt att visualisera genomet ar foljande: Tank dig genomet som parlor

pa en ring av staltrad, som ar konstruerad pa sa satt att vi kan utf6ra vand- ningar Vi kallar de olika generna go, g1, ,Gn—1- Eftersom go féljer efter Gn—1 kallas vi den ibland f6r g, Tag nu tag 1 gen go med vanster hand Den hégra handen kan nu utfora alla mdjliga vandningar Det ar darf6r bra att tinka att go alltid sitter fast

Sammanfattningsvis 4r var modell av evolution att genomet ges av en teck- nad, cirkulir permutation av gener Den evolutionara processen bestar av att vandningar valjs slumpmassigt, med lika sannolikhet f6r alla vandningar, och sedan appliceras pa genomet Antalet vandningar som skett mellan tva genom

ar proportionellt mot den tid som skiljer dessa at, sa ju farre vindningar som skett, desto narmare slakt 4r dessa genom

Exempel 1.2 Vid nagon tidpunkt har en art genomet [go gi g2 93 g4 g5 Gái

Da splittras populationen i tva delar, som utvecklas var f6r sig Den ena utsatts

for foljande mutationskedja:

[do G1 92 93 Ga 95 G6] — Ido —G4 —93 —G2 —91 G5 Gel

— Ido 93 G4 —G2 —91 G5 Gel

och den andra for mutationskedjan

[do 91 G2 93 G4 95 Ge] — [Go 91 G2 —95 —G4 —G3 Gel

Vill vi berékna ett evolutionart avstandet mellan dessa tva arter ska vi alltsa

jamfora [go 93 da —G2 —G1 Gs Ge] med [go G1 G2 —G5 —Ga —G3 ge] Detta

avstand, delat med tva, dr ungefir avstandet till deras nirmsta gemensamma

1.3 Evolutiondra avstand

Det finns manga satt att ange hur pass nara slakt tva genom ar, och vi kommer att kalla alla dessa for evolutionéra avstand Det 4r viktigt att notera att dessa olika avstand staémmer battre eller simre G6verens med det verkliga avstandet, vilket vi kallar det verkliga antalet vandningar som skett mellan tva genom

Att beräkna antalet vandningar som skett mellan tva genom 4r i princip omdjligt, eftersom man inte fran genomen kan se exakt hur manga vãndningar som har skett Det skiljer tre vandningar mellan vara tva genom i exemplet, men man kan aéven omvandla det ena av dem till det andra med fem, sex eller fler vandningar, sa dessa avstand dr ocksa mdjliga Man kan dock oftast ge ratt sa goda gissningar angaende det verkliga antalet vandningar Om genom-

en inte ligger alltf6r langt fran varandra ar det troligt att det minsta antalet vandningar som behévs f6r att omvandla det ena genomet till det andra ar

en bra gissning Darfér ar det ett intressant problem att berakna det minsta antalet vindningar mellan tva genom Vi kallar detta vandningsavstandet och kommer att ge en formel for detta i ndsta kapitel

Vi kan dock presentera battre uppskattningar av det verkliga avstandet I resterande delen av kompendiet kommer vi att titta pa ett enklare avstand, brytpunktsavstandet, och berakna det f6rvantade brytpunktsavstandet efter

t viandningar En sadan beskrivning ger en bra uppskattning av det verkliga

avstandet (en tydligare beskrivning ges i avsnitt 2.5)

Man bor lagga marka till att vi alltid kan byta namn pa elementen i tva genom

sa att det ena blir identitetsgenomet id = [go gi g2 Gn_1] Att omvandla det andra till detta genom kan ses som att sortera det andra Vi kommer framo6ver alltid lata det ena genomet vara identitetsgenomet

Om vi utgar fran tva genom 7 och T och skriver om 7 sa att det blir id, sa forindras aven T pa motsvarande satt Vi anvander beteckningen T,, for detta nya satt att skriva t Att omvandla 1, till id med vandningar blir da samma sak som att omvandla T till 7 med vandningar

11

Exempel 1.3 Vi tittar pa genomen i féregaende exempel Dar hade vi 1 =

[90 93 G4 —92 —91 95 Ge] och t= [go G1 G2 —G5 —Ga —93 Gel

Antag att vi vill Andra namnen pa generna i 7 sa att 7 blir id Det innebar att den gen som tidigare hette g3 nu heter g;, den som hette g4 heter gz och den som hette —g2 gar nu under namnet g3, och sa vidare Fortsatter vi med namnbytena pa detta satt far vi Tt: = [go —Ga —93 —95 —G2 —9G1 gel Att sortera detta T, 4r samma sak som att omvandla det ursprungliga T till det ursprungliga, 71

Pa samma satt far vi att om vi later Tt bli identitetsgenomet sa blir 77 genomet 7y =Ỉ0o —0s —04 —02 —01 —93 Gel A

Eftersom det dr samma sak att omvandla T till 7 som att omvandla T, till

id kommer vi fram6ver huvudsakligen att betrakta omvandlingar till id Vi pratar sa om att sortera ett genom

1.4 Induktion

Vi kommer i nasta avsnitt att anvanda oss av en matematisk bevisteknik som kallas induktion Den kommer Aven till nytta i kapitel 9 Fér de som inte har sett induktion tidigare foljer har en kort genomgang

Vi beskriver enklast induktion med hjalp av ett exempel Vi ska bevisa att f6r varje heltal n > 1 galler att

Man ser enkelt att formeln giller for n = 1, for n = 2, for n = 3 och for vilket

7 man än valjer att prova Men vi kommer aldrig hinna prova alla n, sa vi maste valja en baittre metod Det verkar inte heller ga att direkt rakna ut att 1+44+9+ +n? blir den kvot vi vill att det ska bli Vi kan emellertid latt visa detta med induktion

Idén bakom induktion 4r att visa att om likheten ar sann f6r ett givet n sa

ar den ocksa sann f6r nasta varde, d.v.s n+ 1 Om vi dessutom kan visa att likheten ar sann f6r ett startvarde, i detta fall n = 1, sa dr den darmed sann

for naista varde (n = 2) och nasta (n = 3) och nadsta och nasta, etc Den ar i

sjalva verket sann for alla n > 1

Att visa att likheten dr sann f6r det f6rsta vardet kallas basfall och att visa den dr sann f6r ett varde om den 4r sann f6r f6regaende varde kallas induk- tionssteg

Vi bérjar med basfallet Vi ska visa att likheten är sann for n = 1 Vi ser att vansterledet blir 1, och i hégerledet far vi (2+3+1)/6 = 1 Likheten ar alltsa sann for n = 1

Nu till induktionssteget Antag att det for ett givet n stammer att

1.5 WV&ndningar och binomialkoefficienter

Det ar naturligt att fundera é6ver hur manga vandningar det finns, som kan appliceras pa ett genom g = [go gi Gn—1] av langd n Nar vi sag genomet som parlor pa en staltrad sag vi att vi kan fa varje vandning genom att dela upp genomet i tva intervall Det ena innehaller go och det paverkas inte, men det andra vander vi Vi kan dela upp genomet i dessa tva intervall genom att valja tva olika gener, som far inleda varsitt intervall Det racker alltsa att berikna hur manga satt det finns att valja tva olika element bland n element Mer generellt kan vi betrakta problemet att valja k element bland n element Detta tal betecknas () och uttalas “n valj k” Talen kallas A4ven binomial- koefficienter

13

Det finns flera satt att ta fram ett uttryck for binomialkoefficienterna Vi ska har anvanda en rekursiv konstruktion, men det gar aven att resonera sig fram till uttrycket direkt

Antag att vi ska valja k element bland n element Vi kan bérja med ett godtyckligt element a och bestamma om det ska vara med eller inte Om

vi bestaémmer att a ska vara med sa behéver vi bara valja ytterligare k — 1 element bland det aterstaende n—1 elementen Om vi inte vill ha med a maste

vi valja k element bland de n—1 aterstaende elementen I férsta fallet kan de

aterstaende valen géras pa (7) olika satt, i det andra fallet pa ("") olika

sitt Sammantaget far vi

Med hjalp av denna rekursionsformel kan vi ge ett direkt uttryck f6r binomial- koefficienterna

Sats 1.4 Binomialkoefficienterna for 0 <k <n ges av

dar n! =n-(n—1)-(n—2)- -3-2-1 forn 21, och O! =1

BEVIS: Vi anvander har induktion 6ver variabeln n Vi kommer att anta att formeln galler for n — 1 och ska visa att den galler for n Detta g6r vi med

hjalp av rekursionen (1.1) Som basfall har vi alla de fall da vi inte kan anvanda

rekursionen, nimligen da n = 0, och da k = 0 eller k = n

Antag k = n Binomialkoefficienten ska da ange antalet satt att ur en mingd med n element vialja samtliga av dessa Det kan ske pa ett satt Vi tittar nu

pa formeln:

KíÍn KỊI nlin—nl ma!

Pa samma satt ser vi att om vi ska valja k = 0 element bland n element sa kan aven det ske pa ett enda sétt Formeln ger

KíÍn-KỊI 0n-0I Tent

Vi far

()=(-)+(z)

(m— 1)! (m— 1)I

1 Observera att eftersom rekursionen (1.1) galler sa fas varje element utom

de yttersta som summan av de tva elementen snett ovanför Binomialkoef- ficienterna G) i foljdsatsen ovan finner vi i tredje diagonalen fran vanster:

1,3,6,10,

1.6 Ovningar

Ovning 1.1 Skriv 1 = [g3 g2 —ga 9} —Qol pé normalform, det vill saga med go férst Finn ett satt att omvandla + = [go ga g2 93 g1] till 7 genom att beräkna tT; och sedan omvandla detta till id

Ovning 1.2 Lat 7 vara ett genom Vad är 7ư„?

Ovning 1.3 Berikna de forsta tio raderna i Pascals triangel Dessa kommer

du ha nytta av i kapitel 7

15

Tabell 1: Pascals triangel I rad n och position k fran vanster finner vi (—))-

Overst har vi alltsa (0):

W)=( 1)

E()-7 k=0

Ovning 1.6 Visa att

Ovning 1.7 Visa att

for n > 0 Enklast ar att anvanda induktion

Ovning 1.8 Hur manga forflyttningar finns det pa ett genom med n gener? Hur manga vanda forflyttningar finns det?

Ovning 1.9 (Overkurs) Hur manga genom finns det med n gener?

Ovning 1.10 (a) Visa att du kan komma fran ett genom med n gener till ett annat genom med n gener med enbart vandningar (Tips: Anvand

induktion över n)

(b) En avstandsfunktion pa en mangd ar en funktion d som fér varje par

a och b ur mangden ger talet d(a,b) Fér tre element a,b och c ur

mãngden har vị

(i) d(a,b) > 0 och d(a,b) = Ø0 om och endast om a = b,

(ii) d(a,b) = d(b, a),

(ii) d(a,c) < d(a,b) + díb, c)

Visa att om 7 och T ar genom med n gener och d(z,T) ar det minsta

antalet vändningar för att 6verf6ra 7 till tT sa dr d en avstandsfunktion

pa genom med n gener

2 (Kortaste avstand mellan tva genom

Ett enkelt satt att uppskatta den stracka ett objekt har fardats mellan A och

B ar att berikna fagelvigen, den kortaste strackan mellan dessa tva punk- ter Man kan se f6randringen av ett genom som en resa bland alla mdjliga genom Vi kommer har att visa hur man kan berdkna det kortaste avstandet, vandningsavstandet, mellan tva godtyckliga genom

2.1 Brytpunkter

Vi inleder detta kapitel genom att beskriva ett enkelt satt att mata avstand mellan tva genom Det Ar inte lika anviéndbart som de metoder vi beskriver senare, eftersom avstandet i allmanhet inte stammer lika bra Gverens med det okanda genetiska avstandet, men det behévs f6r att beskriva dessa

Vi siger att elementet b f6ljer elementet ai ett genom om genomet innehaller

[ ab ] eller [ —b—a ] Elementen a och b definierar en brytpunkt

mellan tva genom om b féljer a i det forsta genomet, men inte i det andra Antalet brytpunkter mellan tva genom 7 och T kallas brytpunktsavstandet

mellan dem och betecknas b(7, 7) Antalet brytpunkter mellan 7 och id, d.v.s b(z, id), betecknas ofta b(7) Detta är det intressanta mattet for oss, eftersom

vi alltid kan skriva om genomen sa att ett av dem blir identitetsgenomet, utan att for den skull andra nagot av avstanden mellan dem

Exempel 2.1 Betrakta tT och 7 i exempel 1.3 Vill vi berakna brytpunkts- avstandet mellan dessa ar det enklast att berakna b(7,) eller b(t) I baigge

2.2 Grafteori

Inom flera delar av matematiken anvander man sig ofta av grafer En graf

bestar har av tva mangder: h6rnméngden V (vertices pa engelska) och kantmängden E (edges), som bestar av par av hérn Oftast ritar man ut

hérnen som punkter och kanterna som streck mellan de tva hérn som utgör kanten

Uy 112

4

đ U3 U4

Figur 4: En graf med fyra hérn och fyra kanter

Exempel 2.2 I figur 4 ser vi ett exempel pa en graf Denna graf har fyra horn,

Uy, U2, U3 och uy, och kanterna ar (11, U2), (uW1,U3), (2, U3) och (U3, U4) A

17

Om det gar en kant mellan hérnen u och v sa sager vi att u dr granne till v och vice versa Med valensen d(u) till ett hérn wu menas antalet grannar till detta hérn Om alla hérn i en graf har valens r sa ar grafen r-reguljar

En cykel av lingd n Ar en f6ljd vo,v1,Vv2, ,Vn av hérn sadan att det gar

en kant mellan vj och vị for alla i mellan 0 och n—1, och v; # v; for alla

1 och j utom Vp = vn Vi kan alltsa ga till dessa hérn i denna ordning genom att folja kanter, och vi kommer tillbaka till starthdrnet

Exempel 2.3 I grafen ovan har hérn wy och uz valens 2, hérn u3 har valens

3 och hörn uy har valens 1 Grafen Ar alltsa inte reguljér Den enda cykeln ar

U1, U2, U3, Uy A

2.3 Brytpunktsgrafen

Vi definierade en brytpunkt mellan tva genom som ett par av gener som foljer varandra i det ena genomet men inte i det andra Eftersom vi later det ena genomet vara identitetsgenomet har vi en brytpunkt mellan tva pa varandra féljande gener g; och gj; i det andra genomet om vi inte har j =i+ 1 (vi later har go = gn om det gor att likheten uppfylls) Vi har har använt konventionen att —g; = g_j, sa om —g3 foljer efter —gq har vi ingen brytpunkt, eftersom vi

da har generna g_4 och g_3 som uppfyller } = —3 = —-4+1=i+1

Vi ska nu skapa en graf som hjalper oss att beraikna antalet vandningar som behévs fér att sortera ett genom Varje gen kommer att omvandlas till tva hérn Vi ritar hérnen moturs pa en cirkel, i samma ordning som deras gener ligger i genomet Om en gen g; har positivt tecken ger den hérnen v2; och v2i+1 1 denna ordning, men har den negativt tecken skrivs hérnen i omvand ordning Mellan tva hérn som ligger bredvid varandra men inte kommer fran samma gen drar vi en tjock kant Slutligen dras en tunn kant mellan hérnen V2K_1 och v2, for k mellan 1 och n — 1, och mellan hérnen v2,_1 och vo Ett exempel ges i figur 5

Viser att grafen är 2-reguljär och att varje hérn har en tjock och en tunn kant till sig Kanterna bildar alltsa cykler, med varannan kant tjock och varannan kant tunn Vi ser ocksa att dar vi inte hade brytpunkter i genomet har vi nu cykler med bara tva kanter, men dar vi hade brytpunkter har vi cykler med fler kanter

2.4 Sortera genom

Om vi betraktar brytpunktsgrafen till identitetsgenomet id ser vi att den har

nm cykler Brytpunktsgraferna till andra genom har farre cykler, sa att sortera ett genom svarar mot att dka antalet cykler till n Vi ska nu titta pa hur man kan 6ka antalet cykler sa snabbt som mojligt

Vandningar i brytpunktsgrafen svarar mot vindningar pa ett vanligt genom

Vi valjer ett segment av cirkeln och skriver hérnen i omvand ordning Al-

Figur ð: Brytpunktsgrafen till [gọ —gs —04 —0s —03 —0g2 —0z Gì]

la tunna kanter f6ljer med sina hérn, men de tjocka ligger kvar Eftersom vandningarna inte kan dela nagon gen sa boérjar och slutar segmenten i bryt- punktsgrafen mitt i en tjock kant Vi séger att en vindning klyver dessa tva tjocka kanter

Vi ska nu underséka vad som hander med antalet cykler da vi utf6r en vand- ning Betrakta figur 6 Vi later de kluvna kanterna vara de mellan a och b och mellan c och d De prickade kurvorna i figuren antyder hur hérnen hanger ihop, via ett okänt antal kanter

Kring de tva tjocka kanterna som klyvs finns fyra hérn som kan vara samman- bundna pa tre olika satt I det forsta fallet har vi tva cykler som slas ihop Det blir litet mer komplicerat om de tjocka kanterna hor till samma cykel Vi sAger att tva tjocka kanter dr likriktade om vi gar lings dem at samma hall nar

vi gar lings kanterna i en cykel Langst ner i figuren har vi likriktade kanter, eftersom vi antingen gar at hdger lings bada dessa kanter, eller at vanster langs bada kanterna, nar vi foljer kanterna i cykeln I mittenfiguren, diremot, gar vi langs kanterna at olika hall och darmed 4r de olikriktade

Nar vi har olikriktade kanter, som i andra fallet, kommer cykeln att delas i tva delar Har vi daremot likriktade kanter, som nederst i figuren, sker inget med cykeln Det kan dock ske saker med likriktningen av andra kanter, eftersom riktningen av kanterna mellan vära tvä hörn ändras

Denna analys ger en första uppskattning angäende antalet vändningar som

krävs for att sortera ett genom Vi läter hãr c(7 beteckna antalet cykler 1

brytpunktsgrafen till 71

Sats 2.4 Antalet vandningar som krdvs for att sortera ett genom 7 ar minst

n—c(7t)

BEVIS: Vi startar med c(z) cykler och ska öka antalet cykler till n Med

en vandning kan vi 6ka antalet cykler med maximalt 1 Darmed kravs minst

19

Figur 6: Tre olika resultat efter vindning Om en vãndning berör tvả kanter

i olika cykler slas dessa ihop (6verst) Om en vandning ber6ér tva olikrikta-

de kanter i samma cykel delas cykeln (mitten) Om en vandning berér tva

likriktade kanter i samma cykel Andras inte antalet cykler

Optimal utdelning har vi alltsa om det vandningen berdr tva olikriktade tjocka kanter i samma, cykel Malet ar darf6r att finna en strategi som gér att denna situation f6rekommer sa ofta som mdjligt Man kan visa att man oftast klarar sig med vandningar av detta slag Nagra av 6Gvningarna handlar om detta

2.5 Ett bdttre avstandsmatt

Det kortaste brytpunktsavständet fungerar rätt sa val som gissning av det verkliga avstandet f6r genom som ligger ratt naira varandra Varre dr det

om det ligger pa stort avstand Vi har gjort simuleringar av genom med 400 gener, vars verkliga avstand till id satts slumpmassigt mellan 200 och 600 vandningar Vi har sedan ritat vandningsavstandet till id i en graf (figur 7)

Vi ser att ju fler vandningar som skett, desto stérre blir skillnaden mellan det verkliga avstandet och vandningsavstandet

Brytpunktsavstandet mellan tva genom ar ratt sa proportionellt mot antalet vandningar, men det fungerar simre in vandningsavstandet for att skatta det verkliga avstaendet Vi kan déremot ta fram en dnnu battre skattning av det verkliga avstandet med hjalp av detta avstand Idén till detta beskriver vi har

Vi tanker oss att vi utf6r ett antal viandningar pa ett genom I varje steg beraknar vi det forvantade antalet brytpunkter vi har mellan det genom vi far

vi kommer att komma fram till i sista kapitlet

Ovning 2.3 Visa att om ett genom saknar minustecken s& finns inga vand- ningar som Okar antalet cykler i dess brytpunktsgraf

Ovning 2.4 Vilket ar det maximala kortaste avstandet till id? Ge exempel

pa ett genom som har detta avstand till id

Ovning 2.5 Antag att brytpunktsgrafen ar ritad med raka kanter Vi siger

da att tva cykler vars kanter korsar varandra ligger i samma komponent Detta gialler aven transitivt, sa om cyklerna 7 och Tt ligger i samma, komponent

21

och om T och o ligger i samma komponent, sa ligger iven 7 och o i samma komponent I figur 5 har vi till exempel tre komponenter, varav en innehaller tva cykler

Man kan visa att om en komponent innehaller en cykel med tva olikriktade tjocka kanter, sa kan man alltid utf6ra en vandning sa att antalet cykler ökar och att samtliga komponenter som uppstatt ur den ursprungliga komponenten antingen har en cykel med tva olikriktade kanter eller innehaller bara en tjock

kant Visa att detta medfér att en komponent tT kan sorteras med n(t) — c(7T)

vandningar, dar n(t) ar antalet tjocka kanter i t och c(t) ar antalet cykler i

1

Ovning 2.6 Anvind föregäende uppgift för att visa att om samtliga kompo- nenter i 7 antingen innehaller en cykel med tva olikriktade kanter eller bara

har en tjock kant, sa kan 7 sorteras med n — c(7U) vãndningar

Ovning 2.7 Den som ar duktig p& att programmera kan underséka hur van-

ligt det ar med genom som kan sorteras med n — c(m) vandningar Bestém

ett lagom stort n Skapa ett slumpmassigt genom genom att utga fran identi- tetsgenomet och byta férsta elementet mot ett slumpmiassigt valt element pa platserna 1 till n Sedan slumpas tecknet f6r forsta elementet Darefter byta

vi andra elementet mot ett slumpméassigt valt element pa platserna 2 till n och valjer tecken Fortsatt pa samma satt tills alla positionerna gatts igenom

Da har vi ett slumpmassigt valt genom

Skriv sedan rutiner som finner cyklerna, som delar in cyklerna i komponenter och som kollar om en komponent innehaller nagon cykel med olikriktade tjocka kanter Genom att upprepa detta experiment manga ganger gar man inblick i andelen genom som har det angivna avstandet till id

Ovning 2.8 Visa att om alla horn i en graf har valensen tvä sä är varje hörn med i exakt en cykel

34 Matriser

3.1 Matriser

En nx m-matris A ar en rektangular samling tal in rader och m kolonner

d1 I2 -'' Gm d2 422 -'' d2m

dn] Gn2 ''' dnm Talet a;; ar det tal som star pa rad 7 och kolonn j En annan beteckning ar

Nollmatrisen (av storlek (nx m)) ar matrisen vars tal alla ar noll och beteck- nas 0 Om n=m_kallas A en kvadratisk matris Lat B vara en n x m-matris

och s ett reellt tal Vi definierar summan av tva m X n-matriser som

A+B= (ay + dY)R" (3.3)

och multiplikation med talet s som

sA = s (ais) = (say )i3" (3.4) Nar vi adderar tva matriser sa adderar vi alltsa talen pa samma position och nar vi multiplicerar en matris med ett tal s sa multipliceras varje tal i matrisen med s

AT =A-A- A, (3.8)

n ganger

23

Exempel 3.2 Lat

3 7

^=Í 2 ; 7): B=|2 1I] (3.9)

6 2 Fran definitionen av multiplikation ar

Det ar lamnat som en évning att visa identiteterna (3.12) och (3.13)

Matriser som bestar av endast en kolonn kallas for vektorer Vektorer upp- fyller darfér de rakneegenskaper som matriser gér Vi definierar

uy

R® =qu=] | :wER for allai>, (3.14)

Un dar R ar de reella talen, d.v.s talen pa tallinjen

for alla kvadratiska matriser A sadana att multiplikationen Ar definierad Tbland används notatlonen E, f6r att belysa att E ar en n x n-matris Definition 3.5 En kvadratisk matris A sigs vara inverterbar om det exi- sterar en matris B sadan att

AB = BA =E (3.18)

Matrisen B kallas inversen till A och betecknas A~Ì

Inversen till A ar entydig ty antag att det finns tva matriser B och C sadana

att (3.18) ar uppfylld Vi har da att B = BE = BAC = EC = C, sa matriserna

Om vi adderar —3 av den forsta ekvationen till den andra och —3 av den tredje ekvationen till den fjãrde far vi

— 2b27 = -—3 Fran (3.23) ser vi att b2] = —5, ĐI] =1,b727 = 3 och byj7 = —2 Alltsa

Sats 3.8 Lat A vara enn Xx n-matris Da ar A inverterbar om och endast

om det for varje y € R" finns ett entydigt x € R" sa att Ax =y

BEvis: Antag att matrisen A dr inverterbar och lat y € R" Vektorn x = Aly uppfyller nu att Ax = AA~'y = y Antag att det finns tva vektorer x; och x2 som uppfyller ekvationen Ax = y Da foljer att x7 = A7'Ax; = A7!y = A-'Ax2 = x2 Alltsä är lösningen entydig

Antag omvant att det for varje y € R" finns ett entydigt x € R" sa att Ax = y

AB = AB, AB? vee ABn =] eC, €2 «ss En J = E (3.31)

Det aterstar att visa att BA = E Vi har att

A(BA) = (AB)A = EA =A (3.32) Matrisen C = BA uppfyller alltsa ekvationen AC = A, vilket aven enhetsma- trisen E gor, d.v.s AC; = A; och Ae; = Aj; dar A; och C; ar kolonnerna i matrisen A respektive AC Enligt antagandet har ekvationen Ax = y en en- tydig lésning for alla y Detta ger att C; = e; for alla j och darmed Aven att

3.3 Transponering av matriser

Definition 3.9 Lat A = (aj)j3" Den transponerade matrisen A! till A

defnieras som AÌ = (ai);

cụ := đị†Ðg; + dị2п¡ + + dnĐÐmj Dãrmed har vị att talet pa rad 1 och kolonn j i matrisen (AB)! ar Cj

Av formel (3.7) har vi att talet di; pa rad i och kolonn j i matrisen B'A! ar

dụ = byjajy + baiaj2 + - + Dmidjm (3.35)

ty AT(A-!)T =(A-1A)T = ET =E, vilket visar att (AT) | = (A7!)'

3.4 Skalarprodukt och langd av vektorer

Definition 3.11 Lat u,v € R" Vi definierar skalarprodukten av u och v som det reella talet (u,v) = u'lv

Vi sdger att tva vektorer u och v ar ortogonala om (u,v) = 0

Definition 3.12 Lat u € R" Vi definierar langden av u som

|u|] = VY (u,u) (3.38) Exempel 3.13 Lat u = (3 4)" Da följer att

Definition 3.14 En matris A kallas symmetrisk om A = A!

Fér en symmetrisk matris giller att (Au,v) = (Au)'v = ulAlv = ulAv =

(uw, Av)

3.5 Ovningar

Ovning 3.1 Bevisa formel (3.12) och i fallet for 2 x 2-matriser formel (3.13)

Ovning 3.2 Beräkna A2, A3 och A' för matrisen

1/1 -I

A= &

Ovning 3.3 Lat u=(2 3 —1) ochv=(1 —4 —3) Berdkna ||ull, ||v|l?

Ovning 3.5 Visa att om A ar en kvadratisk matris sidan att AX = 0, s& ar

E —A inverterbar med inversen E+ A+A2+ +A}

i fallet ad — be £0 ar

29

4 Baser och dimension

4.1 Delrum

Definition 4.1 En icke-tom delmingd U av R" sags vara ett delrum av R"

om f6ér alla u,v € U och for alla s € R galler att

ar ett delrum av R* Ty lat U vara mangden av alla lésningar till ekvationen

(4.3) Antag att u= (ui uz us us)! och v = (VỊ V2 V3 va)! ligger i

U Vi vill visa att w= (Ww) w2 w3 wa) | —u-+v ocksa ligger i U Detta

ar klart, da vi har att

wỊ +2wa—wW4 =_ (uị + VỊ) + 2(ua + vs) — (tua + v4) (4.4)

=_ (uị+2ua— 14) + (vị +2ws — va) =0+ 0 =0,

Pa liknande satt visar man att s-u ar med i U, för alla tai s A

En vektor u € R" kallas en linjirkombination av vektorerna uy, ,Um € R" om

UW = $j], + Soa + +SmUm (4.5) dar s; ar reella tal Vektorerna w), ,Um sags vara linjdrt oberoende om

S111 + §2u2 + + §mtưạ = Ô (4.6) medfor att s} = s2 = = $m = O Annars sigs vektorerna vara linjärt beroende

Lemma 4.3 Vektorerna uw, ,Um ar linjdrt beroende om och endast om nagon vektor ar en linjérkombination av de dvriga

BEVIS: Antag att uw1, ,Um 4r linjart beroende Da finns det reella tal 51, ;§m dar inte alla dr noll sa att syuj + Soy + +SmUm = 0 An- tag att sp #0 Da foljer att

Da giller att

tp utan att alla koefficienter ar noll Alltsa ar vektorerna linJärt beroende a

Lat vektorerna U), ,Um i R” vara givna Mangden U av alla linjéira kom- binationer $s}, + SnUn av vektorerna u1, ,Um bildar ett delrum av R", vilket lãsaren latt sjalv verifierar Vi kallar U f6r det linjara héljet till vek- torerna UW1, ,Um-

Exempel 4.4 Det linjira héljet till vektorerna u = (0 1 0 0)" \v = (2 O —1 0)" och w = (1 0 0 1)" ar ett delrum U av R" Ett god- tyckligt element i U ar da pa formen (2b +c a —b c)', for nagra tal a,b

Definition 4.5 Lat U vara ett delrum av R" En mangd vektorer €], ,€m sigs vara en bas fér U om

(I) vektorerna e€], ,€m ar linjart oberoende,

(II) mangden U ar linjara héljet av vektorerna e), ,€m-

Fran (II) far vi att varje vektor u € U kan skrivas som en linjärkombination

av vektorerna €], ,€m, d.v.s det finns tal s}, ,Sm sa att u=sjey+ + Sm€m- Denna representation adr entydig ty antag att det finns tal t), ,tm sa att u=t)e; + +tmem Nu foljer att

(s1 — tị)€ + + (Sm — tm)Ê®m = Ô (4.10) som enligt (I) ger att s; =; for alla i Talen s; kallas för koordinaterna fồr

uw i basen €], ,€m-

Exempel 4.6 Vi fortsitter exempel 4.4 ovan Vi vill visa att vektorerna

u=(0 1 0 0)',v=(2 0 -1 0)' ochw=(1 0 0 1)' dren bas for

deras linjira hélje U Vi maste bara visa att vektorerna u,v och w ar linjart

oberoende, eftersom krav (II) i Definition 4.5 uppenbarligen galler Antag nu

att vi kan skriva Ô =a-u+b-v+c-w for nagra tal a,b och c Vi skall visa att a,b och c maste vara noll Vi har att

Vi behéver f6ljande lemma

Lemma 4.7 Ett ekvationssystem av typen Ax = 0 for nagon nx m-matris har

i fallet m >n, d.v.s det finns fler obekanta variabler Gn ekvationer, odndligt med lésningar

BEvIs: Vi bérjar med att inse att det racker att visa pastaendet dam =n-+1

ty om vi finner oandligt antal lésningar i de n+ 1 f6rsta variablerna kan vi alltid sAtta resterande variabler till noll vilket ger ộndligt antal lésningar med

m variabler

Vi anvander induktion Over n

Lat n = 1 Det ar klart att

x

Ax = (a1 đ12) (5) = đ11X1 + đ12X2 = Ư (4.12) har ộndligt antal lưsningar, ty lưsningarna beskriver en linJe

Antag att varje ekvationssystem med n—1 ekvationer och n obekanta variabler har odndligt med lésningar Vi vill visa att n ekvationer med n+ 1 obekanta variabler har oindligt med lésningar I ekvationssystemet har vi ekvationerna

sa att x1,X2,X3, ,X%n dven ar losningar till forsta ekvationen Vi har funnit

odndligt med lésningar till (4.13) och ar dirmed klara a

Sats 4.8 Lat uj, ,Um vara vektorer i R", dér m > n Da har vi att vektorerna UW, ,Um ar linjdrt beroende

BEVIS: Ekvatlonen §111 + + SmUm = 0 leder till ett ekvationssystem med n ekvationer och m obekanta variabler, vilket enligt Lemma 4.7 har nollskilda

Sats 4.9 Varje delrum U 40 av R" har en bas Om w, ,Um ar linjgart oberoende vektorer i U finns det en bas for U som innehaller dessa vektorer BEvis: Férsta delen foljer av den andra delen med m = 0

Tag en vektor u; #0i U Da foljer att u) ar linjért oberoende ty ekvationen

ger sj =0

Antag att u, ,Um_1 4r linjért oberoende vektorer i U Antingen dr vek- torerna en bas for U eller sa finns det en vektor wp i U som ej ar en linjar- kombination av , ,Um_1- Da foljer att ekvationen

S111 + Sou + + S_1Um_1 + SmUm =0 (4.17) endast har lésningen sj] = s7 = = Sm = 0 Detta foljer av att sm = 0 ty

Um ar ej en linjirkombination av 6vriga vektorer enligt lemma 4.3 och da ar Aven $s} = $2 = = Sm_1 = 0 eftersom vektorerna wW, ,Um_—1 ar linjart oberoende Alltsa ar u,,12, ,Um en mangd linjart oberoende vektorer

Pa detta satt kan vi steg for steg utdka varje mangd av linjart oberoende vektorer tills vi fatt en bas Det foljer att varje delrum U av R" har en bas och att om vi har funnit linjart oberoende vektorer i U kan vi komplettera dessa med vektorer sa att de bildar en bas for U a

Sats 4.10 Lat e,, ,€m vara en bas for delrummet U av R" Da dr m+ eller fler vektorer i U linjdrt beroende

BEVIS: Lat w, ,Um41 vara vektorer 1 delrummet U av R" Eftersom

€}, ,@m ar en bas for U finns det entydiga tal t;; sadana att

™m

j=l for 1 <i < m+] Vi vill visa att det finns odndligt med lésningar till ekvationen

$juUuj + Sou2+ +Sm41Um+1 = 0 (4.19)

33

som Aven kan skrivas som

Eftersom €1, ,€m dr en bas fér LI är de linJärt oberoende vilket medför att varje tal sj tj] + s2tj2 + + Sm+1j(m+1) = 0 Vi far ekvationssystemet

tis) + ti282 + + tymitSmi1 = 0

dr linjart oberoende maste m < k Tillsammans ger det att m =k a

Definition 4.12 Lat U #4 {0} vara ett delrum i R" Da definieras dimen- sionen av U eller dimU som antalet vektorer i en bas for U Om U = {0} definieras dim U = 0

som har den entydiga lésningen s; = s2 = s3 = 0 De genererar R ty en godtycklig vektor u i R? kan skrivas som

Uy U= [Ww | =—wje] + We? + 13643 (4.26) U3

Darmed har vi att dim R® = 3, och pa liknande satt visar man att dim R" =n,

Definition 4.14 Lat A vara en n X m-matris Vi definierar nollrummet av

A som

N(A) = {x € R™ : Ax =0} (4.27)

och varderummet av A som

V(A) ={y € R" :Ax=y, for nagot x € R™} (4.28)

Man kan visa att nollrummet ar ett delrum av R™ och varderummet 4r ett delrum av R", vi har valt att lamna detta som en 6vning f6r lisaren Lat

y € V(A), d.v.s det existerar en vektor x € R™ sddan att Ax = y Lat

A;,A2, ,;Am vara kolonnerna i A och x = (x;)i, Vi far

Äx = XỊIÀJ +X2Ä¿2 + +XmÄm =U (4.29) Detta visar att vektorerna Aj, ,Am, tillika kolonnerna i A, genererar del-

rummet V(A)

Sats 4.15 (Dimensionssatsen) Lat A vara enn x m-matris Da foljer att

dim N(A) + dim V(A) =m (4.30)

BEvIs: Lat e1,e2, ,@€x € R™ vara en bas for N(A) Av sats 4.9 kan vi finna vektorerna fj), f2, ,fq € R™ sadana att de tillsammans med €),€2, ,€k € IR™ bildar en bas for R™ Alltsa dr k + q = m For att visa satsen maste vi visa att q = dim V(A) Vektorerna Af), Af2, ,Afg genererar V(A) ty tag

y € V(A) och lat x = Ay Da foljer att det finns tal aj, ,ax och bị, , Đạ

och darmed att sf} + s2f2+ +Sqfq € N(A) Detta ger att det finns tal ty, , tk sa att

S1ifi +S2f2 + + SaÝfq = tiei + t2e2 + + tk€k (4.34) Eftersom e1,€2, ,€k,f1, f2, ,fq bildar en bas ấr sị = = $q = tị = = t =0 Detta visar att Afiq, ÄAf2, , Afa är linJãrt oberoende, genererar

Lat My, beteckna mangden av alla kvadratiska n x n-matriser

Sats 4.16 En nx n-matris A dr inverterbar om och endast om N(A) = {0} BEvIis: Antag att A ar inverterbar Da féljer av Sats 3.8 att ekvationen Ax = 0

ar ekvivalent med att x = 0, d.v.s N(A) = {0}

Omvänt, antag att N(A) = {0} Fran dimensionssatsen féljer att dim V(A) =n,

d.v.s V(A) = R" For varje y € R" har vi att det finns ett entydigt x € R" sadant att Ax = y For att visa entydigheten antar vi att x och x’ uppfyller att

Ax =Ax' =y, da foéljer att Ax — Ax’ = A(x — x’) =0 Eftersom N(A) = {0} foljer att x —x' = 0 vilket ar detsamma som att x = x’ Enligt Sats 3.8 ar A

Vi har att V(A) = R" och fran dimensionssatsen att N(A) = {0} Fran sats

4.16 har vi att A dr inverterbar Alltsa gialler att

AT! =A-}E=Ar!(AB) =(A-ÌA)B = EB =B (4.36) Eftersom B är Inversen tiÌl A féljer att BA = E a

$3 = (sj, Uj) = (srr, uj) + + (sj, ý) + + (SmUm, Wj)

=_ (sjuị + † Smttm,1/) = (Ô,j) = Ô (4.38)