cơ học lý thuyết tập 1 - phần tĩnh học động học

PhẦN MỘT TĨNH HỌC Tĩnh học là phần thứ nhất của Cơ học lý thuyết, mà trong đỏ nghiên cứu về lực và điều kiện để vật rắn cân bằng dưới tác dụng của các lực.. 9 « Hai hệ lực tương đương

NGUYÊN TRỌNG (CHỦ BIÊN) TONG DANH ĐẠO - LÊ THỊ HOÀNG YẾN

Cơ học -

lý thuyết

NHA XUAT BAN KHOA HOC VA KY THUAT

hầm đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập và nghiên cứu Cơ học

iy thuyết cuốn sách “Cơ học cư sở” được xuất bản lần đâu tiên năm 1997 và đã được tái bản nhiêu lần vào các năm tiếp theo

Bám sắt chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo guy định cho khối các ngành Kỹ thuật: xây dựng dân dụng và công nghiệp, giao

thông vận tả, thủy lợi và một số ngành khác, các tác giả đã tiến

hành biên soạn lại cuốn sách và có nhiều bổ sung, sửa chữa với phương châm ngắn gọn và sắt với trình độ chung của bạn đọc

Lân ín này cuốn sách mang tên " Cơ học lý thuyết" và có ba phần

Trong quá trình biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi khiếm

khuyết Các tác giả vui mừng nhận được sự góp ý của bạn đọc để

cuốn: sách ngây cảng hoàn thiện hơn

CÁC TÁC GIÁ

PhẦN MỘT

TĨNH HỌC

Tĩnh học là phần thứ nhất của Cơ học lý thuyết, mà trong đỏ nghiên cứu về lực và điều kiện để vật rắn cân bằng dưới tác dụng của các lực Trong tĩnh học đối tượng khảo sát là vật rắn chịu tác dụng của các lực Hệ lực tắc dụng lên vật rắn phải thỏa mãn điều kiện sao cho vật rắn cân bằng, để đi tới kết luận chính xác về vấn đề đo, ta phải giải quyết hai bài toán cơ bản của tĩnh học:

ø Bài toán thu gọn hệ lực về hệ lực đơn giản hơn

« Tìm điều kiện để hệ lực tác dụng lên vật rắn cân bằng

Chuong 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN -

HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

§1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 VAT RAN TUYET B61

Vật rắn tuyệt đối là uật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của

nó không đổi khi có lực tác dụng

Trong thực tế không có vật rắn tuyệt dối, bởi vì khi có lực tác dụng thì các vật đều bị biến dạng Nếu biến dạng lớn thì mắt thường quan sát được, còn biến đạng quá nhỏ thì mắt thường không quan

sát được Mặt khác trong tính toán kỹ thuật có một số trường hợp,

sự biến đạng của vật không ảnh hưởng nhiều đến kết quả tính

toán, và để đơn giản bớt quá trình tính toán ta có thể coi như vật

không biến dạng, nghĩa là coi như vật rắn tuyệt đối

Trong Cơ học lý thuyết ta chỉ khảo sát lực tác dụng lên vật rắn tuyệt đốt, nói gọn là vật rắn

1.1.2 LỰC

,

Lực là số đo sự tác dụng tương hỗ giữa các uật thể Lực là một đại

lượng có hướng và bằng thực nghiệm người ta thấy lực được xác định bởi ba yếu tế:

8 CƠ HỌC LY THUYET - TAP I: PHAN TINH HOC, ĐỘNG HỌC

«_ Điểm dat cha hic;

+ Phuong, chiéu ca luc;

5 Cường độ của lực

Lực được biểu diễn bằng một vectd như trên hình 1.1

Hình 1.1

« Gốc A của vectd AB biểu diễn điểm đặt của lực

+ Phương, chiều của vectơ 4B là phương, chiều của lực

* Độ dài của veetơ A48 là cường độ của lực

Đường thẳng DE mang vectg AB gọi là đường tác đụng của lực Ký

vật cân bằng đối với mặt đất là cân bằng tuyệt đối (như vậy là

ta đã bổ qua sự chuyến động của Trái Đất) Trong tĩnh học ta chỉ xét đến sự cân bằng tuyệt đối

» Hệ lực là tập hợp của nhiều lực cùng tác dụng lên một uột rắn

Ký hiệu (Ff đi

Phin mot TINH HOC 9

« Hai hệ lực tương đương là hơi hệ lực có cùng tác dụng cơ học

như nhau (nghĩa là nếu đem hai hệ lực lần lượt tác dụng lên

một vật rắn thì trạng thái cơ học của vật rắn ấy trong hai trường hợp sẽ y như nhau)

ý hiệu hai hệ lực Lương đương (FF, " F,) ~ (PP )

«Ổ Hợp lực của một hệ lực là một lực tương đương vdi một

Hệ lực cân bằng còn được gọi là hệ lực tương đương không,

“Ta viết GP, uF) ~oO

§1.2 MÔMEN CUA LUC 1.2.1 MÔMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM

Cho luc F tác dụng lên vật rắn đặt tại điểm A, lấy một điểm O bat

kỳ và gọi OA =P 1& veeta định vị điểm dat A cua hic F di véi diém O Khoảng cách ở từ điểm Ó đến dường tác dụng của lực F

gợi là cánh tay đòn của lực E đối với điểm Ó (hình 1.2)

Dưới tác dụng của lực £' vật rắn sẽ quay quanh điểm Ó 'Ĩa có:

Định nghĩa: Mômen của lực #' dối với điểm O 1a một vectd

mo(F) dat tai O:

10 CO HOC LY THUYET - TAP |: PHAN TĨNH HỌC, ĐỘNG HỌC + Có phương vuông góc với mặt phẳng chứa lực #' và diém O

«Ổ Có chiều sao cho từ ngọn của vectơ ấy ta nhìn thấy lực #' hướng quanh Ó ngược chiều kim dồng hồ

* Cé trị số bằng tích số cường độ của lực với cánh tay đòn của nó đối với điểm Ó,

MoF) = Mych +My J + Mek

trong đồ: x, y, z - hình chiếu của veetd F;

F,,F,,F, - hinh chiếu của vectd EF:

m„m„vm,„ - hình chiếu của m„(P) lên các trục tọa độ

L1)

Hình 1.2

Phan mot TINH HOC 11

nghĩa của vectơ m€ F)

* ¥ nghia co hoc: Mômen của lực đối với một điểm đặc trưng cho

tác dụng quay của lực quanh điểm dé Tac dung quay nay phụ

thuộc ba yếu tố:

+ Vị trí của mặt phẳng chứa lực và điểm lấy mômen

+ Chiểu quay của mômen trong mặt phẳng ấy

+ Cường độ của lực và cánh tay đòn của lực đối với điểm đó

«Ổ Ý nghĩa hình học: Theo định nghĩa thì độ đài của veetơ mômen bằng hai lần điện tích tam giác OAB (hình 1.9)

[nF = Fd = 35,„;

m,(F)=0 khi d = 0, nghia là đường tác dụng của lực Ƒ đi

qua O

Chú ý: Nếu xét hệ các lực nằm trong cùng một mặt phẳng thì

mômen của các lực đối với một diểm trong mặt phẳng ấy chỉ cần

tính như một lượng đại số (vì trong trường hợp này các veetơ mômen đều vuông góc với cùng mặt phẳng chứa lực và điểm lấy mômen) Phép so sánh các vectd cùng phương có thể đưa về phép

1.2.2 SỰ BIẾN THIÊN MÔMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI O VÀ O,

Giả sử lực F dt tai A thi momen déi vdi O18 mo(F) = PAF va đối

RAF (hinh 1.3)

với Ó, sẽ có mui Œ)

Vậy hiệu hai uectd mômen của

tực Ê` đối uới hai điểm khác

nhau là một uectd uuông góc

cới doạn thẳng nối hai điểm

đó

Nếu OOAF=0 hay vectd Hình 1.3

00, 1 F thi mo(F)=ma(F)

1.2.3 MÔMEN CỦA LỤC ĐỐI VỚI MỘT TRỤC

Xét một vật rắn có thể quay dược quanh trục z dưới tác dụng của

lực ?' đặt tại A, Qua A ta vẽ mặt phẳng xy vuông góc với trục # và cắt trục z tại Ó (hình 1.4)

Phân tích lực #' thành hai

thanh phần: #} song song

vdi truc z va Fy nằm trong

quay quanh trục z Như

vậy tác dụng quay của lực

F quanh trục z chính là

tác đụng quay của thành

phan F,, Hinh 1.4

Phần một, TĨNH HỌC 43

®ịnh nghĩa: Mômen của lực T dối với trục z là lượng đại số tà

bằng mômen của lực F„ đối uới điểm O Ký higu m,(F)

m,(F) = +E, d, sự (1.4)

trong đó: đ; - cánh tay đồn của lực #„ đối với điểm Ở:

m_() có dấu (tr) nếu từ chiều dương trục z nhìn thấy lực

#' hay lực Fo quay quanh Ó ngược chiều kim đồng hỗ đấu (—) trong trường hợp ngược lại

nghĩa của mụ (F

° nghĩa cơ học: mF) đặc trưng cho tác dụng quay của lực F

quanh trục 2

+ Ý nghĩa hinh hoc: m,(F) = 2u z4

“từ (1.4) ta thấy mômen của lực £ đối với trực z bằng 0 khi:

- Lực F song song với trục z (vi #, = 0)

- Đường tác dụng của lực F cắt trục z (vì dị = 0)

Trong eä hai trường hợp này thì lực F và trục z cùng trong một mặt phẳng

1.2.4 ĐÍNH LÝ LIÊN HỆ GIỮA MÔMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM VÀ

MÔMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT TRỤC

Định Jý- Mômen của lực đối uới một trục bằng hình chiếu lên Lrục

ấy của oectd mômen của lực đối oới một điểm bất kỳ trên trục

m,(F) = lin F)]ecosy =m, Œ) trong đó: y - góc giữa trục Ởz và vectơ mụ Œ) (hình 1.5)

Chứng mình: Cho lực F và trục z Ta vẽ mặt phẳng xy vuông góc

với trục z và cất trục z tại Ó (hình 1.5) y là góc giữa trục Óz và

14 CO HOC LY THUYET - TAP |; PHAN TINH HOC, DONG HOC

Veckd m,(F) hay là góc giữa hai mặt phẳng chứa tam giác OAB va OA,B, Ta biết Soa,n, = Soag COSy

§1.3 NGAU LUC

1.3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA NGẪU LỰC

4) Định nghĩa 1: Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song cùng cường

độ và ngược chiều Ký hiệu (1,„) (hình 1.6)

Phần một, TĨNH HỌC 15

°b) Các yếu tố của ngẫu lực

+ Mặt phẳng chứa hai lực của ngẫu lực gọi là mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực

«Ò Khoảng cách ở giữa hai

đường tác dụng của hai lực

tạo thành ngẫu lực gọi là

cánh tay đòn của ngẫu lực

+ Tác dụng của ngẫu lực làm

cho vat ran chuyển động

quay Để biểu diễn tác Hình 1.6

dụng quay của ngẫu lực ta

có khái niệm vectø mômen của ngẫu lực

©) Định nghĩa 2: vectd mômen của ngẫu lực là một vecLd Lự do m có:

« Phương vuông góc với mặt

phẳng tác dụng của ngẫu

lực:

© Chiều sao cho từ ngọn của

vecLd ấy ta thấy ngẫu lực

'có hướng quay ngược chiều

Ý nghĩa mômen của ngẫu lực

« Ý nghĩa cơ học: Mômen m của ngẫu lực đặc trưng cho tác dụng quay của ngẫu lực

« ¥nghia hinh hoe: | = 28 agp

16 CO HOC LÝ THUYET - TAP |: PHAN TĨNH HỌC, ĐỘNG HỌC

'Từ việc biểu điễn ngẫu lực bằng vectơ mâmen ngẫu lực, nên dễ nhận thấy rằng: hai ngẫu lực bằng nhau khi hai vectd mômen ngẫu lực bằng nhau,

Chú ý: Nếu các ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng thì mômen của ngẫu lực chỉ cần tính như lượng đại số (xem mục 1.2.1)

m=+Fd

4) Định lr

hỳ nào đó bằng uectở mômen của ngẫu lực ấy:

Tổng mômen các lực của ngễu lực đối uới một điểm O bất

m, (Fi) = PAF, v6i Fy = -F,

1.3.2 TINH CHAT TUONG DUONG CUA NGAU LUC

Định lý Lt: Hai ngẫu lực có cùng mặt phẳng tác dụng cùng chiều quay cò trị số mômen thì tương đương nhau

Pirin: mot TINH HOC 1

1.3.3

Các hệ quả của định lý 1:

© Hé qua f: Tac dung cha ngẫu lực lên vật rắn không thay đổi khi

thay đổi vị trí của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó

«- Hệ quá 9: Tác dụng của ngẫu lực không thay đối khi tạ thay đổ tùy ý cường độ của lực và cánh tay đôn nhưng giữ nguyên tri sé momen,

Dinh It 2: Tae dụng của ngẫu lực lên vat rắn không thay đổi bhi roi

ngấu lực đến mặt phẳng song song uới mặt phẳng tác dụng của nó

HỢP HỆ NGẪU LỰC

Hệ ngẫu lực bất kỳ trong không gian tưởng đương với một ngẫu lực

có vectơ mômen bằng tổng hình học các vecbd mômen của tất cả các ngẫu lực thành phần:

— go

bod

Chủ ý: Nếu hệ ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng thì tương

đương với một ngẫu lực có mômen bằng tổng đại số mômen của tất

cả các ngẫu lực thành phần:

§1.4 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1.4.1 TIÊN ĐỀ 1 (Về hơi lực côn bằng)

Điều kiện cần và đủ để một vật rấn cân bằng dưới tác dụng của hai

lực là hai lực đó có cùng đường tác dụng, cùng cường độ và ngược chiéu Ky hiéu (F,,#, ) ~ 0 (hinh 1.9)

18 CO HOC LY THUYET - TAP |: PHAN TINH HOC, BONG HỌC Như vậy ta nhận thấy:

«Ö Afột vật rắn đưới tác dụng của một lực thì không thể cân bằng

Như vậy nếu hai hệ lực khác nhau

bởi một hệ lực cân bằng thì tương z

Hệ quả của tiên đề 1 va 2: Tac dung z

của một lực lên vật rắn sẽ không đổi ‘A

nếu ta trượt lực đi trên đường tác Nà

dụng của nó / Hình 1.10

Chứng mính: Cho lực F tác dụng

lên vật rắn đặt tại điểm A Lấy điểm Ö trên dường tác dụng của

nó và đặt tại 8 hai lực cân bằng FF, (hình 1.10) sao cho

=F =-F,

Phần một, TĨNH HỌC 19

Theo tién dé 2 thi F ~ (FFF )

Mặt khác theo tiên để 1 thì hai lực (F.F,) ~ 0 nên khi bớt di hai

luc FF, chi cdn lai F, hay (F\,F,,F ) ~F, Nhu vay tée dung

cia lue Fi giéng nhu tác dụng của lực F chi khác là luc Fy dat tai

Boon luc F đặt tại A

1.4.3 TIÊN ĐỀ 3 (Quy tắc hình bình hồnh)

Hai lực đặt tại một điểm bao

giờ cũng có hợp lực đặt tại

điểm đó Hợp lực ấy được xác

định bởi đường chéo của hình

© Từ tiên để này ta có thể suy ra cách tìm hợp lực của hệ z lực có

đường tác dụng cắt nhau tại một điểm (gợi là hệ lực đồng quy)

Khi dó đời điểm đặt của tất cả các lực về điểm cắt nhau rồi áp dụng tiên để 3 cho từng cặp lực từ lực F, dén luc F,

« Từ một lực có thể phân tích được thành hai lực hay ba lực theo các phương cho trước

20 CƠ HỌC LÝ THUYẾT - TẬP !: PHAN TINH HỌC, DONG HOC

1.4.4 TIÊN ĐỀ 4 (về tực fac dung va phan tac dụng)

luực tác dụng tưởng hỗ giữa hai vật là những lực có cùng đường tác dụng cùng cường độ và ngược chiều

Hinh 1.12

Tién để này cho ta thấy lực bao giờ cũng xuất hiện từ hai phía

Nếu vật thứ nhất tác dụng lên vật thứ hai một lực Fo thi vat tha

hai cùng tác dụng lên vật thứ nhất một lực Fi, Về toán học có thể

viết ra = -F, Hai lue nay khong cin bang nhau vi chung dat lén hai vật khác nhau (hình 1.12)

1.4.5 TIEN DE 5 (Nguyên lý hồa rắn)

Miột vật biến đạng cân bằng dưới tâo dụng của một hệ lực thì khi hóa rấn nó vẫn cân bằng đưới tác dụng của hệ lực đó

§1.5 LIEN KET VA PHAN LUC LIEN KẾT

1.5.1 KHÁI NIEM VE VAT RAN TU DO, VAT RAN KHONG TU DO, LIÊN KẾT

VA PHAN LUC LIEN KET

Vật rắn tự do là cật có thể di chuyển tự do trong không gian mà không bị ràng buộc bởi các uật khác

hán một TĨNH HỌC 21

1.8.2

a

Vật rắn không tự do là sát bí ngăn cán dị chuyển bởi các tật

khác Vật rần không tự do được gọi là vật bị liên kết còn vật ngàn

cần đi chuyển của vật bị liên kết được gọi là vật gây liên kết

Điều kiện cần trở sự đi chuyển tự do của vật được gợi là liên kết

Vi du:

«- Quả khinh khí cầu bay lơ lửng trong khéng gian là vật tự do

« Vat dat trén ban JA val khéng ty do Mat ban Ia vật gây liên ếc,

Ta cần hiểu bản chất của liên kết là vật gây liên kết sinh ra lực ngăn cần chuyển động của vật bị liên kết, Lực này gọi là phản lực liên kết Còn lực mà vật bị liên kết tác dụng lên vật gây liên kết

gọt là áp lực Ấp lực và phản lực liên kết tuân theo tiên để 4 của

tĩnh học

Cần chú ý là chiều của phản lực liên kết ngược với chiều đi chuyên

bị cần trở Trong thực tế hầu hết các vật rắn đều ở trạng thái không tự do Vì vậy việc xác định các phần lực liên kết là bài toán

quan trong trong tinh hoc Ta sẽ kháo sát phần lực của một số liên

kết sau đây với giá thiết các vật là vật rắn và nhẫn tuyệt đối

MOT SG LIEN KET THUONG GAP VA PHAN LUC LIÊN KẾT

Liên két tựa

Khi vật tựa lên mặt một vật khác, chuyển động của vat chi bi can

trở theo phương pháp tuyến Phản lực hướng theo phương pháp

tuyến chung giữa hai mặt tiếp xúc và đặt tại tiếp điểm Ký hiệu N (hình 1.13a)

Chủ ý:

°- Trường hợp một trong bai mật tiếp xúc là một điểm thì phản lực

hướng theo pháp tuyến của mặt còn lại (hình 1.13b)

«- Gối tựa di động cũng là đạng liên kết tựa (hình 1.13e)

22 CƠ HỌC LÝ THUYẾT - TẬP |: PHAN TINH HOC, BONG HOC

Dây mềm không giãn bị kéo căng

Phản lực liên kết dây gọi là sức

căng của dây có phương dọc theo

day, chiểu đi ra khỏi vật bị liên kết,

ngoài lõi trụ ấy (hình 1.15a) Hai Hình 1.14

vật rắn được nối với nhau bằng bản

lề trụ Chuyển động của vật bị liên kết không bị ngân cần dọc theo trục bản lẩ, do đó phản lực theo phương này bằng không Cho nên phan lực chỉ nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục bản lề, có

phương bất kỳ và ký hiệu R Ta phân tích vecta thành hai thành phần theo hai trục tọa độ trong mặt phẳng ấy (hình 1.15b) Gối tựa cố định cũng là dạng của bản lề trụ (hình 1.1õc).

hình cầu Phản lực R di qua tâm quả cầu Á có phương, chiều bất

kỳ trong không gian Ta xác định được # qua ba thành phần của

nó theo ba trục tọa độ (hình 1.16a)

Hình 1.16

Liên kết cối cũng thuộc dạng bản lề cầu, phản lực Ñ có phương bất kỳ

và được phân làm ba thành phần theo ba trục tọa độ (hình 1.16)

e Lien ket thank

Hai vật được nối với nhau bằng thanh cứng (có thể thẳng huy

cong) không có lực tác dụng lên thanh (trọng lượng của thanh

24 CG HOC LY THUYET - TAP I: PHAN TINH HOC, BONG HOC

không đáng kể) Ở hai đầu thanh có lién két ban 1é (hinh 1.17) Phần lực có đường tác dụng đi qua hai đầu thanh Ta có thể chứng minh kết luận này theo tiên để 1 Nếu thanh chịu kéo thì phản lực hướng ra khỏi vật khảo sát, còn phản lực đi vào vật khảo sát thì

Khi vật bị liên kết và vật gây liên kết được gắn cứng với nhau thì

đó là liên kết ngàm (chẳng hạn, đỉnh đóng cứng vào tường) Phản lực liên kết gồm một lực R, và một ngẫu lực có vectø mômen My

(hình 1.18) Nếu là ngàm trong không gian thi R dược xác định

bởi ba thành phần X„,ŸY„,Z4 theo ba trục tọa độ Còn vecLd

MỸ, cũng được xác định bởi Mf„x,M¿y,M„„ theo ba trục tọa độ đó

Nếu ngàm trong mặt phẳng thì Ry được xác định bởi hai thành phần X.Y, theo hai trục tọa độ trong mặt phẳng Còn MÀ dược xác định trong mặt phẳng ngàm

1.5.3 TIEN ĐỂ ó (Về giỏi phóng liên kết)

Một vật rắn không tự do cân bằng có thể coi là vật rắn tự do cân bằng

nếu ta thay thế các liên kết bằng các phần lực liên kết tương ứng Trong trường hợp này hệ lực tác dụng lên vật rắn cân bằng bao gồm cả lực chủ động và phản lực liên kết

Tiên để này giúp ta giải bài toán cân bằng đối với các vật rắn không Lự đo, Lức là vật rắn chịu liên kết

Như vậy (F, Fr, F) là một hệ gầm một lực Fi va một ngau lực

(F"F ) Ngẫu lực này có mômen m= mứt) Định lý dược chứng minh (hình 2.1b)

26 CƠ HỌC LY THUYET - TAP |: PHAN TINH HOC, ĐỘNG HỌC

2.1.2 THU GON HE LUC KHONG GIAN VE MOT TAM - VECTO CHINH VA

VECTO MOMEN CHINH CUA HE LUC

Dink ngfia: Hé bic không gian là một hệ lực mà đường tác dụng của các lực nằm bất kỳ trong không gian

a) Phuong phap thu gon

Cho một hệ lực không gian (FP, Fy Ta lấy O lam tam thu gọn, Thu gọn hệ lực này về tâm Ó Áp dụng định lý đồi lực song

song ta đời song song lực F vé O, ta dude " = F, va mémen

m, =m,(F,) Dai song song luc F, vé O, ta duge F,' = F) va

mémen m, = m,(F,) Tương tự dời lực F vé O, ta duge F

và mômen m, = m,(F,) Sau khi đời song song hệ (FF, Fi)

vé O thi ta dude mét hé luc déng quy RE.) và hệ ngẫu lực có các vectd mômen mụ Ry soon m, (hình 2.2a)

Phản mặt, TĨNH HỌC 27

Theo phép hợp ngẫu lực (1.6) thay hệ ngẫu lực bằng một ngẫu lực

tổng hợp có vectơ mômea M (hinh 2.2b)

hel

b) Vecte chink va vecto mémen chinh cua hé lực

R = SF là vectd chính của hệ lực (FF, uF)

của các lực đã cho) RẺ là hợp lực của hệ lực Œ F> dat

tai O chứ không phải là hợp lực của hệ lực (FF LF) (giai thích theo định nghĩa hợp lực)

° M, nói chung phụ thuộc vào tâm thu gọn O (cé Lhé chứng mình theo mục 1.3.3)

€) Net quái tÌu gọn

Định 1ý: Khi thụ gọn hệ lực không gian uê một tâm, ta được một lực

tà một ngẫu lực Lực ấy được biểu diễn bằng uect chính của hệ lực

đã cho, còn ngu lực có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối udi tam thu gon

2.1.3 XÁC ĐỊNH VECTO CHÍNH VÀ VECTO MÔMEN CHÍNH CỦA HỆ LỤC 4) Xác dịnh R, va M, bang phương pháp giải tích

“Theo định nghĩa R = SP, ta cô:

>3

28 CO HOC LY THUYET - TAP 1: PHAN TINH HOC, ĐỘNG HỌC

M, =m, Ey" +m, + aR yy 25)

Gọi ¿,.8,.y¡ IA goe mé vecto M, tao vdi cdc truce Ox, Oy, Oz thi

cosin cua cae géc nay được xác định như sau:

cosa, = x 1 cos B, Ty HA na ~ (2.6)

Phin mot, TINH HOC 29

b) Nie dink R, bang phirong phiip hink hee (ding da gic hic)

Xét ha c6 4 lue (F,, Fy, F,,F,) (hình 2.3a) Từ một điểm A bất ky

ta lần lượt vẽ nối tiếp

veetd tương ứng song song cùng chiều với

các vectd F.F,.F,.F, có độ dài chính bằng độ dài các vectgd ấy Đường gãy khúc ABCDBA dược tạo thành gợi là da giác lực của hệ

giác lực sẽ là đa giác phẳng

Đối với hệ có ø lực mà ø > 4 thì La vẽ tương tự như hệ bốn lực chó dén luc F, „

4)

Hinh 2.3

2.1.4 CAC DANG CHUAN KHI THU GON HE LUC KHONG GIAN

Thu hé luce khéng gian vé mét tam ta dude mt hic va mot ngau

luc lave va ngAu lc nay duge biéu dién qua vectd chinh va mémen

chính của hệ đối với tâm thu gọn Để hiểu rõ hơn thực chất tác

30 CƠ HỌC LY THUYET - TAP t: PHAN TINH HOC, ĐỘNG HỌC

dụng của hệ lực không gian ta xét dạng chuẩn của nó qua các trường hợp có thể gặp của veetơ chính và mômen chính của hệ lực: a) Hệ lực cân bằng: nếu hệ lực đã cho có R =Ova M, =0

b) Hệ thu về ngẫu lực nếu Rj =0 và M, #0 Lúc này MỸ, không

phụ thuộc tâm thu gon O

¢) Hệ thu về hợp lực khi thỏa mãn một trong hai trường hợp sau đây:

+ R) z0 và MỸ, =0: hệnthu về một lực Ñ), vì thế Rj chính là

hợp lực của hệ đi qua Ó,

+Ö —R, z0và AM, z0 và M, 1Ñ): nghĩa là Ñj.M, =0, hệ sẽ

thu về một lực không đi qua Ó mà di qua O” Ta c6 thé chứng

minh điều này và xác định Ở như sau

Vectơ M, được biểu điễn bởi ngẫu lực (R,.R,) cùng nằm trong mặt phẳng với Ri sao cho

Phin mọt TĨNH HỌC 31

xoắn (hình 9.5b) Như vậy khi #2 ⁄ Rj thì hệ lực thu về một

hệ xoắn Đoạn Lhẳng đi qua Ó mang hai vecLở Mẹ và R gọi là

làm cho vật rắn vừa quay

vừa tịnh tiến theo trục xoắn

M, ~ (BR) sao cho R.=R, =-R, Lue nay (RM) ~

(B.R,.R,) ~ R, dat tai O° cach @ một doan d= 00 = nh Lúc này hệ thụ về hệ xoắn có trục xoắn di

ey 1

qua 0’

32 CO HOC LY THUYET - TAP |; PHAN TINH HOC, BONG HOC

Nhu vay con M, song song véi Ñ, và hệ thu về hệ xoắn có trục

xoắn không đi qua Ở mà đi qua Ở' (hình 2.6)

Chúng mình: Giả sử hệ lực FF, Fo) có hợp lực R dat vai A

Nehia la (FyF, F,) ~ R Khi đó M, (=0 Lấy điểm Ó bất

kỳ làm tâm thu gọn ta có M„ = Yim Œ) "heo định lý về sự biến

hệ lực phẳng chỉ có thể xây ra một trong các trường hợp sau dây:

» —Ñ¿ =0, M,„, =0 thu được về hệ lực cân bằng

» „=0, AM, z0 hệ thu về ngẫu lực có ă„ không pbụ thuộc vàu tâm thu gon O

ham mặt TĨNH HỌC 33

R, 40, M, = 0 hé thu về hợp lực đặt tại O, còn nếu R20,

M,, #0 (hinh 2.7a) hệ thu về hợp lực đặt tại O' cách Ở một đoạn

d=00'= a (hinh 2.7b)

M a)

34 CƠ HỌC LÝ THUYET - TAP |: PHAN TINH HOC, BONG HOC

Bồi giải: Thu gọn hệ lực về tâm Ó là tìm vectd chính và mômen chính của hệ đối với tâm O

R,'= SY, =0

RY= J), =F -F,-F, =-F

M., = Ym, (F,)=aF, -aF, =0

Phin mot TINH HOC 35

=Som,F) = aF,-—aF, =aF

M,, = Dm (B,) =0

Nhu vay khi thu gon hé lue 6 trén vé O ta duge mét luc LAN song

song và ngược chiểu với trục z, một ngẫu lực có M, song song cùng chiều với trục y

Vì M, 1 7# nên hệ thu được về hợp lực đi qua Ở'

Vi dụ 2 (hệ lực phẳng): Cho đàn chịu lực như ở hình 9.10 Ta có: Véi F, = 2F F, =F, = F

“Thu gọn hệ lực về dạng tối giản,

Hinh 2.10 Bài giái: Chọn hệ trục như ở hình 2.10

R,=F,=2F

R,=-F,- Fy=-

R= J(R,)+(R,)° =2v2F

36 CƠ HỌG LÝ THUYẾT - TẬP I: PHAN TINH HOC, BONG HOC

Nêu gọi œ,B là góc giữa & tạo với các trục x, Ởy thì cosin cua các góc này dược xác định như sau:

tat)

Hệ lực phẳng có R + 0 nên thu được về hợp lực Áp dụng định lý

Varinhông ta có thể tìm được đường tác dụng của hợp lực /? Tủ

thay dé dang:

m,(R) = yng) =-aF, ~2aF, —4af, = -SaF Mặt khác nếu gọi đ là cánh tay đòn của ® dối với A, tà có

ms (R)=-dR

Két hop (a) và (b) ta có đưỡng tác dụng của cáchA một khoảng đ, Mômen của R đối với A cô dấu (-)

§2.2 BÀI TOẦN CAN BANG CUA HE LUC

2.2:1 DIEU KIFN CAN BANG CUA HE LUC KHONG GIAN

a) Dinh I 1 Diéu kién can va du dé hé lực không gian côn bằng là uecte chink va veecto mémen chink ctia hé luc déi vdi mot diém O bất ky nào đồ bằng Ú:

Ri =0 va M, =0

Chung minh:

+ Điều kiện cần:

Giả thiết (FF, " T)~ 0

Phần inet TINK HOC - 37

Kết luận A, = OF, =0 wa MW, = Ym) =0 a

Ta ching minh điểu kiện cần dựa vào các dạng chuẩn khi thụ gọn hệ lực không gian Thực vậy nếu điều kiện trên không thóa

mãn thì hệ lực không gian sẽ tương đương với một ngắu lực hợi›

lực hoặc hệ xoắn nghĩa là không thỏa mãn tiên để 1 Vậy R,=0 va Mộ =0 hay hệ cân bằng

« - Điều kiện đủ:

Gia thiét RY, = YF, =0 va M, = Som, (F,) =0

Kết luận (F; > F, wey Fy )~ 0

Diéu kién du 1A hién nhién vi vecto chinh cla hé lye bang

không, khi thu gọn hệ lực về một điểm bất kỳ ta được một ngẫu

lực thu gọn có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với

diểm Ó (định lý biến thiên mômen) tức là bằng 0 lo đó ngẫu

Tực thu gọn là hai lực cân bằng theo tiên để 1 Vậy hệ lực dã cho

cần bằng

Ð) Cúc phương trình cản bằng của hệ lực không gi

Định ý 2: Điều kiện cần oà đủ để hệ lực không gian cân bằng lá tổng hình chiếu của tất có các lực uà tổng mômen của chúng đổi oới ba thục tọa độ đồng thời bằng 0Ö:

38 CO HOC LY THUYET - TAP |: PHAN TINH HOC, ĐỘNG HỌC

tọa độ Nghĩa là vật rắn cân bằng

,} còn có hệ & ngẫu lực với các

Chú ý: Nếu ngoài hệ lực ức,

vectd mômen mm a) tác dụng lên vật rắn thì khi thiết lập

phương trình cân bằng ta cần lưu ý:

«- Các phương trình hình chiếu lên các trục tọa độ vẫn giữ nguyên

«Trong các phương trình mômen đối với các trục tọa độ ta phải

cộng đại số thêm hình chiếu của các vectơ mômen lên các trục tọa độ

3m) + S mà, =0

Sm,Œ)+ Sm, =0

trong đồ m,, mj, mj, 1a hình chiếu của vectd m, lên các trục tọa độ

2.2.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA CÁC HỆ LỰC KHÁC

a) Hệ lực phẳng

“Ta chọn mặt phẳng chứa các lực làm mặt phẳng Oxy và trục Óz

vuông góc với mặt phẳng chứa các lực Từ (2.10) rõ ràng là:

v2, =0; Yom, Fy) = 05 Yim, (F)=0 luôn tự thỏa mãn

Khi đó điểu kiện cân bằng của hệ lực phẳng còn lại

YX, <0: VY, =0; Ym = Ym, Fy = 0

Do đó định lý được phát biểu như sau:

Phiin một, TĨNH HỌC 39

©_ Dạng cân bằng thứ nhất:

Định lí: Điều kién can va di để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu tất cả các lực lên hai trục tọa độ uà tổng mômen của chúng đối uới một điểm bất kỳ trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực bằng 0:

SX, =0; YY, =0: Vm (FR) =0 (2.12)

« Dạng cân bằng thứ hai:

Định lý: Điều hiện cần uà đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các tực đối uới hai diém A, B bất kỳ va tổng hình chiếu của các lực lên trục Ox không uuông góc vdi AB bang 0:

Sim,(F)=0: Dima) =0: VX, =0 (2.13) Chung minh:

»_ Điểu kiện cần: Chứng minh như dạng tổng quát

«- Điều kiện đủ: Nếu hai phương trình đầu của (2,13) thỏa mãn thì

hệ có thể thu về hợp lực R di qua cả hai điểm A, B True Ox không vuông góc với AB thì phương Lrình thứ 3 thỏa mãn khi và chỉ khi chính bản thân vectd R = 0 Như vậy hệ sẽ cân bàng

»_ Dạng cân bằng thứ ba:

Định IW: Diéu kiện cần uò đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng

mômen tất cả các lực đối uúi ba điểm A, B, C không thẳng hàng đồng thời bằng 0:

m2) =0: Y my) = 0: Sime (F,)=0 (2.14)

Chung minh: Tương tu dang thứ hai

b) He luc Khong gian song song

Hệ lực không gian song song là hệ lực có các lực song song trong

không gian

Chọn hệ trục Oxyz có trục Õz song song với các lực Khi đó từ (2.10) ta có các phương trình sau tự nghiệm;

40 CO HOC LY THUYET - TAP |: PHAN TINH HOC, ĐÔNG HỌC

YX, <0: VY, =0; Sm, =0

Do đó điều kiện để hệ lực không gian song song cân bằng sẽ là:

YZ, =0: Ym, (F,)=0: Ym, (Fe) =0

Định lý: Điêu kiện cần uà đủ để hệ lực không gian song song cân

bằng là tổng hình chiếu các lực lên trục song song oới chúng 0à

tổng mômen các lực đối uới hai trục còn lại bằng 0:

S24 =0: Sm (F)=0: Ym 2) =0 (2.18)

(nếu trục Óz song song với các lực)

€) Hệ lực không gian đông quy

Hệ lực không gian đồng quy tại O Khi đó lấy Ó làm tâm mômen

và là gốc của hệ tọa độ Oxyz thì ba phương trình mômen của (2.10)

tự thỏa mãn Ta có định lý sau:

Định lý: Điều kiện cần uà đủ để hệ lực không gian đồng quy cân bằng là tổng hình chiếu tất cả các lực lên bœ trục tọa độ đều bằng 0:

X,=0:S1Y,=0:S Z,=0 (2.16)

3 X.=0: 5y, <0: 3)

2.2.3 TRÌNH TỰ GIẢI BAI TOAN TINH HOC VA cAc vi Dy

Một vật rắn sẽ cân bằng khi nó chịu tác dụng của hệ lực cân bằng

Giải bài toán về sự cân bằng của hệ lực là ta tìm các phản lực liên kết trong các phương trình cân bằng của hệ lực

Các bước cần thiết để giải bài toán tĩnh học:

1) Chọn vật xét cân bằng

2) Thay tất cả các liên kết bằng phản lực liên kết tương ứng Lúc

đó vật xót cân bằng sẽ chịu tác dụng của các lực đã biết và phần lực liên kết

3) Thiết lập các phương trình cân bằng của hệ lực tác dụng lên vật

Phần muội TĨNH HỌC 41

4) Giải các phương trình để xác định các đại lượng cần tùn và

kiểm tra lại kết quả

Ví dụ 1 (đối với hệ lực không gian): Một tấm mồng đồng chất hình chữ nhật nặng 200N liên kết với tường thẳng dang bang ban 1é

A, ban lể trụ Ø và duge gitt nam ngang nhà day CE: A và E cùng nằm trên một đường thẳng đứng Cho biết góc SƠA và BAC đều bằng 30° Cho AB = CD = a; AD = BC = 6 Tim phan luc tai A,

B và sức căng 7 của dây CE (hình 2.11)

Bài giải: Khảo sát Lấm móng ABCD cân bằng,

Giải phóng liên kết và đặt các phần lực liên kết tương ứng

Hệ lực tác dụng lên tấm ABCD: (P,T.X„;.Y,.Z4.Xg.Yg)~ 0

Hệ tọa độ được chọn như ở hình 2.11 Tia lực có phương, chiều như ở hình 9.11 Phân tích 7' ra ba thành phần:

=

42 CƠ HỌC LÝ THUYẾT - TẬP !: PHAN TINH HOC, BONG HOC

Bài giải: Khảo sát dân cân bằng

Lue ic dung lén dan: (F,,F,.Fy.X4.¥4.¥_)