Một số phép biến đổi độc đáo để giải phương trình

Một số phép biến đổi độc đáo để giải phương trình

Phương trình và hệ phương trình A.Vấn đề lý thuyết

I/Các phép biến đổi

-Cộng trừ nhân chia lỹ thừa

-Liên hợp

a b

+

a b

-Hằng đẳng thức

a + +b c = a b c a+ + +b + -c ab bc ca- - + abc

(a b c+ + ) =a + + +b c 3(a b b c c a+ )( + )( + )

2 (x a x b+ )( + )=x + +(a b x ab) +

II/Dạng chuẩn

-Phương trình bậc 2: ax2+bx c+ = 0

PP: Tính D = b2-4ac và sẽ có

2

b x

a

- ± D

= VD: x2+ -x 2y-3xy+2y2 = Û0 x2+ -(1 3 )y x+2y2-2y= Thấy 0 (1 3 )- y 2-4(2y2-2 ) (y = y+1)2

Từ đây ta có x=2 h y x= - y 1

-Phương trình đẳng cấp ax2+bxy cy+ 2= 0

PP: Chia cho y sẽ quay về bậc 2 với2 t x y= /

VD: x+2y= x2+2xy Hãy nhìn mà xem, VT và VP đều thuần bậc 1 => Bình phương có đẳng cấp bậc 2

-Hệ phương trình kiểu đối xứng II

PP: Trừ 2 phương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y)

VD

ï

í

ïî Lấy (2)=(1)*2 sẽ được nhân tử (x-y)

-Hệ đối xứng loại I

PP: Đặt S=x+y và P=xy ta sẽ quy bài toán về ẩn SP

Û

-Phương trình đối xứng

PP: Chứng minh x=y bằng đánh giá hoặc phân tích đa thức ra nhân tử

VD: a3+ =a b3+ Ûb (a b a- )( 2-ab b+ 2+ = Û = 1) 0 a b

( )

( ) ( )

a b tm

= é ê + = + Ûê > Þ + > +

ê < Þ + < + ë

III/Phương pháp chung

-Sử dụng các biến đổi

-Sử dụng ẩn phụ è Đưa về các dạng chuẩn hoặc phương trình tích, hệ dễ giải

-Sử dụng BĐT èTa đi chứng minhVT ³ ³a VP hoặc x m= là nghiệm duy nhất

IV/Khai thác và áp dụng các phương pháp trong giải toán

1 Biến đổi trong giải toán

a/ Bài toán đã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích)

VD1.x x( 2-6x+12)+ x+ £2 10

Dùng fx ta có x=2 Và để tạo ra nhân tử x-2 ta làm như sau

2 2

x

+ +

VD2 7x2+48x+7 7x+ -3 21 0=

Bấm máy đi cho x=0,1428571429 Đừng bao giờ nghĩ đây là nghiệm vô tỷ mà hãy bấm vào máy

0,142857142857142857 sẽ được con 1/7 Xong rồi còn gì

x

+ +

VD3 x2+ - =x 1 (x+2) x2-2x+ 2

Tiếp tục bấm bạn sẽ có nghiệm x1=3,828427125 haizz Đây thì quả thật là nghiệm vô tỷ rồi nhưng đừng vội bỏ cuộc, ở bước shift + stove lúc nãy bạn bấm số mấy ? nếu bấm số dương rồi thì giờ bấm số âm ta sẽ có nghiệm nữa x2=-1,828427125 Tiếp tục tính đi sẽ có x1x2=-7 và x1+x2=2 è Nhân tử x2-2x- 7

2

2

x

VD4 x3-2x2-3x- 6x- + = 3 9 0

x

- +

Bấm cái trong ngoặc kia giờ ra nghiệm nữa cũng x=2 Đến đâu có 3 hướng giải

x

· Liên hợp tiếp 2 6

x

x

- +

*** Một số kĩ năng trong biến đổi liên hợp

VD5 2x2-11x+21= 34x- 4

Đặt t=34x- (cho đỡ công vik thôi) 4

2

12

2

+ +

Hướng 1 biểu diển tiếp 1 2

2

x- = t + thì rồi cm pt bậc 5 vô nghiệm (hay lắm cứ làm đi các bạn) Hướng 2 sáng tạo hơn đi 3 2 5 1 2 12

2

> Þ - > >

+ + rồi tương tự ……

VD6 3x4-4x3= -1 (1+x2 3)

Nhìn con vế phải mà liên hợp ngay thì …

Chẳng dại gì mà ta không liên hợp cụm khác cho dễ cho bậc thấp xuống

2

x

( )

2

2

2

3

b/Dùng hệ số bất định để “mò” nghiệm

VD1.x4-3x3+6x2-5x+ = 3 0

Có x4-3x3+6x2-5x+ =3 (x2+ax b x+ )( 2+cx d+ )=x4+ +(a c x) 3+(ac b d x+ + ) 2+(ad bc x bd+ ) +

Đồng nhất hệ số có

3 6 5 3

a c

ac b d

ad dc bd

+ = -æ

ç

è

Ta được

1 1 2 3

a b c d

= -æ

ç = ç

ç =

-ç = è

Sẽ phân tích thành (x2- + )(x 1 x2-2x+ )=0 3

VD2.x2+ - =x 1 (x+2) x2-2x+ 2

Thay cho việc bấm máy như trên ta vẫn có cách giải thích hợp lý và toán học hơn cho nhân tử x2-2x- 7

.

Ta chọn m,n sao cho:

è m=0 và n=3

c/Các phép biến đổi thông thường

VD1 x2+3x+ +2 x2+4x+ =2 x2+5x+ 4

Dễ lắm rồi nhưng nhớ cho tôi cần xét các khoảng x³ - và 1 x£ - 4

VD2 4x2- +1 x= 2x2- +x 2x+ 1

(2x-1)(2x+ +1) x= x x(2 - +1) 2x+ Û1 2x+1 2x- - +1 1 x 1- 2x- = Þ 1 0

VD3 a/3 3 x2 - x + 2001 -3 3 x2 - 7 x + 2002 -3 6 x - 2003 =3 2002

b/

Xem HĐT

a3+ +b3 c3=(a b c a+ + )( 2+b2+ -c2 ab bc ca- - ) 3+ abc và (a b c+ + )3=a3+ + +b3 c3 3(a b b c c a+ )( + )( + ) d/Đưa về luỹ thừa cùng bậc

Ghi nhớ thật rõ 2 HĐT đơn giản (a b+ )2=a2+b2+2ab và (a b+ )3 =a3+ +b3 3a b2 +3ab2

VD1

a/x3+18x2+108x+2009 0= Û(x+6)3=1793

5x +12x +48x+64 0= Û(x+4) = - 4x

VD2 x4 =2x2+8x+ 3

x = x + x+ Ûx +mx + = m+ x + x+ + Để có dạng chính phương cần

2

4

m

è ø .Máy tính có m=2 Vậy thì

(x +1) =(2x+2)

Bằng kĩ thuật tương tự ta có thể giải pt 2 2 ( )2

4x -15x-100 48 3= x+ Û5 (2x+3) = 3 3x+ +5 8