bất đẳng thức qua các định lý và bài toán

Bất đẳng thức qua các định lý và bài toánTrần Nam Dũng Trường ĐH KHTN TpHCM Đi chậm tiến xa - Start small, go big Làm thế nào để học toán một cách hiệu quả?. Mặc dù đã được trang bị nhữ

Bất đẳng thức qua các định lý và bài toán

Trần Nam Dũng Trường ĐH KHTN TpHCM

Đi chậm tiến xa - Start small, go big

Làm thế nào để học toán một cách hiệu quả? Có phải là giải thật nhiều các bài toán? Tất nhiên là muốn học toán thì phải biết giải toán Nhưng nếu chỉ đâm đầu vào giải hay đọc lời giải các bài toán sao cho thật nhiều, thật nhanh và cố gắng nhớ thì đó không phải

là một cách hay Học toán là phải bắt đầu từ những vấn đề cơ bản, phải đi chậm để ngấm

và hiểu phương pháp một cách thấu đáo Và phải luôn luôn bắt đầu từ việc nghiên cứu các chứng minh định lý, tìm hiểu ý nghĩa và tầm ứng dụng của nó Chính vì thế mà người

ta mới nói: Đi chậm tiến xa Ai vội vàng sẽ dễ dàng vấp ngã và bị các bài toán đè lên: Lật đật là toán đè Hãy cố gắng làm toán với tốc độ thật chậm, thật chắc Chậm khi học để

nhanh và chắc khi thi

Bất đẳng thức là một mảng toán khó trong chương trình phổ thông nói chung và trong chương trình chuyên toán nói chung Mặc dù đã được trang bị những công cụ mạnh, những phương pháp mới như phân tích bình phương, dồn biến, ABC, pqr, hàm lồi … nhưng đứng trước các bài toán bất đẳng thức mới, chúng ta vẫn cảm thấy lúng túng và thiếu tự tin

Vậy thì làm thế nào để có thể tự tin và tìm ra định hướng khi giải một bài toán bất đẳng thức? Để không bị bối rối và bơi trong một rừng các phương pháp khác nhau, chúng ta phải nắm được các tư tưởng cơ bản trong chứng minh bất đẳng thức là:

Luôn tìm cách đưa về các bài toán đơn giản hơn bằng cách

+ Giảm dần số biến số

+ Thay thế bằng các biểu thức đơn giản hơn

Luôn nhớ những quy tắc cơ bản “No square is negative – x2≥ 0 ∀ x ∈ R”, “Look at the end – Hãy nhìn vào các đầu mút!”, “Hãy thuần nhất hoá và chuẩn hoá”, “Hãy đối xứng hoá”, “Hãy sắp thứ tự!”, “Hãy đặt biến phụ!”

Việc sử dụng các phương pháp đạo hàm, dồn biến, SOS, bất đẳng thức cổ điển, ABC, pqr, quy nạp … chung quy cũng chỉ phục vụ cho mục đích đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đơn giản hơn

1 Phương pháp quy nạp toán học

Khi bất đẳng thức phụ thuộc vào biến số nguyên dương n (n có thể là biến số, có thể là số biến số), ta có thể nghĩ đến phép quy nạp toán học: sử dụng bất đẳng thức ở n = k (hoặc nhỏ hơn) để chứng minh cho n = k+1

1 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có bất đẳng thức

1 3

1 2

1 2

4

3

2

1

+

≤

−

n n

n

2 Cho a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

n n

n b a b

a











 +

≥

+

2

3 Cho x1, x2, , xn là n số thực dương có tích bằng 1 Hãy chứng minh rằng

x1 + x2 + + xn ≥ n

4 Cho D là một khoảng thuộc R Giả sử f là hàm xác định trên D thỏa mãn điều kiện











 +

≥

+

2 2

) ( )

f x f x

f

với mọi x1, x2∈ D









≥ +

+ +

4 4

) ( ) ( ) ( )

f x f x f x f x f

với mọi x1, x2,

x3, x4∈ D









 + +

≥ +

+

3 3

) ( ) ( )

f x f x f x f

với mọi x1, x2, x3∈ D

Hướng dẫn: Làm thế nào để mất x4?

c) Chứng minh rằng với mọi x1, x2, , xn thuộc D ta có











≥ +

+ +

n

x x

x f n

x f x

f x

5 Cho n ≥ 3 và x1, x2, , xn là các số nguyên dương sao cho

i

i i i

x

x x

nguyên với mọi i= 1,2, , n (Ở đây ta hiểu x0 = xn, xn+1= x1) Chứng minh rằng

3

i

i <

≤∑

6 Cho số nguyên dương n ≥ 3 Cho x1, x2, , xn là các số thực thuộc đoạn [0, 1] Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

2 ) 1 (

) 1 ( ) 1

1 −x +x −x + +x −x ≤n

Hướng dẫn: Bạn có gặp khó khăn khi chuyển từ n > n+1? Hãy tìm cách vượt qua khó khăn đó!

7 a) (VMO 2011) Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ta

có bất đẳng thức

1 2 1

2

1 1

) 1











 +

≤ +

n

n

x

x x

b)* Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng bất đẳng thức

(xy)n(n+1)/2(xn+yn) ≤ 2 đúng với mọi x, y dương và có tổng bằng 2

2 Phương pháp phản chứng

Phản chứng là phương pháp dùng để thêm giả thiết cho bài toán hoặc lật kết luận với giả thiết Trong bất đẳng thức, phương pháp này tỏ ra khá hiệu quả

1 Cho a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0 Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c > 0

2 (USAMO 2001) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c ≥ abc Chứng minh rằng 2 trong 3 bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng

a b c+ + ≥ b c a+ + ≥ c + + ≥a b

3 (IMO 2001) Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có

4 Xét hai bài toán sau

(A) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2

+ abc = 4 thì a + b + c ≤ 3

(B) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c =

3 thì a2 + b2 + c2 + abc ≥ 4

Hãy chứng minh rằng từ bài toán (B) có thể suy ra bài toán (A)

5 Cho a, b, c > 0 và 2(a2+b2+c2) + 3abc = 9 Chứng minh a + b + c ≤ 3

6 (USAMO 1999) Cho a1, a2, …, an (n > 3) là các số thực thỏa mãn điều kiện

a1 + a2 + … + an = n, a12 + a22 + … + an2 ≥ n2 Chứng minh rằng

max{a1, a2, …, an} ≥ 2

7 Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng

5a 4 + 5b 4 + 5c 4 ≤

1 3a 1 1+ 3b 1 1+ 3c 1 ≤

3 Bất đẳng thức AM-GM

1 a) Từ kết quả bài 1.3, hãy chứng minh rằng nếu a1, a2, , an là các số thực dương thì ta

có 1 2 n 1 2 (1)

n

n n a a a a

a

b) Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp lùi như bài 1.4

c) Chứng minh rằng nếu a1, a2, , an là các số thực dương và r1, r2, , rn là các số hữu tỉ dương có tổng bằng 1 thì ta có

∏

∑

=

=

≥ n

i

r i n

i i i

i

a a

r

1

d) Chứng minh bất đẳng thức (2) vẫn đúng nếu r1, r2, , rn là các số thực dương

2 Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 ta có bất đẳng thức 1 1

n n

n < +

3 Cho a, b, x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy = ax + by Chứng minh rằng

b a y

4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

a) 2(a3+b3+c3) ≥ a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)

b) a b b c c a a b c b c a c a b6 + 6 + 6 ≥ 4 2 + 4 2 + 4 2

c) (Bất đẳng thức Muirhead) Giả sử (m, n, p) và (m', n', p') là hai bộ số thực dương sao cho: (i) m ≥ n ≥ p, m' ≥ n' ≥ p'

(ii) m + n + p = m'+ n' +p'

(ii) m ≥ m', m + n ≥ m' + n'

khi đó ta viết (m, n, p) > (m', n', p') và nói bộ (m, n, p) trội hơn bộ (m', n', p')

Đặt Mm,n,p(a, b, c) = ambncp + ambpcn + anbmcp + anbpcm + apbmcn + apbncm

Chứng minh rằng nếu (m, n, p) trội hơn (m', n', p') thì Mm,n,p(a, b, c) ≥ Mm',n',p'(a, b, c)

5 a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro) Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng

2

3

≥ +

+ +

+

c a c

b c b a

b) (Trung Quốc 2004) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng

12 2 17

6 (Nga 2002) Cho , ,a b c >0 và a b c+ + =3 Chứng minh rằng

a+ b+ c ab bc ca≥ + +

7 Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn a b c+ + =3. Chứng minh rằng

(a) 1 2 1 2 1 2 3;

(b)

a b +b c +c a ≥

(c)

3 2

a b +b c +c a ≥

4 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

1 a) Cho a1, a2, , an; b1, b2, , bn là các số thực thỏa mãn điều kiện 1.

1

2 1

∑

=

=

=

= n

i i n

i

i b

chứng minh rằng ∑

=

≤

≤

i i

i b a

1

1

1 Từ đó suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

























∑

=

=

=

n

i i n

i i n

i

i

x

1

2

1

2

1

(1) với mọi bộ 2n số thực x1, x2, ,xn; y1, y2, , yn Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1:y1=x2:y2= =xn:yn

b) Từ bất đẳng thức hiển nhiên ( )2 0

1

≥

−

∑

=

n

i

i

i x b

a với mọi x thuộc R, hãy suy ra bất đẳng























≤











=

=

=

n

i i n

i i n

i

i

a

1

2 1

2 2

1

(2) với mọi ai, bi thực (i=1 n) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ai, bi tỷ lệ

c) Chứng minh rằng nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số ax2 + bx là

4

2

a

b

− Từ đó, xét các hàm fi(x) = aix2 + bix với ai > 0 và áp dụng nguyên lý minimum của tổng lớn hơn hay bằng tổng các minimum, ta có

n

n n

n

a

b a

b a

b a

a a

b b

b

4

4 4 )

(

4

)

2

2 2 1

2 1 2

1

2 2

+ + +

+ + +

−

suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng

n

n n

n

a a

a

b b

b a

b a

b

a

b

+ + +

+ + +

≥ + + +

)

(

2 1

2 2

1 2

2

2 2 1

2

d) Chứng minh rằng các dạng (1), (2), (3) có suy ra được từ nhau

2 a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro) Chứng minh rằng với 3 ≤ n ≤ 6 ta có bất đẳng thức

∑

≥ +

n

i i i

a a

a

2 (Ở đây an+1 = a1, an+2 = a2) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào? b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

3

5 3

+

+ +

+ +

<

a c

c c b

b b a

a

3 (Iran 1998) Cho x, y, z > 1, 1 + 1 +1 =2

z y

x Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

1 1

−

≥

+

3 (Ba Lan 1991) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2 Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức x + y + z ≤ 2 + xyz

4* Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3 Chứng minh

3 2

1 2

1 2

−

+

−

+

5 (Iran 1998) Cho x, y, z > 1, 1 + 1 +1 =2

z y

x Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

1 1

−

≥

+

6 Chứng minh rằng nếu x,y,z∈ −[ 1,1] thỏa mãn điều kiện x+y+z+xyz=0, thì ta có:

7* Cho a1, ,a n >0 và n > 3 sao cho

1

1

n k k

a

=

=

∑ và

1

2

n k k

ka

=

=

∑ Chứng minh rằng:

(a −a ) 2 (+ a −a ) 3 (+ + a n−a n− ) n <0

5 Một số bất đẳng thức cổ điển khác

1 Bất đẳng thức Bernoulli

a) Chứng minh rằng với mọi x > -1 và với mọi r > 1 ta có

(1+x)r > 1 + rx

b) Chứng minh bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu r < 0 và sẽ đổi chiều nếu 0 < r < 1

c) Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì xy + yx > 1

2 a) Cho r > s Chứng minh rằng nếu a1, a2, , an là các số thực dương sao cho a1s + a2s

+ + ans = n thì ta có a1r + a2r + + anr ≥ n

b) (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa) Với a = (a1, , an) và số thực r ta đặt

r n

i

r i r

n

a a

M

1

1

)

(

























= ∑

=

Khi đó, nếu r > s thì ta có Mr(a) ≥ Ms(a)

3 a) (Công thức tổng Abel) Cho hai dãy số thực (a1, a2, , an) và (b1,b2, ,bn) Khi đó ta

=

+ + +

+ +

−

= 1

1

)

( )

)(

(

n

n

i i i

b b

a b b

a a b

b) (Bất đẳng thức Abel) Cho hai dãy số thực (a1, a2, , an) và (b1,b2, ,bn) trong đó dãy thứ nhất là dãy số giảm Đặt ck = b1+ +bk và M = max (ck), m = min (ck) Chứng minh rằng

ma1 ≤ a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ Ma1

c) (Bất đẳng thức hoán vị) Giả sử a1, a2, , an và b1, b2, , bn là hai dãy đơn điệu giảm Nếu c1, c2, ,cn là một hoán vị tùy ý của b1,b2, ,bn thì

a1b1 + a2b2 + + anbn ≥ a1c1 + a2c2 + + ancn

4 Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và 3x + 2y + z ≤ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x2 + 2y2 + z2

5 Cho dãy giảm n số dương x1, x2, , xn thỏa mãn điều kiện

k x x

x1 + 2 + + k ≥ với mọi k = 1, 2, , n









 + + +

>

+ + +

n x

x

2

1 1 4

2 2

2

6 Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có bất đẳng thức

2 2 2 2

3 2

3 2

3

a

c c

b b

a a

c c

b

b

7 (Crux) Với các số thực dương x1, x2, ,xn có tổng bằng 1, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

1

2

1

1

n

n

x

x x

x x

x f

− + +

−

+

−

=

6 Phương pháp phân tích bình phương

Nhiều bất đẳng thức đối xứng 3 biến có thể đưa về dạng

Sa(b-c)2 + Sb(c-a)2 + Sc(a-b)2 ≥ 0

Hiển nhiên là nếu Sa, Sb, Sc không âm thì bất đẳng thức đúng Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp một trong các số Sa, Sb, Sc âm thì bất đẳng thức vẫn có thể được chứng minh thông qua phân tích này

1 Cho a ≥ b ≥ c hoặc a ≤ b ≤ c Giả sử rằng Sc ≤ Sb ≤ Sa Chứng minh rằng nếu Sc < 0 và

Sb + Sc ≥ 0 thì ta có Sa(b-c)2 + Sb(c-a)2 + Sc(a-b)2 ≥ 0

2 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

2 ) )(

)(

(

8

2 2 2

≥ + + +

+ + +

+

+

a c c b b a

abc ca

bc

ab

c b

a

3 (Kvant) Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1 Chứng minh rằng

25 ) (

48 1 1

c b

a

4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

12 ) (

9

2 2 2

3 3 3

≥ + +

+ + +

+ +

c b a

ca bc ab abc

c b

a

5 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

b a

c a c

b c b

a b

a

c a

c

b c

b

a

+

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

2 2

2

2 2

2

2

6 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

3

2

b c c a a b

7 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

2 2 2

2 2

2 3

3

7 Phương pháp dồn biến

Ý tưởng của phương pháp dồn biến là làm giảm dần số biến số, đưa việc chứng minh một bất đẳng thức về việc chứng minh 2 (hay nhiều) bất đẳng thức đơn giản hơn

Ví dụ để chứng minh f(a, b, c) ≥ 0, ta sẽ lần lượt chứng minh

2

, 2 , ( ) , ,

ii) f(a, t, t) ≥ 0.

Ta có một số chú ý sau

1) Khi thực hành phương pháp dồn biến, nên bắt đầu từ bất đẳng thức ii) trước với các lý do sau:

i) Tìm được các điểm nghi vấn xảy ra dấu bằng Biết được điểm xảy ra dấu bằng, chúng

ta có thể tìm được các cách tiếp cận thích hợp

ii) Nếu không chứng minh được ii) thì việc dồn biến là vô ích Vì vậy phải làm bước này trước

2

, 2 , ( ) , ,

nói chung không đúng với mọi a, b, c Sử dụng tính đối xứng của bất đẳng thức, ta có thể sắp xếp thứ tự a, b, c để bất đẳng thức này đúng

3) Việc chọn giá trị để dồn biến đến phụ thuộc vào biểu thức của f và điều kiện ràng buộc Ví dụ nếu điều kiện là a + b + c = 1 nên thì ta phải dồn về trung bình cộng (hoặc thành b+c, 0)

1 (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)

2 (Việt Nam 2006) Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng











 + +

≥ + + +

c b a c

b

3 Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng

2

5 1 1

1

≥ +

+ +

+

+c c a a b

b

Hướng dẫn: Phải dồn biến thế nào để điều kiện đảm bảo?

4 (Việt Nam 2002) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9 Chứng minh rằng 2(a+b+c) - abc ≤ 0

5 Dồn biến về biên Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng

minh rằng a2b + b2c + c2a ≤ 4

6 (Iran 1996) Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

7 (Vietnam TST 2006) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1, 2] Chứng minh rằng ta

có bất đẳng thức









+

+ +

+ +

≥







 + + +

+

y x

z x z

y z y

x z

y x z y

(

8 Khử dần các biến số bằng đạo hàm một biến

Nguyên lý Fermat nói rằng nếu c là điểm cực trị của hàm khả vi f(x) thì f'(c) = 0 Điềi này cho phép chúng ta xây dựng thuật toán tìm cực trị của hàm một biến Với hàm nhiều biến, ta vẫn có thể sử dụng phương pháp này bằng cách cố định một số biến, chỉ còn một biến tự do Việc sử dụng các "đường mức" (điều kiện cố định) như thế nào phụ thuộc vào từng bài toán

1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

(9 1 2 13 1 2)

)

f = + + − trên đoạn [0, 1]

2 (PTNK 2012)

a) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ta có bất đẳng thức











 +

≥

















+ +

x

x x

2

3 4 3

4

b) Tìm số thực dương α nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức











 +

≥











x

x x

2 α α đúng với mọi x > 0

3 Cho tam giác đều ABC Với mỗi điểm M nằm trong mặt phẳng tam giác, gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng (BC), (CA), (AB) Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

MF ME MD

MC MB MA

+ +

+ +

4 (Việt Nam TST 2001) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 2x + 4y + 7z = 2xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x+y+z

5 Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 2

2

2 2 1

) 6 ( 2

y xy

xy x

+ + +

6 Cho

1

1 2 )

+

− +

=

x

x x x

f Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x)f(y) với x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x + y = 1

7 Cho a, b, c là các số thực phân biệt, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức





−

+

−

+

− +

2

) (

1 )

(

1 )

(

1

a c c b b a c b a

9 Phương pháp tiếp tuyến

Theo công thức Taylor khai triển đến bậc 2 thì f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f"(c)(x-x0)2/2 với c nằm giữa x và x0 Như vậy nếu f"(x0) ≠ 0 thì tại lân cận của x0, tiếp tuyến của f(x) (đường thẳng y

= f(x0) + f'(x0)(x-x0) sẽ nằm trên hay nằm dưới f(x) Điều này cho phép ta đánh giá f(x) thông qua hàm tuyến tính Đây là ý tưởng của phương pháp tiếp tuyến

4

3 ,

10

9 1

1

+

+ +

+

z y

y x

x

2 a) (Baltic Way) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c > 0

3

2 2

3

2 2

3

2 2

a ca c

c c

bc b

b b

ab

a

+ +

+ + +

+ + +

b) Chứng minh rằng nếu a1, a2, , an là các số thực dương thì ta có

=

=

− + +

−

+ + +

n

i

n

i i n

i i

n i

n

i

n i

n

a a

a a a

a

1

1 1 1 1

2

(ở đây an+1 = a1)

3 (Nhật Bản 1997) Chứng minh rằng với a, b, c > 0 ta có bất đẳng thức

4 (Mỹ 2003) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

8 ) ( 2

) 2

( ) ( 2

) 2

( ) ( 2

) 2

(

2 2

2 2

2

2 2

2

2

≤ + +

+ + + + +

+ + + + +

+ +

b a c

b a c a

c b

a c b c

b a

c b a

5 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c >0 Chứng minh rằng