Không gian véc tơ: ñộc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở; không gian con, không gian thương; hạng của một hệ véc tơ; tọa ñộ của véc tơ ñối với cơ sở; 2.. Ánh xạ tuyến tính: ảnh và hạt n
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
ðẠI HỌC HUẾ
ðỀ CƯƠNG THI TUYỂN CAO HỌC
Môn: ðẠI SỐ Chuyên ngành: KHOA HỌC TỰ NHIÊN
I Yêu cầu: ðảm bảo bao quát toàn bộ ñề cương, gồm kiến thức cơ bản, khả năng
vận dụng và tổng hợp ðề thi ñảm bảo tính khoa học, chính xác, chặt chẽ, phù hợp với trình ñộ chung của thí sinh và có tính phân loại tốt
II Nội dung
Phần A: ðại số tuyến tính
1 Không gian véc tơ: ñộc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở; không gian con, không gian thương; hạng của một hệ véc tơ; tọa ñộ của véc tơ ñối với cơ sở;
2 Ánh xạ tuyến tính: ảnh và hạt nhân; ñơn cấu, toàn cấu, ñẳng cấu; ñịnh lý về ñồng cấu; hạng của ánh xạ tuyến tính
3 Ma trận-ðịnh thức: các phép toán trên ma trận, các phép biến ñổi sơ cấp, ma trận nghịch ñảo; vành các ma trận, nhóm tuyến tính tổng quát; ánh xạ ña tuyến tính thay phiên, ñịnh thức của ma trận và ánh xạ tuyến tính; hạng của ma trận
4 Hệ phương trình tuyến tính: hệ phương trình Cramer, công thức Cramer; hệ thuần nhất, hệ tổng quát, phương pháp khử Gauss; ñịnh lý Kronecker-Capelli
Phần B: ðại số tuyến tính (tiếp theo)
1 Véc tơ riêng, giá trị riêng; ma trận chéo hóa ñược
2 Dạng toàn phương và song tuyến tính: phân loại dạng toàn phương thực; ñịnh lý
về chỉ số quán tính
3 Không gian véc tơ Euclid: cơ sở trực chuẩn; biến ñổi trực giao, nhóm các ma trận trực giao; chéo hóa các phép biến ñổi ñối xứng
Phần C: Nhóm
1 Nhóm: nhóm con, nhóm con sinh bởi 1 tập; nhóm xyclic
2 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương
3 ðồng cấu nhóm: ảnh và hạt nhân; ñịnh lý phân tích ñồng cấu
4 Nhóm hữu hạn: ñịnh lý Lagrange và các hệ quả
5 Nhóm ñối xứng và nhóm thay phiên
Phần D: Vành, vành ña thức và trường
1 Vành, vành con, iñêan: vành con và iñêan sinh bởi 1 tập; ñặc số của vành; iñêan nguyên tố và cực ñại; vành thương
2 ðồng cấu vành: ảnh và hạt nhân; ñịnh lí phân tích ñồng cấu
3 Miền nguyên Gauss, miền nguyên chính, miền nguyên Euclid: ước chung lớn nhất; phần tử bất khả quy và nhân tử hóa
4 Trường và trường các thương của miền nguyên
5 Vành ña thức 1 biến: cấu trúc của vành ña thức; nhúng vành vào vành ña thức một biến siêu việt; phép chia Euclid trong vành ña thức; nghiệm của ña thức; vành ña thức trên một trường
6 ða thức bất khả quy: nhân tử hóa trong vành ña thức 1 ẩn; các tiểu chuẩn bất khả quy và nhân tử hóa trong các vành ña thức trên vành các số nguyên, trên trường số hữu tỉ, thực và phức
Trang 2III Bài tập: Ứng với các nội dung nêu trên
IV Tài liệu tham khảo chắnh
1 Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ (1980), Bài tập ựại số, Nxb KH&KT, Hà Nội
2 Hoàng đức Nguyên, Phan Văn Hạp, Lê đình Thịnh, Lê đình định (1998), đại
số tuyến tắnh, Phần bài tập, Nxb KH&KT, Hà Nội
3 Ngô Thúc Lanh (1985), đại số, tập 1, 2 & 3, Nxb Giáo dục, Hà Nội
4 Hoàng Xuân Sắnh (1970), đại số ựại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội
5 Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), đại số tuyến tắnh, Nxb đHQG Hà Nội
6 Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), đại số ựại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội
7 Lê Thanh Hà (2000), đa thức và nhân tử hóa, Nxb Giáo dục, Hà Nội
8 Lê Tuấn Hoa, đại số tuyến tắnh qua bài tập và vắ dụ
V Ghi chú: đề thi ứng với ựề cương này gồm:
Câu 1: thuộc kiến thức Phần A: 2,5 ựiểm
Câu 2: thuộc kiến thức Phần B: 2,5 ựiểm
Câu 3: thuộc kiến thức Phần C: 2,5 ựiểm
Câu 4: thuộc kiến thức Phần D: 2,5 ựiểm
Huế, ngày 13 tháng 2 năm 2007
PGS TS Lê Văn Hạp
Trang 3BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
ðẠI HỌC HUẾ
ðỀ CƯƠNG THI TUYỂN CAO HỌC
Môn: GIẢI TÍCH Chuyên ngành: KHOA HỌC TỰ NHIÊN
I Yêu cầu: ðảm bảo bao quát toàn bộ ñề cương, gồm kiến thức cơ bản, khả năng
vận dụng và tổng hợp ðề thi ñảm bảo tính khoa học, chính xác, chặt chẽ, phù hợp với trình ñộ chung của thí sinh và có tính phân loại tốt
II Nội dung
Phần A: Phép tính vi phân và tích phân của hàm số
1 Tính liên tục và liên tục ñều của hàm nhiều biến số
2 Tính khả vi và ñạo hàm riêng các cấp của hàm nhiều biến Bổ ñề Schwarz ðịnh
lý hàm ẩn Cực trị
3 Tích phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt
4 Tích phân Lebesgue Các ñịnh lý chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân
5 Chuỗi số
6 Dãy hàm và chuỗi hàm: sự hội tụ, miền hội tụ Chuỗi lũy thừa và các tính chất cơ bản của nó
Phần B: Không gian metric
1 Khái niệm và sự hội tụ
2 Tôpô trong không gian metric: lân cận, tập mở, tập ñóng, ñiểm trong, ñiểm dính, ñiểm tụ, ñiểm biên
3 Không gian metric ñầy ñủ Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu ñóng thắt dần ðịnh lý Bair về phạm trù Nguyên lý ánh xạ co và ứng dụng
4 Tập compact và không gian compact Mối liên hệ giữa tính compact và tính hoàn toàn bị chặn ðịnh lý Heine - Borel
5 Ánh xạ liên tục Các tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact
Phần C: Không gian ñịnh chuẩn
1 Không gian ñịnh chuẩn: ñịnh nghĩa và các tính chất cơ bản Khảo sát một số không gian cụ thể chẳng hạn C[a,b], lp , 1 ≤ p ≤ ∞
2 Toán tử tuyến tính liên tục Không gian các toán tử tuyến tính liên tục Không gian liên hiệp Toán tử liên hiệp
3 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm
Phần D: Không gian Hilbert
1 Không gian Hilbert: ñịnh nghĩa và các tính chất cơ bản
2 Hệ trực giao và hệ trực chuẩn
3 Phép chiếu trực giao ðịnh lý Riesz về biểu diễn phiếm hàm tuyến tính
4 Hội tụ yếu
5 Toán tử liên hiệp và toán tử tự liên hiệp
III Bài tập: Ứng với các nội dung nêu trên
IV Tài liệu tham khảo chính
1 Phan ðức Chính (1978), Giải tích hàm, tập 1, Nxb ðH & THCN, Hà Nội
2 Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội
3 Nguyễn Xuân Liêm (2000), Bài tập Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội
4 Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tích, tập 1 & 2, Nxb ðHQG Hà nội
Trang 45 Liasko và nhiều tác giả (1979), Giải tích toán học - Các ví dụ và bài toán, tập1 &
2, Nxb ðH & THCN, Hà Nội
6 Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, Nxb ðHQG Hà Nội
V Ghi chú: ðề thi ứng với ñề cương này gồm:
Câu 1: thuộc kiến thức Phần A: 4 ñiểm
Câu 2: thuộc kiến thức Phần B: 2 ñiểm
Câu 3: thuộc kiến thức Phần C: 2 ñiểm
Câu 4: thuộc kiến thức Phần D: 2 ñiểm
Huế, ngày 13 tháng 02 năm 2007
Trưởng Tiểu ban chỉnh sửa ðC Hiệu trưởng
PGS TS Lê Văn Hạp