CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Sưu tầm và biên soạn: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Hải Dương FB: https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko

HỌC CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem

Group: THỦ THUẬT CASIO THPT https://fb.com/groups/casiotracnghiem

Công thức và bài tập áp dụng từ thầy Hoàng Trọng Tấn, TP.HCM

Diê ̣n tích và thể tích mă ̣t cầu

4

C

3

C

V  R

A KỸ NĂNG CƠ BẢN

I Mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp khối đa diê ̣n

1/ Ca ́ c khái niê ̣m cơ bản

 Tru ̣c của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoa ̣i tiếp của đa giác đáy và

vuông góc với mă ̣t phẳng chứa đa giác đáy

 Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó

 Đường trung trực của đoa ̣n thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoa ̣n thẳng và

vuông góc với đoa ̣n thẳng đó

 Bất kì điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoa ̣n thẳng

 Mă ̣t trung trực của đoa ̣n thẳng: là mă ̣t phẳng đi qua trung điểm của đoa ̣n thẳng và vuông

góc với đoa ̣n thẳng đó

 Bất kì một điểm nào nằm trên mă ̣t trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoa ̣n thẳng

2/ Tâm va ̀ bán kính mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp

 Tâm mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp Hay nói cách

khác, nó chính là giao điểm I của tru ̣c đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng

trung trực của một cạnh bên hình chóp

 Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp

3/ Ca ́ ch xác đi ̣nh tâm và bán kính mă ̣t cầu của mô ̣t số hình đa diê ̣n cơ bản

a/ Hi ̀nh hô ̣p chữ nhâ ̣t, hình lâ ̣p phương

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

- Tâm: tru ̀ ng với tâm đối xứng của hình hô ̣p chữ nhâ ̣t (hình lâ ̣p phương)

Tâm là I , là trung điểm của AC '

- Ba ́ n kính: bằng nửa đô ̣ dài đường chéo hình hô ̣p chữ nhâ ̣t (hình lâ ̣p phương)

2

AC

R 

b/ Hi ̀nh lăng tru ̣ đứng có đáy nô ̣i tiếp đường tròn

1 2 3 n 1 2 3 n

A A A A A A A A , trong đó có 2 đáy

1 2 3 n

A A A A và ' ' ' '

1 2 3 n

A A A A nô ̣i tiếp đường tròn  O và  O' Lúc đó,

mă ̣t cầu nô ̣i tiếp hình lăng tru ̣ đứng có:

- Tâm: I vơ ́ i I là trung điểm của OO '

1 2 n

RIA IA  IA

c/ Hi ̀nh chóp có các đỉnh nhìn đoa ̣n thẳng nối 2 đỉnh còn la ̣i dưới 1 góc vuông

90

SAC SBC

+ Tâm: I là trung điểm của SC

+ Bán kính:

2

SC

R  IAIB IC

90

SAC SBC SDC

+ Tâm: I là trung điểm của SC

+ Bán kính:

2

SC

R   IAIB IC  ID

d/ Hi ̀nh chóp đều

Cho hình chóp đều S ABC

- Gọi O là tâm của đáySOlà tru ̣c của đáy

- Trong mặt phẳng xác đi ̣nh bởi SO và mô ̣t ca ̣nh bên,

chẳng ha ̣n như mp SAO , ta vẽ đường trung trực của ca ̣nh SA

là  cắt SA ta ̣i M và cắt SO ta ̣i I I là tâm của mă ̣t cầu

- Bán kính:

C’

D

D’

B’

I A’

C

A

C’

I

O

O’

I

A1 A2

A3

An

A’1

A’ 2

A’3 A’n

S

A

I

C

B

S

A

D

I

S

A

B

C

D

O

I

∆

M

Ta có: SMI SOA SM SI

SO SA

2

2

SM SA SA

e/ Hi ̀nh chóp có ca ̣nh bên vuông góc với mă ̣t phẳng đáy

Cho hình chóp S ABC co ́ ca ̣nh bên SA  đáy ABC  và đáy ABC nô ̣i tiếp đươ ̣c trong

đường tròn tâm O Tâm và bán kính mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp S ABC đươ ̣c xa ́c đi ̣nh như sau:

- Từ tâm O ngoa ̣i tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với

 

mp ABC ta ̣i O

- Trong mp d SA , , ta dựng đường trung trực của ca ̣nh SA , cắt SA ta ̣i M , cắt d ta ̣i I

I

 là tâm mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp

và bán kính RIA IBIC IS

- Tìm bán kính:

Ta có: MIOB là hình chữ nhâ ̣t

Xét MAI vuông ta ̣i M có:

2

2

SA

R AI  MI MA  AO  

   A

S

I

O

B

C

d

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

f/ Hi ̀nh chóp khác

- Dựng tru ̣c  của đáy

- Dựng mă ̣t phẳng trung trực   của mô ̣t ca ̣nh bên bất kì

-       là tâm mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp I I

- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp

g/ Đươ ̀ ng tròn ngoa ̣i tiếp mô ̣t số đa giác thường gă ̣p

Khi xác đi ̣nh tâm mă ̣t cầu, ta cần xác đi ̣nh tru ̣c của mă ̣t phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mă ̣t phẳng đáy ta ̣i tâm O của đường tròn ngoa ̣i tiếp đáy Do đó, viê ̣c xác đi ̣nh tâm ngoa ̣i O là yếu tố rất quan tro ̣ng của bài toán

II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Cho hình chóp S A A 1 2 A n (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để

xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên

Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu:  mp( )  O

- Bán kính: RSASO Tuỳ vào từng trường hợp

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy



H

O I

D

C

B A

S

∆ vuông: O là trung điểm

của cạnh huyền

O

Hình vuông: O là giao điểm

2 đường chéo

O

Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo

∆ đều: O là giao điểm của 2 đường trung tuyến (trọng tâm)

∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆

O

1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp

đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy

Tính chất:  M : MAMBMC

2 Các bước xác định trục:

- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

VD: Một số trường hợp đặc biệt

c Tam giác bất kì

3 Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng

SMO

SA SI

4 Nhận xét quan trọng:

SA SB SC



 

ABC

5 Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông

CÔNG THỨC:

2

SC

R 

Trong đó SC là cạnh huyền được nhìn bởi các đỉnh còn lại dưới

góc vuông



H

M

C

B A

H

A

C B

A H

B

A

C H



A

M

I O S

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

 BC  (SAB)  BC  SB

Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông

 nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC

Gọi là trung điểm là tâm MCNT khối chóp và bán kính

Dạng 2: Chóp đều

2

k R h



Trong đó :

k: Chiều dài cạnh bên

h: Chiều cao hình chóp

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều

+ Vẽ thì là tâm đường tròn ngoại tiếp

+ Trên mặt phẳng , vẽ đường trung trực của , đường này cắt tại thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp và bán kính

+ Ta có

Dạng 3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

2

d

h

R R  

  

 

Trong đó:

Rd: Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy

h:Chiều cao hình chóp

Ví dụ: Cho chóp SABCD có SA vuông góc với đáy ABCD là hình chữ nhật có đường chéo là a 5

; SA =2a; Tính S và V mặt cầu ngoại tiếp chóp

Giải:

: SA ABC

S ABC

ABC B

 

  



 

BC AB gt

BC SA SA ABC









S ABC

2

SG SC SC SK SC

R đáy = AC/2 và SA =h áp dụng công thức:

2

          

Dạng 4: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

4

b d

GT

R R R 

Rb: Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên

Rd: Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy

h:Chiều cao hình chóp

Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Mặt bên và

đều Gọi lần lượt là trung điểm của

Ta có là tâm đường tròn ngoại tiếp (do )

Dựng là trục đường tròn ngoại tiếp ( qua và song song

)

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và là trục đường tròn ngoại

tiếp , cắt tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

SAB

1

SH

SAB

S ABC

SGI SI GI SG

GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 ,

Bài Tập vận dụng

Câu 1: Hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều tam giác có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

2a là

A

3

27

a

B

3

9

a

C

3

27

a

D

3

27

a

Câu 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a; BC a 3

;SA a 5 và SA (ABC Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp ) S ABC là

A

3

27

2

a

B

3 3 2

a

C

3 9 2

a

Câu 3: Thể tích của hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh bằng a là

A

3

3

3

a

B

3

2 3

a

C

3

3

a

D

3

6

a

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

bằng:

A

3 6

8

a

B

3 6 6

a

C

3 6 4

a

D

3 6 6

a

Câu 4: Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là

A

3

2

12

a

B

3 4 3

a

C

3

2 3

a

D

3 6

a

Câu 5: Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng a là

A

3

3

12

a

B

3

2 12

a

C

3

2 4

a

D

3

3 4

a

Câu 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có AB a, góc giữa hai mặt phẳng ( 'A BC và () ABC bằng 60) 0 Gọi G là trọng tâm tam giác A BC' Thể tích của hình cầu

A

3

49

108

a

B

3 343 432

a

C

3 343 5184

a

D

3 343 1296

a

Câu 7: Thể tích của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng a là

3

3 2

a

C

3 4 3

a

Câu 8 Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a (mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của

hình lập phương) có thể tích bằng:

A

3

6

a

B

3 4 3

a

C

3 8 3

a

D 2a3

Câu 9 Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a Thể tích khối cầu

ngoại tiếp ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho là:

A

2

7

3

a

B

3 7 3

a

C

3

54

a

D

3

96

a

Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, tam giác SBC vuông tại S,

A

3

3

a

B

3 4 3

a

C

3

3

a

D 2a3

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD đều có tất cả các cạnh đều bằng a Diện tích mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp bằng:

A

2

4

3

a

Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a 2, SA(ABC),

GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 ,

2

a

Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA(ABCD), SA

=AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:

Câu 14 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a 3, cạnh bên bằng 2a Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

A

3

3

a

B

3

3

a

C

3

3

a

D

3 4 3

a

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3 ,

0 90

tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:

6

a

2

a

6

a

3

a

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ABCD Tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB 1cm BC, 3cm ,

SA ABC , SA 4 cm Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Diện tích mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A 2 a2 B

2 2 3

a

Câu 20: Bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và

cạnh bên cùng bằng a là:

2

3

3

4 1 3 a

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông với đường cao AB = a, BC

K Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E, K theo a bằng:

1

6

Câu 22: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng

tiếp tứ diện GABC theo a bằng:

A.7 2

2 49

2 49

2 49

108 a

Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và

A

2

3

4

a

B

2 4 3

a

C

2 3 2

a

D

2 2 3

a

Câu 24: Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có

AB BC BC CD CD AB và AB = a, BC = b, CD = c là:

A. a2 b2 c2 B.1 2 2 2

2 2 2

1

2 a b c

Câu 25: Cho tứ diện DABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt

đáy Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DABC có bán

kính bằng:

A 5 2

2

a

B 5 2 3

a

C 5 3 2

a

D 5 3 3

a

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

Trên đây là CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP

Các dạng toán full casio giải quyết các chuyên đề có tại:

“THUẬT TOÁN CASIO CÔNG PHÁ TOÁN 12” - dày 500 trang

Các bạn có nhu cầu đặt sách vui lòng đặt sách tại: https://tinyurl.com/thuthuatcasio12

“THUẬT TOÁN CASIO GIẢI CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CỰC CHẤT” -

Các bạn có nhu cầu đặt sách vui lòng đặt sách tại: https://tinyurl.com/thuthuatcasio

+) Sách nêu chi tiết cụ thể từ cơ sở lý thuyết đến hướng dẫn bấm máy từng bước cụ thể lời giải chi tiết

+) Mỗi dạng đều có phương pháp chung và nhiều cách bấm máy nhanh !!!

+) Không cần sự hướng dẫn của GV cũng có thể làm được bài tập do thầy đã cầm tay chỉ việc rất cụ thể cách làm

+) Sách là tài liệu cực kì hữu ích cho giáo viên luyện thi về casio và học sinh muốn đạt điểm 8-9-10

+) Giá sách: 100k/ quyển ( CHƯA BAO GỒM PHÍ SHIP GIAO HÀNG)

QUYỀN LỢI MUA SÁCH:

+) 1 CUỐN “THUẬT TOÁN CASIO CÔNG PHÁ TOÁN 12” giá 100K

+) 1 CUỐN “THUẬT TOÁN CASIO CÔNG PHÁ TOÁN 12” + 1 CUỐN “THUẬT TOÁN CASIO GIẢI CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ” TRỊ GIÁ 150K giá 150K

+) 1 CUỐN “THUẬT TOÁN CASIO CÔNG PHÁ TOÁN 12” + 1 FILE WORD

CASIO 300 TRANG TRỊ GIÁ 200K chỉ còn giá 250K

+) Nhận tài liệu casio tự động ngay khi thầy biên soạn được

+) Tương tác và trao đổi online về các kiến thức casio

+) Add group THUẬT TOÁN CASIO THPT :

https://www.facebook.com/groups/casiotracnghiem/

+) Nhận tài liệu casio CẬP NHẬT THƯỜNG XUYÊN qua mail

+) Nhận đề + đáp án casio thường xuyên để kiểm tra quá trình học tập

+) Nhận file word casio một số phần

HÌNH THỨC THANH TOÁN:

CHUYỂN KHOẢN:

Qúy thầy cô và các em chuyển tiền vào tài khoản:

Số TK: 2302205102323 - Ngân hàng AGRIBANK chi nhánh Cầu Ràm - Ninh Giang- Hải Dương

SAU KHI CHUYỂN KHOẢN VUI LÒNG NHẮN TIN CHO THẦY (Không gọi) VÀO SĐT 01648296773 ĐỂ XÁC NHẬN NHÉ !!!

VUI LÒNG ĐỌC KĨ THÔNG TIN TRƯỚC KHI ĐẶT MUA !!!