Chuyển động của điện tích trong điện trường

Khi giải các bài tập về “ Chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trường” chúng ta thường áp dụng các cách giải như: Phương pháp động lực học, phương pháp năng lượng. Dưới đây tôi xin trình bày cơ sơ lý thuyết và một số bài tập về chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trường đều và thế năng tĩnh điện của một điện tích đặt trong điện trường, thế năng tương tác tĩnh điện của hệ điện tích.

CHUYÊN ĐỀ:

CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH (HỆ ĐIỆN TÍCH) TRONG ĐIỆN

TRƯỜNG

I, ĐẶT VẤN ĐỀ:

Khi giải các bài tập về “ Chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trường”

chúng ta thường áp dụng các cách giải như: Phương pháp động lực học, phương pháp năng lượng Dưới đây tôi xin trình bày cơ sơ lý thuyết và một số bài tập về chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trường đều và thế năng tĩnh điện của một điện tích đặt trong điện trường, thế năng tương tác tĩnh điện của hệ điện tích.

II, GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Để giải quyết vấn đề trên, dưới đây tôi xin trình bày cơ sở lý thuyết của từng cách giải, và

lời giải một số bài tập liên quan Trong đó đi sâu phân tích thế năng tĩnh điện của một điện tích đặt trong điện trường, thế năng tương tác tĩnh điện của hệ điện tích và việc áp dụng trong giải bài tập.

+ Lực điện trường F qE =  ( F ­ ­ nếu q>0 và ngược lại)E

Gia tốc mà nó thu được được xác định bằng định luật II Niutơn:

Trong đó ax , ay , v v0x, 0ylà gia tốc, vận tốc của hạt theo các trục tọa độ

+ Phương trình chuyển động của hạt theo các trục khi đó được xác định theo công thức:

Trong đó, x0 , y0 là tọa độ ban đầu của hạt

Khử t trong các phương trình (3) , (4) ta được y = f(x) Đó là phương trình quỹ đạo của chuyển động.Phương trình quỹ đạo mô tả hình dạng hình học của chuyển động

Ngoài ra khi giải bài tập về chuyển động của điện tích trong điện trưòng ta cần chú ý đến một số công thứcđộng học như:

0

2 0

0

.12

Đối với điện trường đều ta có: AF = q.E.d

Với d là độ dài đại số của hình chiếu điểm đầu, điểm cuối quỹ đạo trên một đường sức điện truờng

Điện trường giữa 2 bản kim loại đặt song song cách điện và tích điện trái dấu, cùng độ lớn là điện trườngđều, chiều của đường sức hướng từ bản dương sang bản âm

Nếu bỏ qua trọng lực thì hạt điện chỉ chịu tác dụng của lực điện trường khi đó việc nghiên cứu chuyển độngcủa điện tích trong điện trường sẽ đơn giản hơn rất nhiều

II THẾ NĂNG TĨNH ĐIỆN VÀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

1 Kiến thức tiên quyết

Điện thế của điện trường tại điểm M được xác định bằng công của lực điện trường làm dịch chuyển một

2 Những khái niệm căn bản

2.1 Thế năng tĩnh điện và thế năng tương tác

q V

Trong đó V M là điện thế của điện trường tại điểm M gây ra bởi các điện tích không phải q, với qui ước

rằng điện thế tại vô cùng bằng không Khi ra tới vô cùng thì thế năng ban đầu được chuyển hoá hoàn toànthành động năng của hạt

2.1.2.Thế năng tương tác của hệ điện tích

Thực ra thì thế năng tĩnh điện đã nêu có nguồn gốc từ lực tương tác tĩnh điện giữa điện tích q với các điện

tích khác gây ra điện trường Vì vậy thế năng tĩnh điện còn được gọi là thế năng tương tác giữa điện tích q đang

xét với các điện tích còn lại của hệ

Mặt khác, khi có một hệ các điện tích thì mỗi điện tích trong hệ đều có thế năng tương tác (hoặc thế năng

tĩnh điện) trong điện trường của các điện tích còn lại Tuy nhiên, không phải vì thế mà thế năng tương tác củatoàn hệ bằng tổng thế năng của từng điện tích Theo định luật bảo toàn năng lượng, thì

Thế năng tương tác tĩnh điện của toàn hệ phải bằng tổng động năng khi cả hệ dịch chuyển ra vô

Vì vậy, trong trường hợp hệ hai điện tích, mặc dù thế năng của mỗi điện tích đều bằng q1q2 /40r, nhưng

thế năng của cả hệ cũng chỉ bằng q1q2/40r, chứ không phải bằng 2 lần lượng đó Điều này có thể kiểm tra

lại bằng phép tính công khi cho đồng thời hai điện tích ra vô cùng

Tương tự, trong trường hợp có ba điện tích giống nhau nằm trên ba đỉnh của một tam giác đều cạnh a, thì

thế năng của mỗi điện tích bằng 2q2/40a Song thế năng của cả hệ ba điện tích chỉ gấp rưỡi lượng đó mà

thôi

Vận dụng cách đánh giá thế năng tương tác theo (2.5), người ta tính được :

- Thế năng tương tác của một hệ điện tích rời rạc bằng

trong đó V i kí hiệu điện thế gây ra bởi các điện tích không phải q i tại nơi đặt qi

- Thế năng tương tác của các điện tích Q phân bố liên tục trên một vật dẫn bằng

VQ dQ

V VdQ Q

V W

vËt toµn vËt

toµn i

i i

12

12

12

trong đó V là điện thế trên vật.

2.2 Thế năng tương tác và năng lượng điện trường riêng

2.2.1 Nghịch lí về thế năng tương tác tĩnh điện

Ta hãy xét bài toán sau Hai quả cầu kim loại hoàn toàn giống nhau, bán kính R, nằm cách nhau một

khoảng L rất lớn so với kích thước của chúng Một quả cầu mang một điện tích q, quả kia chưa tích điện Nối

hai quả cầu bằng một dây dẫn mảnh rồi ngắt, kết quả là điện tích q được phân đôi cho mỗi quả Song điều đáng nói là, bây giờ do cả hai quả cầu cùng tích điện cùng dấu, nên giữa chúng có một thế năng tương tác dương, còn trước đó thế năng này chưa có Vậy thế năng này lấy ở đâu ra ? Đó là còn chưa kể đến một lượng nhiệt nhất định toả ra trên dây nối khi điện lượng q/2 chạy từ quả cầu thứ nhất sang quả cầu thứ hai

Để giải thoát khỏi nghịch lí này ta cần nói thêm vài khái niệm xung quanh năng lượng tính điện.

2.2.2 Năng lượng điện trường và mật độ năng lượng điện trường

Sự kiện lực điện trường thực hiện công khi làm chuyển dời các điện tích đặt trong nó, chứng tỏ điện trường

có mang năng lượng Từ biểu thức năng lượng điện trường trong tụ điện phẳng suy ra mật độ năng lượng điện trường bằng

2 0

2

Nhờ khái niệm mật độ năng lượng điện trường ta có thể tính được năng lượng điện trường xung quanh một

vật tích điện hoặc một hệ điện tích

C

Q R

Q

Q R

Q r

dr Q dr r E d

w

W

R R

2

0 0

2 2

0

2 2

mang điện so với kích thước của nó Khái niệm điện tích điểm cũng được dùng khi tính thế năng tương tác của

hệ điện tích Tuy nhiên, nó không những không thể áp dụng được đối với những điểm khảo sát nằm gần vật tíchđiện, mà còn đưa lại kết quả vô lí khi tính năng lượng điện trường Theo (2.10), thì năng lượng điện trường củabất cứ điện tích điểm nào, dù lớn, dù nhỏ, đều bằng vô cùng

2.2.3 Mối quan hệ giữa năng lượng điện trường riêng và thế năng tương tác

2.2.3a Với trường hợp một vật tích điện :

Điều trùng hợp là, nếu thay lượng Q/40R trong biểu thức (2.10) bằng điện thế của quả cầu cô lập, thìnăng lượng điện trường riêng của quả cầu tích điện nằm cô lập đúng bằng thế năng tương tác tĩnh điện (2.7) củacác điện tích trên quả cầu

VQ

Q R

Q R

Q W

2

12

chưa tích điện, thì năng lượng điện trường bằng không Khi trên vật đã có điện tích, mà ta đưa thêm điện tích

cùng dấu dq từ xa vô cùng về, thì ngoại lực phải thực hiện một công dA Theo định luật bảo toàn năng lượng, chính sự tích luỹ các công nguyên tố dA của ngoại lực làm nên năng lượng điện trường, hoặc làm nên thế năng

tương tác giữa các điên tích trên vạt đó Vì vậy trong trường hợp chỉ có một vaat tích điện, thì hai năng lượngnày phải là một Kết luận đó phải đúng cho vật tích điện có hình dạng bất kì

2.2.3b Trường hợp hệ vật tích điện :

Năng lượng điện trường của hệ điện tích cũng được tính theo công thức chung (2.9) trong đó E là vectơ cường

độ điện trường tổng hợp, vì vậy việc thực hiện đến cùng tích phan (2.9) chỉ làm được cho những hệ tương đốiđơn giản Tuy nhiên áp dụng công thức đó cho trường hợp đơn giản nhất gồm hai quả cầu nhỏ ta sẽ thấy rằng

năng lượng điện trường của hệ vật mang điện không phải là tổng đơn giản các năng lượng điện trường riêng của mỗi vật Thực vậy, điện trường của hệ bằng E E1  E2, nên lượng E2gồm ba số hạng

2 1

2

22

công của ngoại lực, hoặc động năng ban đầu của các điện tích chuyển dần thành thế năng tương tác Nghĩa là thế

năng tương tác khi này dương, có độ lớn tăng dần khi khoảng cách giữa hai điện tích càng giảm, khiến năng

lượng điện trường toàn phần của hệ càng tăng Ngược lại, nếu hai điện tích trái dấu, thì từ xa các điện tích này

hút nhau khiến chúng dịch chuyển lại gần nhau, lực điện trường sinh công, khiến năng lượng điện trường toàn

phần của hệ giảm Đó là lí do tại sao thế năng tương tác khi này âm

3 Vận dụng khái niệm thế năng tương tác vào bài toán chuyển động của điện tích trong điện trường

Khi một điện tích của hệ chuyển động trong điện trường của các điện tích còn lại, thì lực điện trường sinh công, sẽ làm cho động năng của nó tăng, thế năng tương tác của điện tích đó với các điện tích còn lại sẽ biến đổi theo định luật bảo toàn năng lượng

const v

m q

V i i  i i2 

21

trong đó m i là khối lượng của hạt mang điện tích qi Duf dấu của thế năng tương tác là thế nào, thì khi các điệntích chuyển động dưới tác dụng của lực điện trường, thế năng tương tác cũng phải giảm

Trường hợp đáng nói là khi cả hệ điện tích được thả ra đồng thời, thì mỗi điện tích không được quyền dùngtoàn bộ thế năng tương tác V i q icủa nó trong điện trường của các điện tích còn lại Bởi nếu thế thì thế năng tương tác ban đầu của hệ sẽ được tính sai lên hai lần giá trị thực

2

12

Tiếc rằng, do hiệu ứng tâm lí, sai lầm này đôi khi cũng khó tránh ngay cả với những học sinh có năng khiếutốt

Ví dụ Có bốn hạt mang điện giống nhau, khối lượng mỗi hạt là m, điện tích mỗi

hạt là q, được giữ trên bốn đỉnh của một hình vuông

a Hãy xác định động năng cực đại của mỗi hạt khi chúng được thả ra đồng thời.

b Hãy xác định động năng của từng hạt khi người ta lần lượt thả từng hạt một

sao cho hạt tiếp theo được thả ra khi hạt trước nó đã đi khá xa hệ.

Giải :

Thế năng tương tác ban đầu của hệ bằng

4 24

2

242

14

q a

q q W

q a q

A B

a

D C

q q

4 216

¦4

12

1

0

2 0

12

24

12

q q

Nếu hạt thứ hai đi ra từ đỉnh C, thì động năng cực đại của nó bằng

a

q a

q q

q q

NX: Với bài tập này, đề cho vận tốc và điện thế của quả cầu tại hai điểm Do đó, ta sử dụng phương pháp năng

-Bài 2: Một điện tử bay từ bản âm sang bản dương của một tụ điện phẳng, khoảng cách giữa hai bản tụ là d =

5cm và hiệu điện thế giữa hai bản tụ 3000V Điện tích của điện tử là

q=-1,6.10-19C, khối lượng của điện tử là 3,1.10-31kg, vận tốc ban đầu của điện tử bằng không

1, Xác dịnh thời gian điện tử bay từ bản âm đến bản dương

2, Xác định vận tốc của điện tử ngay khi chạm bản dương

Nói chung cả hai cách đều phải xác định gia tốc của điện tử

Sau đây là bài làm cụ thể:

1, Xác định thời gian chuyển động của điện tử:

Khi điện tử chạm bản dương, ta có: x = dThay vào (2), ta được:

2, Xác định vận tốc của điện tử ngay khi chạm bản dương

Thay giá trị của t vào phương trình (1), ta được:

- Gọi v là vận tốc của điện tử khi chạm bản dương.

- Công của lực điện thực hiện khi điện tử dịch chuyển từ bản âm tới bản dương là:

( Uad = -3000V, vì là hiệu điện thế giữa bản âm và bản dương)

- Gia tốc của điện tử là:

Bài 3: Một tụ điện phẳng có hai bản cách nhau d = 5cm, chiều dài mỗi bản là l =

10cm Hiệu điện thế giữa hai bản tụ là U = 5000V Một điện tử bay vào tụ điện

với động năng ban đầu 4

d

W  eVtheo phương song song với các bản tụ nhưhình vẽ

1, Viết phương trình quỹ đạo của điện tử, từ đó xác định độ lệch giữa điểm vào

và điểm ra của điện tử theo phương đường sức điện

2, Xác định động năng của điện tử nhay khi bay ra khỏi tụ điện

Bỏ qua tác dụng của trọng lực

Bài giải:

NX:

Với bài tập này thì phương pháp tọa độ là thích hợp nhất

1, - Áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta được:

2, Động năng của điện tử khi bay ra khỏi tụ điện tại điểm N.

NX: Ta có thể giải theo hai cách:

2.10 ( )

Bài 4: Một êlêctrôn có vận tốc ban đầu v0 bay vào khoảng không gian giữa hai tấm

kim loại phẳng, rộng vô hạn tích điện trái dấu qua một lỗ nhỏ O ở tấm tích điện

-v

dương Vận tốc v 0 hợp với tấm kim loại một góc  như hình vẽ Khoảng cách giữa hai tấm là d, và hiệu điệnthế giữa hai tấm kim loại là U Bỏ qua tác dụng của trọng lực

1, Xác định phương trình quỹ đạo của êlêctrôn

2, Xác định khoảng cách gần nhất từ êlêctrôn đến tấm tích điện âm trong quá trình chuyển động của êlêctrôn.Coi tấm kim loại đủ dài để êlêctrôn chạm tấm tích điện âm ở trong khoảng không gian giữa hai tấm kim loạinhư hình vẽ

- Trong quá trình điện tích chuyển động thì khoảng cách từ điện tích đến tấm

tích điện âm được xác định theo biểu thức:  h d y

Vậy để h nhỏ nhất thì y phải lớn nhất

- Để xác định ymax ta đi viết phương trình quỹ đạo của điện tích

- Áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta được:

- Nếu h  thì êlêctrôn chạm tấm tích điện âm.min 0

Chú ý:

Có thể xác định ymax từ phương trình quỹ đạo

Tọa độ điểm có ymax là đỉnh của Parabol, ta có:

Bài 5: Một quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,01g, tích điện q = - 10-7C được xâu vào một

thanh AB không dẫn điện đặt cố định trong điện trường đều có cường độ điện trường

1000V/m như hình vẽ Quả cầu có vận tốc đầu tại A là 10m/s, chuyển động dọc theo

thanh AB và dừng lại ở B

1, Xác định độ dài đoạn AB

2, Xác định thời gian quả cầu chuyển động từ A đến B Bỏ qua mọi ma sát và tác dụng

Bài 6: Cho hai quả cầu nhỏ giống nhau cùng có khối lượng m = 0,01g , và điện tích

tương ứng là q1 = -10-7C và q2 = 4.10-7C, được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ

không giãn, không dẫn điện dài 10cm, và được đặt trong điện trường đều có cường độ

điện trường E ( E = 106 (V/m)) như hình vẽ Cả hai quả cầu được xâu vào một thanh

cứng không dẫn điện, hai quả cầu chỉ có thể chuyển động dọc theo thanh Ban đầu hai quả cầu được giữ cốđịnh, sau đó thả nhẹ cho chúng chuyển động Coi rằng dây luôn “căng” trong quá trình hai quả cầu chuyểnđộng Bỏ qua mọi ma sát và tác dụng của trọng lực Hãy xác định gia tốc của mỗi quả cầu và lực căng của sợidây Hệ đặt trong chân không

Bài giải:

- Lực điện tác dụng lên điện tích q1, q2 như hình vẽ:

- Vì dây luôn căng trong quá trình hai quả cầu chuyển động, dây

không dãn, nên gia tốc của hai quả cầu là như nhau

- Áp dụng định luật II Niutơn cho từng quả cầu, ta có:

+ Với quả cầu mang điện tích q1:

+ Với quả cầu mang điện tích q2:

Bài 7: Một quả cầu nhỏ khối lượng 0,001g tích điện q10Cchuyển động từ

điểm M đến điểm N trong điện trường đều giữa hai tấm kim loại tích điện trái

dấu, cách nhau 40cm Vận tốc của quả cầu tại M là 10m/s Xác định vận tốc của

quả cầu tại N, biết hiệu điện thế giữa hai tấm kim loại là 40V, chiều dài của tấm

kim loại là l30 3( )cm Bỏ qua tác dụng của trọng lực

người ta thấy hướng chuyển động của quả cầu 1 quay đi một góc 600 và độ lớn vận tốc giảm đi hai lần, cònhướng chuyển động của quả cầu 2 thì quay đi 900.

1, Vận tốc của quả cầu 2 thay đổi như thế nào?

2, Xác định các tỷ số  2

2 2

q K

1 1 1

q K m

Bài giải:

1, Gọi V là vận tốc ban đầu của quả cầu 1 và 2.0`

Theo đề ra V là vận tốc của quả cầu 1 khi 1     0

0 1

1 1

0

0 0

cos602

sin602

x y

V V

0 1

Vậy 23 1

4

Bài 9: Một tụ điện phẳng được tích điện đến hiệu điện thế U = 100V Hãy xác định công

của của lực điện trường khi dịch chuyển một điện tích q = 0,52 C từ diểm A đến điểm B,

trong đó mỗi điểm nằm cách đều các mép tụ điện

Bài giải:

Vì công của lực điện trường không phụ thuộc dạng đường đi, nên ta tính công theo đường

dịch chuyển AA 1 B 1 B Do điện trường bên ngoài tụ điện bằng không, nên công của lực điện

trường trên các đoạn đường AA 1 và B 1 B bằng không Công toàn phần của lực điện trường

được thực hiện trên đoạn A 1 B 1 và bằng

J U

q B A F

1

Bài 10: Hai vật có kích thước nhỏ, khối lượng m1 và

m2, mang các điện tích cùng dấu q1 và q2 nằm cách nhau

một khoảng a trong chân không Hãy tính công của lực

điện trường khi thả đồng thời cả hai điện tích cho chúng

tự do chuyển động Xét trường hợp các khối lượng bằng

nhau và trường hợp các khối lượng khác nhau

Bài giải:

a Trường hợp khối lượng các hạt bằng nhau, thì do lực như nhau, gia tốc các hạt như nhau Chúng được đồng thời thả ra, nên các điện tích luôn đối xứng qua khối tâm chung, nằm chính giữa đoạn a ban đầu Gọi x là các khoảng cách tức thời từ mối điện tích đến khối tâm, thì công dịch chuyển mỗi điện tích đi ra đến vô cùng bằng

q q x

q q x

dx q

q Fdx A

a a

2 1 2

0

2 1

0

2 1 2

116

A A

0

2 1 1 2



b Trường hợp các khối lượng m 1 và m 2 khác nhau Khi đó, mặc dù lực tác dụng lên hai điện tích có độ lớn như nhau, nhưng gia tốc của hai hạt là khác nhau Tuy nhiên, nếu chú ý rằng hệ hai điện tích là một hệ kín, lực tương tác giữa chúng là nội lực, thì có sự bảo toàn khối tâm của hệ

l m m

m m

m

m x

x x m

x m x x

m

x

m

2 1

2 2

1

2 2

1 1 2

1 1 2 2

2

1

A A 1 B 1 B

q 1 , m 1 O

q 2 , m 2

x1 x2

l