PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC I.. PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN 1... PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH-TOÀN ÁNH-SONG ÁNH CỦA HÀM SỐ... Chứng minh rằng f là một

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ

VĂN PHÚ QUỐC

I PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN

1 Tồn tại hay không hàm f : sao cho với mọi ,x y   ta có:

    ,  min  , 

f xy max f x y  f y x ?

2 (Australia 1992) Tìm tất cả các hàm số : 2

3

\

f   

 

  thỏa mãn:

x

x



2 3

\

 

3 (VMO 2000 , bảng B) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn điều kiện:

x f x  f x  xx   x

4 Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn các điều kiện:

 

2







5 (Belarus 1995) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn

f f xy  f xy  f x f y xy x y 

6 (VMO 2005) Xác định tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện:

f f xy  f x f y  f x  f y xy x y 

7 (Australia 1995) Tìm tất cả các hàm f :  thỏa mãn các điều kiện sau:

 1 1

2

f  ; f xy  f x f  3 f y f  3 , x y,



 

 



8 (CAMO 2000) Tìm tất cả các hàm f xác định trên  thỏa mãn:

f xy x  yf x  f y x y 

9 (USAMO) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện:

f x y xf x yf y , x y,  

10 (Shortlist IMO 1979) Cho hàm số f : thỏa mãn điều kiện:

f xy x y  f xy  f x  f y x y 

Chứng minh: f x y f x  f y , x y,  

11 Tìm tất cả các hàm f : sao cho với mọi , ,m n k   ta đều có:

        1

f km  f kn  f k f mn 

12 Có hay không một hàm số f :    thỏa mãn:

f x y  x  y  ,x y,  

13 (VMO 2002 B) Tìm tất cả các hàm f x xác định trên    và thỏa mãn điều kiện:

 

f y f x  f x y  yf x x y  

14 (Mathematical and Youth 9/361) Tìm tất cả các hàm số f :   thỏa mãn điều kiện

 3  2 3 2  2    , ,

f x y  y f x y  f y  f x x y 

15 (AMM) Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn điều kiện: f 2 2 và

f x f y

x y







16 (Korea 2003) Tìm tất cả các hàm f :  thỏa mãn

 

f x f y  f x xf y f f y x y 

II PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

1 Tìm tất cả các hàm số f :  



  thỏa: f x 1 f x 1 ;  2 2 

f x  f x , x 

  

2 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện:

    2   2   ,

f xy  f xy  f x  f y x y 

3 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn: f x y f x  f y 2xy x y,  

4 (BMO 1979) Tìm tất cả các hàm f : thỏa: f x  f y   f x f y   , x y,   Chứng minh f là hàm hằng

5 (TST 2005) Tìm tất cả các hàm f : thỏa:  3 3 3 3  3  3 

f x y z  f x  f y  f z

6 (China 1996) Cho hàm số f : thỏa mãn điều kiện:

 3 3   2      2 

, ,

f x y  xy f x  f x f y  f y x y 

Chứng minh rằng f 1996x1996f x ,   x

III PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH-TOÀN ÁNH-SONG ÁNH CỦA HÀM SỐ

1 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn các điều kiện:

 

  2;   1 1 4;  0 1

f f n  n f f n   n f    n

3 Tồn tại hay không hàm f : thỏa mãn điều kiện: f x  f y   f x  y x y,   ?

4 Cho f :* thỏa mãn các điều kiện: *  2      *

,

f m f n mnf m m n 

Chứng minh rằng nếu   2

2003

f a thì a là số nguyên tố

5 ( Việt Nam TST 1988) Xác định hàm số f : thỏa mãn điều kiện:

   

f f n  f m  n m n m 

6 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn các điều kiện:

(i) f f n   f n  (ii) f f m  f n   f m n (iii) f nhận vô số giá trị

7 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện:  3    3 

,

f x  f y  y f x x y 

8 Chứng minh rằng tồn tại vô số các hàm số f : * * thỏa mãn các điều kiện:

(i) f f n   n *

n

   (ii) f n n *

n

  

9 (Irish 2002) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện: f x  f y   f x  , y

,

x y

  

10 Chứng minh rằng không tồn tại song ánh f :*  thỏa mãn điều kiện:

f mn  f m  f n  f m f n m n 

11 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện: f f n  2f n 3n8 ,   n

12 (Balkan 1997) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện:

   

, ,

f xf x  f y  f x y x y 

13 ( Việt Nam TST 2002) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn:

 

f f x y  x f f y x x y 

14 (IMO 1992) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn điều kiện:

 

, ,

f x  f y  f x y x y 

15 ( Việt Nam TST 2004) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho tồn tại duy nhất một hàm

:

f  thỏa mãn điều kiện:  2    2 

f x y f y  f x ay , x y,  

16 ( Đề nghị IMO 2002) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn:

 

f f x y  x f f y x , x y,  

17 (Indonesia TST 2010) Xác định tất cả các số thực a sao cho có một hàm số

thỏa mãn:x f y a f y   f x  , với mọi x y   ,

18 (MEMO 2009) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn đẳng thức:

 

f xf y  f f x  f y  yf x  f x f y , với mọi x y   ,

18 (Journal of Mathematical and youth 5/ 2011) Tìm tất cả các hàm số f xác định trên

tập , lấy giá trị trong  và thỏa mãn phương trình:

 

f xy f y  f f x  y, với mọi x y   ,

19 (Iran TST 2011) Tìm tất cả các song ánh f : sao cho:

   

f x f x  f y  f x  f y ,với mọi x y   ,

20.(Journal of Mathematical and youth 01/2011).Với mỗi n   , kí hiệu * a là số tất cả n

các song ánh f : 1, 2, 3, , n1, 2, 3, ,n thỏa mãn điều kiện với mọi k1, 2, 3, ,n thì

 

f f k k Chứng minh:

a) a là số chẵn với mọi n n 2 ; b) Với mọi n 10 và n thì 3 a n a n9 3

21 Xét tất cả các hàm đơn ánh f : thỏa mãn điều kiện: f x  f x  2x

,

với mọi x   Chứng minh rằng hàm số f x x là một song ánh.(19)

22 Xét tất cả các hàm f g h, , : sao cho f là đơn ánh và h là song ánh thỏa mãn điều kiện f g x   h x , với mọi x  .Chứng minh rằng g x  là một hàm song ánh

23 Xét tất cả các hàm f :   0  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(i) f x y f x  f y , với mọi x y,     0

(ii) Số phần tử của tập hợp x f x 0, x    0  là hữu hạn

Chứng minh rằng f là một hàm đơn ánh

IV PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Tìm tất cả các hàm đơn điệu f : thỏa mãn f x  f y   f x y, x y,  

2 (Journal of Mathematical and youth T8/295) Tìm tất cả các hàm số f : 1;   1; thỏa mãn: f xf y    yf x , x y, 1; 

3 (Greece 1997) Giả sử f : 0;    thỏa mãn ba điều kiện:

(i) f tăng nghiêm ngặt (ii) f x  1, x 0

x

    (iii) f x f  f x  1 1, x 0

x

Tính f  1

4 Hãy tìm các hàm tăng thực sự f : thỏa mãn f xf y    yf  2x , x y,  

5 (IMO 2002) Tìm tất cả các hàm f : thỏa:

   

f x  f z  f y  f t   f xy zt f xt yz

6 (Bulgaria 1996) Tìm tất cả các hàm tăng thực sự f :  thỏa mãn: 

 

2

,

x

f x





7 (Iran 1997) Cho hàm số f : là hàm giảm thỏa mãn:

                 

f xy  f f x  f y  f f x f y  f y f x ,   x

Chứng minh rằng: ff x  x,    x

V PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1 Tìm tất cả các hàm f x  xác định trên  sao cho:

a) f 2012x f x ,  x ; f x  liên tục tại 0

1

x

x



   ; f x  liên tục tại 0

2 Tìm tất cả các hàm f C  và thỏa mãn điều kiện:

 4  9 2  6

f x  f x  f x ,   x

3 Tìm tất cả các hàm f x  xác định trên , liên tục tại 1 và    2012

,

f x  f x    x

4 Tìm tất cả các hàm f C  và thỏa mãn điều kiện f x  f sinx,  x

5 Tìm f C  và thỏa điều kiện:     2012

,

x

f f x e    x

6 (Bulgaria 1997) Tìm f : liên tục và thỏa mãn:   2 1

, 4

f x  f x    x

7 (VMO 2001) Cho hàm số   2

2 1

x

g x

x



 Hãy tìm các hàm f x  xác định, liên tục trên khoảng

1;1 và thỏa mãn hệ thức  2      22    

1x f g x  1x f x ,x y,  1;1

8 Cho a   Tìm tất cả các hàm f x  xác định và liên tục trên  sao cho:

      , ,

f xy  f x  f y axy x y 

9 Tìm f C  thỏa mãn: f 1 1 ;  2 2    

, ,

f x y  f x  f y x y 

10 Tìm f C  sao cho  f xy  f x  f y , x y,   

11 Tìm tất cả các hàm f x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn điều kiện 

   , ,

x

y



 

 

 



12 Tìm tất cả các hàm f x  xác định, liên tục trên 1;1 và thỏa mãn điều kiện

f x  f y  f x y y x x y  

13 Tìm tất cả các hàm f x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn điều kiện:

   

, ,

f x f y

x y

f    x y

14 Tìm tất cả các hàm f x  xác định và liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện: 

     , ,

2

f x f y

f xy   x y  

15 Tìm hàm f x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn điều kiện: 

 

   

2

, ,





 

16 Tìm tất cả các hàm f x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn điều kiện: *

   



17 (KOMAL- A.286, Hungary 2002) Tìm tất cả các hàm liên tục f : thỏa mãn:

   

f x f y

x y



18 (Bulgaria 1998) Cho hàm số f x  xác định và liên tục trên 0;1 sao cho:

(i) f  0  f  1 0 (ii) 2     3 2 , ,  0 1;

3

x y

f x  f y  f    x y

19 (Romania 1997) Tìm tất cả các hàm liên tục f :0;1 sao cho:

2

f x y  f x y  f xy , x y,  

20 Tìm tất cả các hàm liên tục f : 0,1   thỏa   1 1 ,  0,1

f x  f   f     x

21 Tìm tất cả các hàm f : liên tục thỏa mãn:

f xy  f x  f y  x y xy x y 

22 Cho f là hàm xác định và liên tục trên 0;1 sao cho với mỗi x 0;1 tồn tại h với

0x  h x h1 và      

2

f x h f x h

f x     Tìm hàm số f

23 (VMO 2006, bảng B) Tìm tất cả các hàm f x  xác định, liên tục và nhận giá trị trong 

thỏa mãn điều kiện: f x y f y  z f z  x 8 0,x y z, ,  

24 Tìm tất cả các hàm f : liên tục tại x 0 và thỏa mãn nf nx  f x nx

( trong đó n 1 là số tự nhiên cố định nào đó)

VI PHƯƠNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM

1 (VMS 1999) Xác định hàm số f x  thỏa mãn điều kiện:

f xh  f xh h  x   h

2 Tìm f x D  thỏa     2

f x x f x x x   x

4 (VMS 2000) Tìm f D  thỏa: f x y f x  f y 2xy, x y,  

5 Tìm tất cả các hàm f x D  thỏa mãn điều kiện:      

    ,

1

f x f y



6 (VMS 2003) Tìm tất cả các hàm f xác định trên đoạn 0;1, khả vi trên khoảng 0;1 thỏa: (i) f  0  f  1 1 ; (ii) 2003f x 2004f x 2004  x 0;1

7 Tìm tất cả các hàm f : có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn:

3 2 3  

f x  f x   x

8 Tìm tất cả các hàm f xác định trên  thỏa mãn điều kiện:

    2 x 3, ,

9 Tìm f D  thỏa f x  f y   f y  f x  ,x y,  

10 Cho f : 0;    khả vi tại 1 và f xy  f  1  f x  f y  x y, 0

Chứng minh rằng: f x  khả vi và tìm f x 

11 Tìm tất cả các hàm f :1;1  khả vi và thỏa mãn:

x y

xy

  



12 Tìm tất cả các hàm f x  xác định và khả vi 3 lần trên  thỏa: f  0 0 , f  1  e 2 ,

  1

1

f  e và f x  f x 0   x

13 Tìm hàm khả vi f x  sao cho 2   3  

14 Giả sử   2 

,

f x C   với x h bất kỳ ta có đồng nhất thức: ,

2

h

f xh  f x hfx 

  Chứng minh rằng:   2

f x ax bxc

15 Cho a   Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn:

(i) f có đạo hàm trên  ; (ii)    

f x f y

x y





16 (VMS 1995) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) f xy f x  f y  x,y  (ii)  

0

x

f x x

17 Tìm tất cả các hàm f g, : 0;    thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) f có đạo hàm trên  (ii) f  x g x 

x

   ; g x  f x  x 0

x

18 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn:

(i) f có đạo hàm trên  (ii) f x y f x yy f xy fxy  x y,

19 Tìm tất cả các hàm f x ,g x C  thỏa mãn điều kiện:

        M y m 2, ,

f y  f x  f x yx  x  x y 

trong đó M m là hai số dương cho trước ,

20 Tìm f x C  thỏa mãn điều kiện: thỏa mãn điều kiện:

    2003    

f a  f d  f b  f c với bộ bốn số a b c d   theo thứ tự lập thành một cấp số , , , cộng

VII PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM SỐ

1 (IMO 1983) Tìm hàm số f : thỏa mãn hai điều kiện sau:

 

  và f xf y    yf x , x y,   

2 (IMO 1994) Giả sử S là tập hợp các số thực lớn hơn 1 Tìm tất cả các hàm f S: S

sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) f x  f y xf y   y f x yf x   x S

(ii) f x 

x là hàm tăng thực sự trên các khoảng 1;0 , 0;  

3 (IMO 1996) Tìm tất cả các hàm số f : sao cho

 

        ,

f m f n  f f m  f n m n 

4 (AMM, E984) Tìm tất cả các hàm f : sao cho     2

2,

f f x x     x

5 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn:

(i) f f x yxf y  f f x  f y  ,x y,   (ii) f có một điểm bất động

6 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn:       1

f y , ,

f xy  f x e  x y 

VIII BẤT ĐẲNG THỨC HÀM

1 Tìm hàm số f : thỏa mãn điều kiện:       2012x y, ,

2 (VMO 1994) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn:

       

, , ,

2 f xy 2 f xz  f x f yz 4 x y z 

3 (VMS 2004) Tìm tất cả các hàm số f x  xác định trên tập  và thỏa mãn các điều kiện: (i)   2004

,

x

x

f x  e    (ii) f xy f x f y   , x,y 

4 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn hai điều kiện:

(i) f x   x,   x (ii) f xyg x g y , x,y 

5 (Russia 2000) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện:

      3f x 2y 3 , , ,

f xy  f yz  f zx    z x y z 

6 (Eotvos - Kurschak 1979) Cho hàm số f : thỏa:

 

f x x và f xy f x  f  y ,x,y 

Chứng minh rằng: f x x,  x

7 (Crux 2003 - Canada) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện:

 3  3   

,

f x x       x

8 (Bulgaria 1997) Tìm hàm số f : 0;   0; thỏa mãn bất đẳng thức hàm:

2

f x y f f x

9 (Japan 2007) Tìm tất cả các hàm f : 



  thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

(i)      

2

f x  f y  f xy ; (ii)      

, ,

f x y

x y

x y

f x f y





10 Cho hàm số f :  thỏa mãn điều kiện: f x y f x  y x y,

x



Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:      

1

1

2

n

i

n n





IX PHƯƠNG PHÁP THÊM BIẾN

1 (Idia 2004) Tìm các hàm số f : thỏa mãn điều kiện:

      sin sin , ,

f xy  f x f y c x y x y , c là hằng số lớn hơn 1

2 ( Đề nghị IMO 2005) Tìm tất cả các hàm f : 0;   0; thỏa mãn điều kiện:

    2    , , 0

f x f y  f xyf x x y

3 (Đề nghị OLP 30/4/2009) Cho hàm số f liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện:

      sin sin , ,

f x f y  f xy  x y x y 

Chứng minh rằng:

2

1 f 2x 1 f 4x 1 f 6x 

4 (OLP 30/4/2011) Tìm tất cả các hàm f : 1;   1; thỏa mãn điều kiện:

 

   , , 1; 

f xf y  yf x x y 

5 (OLP 30/4/2004) Tìm tất cả các hàm liên tục f : thỏa:

 

f xf y  yf x x y 

X PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

1 Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện: f f n   f n 2n3 ,k    n

( k là số tự nhiên cho trước)

2 Tìm tất cả các hàm f : sao cho với mọi n   :

 

f f f n  f n  f f n  n

3 (Balkan 2002) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn với mọi n   sao cho:

 

f f n  f n  n hoặc ff n   f n 2n2012

4 Cho f : thỏa mãn điều kiện: f  0 1; f f x   x f x ,   x

Tìm mọi số nguyên n 1 sao cho f n 0 chia hết cho 20 Ở đây f n x  f f n1 x 

5 Tìm tất cả các hàm f : thỏa: 