Chẳng hạn, nếu hình vuông có độ dài cạnh là một đơn vị thì đường chéo của nó không thể biểu diễn bằng số hữu tỷ.. Khi A có một chặn trên, ta nói A bị chặn trên và khi đó, phần tử nhỏ nhấ
Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC
Tiên đề về sup, inf
Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng của R, và oc E R.
• ŨC là phần tử nhỏ nhất của A nếu ŨC G A và oc < X với mọi X G A Phần tử nhỏ nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là min A.
Trong lý thuyết tập hợp, một chặn trên của tập A là một số OC lớn nhất của A, nghĩa là OC lớn hơn mọi phần tử X trong A Khi tập A có ít nhất một chặn trên, ta nói rằng A bị chặn trên Phần tử nhỏ nhất của tập tất cả các chặn trên của A, nếu tồn tại, chính là chặn trên nhỏ nhất của A, được ký hiệu là sup A Chặn trên giúp xác định giới hạn trên của tập A, là khái niệm quan trọng trong phân tích toán học và lý thuyết tập hợp.
• a là phần tử lớn nhất của A nếu a E A và ŨC > X với mọi X E A Phần tử lớn nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là max A.
Trong tập hợp A, một phần tử ŨL được gọi là chặn dưới của A nếu ŨL < X đối với mọi X thuộc A Khi A có ít nhất một chặn dưới, ta nói rằng A bị chặn dưới Phần tử lớn nhất của tập hợp tất cả các chặn dưới, nếu tồn tại, chính là chặn dưới lớn nhất của A và thường được ký hiệu là inf A, thể hiện giá trị lớn nhất mà không vượt quá mọi phần tử của A.
Ví dụ 1.2 Xét hai tập con của tập các số thực A = (0; 1] và B = (0; 4-oo) Ta có:
Trong tập hợp A, ta có một phần tử 1 sao cho 1 > X với mọi X thuộc A, điều này cho thấy 1 là chặn trên của A Ngoài ra, 1 còn là phần tử nhỏ nhất của tập c = [1, +∞), là phần tử nhỏ nhất của A Vì vậy, số supremum của A chính là 1, phản ánh rõ ràng tính chất chặn trên của tập hợp này trong toán học.
• Do 0 < X với mọi X G A, nên 0 là một chặn dưới của A, và do đó A bị chặn dưới Ngoài 0 là một chặn dưới, A còn có vô số các chặn dưới, là các phần tử của tập D — (—oo;0] Do 0 là phần tử lớn nhất của D nên inf A = 0.
Trong tập hợp A, điều kiện "Do 1 G A và 1 > X với mọi X G A nên max A = 1" cho thấy giá trị lớn nhất của A là 1 Giả sử m = min A, ta thấy rằng m phải thoả mãn 0 < m < X với mọi X thuộc A Tuy nhiên, khi chọn X = y G A, ta buộc phải có m < y, dẫn đến m < 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết m > 0 Do đó, tập hợp A không tồn tại giá trị nhỏ nhất, tức là min A không tồn tại.
• Dễ thấy B bị chặn dưới bởi 0, có inf B — 0, và không tồn tại min B; B không bị chặn trên, nên không tồn tại sup B, max B.
Với một tập con không rỗng bất kỳ A của R, min A, max A, sup A và inf A không luôn luôn tồn tại Tuy nhiên, ta chấp nhận tiên đề sau.
Tiên đề về sup: Mọi tập con không rỗng và bị chặn trên của R đều có chặn trên nhỏ nhất.
Nhận xét rằng tập — A = {—X : X e A}]A tập con không rỗng và bị chặn trên khi A là tập không rỗng và bị chặn dưới Hơn nữa, nếu sup(—A) tồn tại thì inf A tồn tại và inf A = — sup (—A), ta suy ra
Hệ quả về iní Mọi tập con không rỗng và bị chặn dưới của R đều có chặn dưới lớn nhất.
Trong tập các số thực, tập các số nguyên tự nhiên N được coi là tập con nhỏ nhất của R thỏa ba tính chất:
3 Mọi tập con khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất.
Trang 4 Chương 1 GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC
Tính chất Archimède
Định lý 1.1 Cho số thực b > 0 Ta có
\/a e R, 3 h g N,nb > a. Đặc biệt, với a = X e R, b = 1 vằ a — 1, b = € > 0, ta nhận được hệ quả thường dùng:
Tập số thực mở rộng
Ta gọi R = R u {—oo, +oo} là tập số thực mở rộng Các phép toán và quan hệ thứ tự trên R được mở rộng qua R như sau: Với X G R,
Trong toán học, khi xét phép nhân giữa các số thực không hạn chế và vô cực, ta có các biểu thức như (±00) X (±00) = +∞ và (±00) X (=F°°) Để hiểu rõ hơn về giới hạn này, cần mở rộng khái niệm khoảng cách giữa hai số thực, không chỉ dựa trên khoảng cách giữa hai số đó mà còn xem xét khoảng cách giữa các phần tử ±∞ hoặc giữa —∞ và +∞ Do đó, khái niệm lân cận được giới thiệu để mô tả các điểm gần nhau trong không gian vô cực này, giúp chúng ta hiểu rõ ý nghĩa của giới hạn và sự tiếp cận trong toán học vô cực.
• Với X G R khoảng (x — ỏ; X + ổ) với ỏ > 0 được gọi là ỏ lân cận của X.
• Các tập (ỗ; +oo) và (—oo; ỏ), với ỏ là một số thực, lần lượt được gọi là ỏ lân cận của +oo và — oo.
HÀM SỐ
Khái niệm hàm số
Hàm số được định nghĩa là một quy tắc ánh xạ từ một tập con D của tập R vào tập R, trong đó mỗi phần tử X thuộc D được ánh xạ duy nhất thành một phần tử f(x) trong R Đặc biệt, D là một tập con khác rỗng của R, đảm bảo rằng hàm số có ít nhất một phần tử trong miền xác định Đây là khái niệm cơ bản trong toán học, giúp mô tả mối quan hệ giữa các tập hợp và các phần tử của chúng.
Một hàm số như thế được kí hiệu là f ■ D —+ R,
• Tập D được gọi là miền xác định của hàm f.
• Với X E D,f(x) được gọi là giá trị của f tại X.
• Miền giá trị của hàm số f là tập hợp tất cả các giá trị /(%) khi X thay đổi trong D, được ký hiệu là Rf,
Chúng ta minh họa cho hàm số f bằng sơ đồ sau đây.
Hình 1.1: Hàm số f làm tương ứng X với f(x)
Khi hàm số f được định nghĩa, miền xác định của nó là tập hợp các giá trị thực X sao cho công thức của hàm có ý nghĩa Ví dụ, hàm số f(x) = y/3 - X có miền xác định D = {X ∈ R | X < 3} vì biểu thức 3 - X chỉ có nghĩa khi 3 - X > 0 Đồ thị của hàm số y = f(x) được hình thành bằng cách vẽ tất cả các điểm (x, y) thoả mãn x ∈ D và y = f(x) (Hình 1.2) Để lấy giá trị f(a), ta bắt đầu từ điểm X = a trên trục Ox, di chuyển theo phương thẳng đứng đến đồ thị, sau đó di chuyển theo phương ngang đến trục Oy, qua đó xác định được giá trị của hàm tại điểm đó.
Hình 1.2: Đồ thị của hàm y = /(x)
Một số tính chất đặc biệt của hàm số
Định nghĩa 1.3 (Tính đơn điệu) Cho hàm số /(x) xác định trên khoảng
Trang 6 Chương 1 GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC
• Hàm số /(%) được gọi là hàm tăng trờn (ô; b) (Hỡnh 1.3.a) nếu
• Hàm số /(%) được gọi là hàm giảm trờn (ô; b) (Hỡnh 1.3.b) nếu
Hình 1.3: (a) đồ thị hàm tăng; (b) đồ thị hàm giảm
• Hàm hoặc tăng hoặc giảm trờn (ô; b) được gọi chung là hàm đơn điệu trờn (ô; b).
• Hàm số f(x) được gọi là khụng giảm trờn (ô; b) (Hỡnh 1.4.a) nếu
• Hàm số f(x) được gọi là khụng tăng trờn (ô; b) (Hỡnh 1.4.b) nếu
Hình 1.4 trình bày đồ thị của hàm không giảm (a) và hàm không tăng (b) Định nghĩa 1.4 về tính chẵn và lẻ của hàm cho biết rằng nếu hàm /(%) có miền xác định D đối xứng qua gốc tọa độ O, nghĩa là với mọi X thuộc D thì -X cũng thuộc D Điều này giúp làm rõ đặc điểm của các hàm đối xứng qua gốc, hỗ trợ phân tích và trực quan hóa đồ thị hàm số một cách chính xác.
• Hàm số /(%) được gọi là hàm chẵn nếu
• Hàm /(%) được gọi là hàm lẻ nếu
Hàm số được gọi là hàm số tuần hoàn khi tồn tại một số dương T để đồ thị của hàm lặp lại sau mỗi khoảng T Cụ thể, trong Hình 1.5, (a) thể hiện đồ thị của hàm số chẵn có tính chất đối xứng trục, còn (b) biểu diễn đồ thị của hàm số lẻ với tính chất đối xứng điểm gốc Định nghĩa 1.5 mô tả rõ về đặc điểm của hàm số tuần hoàn, đó là tồn tại T > 0 sao cho giá trị của hàm tại x đều bằng giá trị của hàm tại x + T, thể hiện tính lặp lại theo chu kỳ.
Số dương T nhỏ nhất, nếu có, được gọi là chu kỳ tuần toàn của /(x).
Hình 1.6: Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kỳ T
Hàm số ngược
Định nghĩa 1.6 (Hàm 1 -1) Hàm số /(x) được gọi là hàm số tương ứng
1 — 1 nếu với mỗi y e Rf chỉ có duy nhất X e D sao cho y = /(x).
Trang 8 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Hàm số y = f(x) là hàm số một đối một (1-1) nếu và chỉ nếu đồ thị của nó không bị cắt bởi bất kỳ đường thẳng cùng phương với trục Ox nhiều hơn một điểm Điều này có nghĩa là, đối với mỗi giá trị y trong tập giá trị của hàm, tồn tại duy nhất một điểm x trong miền xác định sao cho f(x) = y, đảm bảo tính duy nhất của hàm nghịch Hàm nghịch của hàm y = f(x), ký hiệu là f⁻¹(y), được định nghĩa là hàm số ánh xạ mỗi y về duy nhất một x sao cho f(x) = y, giúp xác định rõ mối liên hệ ngược lại giữa các biến.
Hàm ngược của y = f(x) thường được ký hiệu là y = f^(-1)(x), trong đó điểm (x, y) thuộc đồ thị hàm số f(x), thì điểm (y, x) thuộc đồ thị hàm ngược f^(-1)(x) Đặc biệt, hai điểm (x, y) và (y, x) đối xứng qua đường phân giác thứ nhất của hệ tọa độ, do đó đồ thị của hàm ngược y = f^(-1)(x) phản chiếu đối với đồ thị của y = f(x) qua đường phân giác này Đây là đặc điểm quan trọng giúp nhận biết mối liên hệ hình học giữa hàm số và hàm ngược trong qua trình phân tích đồ thị hàm số.
Hình 1.8: Đồ thị của hàm y — f(x) vày = f 1 (x)
Hàm số hợp
Hàm số phản ánh mối quan hệ giữa hai hàm số là một định nghĩa quan trọng trong toán học Cụ thể, với hai hàm số \(f: D_f \to R_f\) và \(g: D_g \to R_g\), trong đó \(R_f\) là tập con của \(D_g\), mỗi phần tử \(x \in D_f\) được ánh xạ duy nhất đến một \(y \in R_f\) sao cho \(f(x)= y\) Tiếp theo, từ giá trị \(y\), ta có một duy nhất \(z \in R_g\) thỏa mãn \(g(y)=z\) Do đó, môi \(X \in D_f\) được ánh xạ đến đúng một giá trị \(z \in R_g\) bởi phép tính \(z = g(f(x))\) Điều này cho thấy hàm số \(h: D_f \to R_g\) được định nghĩa rõ ràng dựa trên sự cấu thành từ \(f\) và \(g\), thể hiện mối liên kết chặt chẽ giữa các tập xác định và giá trị của các hàm số này.
X I—> z = h(x) = g[/(x)], h đuợc gọi là hợp của f và g, đuợc ký hiệu g o f Vậy,
Trong thực hành, để có hàm hợp của f và g thì chỉ cần Rf n Dg ý- 0; và khi đó miền xác định của (g o f) (x) là các X trong Df sao cho f(x) E Dg.
Ví dụ 1.3 Cho hai hàm số f(x) = ỵ/x và g(x) = 1 — X Hãy tìm (g o f)(x), ơ ° £) (x)/ (/ ° /) (x) và (g ° 8) w cùng với miền xác định của chúng.
Giải Hai hàm số đã cho có miền xác định lần lượt là Df = [0;+oo) và
Dg = (—oo; +oo) Công thức của các hàm hợp cần tìm và miền xác định của chúng được tìm thấy như sau:
Công thức Miền xác đinh
Hàm số sơ cấp cơ bản
Các hàm số sau đây được gọi là hàm so cấp co bản:
Miền xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào X Cụ thể:
• Nếu X E N thì miền xác định của hàm số là R.
• Nếu X là số nguyên âm thì miền xác định của hàm số là R \ {0}.
Trang 10 Chương 1 GIỚI HẠNVÀ LIÊN TỤC
* p > 0 thì miền xác định là R;
* p < 0 thì miền xác định là R \ {0}.
* p > 0, chẵn, thì miền xác định là R;
* p > 0, lẻ, thì miền xác định là R+.
* p < 0, chẵn, thì miền xác định là R \ {0};
* p < 0, lẻ, thì miền xác định là R+ \ {0}.
• Nếu ŨC là số vô tỷ thì ta quy ước chỉ xét hàm y = xa trên [0; 4-00) nếu oc > 0, và trong (0; 4-00) nếu oc < 0.
Số a được gọi là cơ số của hàm số mũ Hàm y = ax có miền xác định là R, tăng khi a > 1, và giảm khi a < 1 Đồ thị hàm y = ax như hình 1.9.
Hình 1.9: Đồ thị của hàm y = ax
Hàm logarit y = logₐx là hàm nghịch đảo của hàm y = ax, với a được gọi là cơ số của hàm số Hàm số logarit có miền xác định là (0, +∞), tăng khi a > 1 và giảm khi a < 1 Đồ thị của hàm y = logₐx thể hiện đặc điểm này và được minh họa trong hình 1.10, giúp người học dễ hình dung về mối quan hệ biến thiên của hàm logarit theo giá trị của cơ số a.
Hình 1.10: Đồ thị của hàm y = loga X
Hình 1.11: Đồ thị các hàm lượng giác
Các hàm lượng giác y — sin X, cos X, tan X, cot X được định nghĩa như sau (Hình 1.11): cosx = OM; sin X = ON; tan X = AP; cot X = BQ.
Hàm y = sinx có miền xác định là R và miền giá trị là [—1; 1] Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2 tĩ đồ thị của hàm y = sinx trên
2 Hàm y = cos X có miền xác định là R và miền giá trị là [—1; 1] Đó là một hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2 tĩ Đồ thị của hàm y = cos X trên [—71; 7 ĩ ] được cho bởi hình 1.12.Ồ.
3 Hàm y = tan X xác định tại mọi X Ạ (2k + 1) ặ, k e z, và miền giá trị là
R Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 7Ĩ Đồ thị của hàm y = tan X trên (—ặ; ặ) được cho bởi hình 1.13.a.
4 Hàm y = cot X xác định tại mọi X Ạ kn, k G z, và miền giá trị là R Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 7ĩ Đồ thị của hàm y = cot X trên (0; 7ĩ) được cho bởi hình 1.13.b.
Trang 12 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Hình 1.13: (a) đồ thị hàm tan x; (b) đồ thị hàm cot X
■ Các hàm lượng giác ngược
1 Hàm arcsin Hàm số sin : R —> [—1; 1] không là hàm 1-1 nhưng khi ta hạn chế miền xác định thành [—Ị] thì sin : [—ặ; ặ] —> [—1; 1] là hàm 1-1 Khi đó, tồn tại hàm số ngược của hàm sin, ký hiệu arcsin, arcsin : [—1; 1] —> 71 711
Tính chất: Với mọi X e [—1; 1] ta có
(b) arcsin(—x) = — arcsinx Đồ thị: Hàm y — arcsin X có đồ thị như hình 1.14.a.
Hình 1.14: (a) đồ thị hàm arcsin x; (b) đồ thị hàm arccos X
2 Hàm arccos Tương tự, hàm số cos : có hàm ngược, ký hiệu là arccos,
Tính chất: Với mọi X E [—1; 1] ta có
(c) arcsin X + arccos X = y. Đồ thị: Hàm y = arccos X có đồ thị như hình 1.14.b.
3 Hàm arctan Hàm số tan : (—f;f) —> (—00; 00) là hàm ngược, ký hiệu là arctan, arctan : (-00; 00) -> i-y; y
Tính chất: Với mọi X E R ta có
(b) arctan(—x) = — arctanx. Đồ thị: Hàm y = arctan X có đồ thị như hình 1.15.a. y = tan X V = arccot X y71 y y — arctan X X
Hình 1.15: (a) đồ thị hàm arctan x; (b) đồ thị hàm arccot X
Trang 14 Chương 1 Gĩớĩ HẠN VÀ LĨẼN TỤC
4 Hàm arccot Hàm số cot : (0; 7ĩ) —> (—00; 00) là hàm 1-1 nên có hàm ngược, ký hiệu là arccot, arccot: (—00;00) —> (0;7ĩ).
Tính chất: Với mọi X E R ta có
(c) arctan X + arccot X = Ị. Đồ thị: Hàm y = arccot X có đồ thị như hình 1.15.Ồ.
Hàm số sơ cấp
Định nghĩa 1.9 Cho hai hàm f,g có miền xác định lần lượt là Df và Dg ta định nghĩa các hàm tổng, hiệu, tích và thương như sau:
• Tổng của f và g, ký hiệu là f + g, là hàm số xác định trên miền mà cả f và g cùng xác định, Df n Dg — D, và
• Hiệu của f và g, ký hiệu là f — g, là hàm số xác định trên miền mà cả f và g cùng xác định, Df n Dg = D, và
• Tích của f và g, ký hiệu là f.g, là hàm số xác định trên miền mà cả f và g cùng xác định, Df n Dg = D, và
• Thương của f và g, ký hiệu là là hàm số xác định trên miền mà cả f và g cùng xác định, đồng thời g(x) phải khác không, và
Ví dụ 1.4 Hai hàm số
Hàm số đó có dạng (x) = Vx và g(x) — y/1 — X, với miền xác định lần lượt là Df = [0; 4-∞) và Dg = (−∞; 1] Phần chung của hai miền xác định này là Df ∩ Dg = [0; 1], tạo điều kiện cho các phép toán liên quan đến hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số này Bảng tổng hợp sau trình bày các công thức cùng với miền xác định của các hàm này, cung cấp nền tảng hữu ích cho việc phân tích và tính toán trong môn toán học.
Hàm số sơ cấp là các hàm được tạo ra từ các hàm cơ bản ban đầu thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và hợp nối các hàm số Hàm cộng, hàm trừ, hàm nhân, hàm chia và hợp nối này giúp xây dựng các hàm phức tạp hơn từ các hàm sơ cấp ban đầu Các phép toán này là các công cụ cơ bản để xác định các hàm số mới từ các hàm đã biết, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và nghiên cứu các hàm số trong toán học.
Ví dụ 1.5 Ham so ỷ (x) = - ——— - là một hàm sô
DÃY SỐ
Dãy số hội tụ
Dãy số \((x_n)\) được gọi là hội tụ đến số thực \(X\) nếu, với mọi số \(e > 0\), tồn tại một số tự nhiên \(N\) sao cho tất cả các số \(n > N\), khoảng cách giữa \(x_n\) và \(X\) nhỏ hơn \(e\) Điều này có nghĩa là \(X\) là giới hạn của dãy số \((x_n)\), và ta viết \(x_n \to X\) khi \(n \to \infty\).
X = lim xn hay xn —> X, khi n —> +oo n—>+oo Định nghĩa 1.13 được viết dưới dạng ký hiệu là:
X = lim xn Ve > 0,3no G N,\fn > no, \xn — x| < e (1.1) n—>+oo
Ví dụ 1.8 Xét dãy số (xn), với xn — c Với mọi e > 0, ta có
|x„ — c| = |c — c| = 0 < e, đúng với mọi n 6 N Vậy, lim c - c n^+co
Ví dụ 1.9 Xét dãy (ỉ) Theo tính chất Archimède ta có
■ n—>+oo n Định lý 1.2 Nếu dãy (xn) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Định lý 1.3 Nếu dãy (xn) hội tụ thì nó bị chặn.
Hệ quả 1.2 Nếu (x„) không bị chặn thì nó không hội tụ.
Ví dụ 1.10 cho thấy rằng dãy (n2) là dãy không bị chặn do không bị chặn trên, do đó không hội tụ Theo Định lý 1.4 về các quy tắc tính giới hạn, nếu giới hạn của hai dãy lần lượt là \( \lim_{n \to +\infty} x_n = x \) và \( \lim_{n \to +\infty} y_n = y \), thì giới hạn của tổng hai dãy bằng tổng giới hạn của chúng, giúp xác định tính hội tụ của các dãy số một cách chính xác.
1 lim xxn = XX, X e R rw+oo
4 Khi 1/ Ovàyn ± 0 với mọi n lim —- = -.
I HUONG Đai học cong nghiệp tp.hcm
Trang 18 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
5n2 + n + 7 5 +ỉ+7-^' nên áp dụng Các quy tắc tính giới hạn, ta được:
2h2 + 3h + 4 1; 2 + 3Ỉ+4Â 2+ 3.0+ 4.0 2 lim —-V—-——— = lim — r= —————— — -. n->co 5n2 + n + 7 n^òo 5 Ã 7 1 n 5 + 0 + 7.0 5 Định lý 1.5 Cho M là một số thực.
1 Nếu (xn) hội tụ và xn > Q,\/n > M thì lim xn > 0
2 Suy ra, nếu (xn), (yn) hội tụ và xn > yn,Vn > M thì lim xn > lim yn n^+oo n^+oo Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn kẹp cho dãy số) Cho M € R và ba dãy số (xM), (yM) và (zn) Nếu xn M và lim xn = a = lim zn thì lim yn — a n^+oo17
Ví dụ 1.12 Chứng minh rằng: lim |x„| = 0 khi và chỉ khi lim xn — 0.
Giải Giả sử lim |xn| =0 Suy ra lim ( — |xn|) = — lim |xn|=0 Do n^+oo 1 ' J n^+oo 1 lz n^+oo 1 1
-|x„| < Xn < \xn\,Vn e N, nên áp dụng Tiêu chuẩn kẹp, ta được lim xn — 0.
Ngược lại, nếu lim xn — 0 thì với mọi € > 0, tồn tại no 6 N để cho với mọi n > no, ta có
Ví dụ 1.13 Chứng minh răng: lim —- = 0, \/a e R.
Giải Giả sử a > 0 Tồn tại số nguyên dương M sao cho M < a < M 4- 1
Do đó, với n > M ta có an nỉ aM a a Ml’M+l'M + 2 a aM a n Ml'n' aM t Ắ x a
Do —— là hăng sô và —
Mỉ n thì do an nĩ n ô an
—> 0 nên theo Tiêu chuẩn kẹp thì —- —> 0 Nêu a nỉ
■ Mở rộng khái niệm hội tụ của dãy số Định nghĩa 1.14 Dãy (x„) được gọi là hội tụ về 4-OO, khi n —> 4-00, ký hiệu lim xn 4-00, nếu n—>4-00
Tương tự, dãy (xn) được gọi là hội tụ về —oo, khi n —> 4-00, ký hiệu lim xn = — oo, nếu n—>4-00
Chú thích 1.1 Với sự mở rộng này thì Định lý 1.4 vẫn còn đúng miễn là các giới hạn không có dạng 00 — 00,0.oo, 2,
■ Một số giới hạn thường gặp Định lý 1.7.
4 Vơ > 0,a G R, ta có lim ——-—r- = 0, ô—>4-00 (1 4- pỴ1
5 Với \q\ < 1, ta có lim qn = 0, ô->4-00 ' l >
Dãy đơn điệu
Định nghĩa 1.15 Dãy số (xn) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi n e
N, xn < Xn+Ị (xn > xn+i) Một dãy hoặc tăng hoặc giảm được gọi là dãy đơn điệu. Định lý 1.8 Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều là dãy hội tụ.
Ví dụ 1.14 Xét tính hội tụ của dãy (xn) với xn = í 1 + — I ,n e N*.
1Với Vữ € R, ữ > -1 và Vn € N, thì (1 + ữ)” > n.a.
Giải Rõ ràng xn > 0,¥n e N* Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli1, ta có n3 + 3n2 + 3n + 2
Suy ra (xn) tăng Ta sẽ chứng tỏ (xn) bị chặn trên và do đó dãy hội tụ Thật vậy, với mọi n G N*, ta có
' A ,1V e = lim (14 ) n—>+oo y n J ví dụ 1.15 Cho dãy (x„) được định nghĩa như sau:
Xét tính hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
Giả sử xn > X„-1, n > 3 Ta chứng tỏ (xM) tăng Thật vậy, xn — \/2 4- ỵ/2 4- 1 > 0.
Tiếp theo, bằng quy nạp, ta chứng tỏ dãy (xM) bị chặn trên bởi 2 Ta có
X ị = Vĩ < 1- Giả sử xn < 2 Suy ra Xn+1 = ự2 4- xn < ự2 4- 2 = 2.
Do (x„) là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ Đặt lim xn — a, ta củng có a = lim xn+1 Do đó, từ đẳng thức n—>4-00
Xn+Ỉ — V^- + suy ra x2+1 = 2 + xn, và cho n —> 4-00, ta thu được ô2 = 24-ôfl = 2.
Dãy con
Xét hàm tăng f : N —> N Đặt Hfc = f(k), ta thu được Vk) là dãy tăng các số nguyên tự nhiên. Định nghĩa 1.17 Cho dãy (x„) Dãy (yfc) xác định như sau
Vk = Xnk,Vk G N được gọi là dãy con của dãy (x„) và được ký hiệu là
Trang 22 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Dãy (xn) là dãy con của chính nó, theo định nghĩa, mọi dãy con của một dãy bị chặn cũng bị chặn, như các dãy con của một dãy đơn điệu cũng là dãy đơn điệu Định lý 1.9 nhấn mạnh rằng một dãy hội tụ nếu và chỉ nếu tất cả các dãy con của nó đều hội tụ và cùng một giới hạn.
Ví dụ 1.16 Dãy số (x„) với xn — (—1)” có hai dãy con: (xzfc) và (X2]t+1) Vì x2k = 1 1 và *2Ă:+1 = — 1 —> — 1 nên (x„) không hội tụ.
Hiện tại, xét dãy (xn) bị chặn, và có thể chứng minh rằng mọi dãy số đều chứa ít nhất một dãy con đơn điệu (theo [4]) Điều này chứng tỏ rằng dãy (x„) có ít nhất một dãy con đơn điệu, góp phần quan trọng trong nghiên cứu các thuộc tính của dãy số, phù hợp với các nguyên tắc của phân tích toán học và lý thuyết dãy.
(xnk) đơn điệu Vì (xnk) cũng là dãy bị chặn nên là dãy hội tụ, theo Định lý
1.8 Vậy, ta có Định lý 1.10 (Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ.
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Khái niệm giới hạn hàm số
Định nghĩa 1.18 (Điểm tụ, điểm cô lập) Cho D là tập con khác rỗng của R và oc là một số thực Ta nói:
• oc là điểm tụ của D nếu mọi e — lân cận của ŨC đều có phần tử của D, khác a, nghĩa là
• ŨC E D là điểm cô lập của D nếu tồn tại ô — lân cận của ŨC sao cho mọi điểm thuộc lân cận này không thuộc D, ngoại trừ a, nghĩa là
Ví dụ 1.17 Xét tập D = (—00; 1) u (1; 3] u {4} Ta có:
• 3 là điểm tụ của D vì với mọi e > 0, bé tùy ý, tồn tại số tự nhiên n sao cho 1
Do đó, ta suy ra
Tương tự như vậy, 1 cũng là điểm tụ của D.
• 4 là điểm cô lập của D vì
Điểm tụ của tập D là điểm \(a\) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy (x_n) trong D \ {a} sao cho x_n hướng về \(a\) Định nghĩa giới hạn hàm số xác định rằng hàm số \(f(x)\) có giới hạn tại điểm \(a\) khi các giá trị của \(f(x)\) tiến đến một giới hạn xác định khi \(x\) tiến về \(a\) Đây là khái niệm quan trọng trong phân tích toán học, giúp hiểu rõ về sự liên tục và hành vi của hàm số tại các điểm nhất định.
(đ; b) chứa cc, có thể không xác định tại (X Ta nói số thực p là giới hạn của f(x) khi X tiến tới ít nếu với mọi € > 0, tồn tại ô > 0 sao cho với mọi
X e (a;b) \ {ít} nếu khoảng cách giữa X và ít nhỏ hơn ô thì khoảng cách giữa f(x) và nhỏ hơn e Khi đó, ta viết lim f(x) = B x-ta
Vậy, lim/(x) = ộ khi và chỉ khi
Ví dụ 1.18 Chứng tỏ rằng a) lim X = ít; b) lim c = c, c là hằng số
Giải. a) Với e > cho trước, ta cần tìm ỏ > 0 sao cho với mọi X,
0 < |x — ít| < ỏ => |x — a| < e. Điều này đúng nếu ỏ = e hoặc ỏ là một số dương nhỏ hơn e.
Trang 24 Chương 1 Gĩớĩ HẠN VÀ LIÊN TỤC b) Với e > cho trước, ta cần tìm ỗ > 0 sao cho với mọi X,
0 < |x — a| < ỏ => |c — c| 0.
Ví dụ 1.19 Chứng tỏ rằng lim(4x 4- 3) = 7.
Giải Đặt /(x) = 4x 4- 3,DC = 1 và P — 7 Miền xác định của /(x) là D = R, và
Do đó, với mọi e > 0, nếu ta chọn ỏ = ị thì với mọi X thỏa 0 < IX — 11 < ỏ, ta sẽ được
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để dự đoán được giá trị của số trong Định nghĩa 1.19 Định lý 1.11 cung cấp lời giải cho vấn đề này bằng cách xác nhận rằng, với hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\) chứa điểm đặc biệt \(DC\) (Điểm Cổ Điển), thì giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến \(DC\) tồn tại và bằng \(B\) nếu và chỉ nếu, giới hạn của \(f(x)\) theo nghĩa chuẩn phù hợp với định nghĩa.
Ví dụ 1.20 Hàm số /(x) = X2 4- 2x 4- 3 có giới hạn tại X = 0 bằng bao nhiêu?
Giải Miền xác định của /(x) là Df = R Với dãy (xn) c (Df \ {0}), xn —> 0, ta có f (%n) = Xyi “I- 2xn 4- 3 —> o2 4- 2.0 4- 3 = 3.
Ví dụ 1.21 Hàm số /(x) = sin ị có giới hạn tại X = 0?
Giải Miền xác định của f(x) là Df = R \ {0} Trong Df, có hai dãy: (xn), xn = * 2H7T 0 và (xn)' x'n = ĩbĩ 0 nhưng khi n -> 4-OO, thì f(xn) — sin — = sin 4- 2n7ĩ ) = 1 —> 1,
Xn V 2 / và 1 f(x'n) = sin — sin nrc = 0 —> 0.
X4Vậy, không tồn tại giới hạn của /(x) tại 0.
Các quy tắc tính giới hạn của hàm số
Từ Định lý 1.11 và tính chất của dãy số hội tụ, ta có Định lý 1.12 về tính duy nhất của giới hạn của hàm số tại một điểm thực Nếu hàm f(x) có giới hạn tại số thực X, thì giới hạn đó là duy nhất Để xác định giới hạn của hàm số, ta áp dụng các quy tắc tính giới hạn đã được nêu trong Định lý 1.13, trong đó nếu lim f(x) = a và lim g(x) = b, thì giới hạn của tổng, hiệu, tích hoặc thương của hai hàm số theo các quy tắc phù hợp sẽ cho ra giới hạn tương ứng.
5 lim —, ' = -, b ữ, và g(x) ữ trong một lân cận cua X
Ví dụ 1.22 Sử dụng hai giới hạn: lim X = X và lim c = c, trong Ví dụ 1.18,
* ■ ■ x->a x->a v ' và các quy tắc về giới hạn để tính các giới hạn sau:
Giải. a) Ta có lim(x2 — 3x + 4) = lim X2 — 3 lim X + lim 4
Trang 26 Chương 1 GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC lim X4 + lim(—X2) + lim 3
Nhận xét 1.1 Ví dụ trên minh họa cho hai kết quả tổng quát hơn như sau:
• Nếu p(x) — anxn + flfl-ix”-1 + • • • + í?0, đa thức bậc n, thì lim p(x) — p(x) x—rx
• Nếu p(x) và Q(x) là các đa thức và Q(x) 7^ 0, thì pw = pw lim ~cr~/ \ •
Tiêu chuẩn kẹp
Từ Định lý 1.5 và 1.6, ta có Định lý 1.14 (Tiêu chuẩn kẹp cho hàm số) Cho ba hàm số f,g và h xác định trên (a;b) \ {x}, với ŨC E (a;b).
2 Nếu i f(x) < g(x) < //(x),Vx e (a;b) \ {x}, lim f(x) = 6, x^x lim h(x) = B x^x thì lim g(x) = P) x^x
Ví dụ 1.23 Tim lim X sin -
— |x| < xsin- < ịr|,Vx G R \ {0}, mà lim í— |x|) = 0 = lim |x| x->0 x->o' nên lim X sin - = 0. x-40 X ví dụ 1.24 Tìm lim sin X.
Giải Ta có suy ra
I _ I I / 71 71 x| < sinx < |x|, Vx G ; — mà lim(— 1x1) - 0 = lim |x|
Ví dụ 1.25 Chứng tỏ lim sin X = sin OL, lim cos X = cos X, Vx G R.
2 0 khi X —> a, ta suy ra lim sin X = sin a.
X—>aTương tự, ta cũng có lim cos X = cos a.
Giới hạn của hàm hợp
Định lý 1.15 Cho Dỵ, D2 là hai tập con khác rỗng của R, và a là điểm tụ của D-[
Nếu hàm số f xác định trên Di có miền giá trị là Dz, có lim /(x) = /3, và hàm số g xác định trên D2 có lim g(y) = 7 thì
Ví dụ 1.26 Tính lim sin
Trang 28 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Giải Nếu xem/(x) = x 2XĨ^Ĩ* và g(y) = siny thì
Do lim -—_ -9 3 = — và lim siny = —— nên x->0 2x2 + l 3 yZị y 2
Giới hạn một phía
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a;cc) Ta nói số thực là giới hạn bên trái của f(x) khi X tiến tới a nếu
Khi đó, ta viết limx^a- f(x) = hay y(íY—) = /3.
• Tương tự, cho hàm số f(x) xác định trên (a;b) Giới hạn bên phải của /(x) khi X tiến tới a bằng /3 nếu
Khi đó, ta viết limx^a+ f(x) = /3 hay = /3.
Ví dụ 1.27 Chứng tỏ rằng a) lim X = rt; b) lim c = c; c) lim X — ũc; d) lim c = c x-^a x-^cc X—X—+
Giải. a) Với e > cho trước, ta cần tìm ô > 0 sao cho với mọi X,
0 < ÍY — X < ỏ => \x — ít| < e. Điều này đúng nếu ỏ = e hoặc ỏ là một số dương nhỏ hơn e. b) Với e > cho trước, ta cần tìm ô > 0 sao cho với mọi X, Ồ < a — X < ỏ |c — c| 0.
Tương tự, ta cũng chứng tỏ được c) và d).
Ví dụ 1.28 Cho hàm số/(x) = —.Tính lim /(x), lim f(x)
Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới 0 là bằng 1 nếu lim f(x) — 1, và bằng -1 nếu lim f(x) — (-1) Theo Định lý 1.16, Hàm số f(x) có giới hạn tại điểm c nếu và chỉ nếu tồn tại giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của f(x) tại c, và hai giới hạn này bằng nhau Do đó, ta có dạng kết luận: lim x→c f(x) = B ↔ giới hạn từ bên trái và bên phải của f(x) tại c đều bằng B.
Ví dụ 1.29 Cho hàm số y = /(x) có đồ thị như Hình 1.17 Tìm các giới hạn limx^_1+ /(%), limx^i/(%), limx^2Ị{x), limx^3 /(x).
Chú ý 1.2 Định lý 1.13, về các quy tắc tính giới hạn, Định lý 1.14 và Định lý
1.15 vẫn còn đúng khi các giới hạn trong định lý được thay bởi các giới hạn một phía.
Mở rộng khái niệm giới hạn
Hiện nay, chúng ta mở rộng khái niệm giới hạn hàm số gồm có giới hạn hữu hạn tại vô cùng, giúp hiểu rõ hơn về sự tiệm cận của hàm số khi x tiến tới vô cùng Ngoài ra, còn có giới hạn tại điểm hữu hạn bằng vô cùng hoặc âm vô cùng, thể hiện sự tăng hoặc giảm không giới hạn của hàm khi x tiến đến điểm đó Cuối cùng, khái niệm giới hạn tại vô cùng bằng vô cùng giúp mô tả các hàm số có xu hướng tăng hoặc giảm không giới hạn khi x tiến tới vô cùng, góp phần nâng cao kiến thức phân tích toán học.
■ Giới hạn hữu hạn ở vô cùng Định nghĩa 1.21 Cho hàm số /(%) xỏc định trờn (ô; +oo) Ta núi:
• số thực f> là giới hạn của f(x) khi X tiến tới +oo nếu
Khi đó, ta viết lim fix) — 6. x^r+oo
Trang 30 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
• số thực /ỉ là giới hạn của f(x) khi X tiến tới — oo nếu
Khi đó, ta viết lim /(%) = 8.
X— > — oo ví dụ 1.30 Chứng tỏ rằng a) lim - — 0; b) lim c = c, c là hăng sô
Giải. a) Ta chứng tỏ lim - — 0, giới hạn còn lại được chứng tỏ tương tự Với e > 0 cho trước, ta cần tìm ỗ > 0 sao cho với mọi X > 0,
X > ỏ => 1-0 < e. Điều này đúng nếu ô — - hoặc ô là một số dương lớn hơn - (xem Hình
1.18) e e b) Ta chứng tỏ lim c = c Với e > 0, cho trước, ta cần tìm ỏ > 0 sao cho
X > ỏ => |c — c| < e. Điều này đúng với mọi ỗ > 0.
Chú ý 1.3 Định lý kẹp 1.14 vẫn còn đúng khi các giới hạn trong định lý được thay bởi các giới hạn hữu hạn ở vô cùng.
Hình 1.19: Giới hạn tại số thực bằng vô cùng
■ Giới hạn tại số thực bằng vô cùng Định nghĩa 1.22 Cho hàm số /(x) xỏc định trờn (ô; b) chứa (X, cú thể khụng xác định tại OL Ta nói:
• Hàm số f(x) tiến tới 4-00 khi X tiến tới ữ nếu
Khi đó, ta viết lim fix) — 4-00 (Hình 1.19a) x-àa
• Hàm số f(x) tiến tới — oo khi X tiến tới OL nếu
Khi đó, ta viết lim fix) = — oo (Hình 1.19a) x-àa Các giới hạn lim f(x) = 4-00, lim f(x) = —oo, lim f(x) 4-00, lim f(x) = —oo x-àa+ X-ẠXf X~>X" x~vx được định nghĩa tương tự.
Ví dụ 1.31 Chứng minh răng lim — = 4-00.
Giải Cho AI > 0, ta chứng tỏ có số ỏ > 0 sao cho
Trang 32 Chương 1 GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC
Do đó, nếu ta chọn ô = -7= thì
Vậy, theo định nghĩa, lim -X = +oo.
Ví dụ 1.32 Chứng minh rằng lim - = -I-OO, lim - — — oo.
Giải Ta chứng minh lim - = +oo, giới hạn còn lại được chứng minh tương
X—>0+ X ' ' ' tự Cho M > 0, ta chứng tỏ có số ỏ > 0 sao cho
Do đó, nếu ta chọn ỏ = thì
Vậy, theo định nghĩa, lim - = -1-00.
■ Giới hạn ở vô cùng, bằng vô cùng
Hình 1.20: Giới hạn ở vô cùng, bằng vô cùng Định nghĩa 1.23 Cho hàm số f(x) xác định trên (a; +oo) Ta nói:
• Hàm số f(x) tiến tới +oo khi X tiến tới +oo nếu
Khi đó, ta viết lim f(x) = +oo (Hình 1.20a) x^+ữữ v '
• Hàm số /(x) tiến tới — oo khi X tiến tới +oo nếu
Khi đó, ta viết lim f(x) = —oo (Hình 1.20b) x->+ooy v '
Các giới hạn lim fix) = +oo, lim fix) — —oo được định nghĩa tương
Dùng định nghĩa, ta dễ dàng thấy rằng a) lim X = ±oo; b) lim X2 — +oo.
■ Định nghĩa giới hạn mở rộng bằng dãy số
Các định nghĩa 1.21, 1.22 và 1.23 đều tương đương với định nghĩa mới trong Định nghĩa 1.24, giúp làm rõ cách xác định giới hạn của hàm số Định nghĩa 1.24 mô tả rằng, với hàm số \(f(x)\) xác định trên tập hợp \(D \subset R\), khi \(X\) là điểm tụ của \(D\), ta nói rằng hàm số \(f(x)\) có giới hạn là \(P\) tại \(X\) khi \(X\) tiến tới \(X\).
Trong đó, X, f có thể là — oo, +oo Khi X hữu hạn, ta có thể thay X —> X bởi
■ Quy tắc tính giới hạn mở rộng
Định lý 1.17 mở rộng dựa trên định nghĩa 1.24 và chú thích 1.1 về tính chất của dãy số hội tụ mở rộng, cho thấy rằng nếu giới hạn của hàm số f(x) tiệm cận vớia và g(x) lần lượt là a và b (có thể là vô cực hoặc âm vô cực), thì các giới hạn này vẫn duy trì tính chất hội tụ trong phạm vi mở rộng này Điều này nhấn mạnh rằng tính chất của dãy số hội tụ mở rộng được thiết lập dựa trên các giới hạn vô cùng, giúp áp dụng các lý thuyết về giới hạn trong nhiều trường hợp phức tạp hơn.
Trang 34 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
5 lim J = Tf b ồ,và g(x) Ạ 0 trong một lân cận của X x^ra g(x) b miễn là vế phải được xác định, nghĩa là không xuất hiện dạng vô định:
Chú ý 1.4 Định lý 1.17 vẫn đúng khi các giới hạn xuất hiện trong đó là các giới hạn một phía.
Hai giới hạn quan trọng
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.25 Cho hàm số /(x) xác định trên (ứ; b) và X e (a; b) Ta nói hàm số f(x) liên tục tại X nếu lim /(x) = /(x), nghĩa là
• Theo Ví dụ 1.18, hai hàm y(x) = X và g(x) = c liên tục tại mọi X € R newitem Theo Ví dụ 1.25, hai hàm f(x) — sinx và g(x) = cosx liên tục tại mọi a e R.
Hình 1.21: Hàm y(x) liên tục tại oc.
• Hàm số /(x) = |x| liên tục tại mọi ŨC G R Thật vậy, với e > 0 cho trước, ta chỉ cần chọn ô — e thì với mọi X G R, ta có
|x — a| < ô => \f(x) —/Wl — IM — HI < |x — a| < £■ Ở trờn, ta đó sử dụng bất đẳng thức 11ô| — \b\I < \a — b\, với a,b là hai số thực tùy ý.
Nhận xét 1.2 Hàm số /(x) chỉ liên tục tại ŨC khi cả 3 điều sau đây được thỏa mãn:
2 y(x) có giới hạn tại OL.
Ví dụ 1.34 Cho hàm số /(x) xác định trên [—1; 3] có đồ thị như Hình 1.22
Hãy xét tính liên tục của /(x) tại các điểm 0; 1; 2.
Hình 1.22: Giới hạn của f(x) tại các điểm 0; 1; 2
Giải Ta sử dụng Nhận xét 1.2 để xét tính liên tục của /(x) tại các điểm
• Tại 0: Do limx_>0 f(x) = 0 — /(0) nên /(x) liên tục tại 0.
Trang 36 Chương 1 Gĩớĩ HẠN VÀ LIÊN TỤC
• Tại 1: Do limx >1 /(x) = 2,limx_>1+ f(x) = 1 nên f(x) không có giới hạn tại 1 Vậy f(x) không liên tục tại 1.
• Tại 2: Ta có /(2) = 2 Do limỴ ,2 y(x) = l,limỴ ,2 f(x) = 1 nên limx_>2/w — 1- Vì limx_>2/w 7^ /(2) nên y(x) không liên tục tại 2.
Kết hợp Định nghĩa 1.25 và Định lý 1.13 về quy tắc tính giới hạn hàm số, ta có thể xác định tính liên tục của các hàm tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp Theo Định lý 1.19, nếu hai hàm số f và g xác định trên khoảng (a; b) và liên tục tại điểm 0, thì các phép tính này đảm bảo tính liên tục của hàm mới được tạo thành từ các hàm ban đầu.
; z ' _ ■ ' ■ f thì các hàm f + g,f.g cũng liên tục tại X Ngoài ra, khi g(&) 0 thì hàm — củng liên tục tại 0L.
Suy ra nếu f và g liên tục trên (a; b) thì các hàm f + g,f.g cũng liên tục trên (a;b) và - liên tục trên {x 6 (a;b) : g(x) 7^ 0}.
Ví dụ 1.35 Theo Ví dụ 1.33, hai hàm /(x) = X và g(x) = c liên tục tại mọi
• Đa thức bậc n, p(x) = anxn + an_-jXn 1 + • • • + ao, liên tục tại mọi ŨC 6 R.
Nếu p(x) và Q(x) là các đa thức, thì hàm hữu tỷ p(x)/Q(x) là hàm liên tục tại mọi điểm mà Q(a) ≠ 0 Theo Định lý 1.15, tính liên tục của hàm hợp được xác định như sau: nếu hàm số f: D1 → R² liên tục tại điểm a và hàm g: D2 → R liên tục tại điểm f(a), thì hàm hợp g ∘ f cũng liên tục tại a Do đó, ta có thể kết luận rằng giới hạn của g(f(x)) khi x tiến tới a là g của giới hạn của f(x), tức lim_{x→a} g(f(x)) = g(lim_{x→a} f(x)).
Giải Do tính liên tục của hàm cos và hàm sin nên ta có
1? /_ , / , 3tĩ lim cos 2x + sin X + —- r—\ \ 2 = cos lim 2x + lim sin X +
Liên tục một phía Phân loại điểm gián đoạn
• Cho hàm số /(x) xỏc định trờn (ô; a] Hàm /(x) được gọi là liờn tục trỏi tại a nếu lim y(x) = f(oc).
• Tương tự, hàm số /(x) xác định trên [a; b) được gọi là liên tục phải tại oc nếu lim f(x) = f(&).
Ví dụ 1.37 Hàm số f(x) xác định trên [—1;3], có đồ thị như Hình 1.22, liên tục trái tại 3, liên tục phải tại —1 và tại 1.
Kết hợp Định lý 1.16 và Định nghĩa 1.25, ta có Định lý 1.21 Cho hàm số f(x) xỏc định trờn (a; b) và oc G (ô; b) Hàm f(x) liờn tục tại ŨC khỉ và chỉ khi f(x) liên tục trái và liên tục phải tại oc.
Ví dụ 1.38 Định a, b để hàm số Ì — 2sinX, X < — ặ; a sin X + b, — ị < X < Ị; cosx, X > Ị liên tục tại — Ị và ặ.
Giải Hàm /(x) liên tục tại — Ị và ặ khi và chỉ khi Ì x->-J lim lim + /w = limI /(0
Định nghĩa 1.27 cho biết rằng nếu hàm số f: D → R không liên tục tại một điểm oc thuộc tập xác định, thì điểm này được gọi là điểm gián đoạn của hàm f Điểm gián đoạn của hàm số được phân loại dựa trên đặc điểm của tính liên tục tại điểm đó, giúp xác định các loại gián đoạn khác nhau của hàm số Suy ra, để hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số, cần xác định và phân loại các điểm gián đoạn một cách chính xác.
1 Điểm gián đoạn loại 1: Nếu tồn tại y(a+),/(x_) nhưng ba số y(x+), y(a“) và /(a) không đồng thời bằng nhau thì ŨC được gọi là điểm gián đoạn loại 1 Điểm gián đoạn loại 1 được chia thành 2 loại:
Trang 38 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
• Điểm nhảy nếu y(ft+) / f(oi ).Khiđóh = /(ft+) — /(ft ) được gọi là bước nhảy của f(x) tại ft.
2 Điểm gián đoạn loại 2: Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn một phía của /(x) tại ft thì ft được gọi là điểm gián đoạn loại 2.
Ví dụ 1.39 Xét hàm số /(x) xác định trên R,
1 rỉ \ 1 X — 1 lim f(x) = lim " - 4 X7-1±J v 7 x4-i± X +1 lim f(x) = lim 1 = ~ 1
X—>0 X—>0 X + 1 lim/(x) = lim x 1 — 0 X—>1 X—>1 X + 1 nên X = — 1 là điểm gián đoạn loại 2 Hai điểm X = 0 và X — 1 là điểm gián đoạn khử được.
Hàm số liên tục trên một đoạn
Hàm số f : [a; b] → R được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó đảm bảo tính liên tục tại mọi điểm trong khoảng (a; b) Ngoài ra, hàm còn phải liên tục phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b để đảm bảo tính liên tục trên toàn đoạn Điều này có nghĩa là, để hàm f được xem là liên tục trên đoạn [a; b], nó phải không có gián đoạn hoặc điểm đứt trong khoảng và đảm bảo tính liên tục từ bên trái tại các điểm biên cuối đoạn.
Ví dụ 1.40 Xét hàm số f(x) = 3x + 1 trên đoạn [1; 2] Do
• f(x) liên tục tại trên (1;2), và
• f(x) liên tục phải tại X — 1, và liên tục trái tại X — 2, nên f(x) — 3x + 1 liên tục trên đoạn [1; 2].
Hàm f(x) liên tục trên đoạn [a; b] đảm bảo tồn tại giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn này, theo Định lý 1.22 Cụ thể, nếu f(x) liên tục trên [a; b], thì có điểm Xo và X1 trong đoạn [a; b] sao cho f(Xo) là giá trị nhỏ nhất và f(X1) là giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn Tính chất này là một trong những đặc điểm quan trọng của hàm liên tục, giúp xác định cực trị của hàm trong phạm vi đã cho.
Khi đó, ta ký hiệu f(xữ) = = al = ln"w>
— y(x).limx->a lnu(x) _ elimx^a p(x).ln[limx_>a u(x)] eln[limx^ô u(x)].limx_>a v(x) lim u(x)
Ví dụ 1.41 Tìm các giới hạn sau: a) lim(cosx)^ x->0 b) lim
Giải Cả hai giới hạn đều có dạng 1°° Ta biến đổi sao cho hàm ở cơ số có ĩ ' dạng [1 -T w(x)] u(x) , với w(x) —> 0. a) Ta biến đổi
Mà lim(l -T cosX — 1) COSX-1 = e, và x->0 cosx-1 —2sin2y 1 lim ——5 - lim -5—- —
X—^0 X X—^0 X 2 nên lim(cosx)^ = e 2 x->0 b) Ta biến đổi
X-Ạ+OO (1 + = e, và lim x->+oo X2 + 3 = — 2, nên X—>+oolim
Từ tính liên tục và giới hạn của hàm f(x) = ex và /(x) = In X ta suy ra tính liên tục và giới hạn của các hàm
Ngoài ra, ta có các giới hạn sau cho hàm mũ và hàm logarit cơ số e, Định lý 1.28. ln(l±x) 1- eX —1 _ 1 lim —-—•—- - 1; lim 2 - - 1. x->0 X x4Ó X
1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược Định lý 1.29.
1 y(x) =: sin X và f(x) = cos X là các hàm liên tục trên R.
2 y(x) = tan X là hàm liên tục trên D = R \ ị Ị + kĩĩ I k e z} và lim tanx = TOO, lim tanx = TOO. x^ị
3 f(x) = cotx là hàm liên tục trên D = R \ ịkĩĩ I k e z} và lim cotx = ±00, lim cotx = ±00
Kết hợp Định lý 1.25 và Định lý 1.29 ta thu được tính liên tục của hàm lượng giác ngược,
Trang 42 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Định lý 1.30.
I y(x) = arcsin X và f(x) = arccos X ỉà các hàm liên tục trên [—1; 1].
2 f(x) = arctan X và f(x) = arccot X là các hàm liên tục trên R, lim arctanx = ±77, lim arccotx = 0, và lim arccotx = 7Ĩ.
Cuối cùng, ta có Định lý 1.31 Các hàm số sơ cấp liên tục tại những điểm mà chúng xác định.
1.7 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN
1.7.1 Hàm tương đương Định nghĩa 1.29 Cho hai hàm f(x),g(x) xác định trên một lân cận của a e R Ta nói hàm f(x) tương đương với g(x) khi X —> a nếu lim {£1=1 g(x) Khi đó, ta ký hiệu: /(x) ~ g(x) khi X —> 0.
Chú thích 1.2 Trong định nghĩa 1.29, khi a hữu hạn, ta có thể thay X —> a bởi X —> ô+ hay X —>
■ Tính chất Định lý 1.32 Xét quá trĩnh X a eR Ta có: ỉ- /w
4 Nếu f(x) ~ g(x) thì y/f(x) ~ ựg(x), giả sử các cần thức có nghĩa.
■ Các tương đương cơ bản
Khi X —> 0 ta có các tương đương cơ bản sau đây:
5 1 — cosx ~ -X ; 10 (1 ± xỴ- — 1 ~ OCX. Đặc biệt, ta có
11 anxn ± an-ixn 1 ± ± apxp ~ apxp khi X —> 0, n > p, ap 7^ 0;
12 anxn ± an-\xn~x ± ± apxp ~ anxn khi X ±00, n > p, an 7^ 0.
1.7.2 Vô cùng bé (VCB) Định nghĩa 1.30 Cho a G R và hàm f(x) xác định trên một lân cận của a
Hàm số /(%) được gọi là vô cùng bé khi X —> a nếu limY >ữ /(%) = 0.
Chú thích 1.3 Trong định nghĩa 1.30, khi a hữu hạn, ta có thể thay X a bởi X —> a+ hay X —> a~.
1 sin X, tan X, 1 — cos X là những VCB khi X —> 0.
2 cos X, cot X là những VCB khi X —> ặ.
So sánh hai hàm số VCB (vi giới hạn cả bên) đồng thời được định nghĩa khi có giới hạn tồn tại Cụ thể, với hai hàm số f(x) và g(x) là VCB tại điểm x → a, ta nói rằng f(x) và g(x) so sánh được nếu giới hạn của tỷ số lim (x → a) của chúng tồn tại, có thể hữu hạn hoặc vô hạn, và bằng một hằng số K Điều này cho phép xác định mối quan hệ giới hạn giữa hai hàm số khi tiến gần điểm a.
Trang 44 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 Nếu K = 0 thì ta nói f(x) là VCB cấp cao hơn g(x), và ký hiệu f(x) = o(g(x)) khi X —> a.
2 Nếu K = ±oo thì ta nói g(x) là VCB cấp cao hơn f(x), và ký hiệu g(x) = o(/(x)) khi X —> a.
3 Nếu K ị {0, ±oo} thì ta nói /(x) và g(x} cùng cấp.
1 Khi X —> 0, X2 và 1 — cos X là hai VCB so sánh được vì
0 X2 2 và do đó, X2 là VCB cùng cấp với 1 — cos X.
2 Khi X —> 0, X3 và 2 sin2 X là hai VCB so sánh được vì y3 lim X = 0, x->0 2 sin X và do đó, X3 là VCB cấp cao hơn 2 sin2 X.
■ Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Bổ đề 1.1 Cho f(x),g(x) là hai VCB khi X —> a Khỉ đó:
1 Nếu cấp của f(x) nhỏ hơn cấp của g(x) thì f(x) + g(x) ~ f(x),x a.
2 Giả sử f(x) ~ fĩ(x) và g(x) ~ gi(x) khi X —> a Nếu f(x) và g(x) cùng cấp nhưng không tương đương, nghĩa là limx_>a = b, với bị {0,1, oo} thì
2 Khi X —> 0, do tan 3x và sin X là hai VCB cùng cấp, không tương đương, và tan 3% ~ 3%, sin X ~ X, nên tan 3% — sin X ~ 3x — X — 2x.
3 Khi X —> 0, do tan X và — sin X là hai VCB cùng cấp, không tương đương, và tan X ~ X, — sin X ~ — X, nên tan X + sin X = tan X — (— sin x) ~ X — (—x) = 2x.
Chú thích 1.4 Xét quá trình X —> a, giả sử /(x) ~ /i(x) và g(x) ~ gi(x)
Nếu /(x) và g(x) là hai VCB tương đương thì
Trong lý thuyết giới hạn, ký hiệu /w -g(x) ~gi(x) biểu thị mối quan hệ tương đương của hiệu không Điều này có nghĩa là, trong điều kiện phù hợp, hiệu của hai hàm biến đổi thành hiệu các hàm tương đương Ví dụ, khi X tiến về 0, thì tan X và sin X là hai hàm gần tương đương, vì ta có tan X ~ X và sin X ~ X, từ đó suy ra hiệu của chúng cũng tương đương Đây là một khái niệm quan trọng giúp hiểu rõ hơn về sự xấp xỉ và so sánh các hàm số khi hạn vi.
, í 1 \ 1 — cos X i X3 tanx — sinx = sinx -1 I = sinx. - - — ~ xg —
\cosx / cosx 1 2 mà X — X = 0 nên tanx — sinx 'S' X — X.
Một ví dụ khác Khi X —> 0, ta có tan X và sin X là hai VCB tương đương, và tan X ~ ln(l + x), sin X ~ X Trong Chương 2, ta sẽ thấy ln(l + x) — X X2
Trong bài viết, chúng ta thấy rằng vì \( 2f(x) - y_0 \) gần bằng không và dựa vào các công thức lượng giác như \(\tan x \sim \sin x \sim \ln(1 + x) \sim x\) khi \(x \to 0\), ta có thể áp dụng Bổ đề 1.1 và Định lý 1.32 (tính chất 1) để rút ra Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Theo đó, Định lý 1.33 (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao) xác định rằng nếu \(f(x)\), \(g(x)\), \(j(x)\), và \(gi(x)\) đều là VCB khi \(x \to a\), và đồng thời \(f(x) = o(g(x))\), \(g(x) = o(gi(x))\), thì ta có thể loại bỏ các thành phần không đáng kể để phân tích đạo hàm và giới hạn một cách chính xác hơn.
Trang 46 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giải Khi X —> 0, ta có 3 sin2 X ~ 3x2 = ơ(x) và X3 = ỡ(x), do đó,
X ± 3 sin2 X X 1 lim ———0— - lim — — - x->0 5x ± xỏ x->0 5x 5 ln(l + tanx)
Giải Khi X —> 0, ta có ln(l ± tanx) ~ tanx ~ X và sin3 X ~ X3 = o(x), do đó,
■ Khái niệm VCL Định nghĩa 1.32 Cho a 6 R và hàm /(x) xác định trên một lân cận của a.
Hàm số /(x) được gọi là VCL khi X —> ô nếu limx-4.fl /(x) = ±00.
Chú thích 1.5 Trong định nghĩa 1.32, khi a hữu hạn, ta có thể thay X —> a bởi X —> a+ hay X —> a~.
1 Khi X 0, -7, 774- và cot2 X là các VCL ' X2' sin4 X
3 X2 ± 2x, X3 ± 1 là VCL khi X ±00. Ể So sánh haỉ VCL đồng thời Định nghĩa 1.33 Cho f(x),g(x) là hai VCL khi X —> ô Ta núi /(x) và g(x) là hai VCL so sánh được nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn) lim íị—= K. x^a g(x)
1 Nếu K = 0 thì ta nói /(x) là VCL cấp thấp hơn g(x).
2 Nếu K = ±00 thì ta nói /(x) là VCL cấp cao hơn g(x).
3 Nếu K {0, ±00} thì ta nói /(x) và g(x) cùng cấp.
1 Khi X —> +oo, X2 + 1 và y/x là hai VCL so sánh được vì
X—>+oolim Xy/x + và do đó, X2 + 1 là VCL cấp cao hơn y/x.
2 Khi X —> +oo, ỵ/ X6 + 3x2 +1 và -\/2x8 + 3x + 2x là hai VCL cùng cấp vì À/x6+3X2+1 y1+Ặ+Ặ _ 1 lim —======= = lim —-—■ = —=. x^+°° ỵ/2x8 + 3x4 + 2x x^+oo 4/2 Ậ y/2
■ Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Bổ đề 1.2 Cho f(x),g(x) là hai VCL khi X —?■ a Khi đó:
1 Nếu cấp của f(x) nhỏ hơn cấp của g(x) thì f(x)+g(x)^g(x),x^a.
2 Giả sử f(x) ~ fi(x) và g(x) ~ gi(x) khi X —?■ a Nếu f(x) và g(x) cùng cấp nhưng không tương đương, nghĩa là limx_>fl = b, với b ế {0,1,00} thì f(x)-g(x) ~ /i(x) -gi(x),x a. Áp dụng bổ đề 1.2 và Định lý 1.32 (tính chất 1), ta thu được Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp. Định lý 1.34 (Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp) Giả sửy(x),g(x),/i(x) và gi(x) là các VCL khi X a Nếu f(x) cấp cao hơn /i(x) và g(x) cấp cao hơn gỉ(x)thì , , , , , , lim , ' ; ; = lim x2>ôg(x)+gi(x) X“ôg(x)
Trang 48 Chương 1 Gĩớĩ HẠN VÀ LIÊN TỤC và
Bài 1.1 Tính các giới hạn.
Bài 1.2 Tính giới hạn dạng 1°°.
Bài 1.3 Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn.
Bài 1.4 Xét tính liên tục của các hàm số sau:
Bài 1.5 Xác định a, b sao cho các hàm số sau liên tục trên miền xác định của chúng: x f arctan 7—*772, xẠì, vw= (x-1) '
Trang 50 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 1.8 Tìm
Bài 1.13 Tìm giới hạn L = lim (\/l — X3 + %).
Bài 1.17 Tính lim (cos x)cot2 x
Bài 1.19 Tính lim (cos X + sin x)cotx.
Trang 52 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
■ Vô cùng bé tương đương
Bài 1.31 Cho /(x) = 1 — cos X 4- ln(l + tan2 2x) + 2 arcsin X Khi X —> 0, thì
Bài 1.32 Cho /(x) = ln(l + tan3x) + (ựl + 2sinx — 1) (arcsin2x + X2)
Bài 1.33 Xét hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số
Tìm vô cùng bé tương đương của /(x) khi X —> 0.
Bài 1.34 Xét hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số
Tìm vô cùng bé tương đương của /(x) khi X —> 0.
■Tính liên tục của hàm số
Bài 1.35 Xác định m để hàm số /(x) A m — 1 B m = 2 m, X = 0. c m = 3 liên tục tại X = 0.
Bài 1.36 Xác định m để hàm số /(%) c m = 3
Bài 1.38 Xác định m đê hàm số f(x) = < „2, , 1* 1 T J v 7 I xz+3x+m l x2 + l '
{Xsinx+2 tan2 X X < Q- x ' V' liên tục tại cos2 X + 2m, X > 0 ’ ’
Bài 1.40 Xác định m để hàm số fix) — < MH-* 2)'
Bài 1.41 Xác định m để hàm số fix) = < arc X 2' x liên tục tại
Bài 1.42 Xác định m để hàm số f(x) = < xsinx ' \ ' 7\1 J' liên Ỵm, X = 0. tục tại X = 0.
Trang 54 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 1.43 Xác định m để hàm số
X = 0. c m = 2 D ịm ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP 1 55 2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 69 2.3 CẨC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 72
2.4 QUY TAC UHÔPITAL 75 2.5 CÔNG THỨC TAYLOR 82 2.6 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 88 2.7 BÀI TẬP 90
2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP 1
■ Đạo hàm của hàm số tại một điểm • • • Định nghĩa 2.1 Cho hàm số f xác định trên (fl; b) Ta nói f có đạo hàm tại
Giới hạn của tỷ số ΔY/ΔX khi X tiến về X₀ chính là đạo hàm của hàm số f tại điểm X₀, được ký hiệu là f'(X₀) Nếu giới hạn này tồn tại và có giá trị hữu hạn, thì ta gọi đó là đạo hàm tại X₀, phản ánh tốc độ biến thiên của hàm số tại điểm đó Đạo hàm là khái niệm quan trọng trong giải tích, giúp mô tả cách hàm số thay đổi theo biến độc lập trong các ứng dụng về toán học, vật lý và kỹ thuật.
1 Nếu đặt Ax = X — Xo thì Ax —> 0 khi X —> Xo- Khi đó, (2.1) trở thành
Trang 56 Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
2 Nếu đặt h = Ax, thì (2.2) trở thành
/'(xọ) = lim fíx° + hl~ /(*o). Ã-AÓ h (2.3)
1 Hàm /(x) = c, có miền xác định là R Lấy tùy ý Xo e R, ta có f(x) — f(xo) c — c n lim LA-Í—ZA—L — lim _—_ — 0. x—>Xo X — Xo x - í X cị X — X q vậy/'(*o) -0.
2 Hàm số f(x) = X2, có miền xác định là R Lấy tùy ý Xo € R, ta có lim ———- = lim - — = 2 xq x-> x 0 X — Xo x->x0 X — Xo Vậy f'(xQ) = 2x0.
3 Hàm số f(x) = sin X, có miền xác định là R Lấy tùy ý Xo E R, ta có
/(x)-/(xo) _ sin X- sin Xo lim -—-— - — lim - - x->x0 X — Xo x-ằxo X — Xo
4 Hàm số f(x) = ex có miền xác định tại là R Lấy tùy ý Xo E R, ta có ton = Ita x->xo X — Xo x->*0 X — Xo pX-xo _1
Hình 2.1: Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Trong hệ tọa độ Oxy, hình học phẳng nghiên cứu đường cong (C) có phương trình y = f(x) Khi xem xét hai điểm M₀(x₀, f(x₀)) và M(x₀ + Δx, f(x₀ + Δx)) thuộc (C), tỷ số Δy / Δx chính là hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm này Hệ số góc này phản ánh độ dốc của đường thẳng nối hai điểm trên đường cong, giúp hiểu rõ hơn về độ dốc của hàm số tại các điểm khác nhau.
Ax —> 0 thì M tiến về Mo trên (c), vị trí giới hạn Mot nếu có, của cát tuyến
M q M được gọi là tiếp tuyến tại Mo của (c) (Hình 2.1) Do đó,
Ax cho ta hệ số góc của tiếp tuyến Mot.
Trong cơ học, vận tốc trung bình của chất điểm trong một khoảng thời gian nhỏ được xác định bằng tỷ số của sự thay đổi khoảng cách so với thời gian Cụ thể, khi chất điểm chuyển động trên trục Ox, tại thời điểm Xo, quãng đường đã đi là OM = f(x0), còn tại thời điểm Xo + Ax, quãng đường là OM' = f(x0 + Ax) Quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian nhỏ Ax là MM' = f(x0 + Ax) — f(x0), và vận tốc trung bình trong khoảng thời gian này là (f(x0 + Ax) — f(x0)) / Ax Điều này giúp xác định vận tốc trung bình của chất điểm trong các chuyển động trên trục Ox, góp phần hiểu rõ hơn về đặc điểm chuyển động của vật thể.
7 7 A x A o A x cho ta vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm XQ.
Đạo hàm của hàm số trong một khoảng được định nghĩa như sau: Hàm số \(f\) xác định trên khoảng \((a; b)\) có đạo hàm trong khoảng \((a; b)\) khi nó có đạo hàm tại mọi điểm \(X\) trong khoảng đó Điều này đồng nghĩa với việc, tại mỗi điểm trong \((a; b)\), đạo hàm của hàm số \(f\) tồn tại và xác định rõ ràng, phản ánh khả năng tính đạo hàm liên tục trong khoảng Việc xác định đạo hàm trong một khoảng giúp hiểu rõ hơn về tính liên tục và biến thiên của hàm số trên cùng một đoạn xác định.
Khi đó, ta gọi hàm số
> y = f'M là đạo hàm của hàm số f trong (a;b).
Trang 58 Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Ví dụ 2.2 Tiếp nối ví dụ 2.1, ta có:
1 Hàm f(x) = c có đạo hàm f'(x) = 0 trong R.
2 Hàm f(x) = X2 có đạo hàm f'(x) = 2x trong R.
3 Hàm/(x) = sinX có đạo hàm/'(x) = cosx trong R.
4 f(x) = ex có đạo hàm/'(x) = ex trong R.
■ Điều kiện cần để có đạo hàm Định lý 2.1 Nếu f xác định trên (a; b) và có đạo hàm tạỉ Xo e (a; b) thỉ f liên tục tại Xo.
Chiều ngược lại của định lý không đúng Chẳng hạn, hàm số /(x) = |x| liên tục tại X = 0 mà vì
Ax—>0+ Ax Ax—>0+ Ax và , ,
Ax^o Ax Ax—>0- Ax nên y(x) không có đạo hàm tại X = 0.
■ Các quỵ tắc tính đạo hàm
Để tính đạo hàm, ta sử dụng các quy tắc sau đây: Định lý 2.2 cho biết rằng nếu hai hàm số f và g xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm X thuộc (a, b), thì các hàm số như f + g và f ⋅ g cũng có đạo hàm tại X Công thức đạo hàm của tổng hai hàm là (f + g)'(X) = f'(X) + g'(X), giúp đơn giản hóa quá trình tính đạo hàm trong các bài toán phân tích.
4 Hơn nữa, nếu g(x) 4 0 trong một lân cận của X thì hàm số — có đạo hàm tại X, và
/ X = f'Mg(x) -f(x)g’(x) u u g2ớ) •. ví dụ 2.3 Chứng minh rằng (xny = nxn] ,Ýn € N.
Giải Ta có x' = 1 = l.x1 1 nên đẳng thức đúng với n = 1 Giả sử đẳng thức đúng với n (xnỵ = nxn 1, ta có
(xn+ỉY = (xn.xỴ = (xnỴx + xnx'
Giải Tại X 0, ta có /(x) = X2 sin ị, nên fix} = 2xsin - — cos1 1
Tại X = 0, ta có ỉ™ + — = lim/1 Sin 1 = 0 = /'(0). h-+0 h h-+0 h J