Bài giảng Đại số tuyến tính Không gian vecto

Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con VIII.Bài toán đổi cơ sở... Cơ sở và số chiều của không gian vectoGiải: Cách 2: B1: Kiểm tra điều kiện dim ? = Số vecto trong h

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

§8: KHÔNG GIAN VECTO

Pham Thanh Tung-3I-SEE-K64

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bài giảng Đại số tuyến tính, thầy Bùi Xuân Diệu

[2] “Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Trần Xuân Hiển

[3] “Bài tập Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Trần Xuân

Hiển

[4] Sách “Giúp ôn tập tốt Toán Cao Cấp: Đại số tuyến tính”, thầy Tống

Đình Quỳ, thầy Nguyễn Cảnh Lương

[5] “Phương pháp giải bài tập toán cao cấp”, tập 1, Bài tập Đại số, thầy

Nguyễn Cảnh Lương, thầy Nguyễn Văn Nghị

[6] “Bài tập Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), TạVăn Đinh, Nguyễn Hồ Quỳnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[7] Bộ đề thi môn Đại số tuyến tính các năm Trường ĐH Bách Khoa HN.[8] Đề cương môn Đại số tuyến tính Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

KỸ NĂNG CẦN NẮM VỮNG

KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

I Không gian vecto

II Không gian vecto con

III Hệ sinh của một không gian vecto

IV Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

VI Tọa độ

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VIII.Bài toán đổi cơ sở

I Không gian vecto:

Định nghĩa: Tập hợp 𝑉 ≠ ∅ được gọi là một không gian vecto nếu nó

được quy định hai phép toán cộng vecto và nhân vô hướng thỏa mãn cácđiều kiện sau:

I Không gian vecto:

Bài tập 1: Tập 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} với các phép toán kèm theo có là

Bài tập 1:

Giải

➢Phép nhân vô hướng

Tập 𝑉 cùng các phép toán đã cho không tạo thành KGVT

I Không gian vecto:

➢ Một số không gian vecto thường gặp:

Bài tập 1: Chứng minh tập hợp 𝐺 = 𝑎 𝑏

trận và nhân ma trận với một số thực là một không gian vecto con của

Bài tập 2: Cho tập hợp 𝐻 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 ቐ

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0

𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 04𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0

III Hệ sinh của một không gian vecto:

các vecto thuộc 𝑉 Nếu mọi vecto 𝑢 ∈ 𝑉 đều có thể biểu diễn được dưới

Dạng bài tập 1 (Bài toán xuôi): Kiểm tra hệ sinh của một KGVT.

➢ Bài toán: Cho 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 với 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉

→ Kiểm tra xem 𝑆 có là hệ sinh của KGVT 𝑉 hay không?

Bài tập 1: Xét xem hệ 𝑆 = 𝑣1 = 2,3, −1 , 𝑣2 = 3, −1,5 , 𝑣3 = −1,3, −4

III Hệ sinh của một không gian vecto:

Bài tập 1: Xét xem hệ 𝑆 = 𝑣1 = 2,3, −1 , 𝑣2 = 3, −1,5 , 𝑣3 = −1,3, −4

III Hệ sinh của một không gian vecto:

= −9 ≠ 0 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất (Cramer)

Bài tập 2: Hỏi 𝑆 = 𝑢1 = −1 + 2𝑥 + 𝑥2; 𝑢2 = −3 + 3𝑥 + 𝑥2; 𝑢3 = −2 + 2𝑥

III Hệ sinh của một không gian vecto:

Bài tập 2: Hỏi 𝑆 = 𝑢1 = −1 + 2𝑥 + 𝑥2; 𝑢2 = −3 + 3𝑥 + 𝑥2; 𝑢3 = −2 + 2𝑥

III Hệ sinh của một không gian vecto:

⇒ 𝐴 = −2 ≠ 0 ⇒ Hệ ∗ có nghiệm duy nhất

III Hệ sinh của một không gian vecto:

Dạng bài tập 2 (Bài toán ngược): Tìm điều kiện để 𝑣 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛

➢ Bài toán: Cho 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 với 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 và 𝑣 = 𝑣 𝑚 ∈ 𝑉

Bài tập 1: Trong 𝑅4 cho các vecto 𝑣1 = 1,1, −2,3 , 𝑣2 = 2,3,1,1 ,

Bài tập 1: Trong 𝑅4 cho các vecto 𝑣1 = 1,1, −2,3 , 𝑣2 = 2,3,1,1 ,

11

01

15

−1𝑚

→ ⋯ →

00

00

10

14

−1

𝑚 − 3

Bài tập 2: Trong 𝑃2 𝑥 cho các vecto 𝑣1 = 2 + 3𝑥 + 5𝑥2, 𝑣2 = 3 + 7𝑥 + 8𝑥2,

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

Dạng bài tập 2: Kiểm tra sự độc lập tuyến tính của một hệ vecto

➢ Bài toán: Cho hệ vecto 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛

→ Hệ 𝑆 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Hệ ∗ có nghiệm tầm thường ⇒ 𝑆 độc lập tuyến tính

Hệ ∗ có nghiệm không tầm thường ⇒ 𝑆 phụ thuộc tuyến tính

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

∗

= 0 ⇒ Hệ có nghiệm không tầm thường

Bài tập 1: Trong R3, hệ 𝑣1 = 1, −3,2 , 𝑣2 = 3, −4,1 , 𝑣3 = 2, −5,3 có

độc lập tuyến tính hay không?

Giải:

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

Cách 2: Biện luận theo Gauss

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

𝐴 =

= 0 ⇒ Hệ có nghiệm không tầm thường

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

Dạng bài tập 4: Tìm điều kiện để hệ vecto độc lập/phụ thuộc tuyến tính

→ Tìm điều kiện của tham số 𝑚 để 𝑆 độc lập/phụ thuộc tuyến tính

Hệ 𝑆 độc lập tuyến tính → Tìm 𝑚 để ∗ có nghiệm tầm thường

Hệ 𝑆 phụ thuộc tuyến tính → Tìm 𝑚 để ∗ có nghiệm không tầm thường

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

∗

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

11

01

−1𝑚

→

00

IV Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

1 Cơ sở của một không gian vecto:

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

Ví dụ: Xét xem hệ {𝑣1 = 1, 𝑣2 = −1 + 𝑥, 𝑣3 = 1 + 2𝑥 + 𝑥2} có phải cơ sở

Ví dụ: Xét xem hệ {𝑣1 = 1, 𝑣2 = −1 + 𝑥, 𝑣3 = 1 + 2𝑥 + 𝑥2} có phải cơ sở

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

2 Số chiều của một không gian vecto:

bất kì của nó

sở của 𝑉 khi 𝑆 độc lập tuyến tính

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

Giải:

𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 02𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 0

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

Giải: Cách 2:

B1: Kiểm tra điều kiện dim 𝑉 = Số vecto trong hệ 𝑆.

B2: Lâp 𝐴 là ma trận tọa độ theo hàng của các vecto có trong hệ 𝑆.

• 𝑟 𝐴 = Số vecto trong 𝑆 ⇒ 𝑆 độc lập tuyến tính ⇒ 𝑆 là cơ sở của KGVT 𝑉

• 𝑟 𝐴 ≠ Số vecto trong 𝑆 ⇒ 𝑆 phụ thuộc tuyến tính

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

Giải: Cách 2:

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

Dạng bài tập 5: Kiểm tra một cơ sở của KGVT 𝑉

➢ Bài toán: Cho KGVT 𝑉 và hệ 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 với 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉

→ Kiểm tra S có phải là một cơ sở của V hay không?

B1: Kiểm tra điều kiện dim 𝑉 = Số vecto trong hệ 𝑆.

B2: Lâp 𝐴 là ma trận tọa độ theo hàng của các vecto có trong hệ 𝑆.

𝑟 𝐴 = Số vecto trong 𝑆 ⇒ 𝑆 độc lập tuyến tính ⇒ 𝑆 là cơ sở của KGVT 𝑉

𝑟 𝐴 ≠ Số vecto trong 𝑆 ⇒ 𝑆 phụ thuộc tuyến tính ⇒ 𝑆 không là cơ sở của 𝑉

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

Giải:

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

Dạng bài tập 6: Tìm điều kiện để hệ 𝑆 là một cơ sở của KGVT 𝑉

→ Tìm điều kiên của 𝑚 để hệ 𝑆 là một cơ sở của KGVT 𝑉

B1: Kiểm tra điều kiện dim 𝑉 = Số vecto trong hệ 𝑆 Nếu thỏa mãn sang B2 B2: Lâp 𝐴 là ma trận tọa độ theo hàng của các vecto có trong hệ 𝑆.

• 𝑆 là cơ sở của KGVT 𝑉 → Tìm 𝑚 để 𝑟 𝐴 = Số vecto trong 𝑆

• 𝑆 không là cơ sở của KGVT 𝑉 → Tìm 𝑚 để 𝑟 𝐴 ≠ Số vecto trong 𝑆

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

2 4

1 𝑚

→

0 0

2 5

2 4

3 5

2 4

0 0

−1 0

−3

𝑚 − 1

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

Dạng bài tập 7: Tìm hạng của một hệ vecto

➢ Bài toán: Cho hệ vecto 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … , 𝑣𝑛

→ Tìm hạng của hệ vecto 𝑆 (Ký hiệu 𝑟 𝑆 )?

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

V Cơ sở và số chiều của không gian vecto

−11

Giải:

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

1 Dạng 1: KGVT con 𝑉 sinh ra bởi hệ vecto 𝑆

2 Dạng 2: KGVT con 𝑉1 + 𝑉2

3 Dạng 3: KGVT con 𝑉1 ∩ 𝑉2

4 Dạng 4: Không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

1 Dạng 1: Tìm số chiều và cơ sở của KGVT con 𝑽 sinh ra bởi hệ vecto 𝑺

của 𝑉 là hệ gồm các vecto được rút ra từ các dòng khác 0 của 𝐴

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

Bài tập 1: Tìm cơ sở và số chiều của KGVT con sinh bởi hệ vecto sau:

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

Bài tập 2: Tìm cơ sở và số chiều của KGVT sinh bởi hệ vecto sau:

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

Bài tập 3: Tìm cơ sở và số chiều của KGVT con sinh bởi hệ vecto

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

24

12

→ ⋯ →

00

00

−10

−31dim 𝑉 = 𝑟 𝐴 = 4

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

−1

1 2 2

1 1 0

→

1 −1 1 0 0

0 0

1 2 1

1 1 0

1 1 0

→

1 −1 1 00

0 0

1 0 0

0 0

1 0 0

1

−1 0

1

−1 0

Bài tập 2: (Cuối kỳ 20201) Trong 𝑅4 cho các vecto

không gian con 𝑈 + 𝑉

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

Bài tập 1: Trong 𝑃3[𝑥] cho các vecto 𝑣1 = 1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑣2 = 2 + 𝑥 − 𝑥2,

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

−1

−1

10

→

00

−3

−2

00

32

→

00

00

−60

−60

Đặt 𝑑 = 𝑡 ⇒ ൞

𝑎 = −𝑡

𝑏 = 𝑡

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

4 Dạng 4: Tìm số chiều và cơ sở của không gian nghiệm hệ phương trình

trình thuần nhất:

ma trận hệ số khi đó 𝑆 chính là một không gian vecto con của không

dim 𝑆 = số ẩn − 𝑟 𝐴

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

Bài tập 1: Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ sau

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

Bài tập 2:

Giải:

VII Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con

Bài tập 3 (Cuối kỳ 20201): Ký hiệu 𝑄 là tập nghiệm của hệ phương trình

VIII Bài toán đổi cơ sở:

có mối quan hệ nào không?

VIII Bài toán đổi cơ sở:

VIII Bài toán đổi cơ sở:

sở từ 𝐸 sang 𝑆 và ma trận chuyển cơ sở từ 𝑆 sang 𝐸

VIII Bài toán đổi cơ sở:

VIII Bài toán đổi cơ sở:

VIII Bài toán đổi cơ sở:

VIII Bài toán đổi cơ sở:

VIII Bài toán đổi cơ sở:

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

THANK YOU !