Biến đổi liên tục và điều kiên bài toán, Toán lớp 9

Chứng minh hai đường thẳng CN và BH cắt nhau tại một điểm trên đường tròn O.. Vậy N là trung điểm của CD, hay các đường thẳng CN và BH cắt nhau tại điểm D ∈ O.. + Xét trường hợp H nằm ng

BIẾN ĐỔI LIÊN TỤC ĐIỀU KIỆN BÀI TOÁN

Mỗi bài toán với các điều kiện cho trước, dẫn đến một kết luận nhất định

Khi điều kiện thay đổi thì kết luận cũng thay đổi

Bài viết này giới thiệu với các bạn một số phương pháp biến đổi liên tục các điều kiện của bài toán để từ đó làm xuất hiện các bài toán mới

Những bài toán đó có sự liên quan mật thiết, chặt chẽ với nhau,

Trong đó mỗi phương pháp giải và kết quả của bài toán này có thể được khai thác và vận dụng một cách linh hoạt cho bài toán kia

Bài toán 1

Cho đường tròn (O;R), dây AB cố định C là điểm di động trên (O), kẻ dây CD vuông góc với AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD

Tìm vị trí của C ∈∈ (O) để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất

LƯỢC GIẢI:

Vị trí của C ∈∈ (O) để MN đạt giá trị lớn nhất

Gọi H = AB ∩ CD Xét 3 trường hợp của điểm H đối với (O)

+) H nằm trong (O) (hình 1)

Gọi K là trung điểm của BC

Ta có MK là đường trung bình của ∆ABC nên

MK // AB, MK = AB/2,

NK là đường trung bình của ∆BCD nên

NK // CD, NK = CD/2

Vì AB ⊥ CD nên MK ⊥ NK,

∆MNK vuông tại K, định lý Py-ta-go cho ta:

MN2 = MK2 + NK2 = AB2 CD2

Vì CD là dây cung của (O) nên CD ≤ 2R

Do đó MN ≤ AB2 R2

Suy ra MN đạt max = AB2 R2

4 + khi CD = 2R, tức C là trung điểm của cung AB

+) H nằm ngoài (O) (hình 2)

Chứng minh tương tự như trên, ta vẫn có MN ≤ AB2 R2

A

C D

B

N

O M

Hình 1

K H

A

B

M

N

O

Hình 2

K H

Nên MN đạt max = AB2 R2

4 + khi CD = 2R, tức C là trung điểm của cung AB

+) H ∈∈ (O)

• Xét H ≡≡≡≡ A ∈∈ (O) (hình 3),

Ta có D ≡ A, khi đó BC là đường kính của (O)

Trong trường hợp này, MN là đường trung bình của ∆ABC

Nên MN = BC/2 = R <

2 2

• Xét H ≡≡≡≡ B ∈∈ (O) (hình 4),

Ta có D ≡ B ≡ N

Trong trường hợp này, AC là đường kính của (O), M ≡ O

Nên MN = OB = R < AB2 R2

4 +

Vậy khi C là trung điểm của AB
thì MN có giá trị lớn nhất là AB2 R2

Bài toán 2 (hình 5)

Cho đường tròn (O;R), hai dây cung AB và CD di động nhưng luôn vuông góc với nhau tại H Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD

Tìm vị trí của H để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất

LƯỢC GIẢI:

Tiến hành giải tương tự như bài toán 1

(xem hình 1),

Ta có:

MN = AB2 CD2 R2 R2 R 2

Do đó MN đạt max = R 2 khi AB = CD = 2R

Suy ra H ≡ O

Lúc này đoạn thẳng MN nhận O là trung điểm

Vậy khi hai dây AB và CD là các đường kính của (O)

vuông góc nhau tại tâm O thì đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất bằng R 2

C

B

M

Hình 3

R

C

O M

Hình 4

A

R

N B D H

A

B

M

N

Hình 5

O H

A

C D

B

N

O M

Hình 1

K H

Thêm điều kiện dây cung AB cùng di động với dây cung CD sao cho hai dây cung vẫn

vuông góc nhau, ta có bài toán 2:

F

Bài toán 3

Cho đường tròn (O), hai dây cung AC, BD không đi qua tâm O Gọi H là hình chiếu của B lên AC,

M là trung điểm của AB, P là trung điểm của OH, N là điểm đối xứng của M qua P

Chứng minh hai đường thẳng CN và BH cắt nhau tại một điểm trên đường tròn (O)

LƯỢC GIẢI:

Chứng minh CN và BH cắt nhau tại điểm D ∈∈ (O)

Gọi D là giao điểm thứ hai của BH với (O)

Ta chứng minh C, N, D thẳng hàng

+) Xét trường hợp H nằm giữa A, C (hình 1)

Vẽ đường kính AE của (O)

Ta có OM là đường trung bình của ∆ ABE nên

OM // BE, OM = BE/2

Mặt khác, EC ⊥ AC, BD ⊥ AC nên EC // BD,

do đó BDCE là hình thang cân, suy ra CD = BE = 2OM (1)

Vì OMHN là hình bình hành nên OM = HN (2)

Từ (1), (2) suy ra CD = 2HN

Ta chứng minh N là trung điểm của CD

Thật vậy, giả sử N’ là trung điểm của CD Gọi I là trung điểm của BE

Ta có BI = OM, BI // OM, HN = OM, HN // OM

suy ra BI = HN, BI // HN, do đó BHNI là hình bình hành

nên IN // BH, IN = BH (3)

Mặt khác, IN’ là đường trung bình của hình thang cân BDCE nên

IN’ // BH, IN’ = BH (4)

Từ (3), (4) suy ra N ≡ N’

Vậy N là trung điểm của CD,

hay các đường thẳng CN và BH cắt nhau tại điểm D ∈ (O)

+) Xét trường hợp H nằm ngoài đoạn AC (hình 2 và hình 3)

Tiến hành chứng minh tương tự như trên

ta cũng có kết quả N là trung điểm của CD

nên CN và BH cắt nhau tại một điểm D ∈ (O)

+) Xét trường hợp H ≡≡≡≡ A (hình 4)

Khi đó, D ≡ A ≡ H, ∆ ABC vuông tại A,

tứ giác AMON là hình chữ nhật

nên CN và BH cắt nhau tại D ≡ A ∈ (O)

A

B D

I N

O

M H

P

N’

Hình 1

A

B D

C

E I

N

O M H

P N’

Hình 2

A

B

C E

O M P N’

A

B

C

N

O M

Hình 4

D H

P

Cho dây cung AB cố định, dây cung CD di động sao cho hai dây cung vẫn vuông góc nhau

tại H, với chú ý M và N đối xứng nhau qua trung điểm của OH, ta có bài toán 3:

F

+) Xét trường hợp M, O, H thẳng hàng (hình 5)

Khi đó P và N cùng thẳng hàng với M, O, H,

∆ ABH vuông cân tại H, góc BAC = 450

Tiến hành chứng minh tương tự như trên ta có P vừa là trung điểm của OH

vừa là trung điểm của MN, suy ra N ≡ N’ là trung điểm của CD,

do đó CN và BH cắt nhau tại điểm D ∈ (O)

Vậy trong mọi trường hợp, ta luôn có

CN và BH cắt nhau tại một điểm D ∈∈ (O)

Bài toán 4 (hình 1)

Cho đường tròn (O), hai dây cung di động AC và BD

vuông góc nhau tại điểm H cố định nằm trong (O)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

LƯỢC GIẢI:

Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

Vẽ đường kính AE Gọi I là trung điểm của BE

Theo một kết quả trong lời giải bài toán 3, ta chứng minh được

OMHN là hình bình hành

Do đó MN đi qua trung điểm P của OH là một điểm cố định

Bài toán 5

Cho đường tròn (O), dây cung AB

Vẽ đường tròn tâm I, đường kính AB

H là điểm di động trên đường tròn (I)

Các đường thẳng AH, BH cắt đường tròn (O) tại C, D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD,

P là trung điểm của MN

Tìm tập hợp các điểm P khi H di động trên đường tròn (I)

LƯỢC GIẢI:

*) Phần thuận (hình 1)

Vì H ∈ (I) nên AC ⊥ BD

A

B D

C E

I N

O M

H P N’

Hình 5

A

B D

I N

O

M H

P

N’

Hình 1

C

B

E

N

O

M H

F K

P D

Cho H di động trên một đường tròn cố định có đường kính là dây cung AB cố định của (O)

Hai dây cung di động AC, BD của (O) đi qua H Khi đó đoạn thẳng MN nối trung điểm của

BC, AD di động và luôn đi qua trung điểm của OH, ta có bài toán 5:

F

Cho hai dây AC và BD di động nhưng vuông góc nhau tại điểm H cố định nằm trong đường

tròn (O), để ý đến kết quả OMHN là hình bình hành, ta có bài toán 4:

F

nên P cũng là trung điểm của OH

Ta có: OP 1

2

OH=

Gọi K là trung điểm của OI, ta có K cố định

∆OIH có KP là đường trung bình nên KP = IH/2 = AB/4

Do đó P ∈ đường tròn tâm K, bán kính AB/4

*) Phần đảo

Trên đường tròn tâm K, bán kính AB/4, lấy điểm P bất kỳ

Gọi H là một giao điểm của đường thẳng OP với

đường tròn tâm I, bán kính AB/2 Các đường thẳng AH, BH

cắt đường tròn (O) tại C, D Gọi M, N là trung điểm của BC, AD

Ta chứng minh P là trung điểm của MN

Vẽ đường kính AE

Dựa theo chứng minh ở phần thuận, ta có:

AE // BD (cùng ⊥ AC), do đó BDAE là hình thang cân,

có FN là đường trung bình nên FN // BD, FN = BH

Gọi F là trung điểm của BE

Ta có, OM là đường trung bình của ∆BCE, nên

OM // BE, OM = BE/2 = BF

Mặt khác, FN là đường trung bình của hình thang cân BDAE nên

FN // BH, FN = BH, do đó BHNF là hình bình hành nên BF // HN, BF = HN

Suy ra OM // HN, OM = HN nên OMHN là hình bình hành

Do đó P là trung điểm của MN

Kết luận

Tập hợp các điểm P là đường tròn tâm K, bán kính AB/4

(với K là trung điểm của OI)

Chú ý:

+) Trường hợp H nằm ngoài đường tròn (O) (hình 2)

Tiến hành chứng minh tương tự, ta vẫn có tập hợp các điểm P

là đường tròn tâm K, bán kính AB/4

+) Từ hệ thức OP 1

2

OH=

Ta có hai điểm P và H là cặp điểm tương ứng nhau

trong phép vị tự tâm O, tỉ số 1/2,

Do đó khi điểm H vạch đường tròn tâm I, bán kính AB/2,

thì điểm P vạch đường tròn tâm K, bán kính AB/4 là ảnh của

đường tròn tâm I, bán kính AB/4 trong phép vị tự tâm O, tỉ số 1/2

Vì vậy, với công cụ phép biến hình, việc tìm tập hợp các

điểm P sẽ đơn giản và gọn hơn rất nhiều, bởi vì ta không phải xét hết

các trường hợp của vị trí điểm H đối với đường tròn (O)

C

B I

E

A

O

M

Hình 2

F

K

D N

H P

C

B

E

N

O

M H

Hình 1

F K

P D

Bài toán 6 (hình 1)

Cho đường tròn (O;R), hai dây cung AB và CD vuông góc nhau tại H

Chứng minh S OAC = S OBD

LƯỢC GIẢI:

Chứng minh S OAC = S OBD

Gọi M, N là trung điểm của hai dây AC, BD

Theo chứng minh ở bài toán 3, ta có OMHN là hình bình hành

Do đó OM // HN, OM = HN; ON // HM, ON = HM

Mặt khác, theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

trong tam giác vuông, ta có:

HN = BD/2, HM = AC/2

Từ đó, ta có:

SOAC = 1 .OM AC 1 .HN AC 1 .BD AC

SOBD = 1ONBD 1.HMBD 1 .ACBD

Từ (1), (2) suy ra SOAC = SOBD

Chú ý:

+) Kết luận bài toán vẫn đúng trong trường hợp AB và CD

vuông góc nhau tại điểm H nằm ngoài đường tròn (O) (hình 2)

(Chứng minh tương tự như trường hợp 1)

+) Trong trường hợp điểm H nằm trong đường tròn (O) (hình 1),

ta có thể chứng minh bài toán theo cách sử dụng

một công thức khác của diện tích tam giác

(S = absinC/2), với chú ý sinx = sin(180 0 – x)

Ta có AB ⊥ BD tại H ⇒ sdAC sdBD 180
+
= 0

Do đó AOC+BOD 180= 0, suy ra sinAOC=sinBOD

Từ đó SAOC = 1

2.OA.OC sin AOC =

1

2.R2.sin AOC = 1

2.R2.sin BOD = SBOD

A

N

O M

Hình 2

H B

A

C D

B

N

O M

Hình 1

H

Giấu đi giả thiết OMHN là hình bình hành, giữ nguyên điều kiện AB ⊥ CD, với chú ý OM ⊥

AC, ON ⊥ BD, đưa đại lượng diện tích tam giác vào, ta có bài toán 6:

F

Bài toán 7 (hình 1)

Cho đường tròn (O;R), điểm H nằm trong (O)

Qua H, vẽ hai dây cung AB, CD của đường tròn (O) vuông góc nhau

và bằng nhau Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD

Tính chu vi và diện tích của tứ giác OMHN theo R và d (Với d = OH)

LƯỢC GIẢI:

Theo một kết quả trong phần chứng minh bài toán 3, ta có

Tứ giác OMHN là hình bình hành

Theo giả thiết, ta có AB = CD

Từ đó
AB=CD
⇒BD
=AC
⇒ BD = AC

Vì OM ⊥ AC, ON ⊥ BD, nên OM = ON

Suy ra hình bình hành OMHN là hình thoi

Do đó MN ⊥ OH tại P là trung điểm của mỗi đường

Vì AB ⊥ CD tại H nên:

2

+

⇒ AOC BOD= = 900

Do đó ∆AOC và ∆BOD là các tam giác vuông cân tại O

suy ra AC = BD = R 2

Từ đó OM = ON = AC R 2

2 = 2

Vậy chu vi tứ giác OMHN bằng 4OM = 2 2 R

+) Tính diện tích tứ giác OMHN

Áp dụng định lý Py-ta-go trong ∆OMP vuông tại P, ta có:

MP2 = OM2 – OP2 = R2 d2 2R2 d2 MP 2R2 d2

−

−

⇒ MN = 2MP = 2R2−d2

Vậy S MOHN = 1 .OHMN 1 .d 2R2 d2

Bài toán 8 (hình 2)

Cho đường tròn (O;R), hai dây cung AB, CD của đường tròn (O)

bằng nhau và vuông góc nhau tại điểm H nằm ngoài (O)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD

Tính chu vi và diện tích của tứ giác OMHN theo R và d

(Với d = OH, R < d < R 2)

A

O

Hình 1

H

B

C D

N

M

P

R

R

D

O

Hình 2

H

B

C A

N

M

P R

R

Giữ nguyên giả thiết của bài toán 7, đưa vị trí điểm H nằm trong đường tròn (O) ra ngoài

đường tròn (O), ta có bài toán 8:

F

Xét trường hợp đặc biệt khi hai dây cung AB, CD của đường tròn (O) bằng nhau, vẫn giữ

nguyên điều kiện AC ⊥ BD, đưa đại lượng chu vi và diện tích của tứ giác vào, ta có bài

toán 7:

F

LƯỢC GIẢI:

Giải tương tự bài toán 7, ta vẫn có kết quả OMHN là hình thoi

Chu vi tứ giác OMHN bằng 2 2 R

Diện tích tứ giác OMHN bằng 1d 2R2 d2

Bài toán 9 (hình 1)

Cho đường tròn (O;R), hai dây cung di động AB, CD của đường tròn (O)

luôn bằng nhau và vuông góc nhau tại điểm H

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD

Tìm vị trí của điểm H để diện tích của tứ giác OMHN có giá trị lớn nhất

LƯỢC GIẢI:

Đặt OH = d

Theo kết quả bài toán 7 và 8, ta có tứ giác OMHN là

hình thoi Biểu thức của diện tích hình thoi OMHN là

SOMHN = 1d 2R2 d2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:

2d 2R −d ≤ d +2R −d = 2R2

Dấu “=” xảy ra khi

2R2 – d2 = d2⇔ d = R ⇔ H ∈ (O)

Do đó S OMHN đạt max = R2

2 khi d = R

Vậy khi H ≡≡≡≡ A ∈∈ (O), tức hai dây cung AB, CD

bằng nhau và vuông góc nhau tại H ≡≡≡≡ A ∈∈ (O)

thì diện tích hình thoi OMHN có giá trị lớn nhất bằng R2

2

Khi đó hình thoi OMHN trở thànhø hình vuông OMAN

có độ dài đường chéo bằng R.(hình 2)

D

O

Hình 2

H

B

C

A N

M

R

A

O

Hình 1

H

B

C D

N

M

P

R

R

B

C M

Hình 2

O

A D H

N

R

R

d = R

Từ kết quả về biểu thức tính diện tích của hình thoi OMHN, vận dụng thêm bất đẳng thức

Cô-si để tìm cực trị của biểu thức, ta có bài toán 9:

F

Bài toán 10 (hình 1)

Cho đường tròn (O;R); AB, CD là hai dây cung di động nhưng luôn bằng nhau và vuông góc nhau Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD

Chứng minh tứ giác OMHN có chu vi không đổi

LƯỢC GIẢI:

Chứng minh tứ giác OMHN có chu vi không đổi

Gọi H = AB ∩ CD

Theo kết quả trong chứng minh bài toán 7, ta có

OMHN là hình thoi

Trong cả 3 trường hợp của vị trí điểm H đối với

đường tròn (O):

+) H nằm trong (O) (hình 1)

+) H nằm ngoài (O) (hình 2)

+) H nằm trên (O) (hình 3)

Ta luôn có:

Chu vi hình thoi OMHN có giá trị không đổi và bằng

2 2 R

Tóm lại, bằng các cách biến đổi liên tục các điều kiện của bài toán, ta phát hiện ra nhiều bài toán mới có cùng một cách giải trên cơ sở khai thác rất linh hoạt những kết quả tương tự của bài toán

Hy vọng rằng bài viết này đem đến cho các bạn một vài điều bổ ích và tạo được niềm say mêï hứng thú trong việc học toán một cách tích cực, sáng tạo

Quy Nhơn, ngày 03 tháng 05 năm 2009 BÙI VĂN CHI, Trường THCS Lê Lợi

Tp Quy Nhơn, Tỉnh Bình Định

B

C M

Hình 3

O

A D H

N

R

R

d = R

Nghiên cứu kết quả về biểu thức tính chu vi của hình thoi OMHN, cho hai dây cung AB, CD

của đường tròn (O) di động nhưng vẫn giữ nguyên điều kiện AB ⊥ CD và AB = CD, ta có bài

toán 10:

A

O

Hình 1

H

B

C D

N

M

P

R

R

D

O

Hình 2

H

B

C

A N

M

R F