Bai tap tong hop hinh hoc 8 chuong 3

-TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC... Định lí Ta-lét thuậntrong tam giác 1./Định lý : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh tam giácvà song song cạnh còn lại thì định trên hai cạnh

HÌNH HỌC 8 TẬP 3

-ĐỊNH LÝ TA LET TRONG TAM GIÁC

-TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

-TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

HỌ VÀ TÊN HỌC SINH : ………

A.TỈ SỐ HAI ĐOẠN THẲNG I./Tỉ số hai đoạn thẳng.

1./Định nghĩa: Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số hai độ dài của hai đoạn đó theo cùng đơn

vị đo

+Tỉ số giữa AB và CD kí hiệu: AB

CD

2./Ví dụ: Cho AB = 5 cm, CD = 1 dm thì AB

CD= 5 1

10  2

II./ Hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ

1./ Định nghĩa:Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với cặp đoạn thẳng MN và PQ

khi có AB

CD=MN

PQ hoặc AB

MN =CD

PQ

2./Ví dụ: Cho AB = 5 cm, CD = 1 dm thì AB

CD= 5 1

10  2 MN= 3cm; PQ = 6 cm thì MN

PQ =3 1

6 2 Suy ra AB

CD=MN

PQ Vây ta nói Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với cặp đoạn thẳng MN và PQ

3./ Nhắc lại một số tính chất của tỉ lệ thức:

' '

AB A B

AB C D A B CD

b./

' '

;

' ' ' '

; ' '

AB A B AB CD

CD C D A B C D

AB C D A B CD

C D A B C D CD

CD AB A B AB





c./

' ' ' '

' ' ' '

AB CD A B C D

CD C D

AB C D A B C D





' ' ' '

AB A B AB A B

CD C D CD C D





BÀI TẬP

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Biết AB = 3cm ; CD = 5dm Tỉ số của CD và AB là:

A 5

3 B 3

5 C 50

3 D 30

5

Câu 2: Nếu AB = 5cm; CD = 4 dm thì:

A AB

CD =

5

4 B

AB

CD =

5

40 C

AB

CD =

50

AB

CD =

5

4 m Hình học 8 chương III- GV: Lương Công Hiển

Tài liệu dạy thêm – Hình học 8 chương III- GV: Lương Công Hiển

Câu 3: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’nếu có

tỉ lệ thức:

A AB

CD =

A’B’

C’D’ B

AB

CD =

C’D’

A’B’ C

AB C’D’ =

CD

AB A’B =

C’D’

CD

Câu 4 : Cho hai đoạn thẳng AB = 10 cm, CD = 5 dm Câu nào sau đây là đúng ?

A AB 2

5

AB

3

AB

4

AB

CD 

Câu 5: Cho biết 7

12

MN

PQ  và PQ = 24 cm Độ dài của MN bằng

A 12 cm B 14 cm C 16 cm D 18 cm

Bài làm

Trả lời

B.ĐỊNH LÝ TA LET TRONG TAM GIÁC

I Định lí Ta-lét (thuận)trong tam giác

1./Định lý : Nếu một đường thẳng cắt

hai cạnh tam giácvà song song cạnh còn lại

thì định trên hai cạnh đó

những cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Ví dụ : Hình 1  ABC có B’C’ // BC thì

' '

AB  AC B B C C AB  AC

III Hệ quả :

1 Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại của tam giác thì nó tạo ra tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho

2.VD: Trong các hình sau : ABC nếu có MN //BC thì ta có : AM AN MN

AB  AC  BC

3./Áp dụng

Bài 1: H 2 cho DE//BC Tính x

Giải :

N N

N

M

M

M

C C

C

B

B B

A A

A

C'

Hình 1

A

B'

4 x

3 6

 ABC có DE //BC  AD AE

BD  EC (ĐL Talet)

 6 x

3  4  x= (6.4) : 3 = 8

H2 Bài 2:Cho  ABC có G là trọng tâm, Qua G vẽ đường thẳng song song AB cắt BC tại

D.Tính BC

BD

Giải

Hình 3

Gọi CE là trung tuyến của  ABC

 EBC có GD//BE  BC

BD=CE

EG(ĐL Talet)

Vì G là trọng tâm  ABC  CE

EG=3 Suy ra BC

BD=3

Bài 3: Cho  ABC Lấy D trên cạnh AB sao cho 2

3

AD

BD  Từ D và B vẽ DE và BH cùng vuông góc AC.Tính AE

AH

Giải:

Ta có DE// BH( cùng vuông góc AC)

Xét  ABH có DE//BH  AE

AH = AD

AB (ĐL Talet)

3

AD

BD AD   AB 

5

AE

AH 

Bài 4 Cho tam giác ABC trung tuyến AM Vẽ EF // BC cắt AB; AC; AM lần lượt tại

E; F; I Chứng minh IE = IF

 ABM có EI//BM  IE AI

BM  AM

(hệ quả Ta lét)

 ACM có IF// MC  IF AI

CM  AM

(hệ quả Ta lét)

Suy ra

IF

EI

BM CM Vì AM trung tuyến nên CM=BM

Vậy EI = IF

Bài 5 Tính x ở hình 6

Giải

Vì MN //PQ  MN ON

PQ  OP (hệ quả Ta let)

hình 3

D G E

A

hình 4

H E A

B

C D

hình 5

F E

M

A

I

hình 6

MN // PQ

5,2 x

2

O M

Tài liệu dạy thêm – Hình học 8 chương III- GV: Lương Công Hiển

5, 2  x x 3  3 15=3,4(6)

4.BÀI TẬP HỌC SINH GIẢI

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 : Cho hình 6-2 Chọn câu sai:

A CD CE

CB  AC

B

BD  EA

C CD DE

BC  AB

D

AE  ED

Câu 2 : Cho hình 6-2 Số đo y trong hình là :

A 10,625 B 6,8 C 6 D 7

Câu 3: Cho  ABC có AB =6; AC=8 và BC = 10 Lấy D trên BC sao cho BE = 2, vẽ

DE  AC thì CE bằng

A.6 B 4 C.4,6 D.4, 8

Câu 4: Cho ABC có I trọng tâm, qua I vẽ đường thẳng song song BC cắt AC tại M thì CM

CA bằng

A.1

3 B 2

3 C.2 D.3

Câu 5: Độ dài x ở hình 7 bằng

A 2,8 B 4,375

C 2 D 2,5

Câu 6: Độ dài x ở hình 8 bằng

A 2,8 B 2,6

C 4,(3) D 2,5

Câu 7: Cho ABC có DE//BC(với D  AB; E AC) Biết AD = 3cm; DB = 2cm; khi

đó tỉ số DE

BC bằng

A 3

5 B 2

3 C 3

2 D 5

3

Câu 8: Cho MNP có IK//NP(với IMN; KMP) Đẳng thức nào sau đây sai:

hình 8

DE//BC

3

6,5

x

2

E

A D

MN//BC

hình 7

8,5

x

5 4

N

A

M

hình 6-2

y 4

3,5

5

D

C

E

A MI MK

MN  MP B.MI MK

IN  KP C IN KP

IM  KM D IK MK

NP  KP

Câu 9 Cho hình thang ABCD(AD//BC, AD<BC) ,các cạnh bên AB và CD kéo dài cắt

nhau tại M Biết

3

2 AB

AM  và BC = 10 cm Độ dài AD là

A 4 cm B 6 cm C.5 cm D 4,5cm

Bài làm phần trắc nghiệm

Trả

lời

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Tính x ở hình 9

Bài 2: Tính x ở hình 10

Bài 3: Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo Qua

I vẽ MN // AB( M  AD ; N  BC) Chứng minh :

a)IM = IN b) 1 1 2

ABCD MN

Bài 4: Đường thẳng song song với hai đáy hình thang cắt hai cạnh bên tại M và N; cắt hai đường chéo tại E và F Chứng minh ME = NF

Bài 5: Cho  ABC; DE // BC ; D  AB ; E  AC Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BE tại I và CD tại K Chứng minh AI = AK

Bài 6: Cho hình thang ABCD(AB // CD,AB < CD) DA cắt CB tại E, DB cắt AC tại F Chứng minh đường thẳng EF đi qua trung điểm hai đáy hình thang

Bài 7. Cho tam giác ABC ,trên các cạnh AB, BC ,AC lần lượt lấy các điểm E ,F K sao cho AF ,BE ,CK đồng qui Chứng minh EA FB KC 1

EB FC KA  ( định lí Ce va)

Bài 8. ABC Trên các cạnh BC; CA; AB(hoặc phần kéo dài ) lấy các điểm A’ ; B’ ; C’ C/mr: A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng khi và chỉ khi: BA ' CB' AC' 1

CA ' AB' BC'  (định líMênlaus)

II Định lí Talet đảo :

1./Định lý :Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai

hình 9

x

3,5

2

3

F

E

O

PQ//EF

24

10,5

9

D P

cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với

cạnh còn lại của tam giác

2./VD:  ABC , B’;C’ trên AB và AC nếu có :

a/AB' AC'

AB  AC  B’C’ //BC

' '

B B C C  B’C’ //BC

c./ BB' CC'

AB  AC  B’C’ //BC

Chú ý: Định lý Talet đảo cho ta thêm PP chứng minh hai đường thẳng song song

3./Áp dụng

Bài 1:Hình bên

a)Chứng tỏ PM không song song BC

b)Chứng tỏ MN//AB

Giải

a) ABC có AP

PB =3

8, AM

MC = 5 1

15 3, Suy ra AP

PB  AM

MC  PM không song song BC b./ ABC có BN

NC= 7 1

21  3, AM

MC = 5 1

15  3, Suy ra BN

NC= AM

MC Theo ĐL Ta lét đảo  MN//AB

Bài 2: Cho tứ giác ABCD, gọi K, L lần lượt

là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác BCD

Chứng minh rằng KL // AD

Gọi M là trung điểm của BC vì K là trọng tâm của ABC nên MK= 1

3MA ( Tính chất trọng tâm của tam giác) , hay MK

MA=1

3 (1)

Và L là trọng tâm của BCD nên ML =1

3MD hay ML

MD =1

3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK ML

MA  MD nên KL //AD ( Định lý Talét đảo)

Bài 3:Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB< CD) Kẻ AK // BC , AK BD =  E ;

Kẻ BI //AD; BI AC =  F ( K, I  CD) Chứng minhn rằng EF// AB

Vì DK // AB nên AE AB

EK  DK ;

B A

C

E

O

K I D

F

H

M

K

L

C N

B

M P

A

8 7

15 21

a)

C

A

B

CI //AB nên AF AB

FC  CI

Mà DK = CI (vì cùng bằng AB) nên AF

FC

AE

EK  Trong AKC có EF định ra trên hai cạnh AK và AC

những đoạn thẳng tỷ lệ nên

EF //CK suy ra EF // AB

4.BÀI TẬP HỌC SINH GIẢI

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Hình 11 với điều kiện nào , ta khẳng định

BC//B’C’

A '

'

AB  AC

B AB' AC'

AB  AC

C BB' AC'

CB  AC

D AC AC'

AB  AC

Câu 2 Hình 12 với điều kiện nào , ta khẳng định

MN//PQ

PQ  OP B MN MO

PQ  ON

PQ  OQ D MN QO

PQ  OP

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Cho  ABC, có AB = 6 cm, trên AB lấy E sao cho BE = 2 cm Gọi G là trọng tâm của  Chứng minh GE//BC

Bài 2 Cho tam giác ABC Đường cao BD và CE Vẽ DH  AB ; EK  AC Chứng minh HK // BC

Bài 3 Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi M là trung điểm của CD ; I là giao điểm

của AM với BD ; K là giao điểm của BM với AC

a) Chứng minh IK // AB

b) IK cắt AD và BC tại E và F Chứng minh EI = IK = KF

Bài 4 Cho hình thang ABCD(AB // CD) I  AD Vẽ IM // BD cắt AB và AC tại M

và K Vẽ IN //AC cắt CD và DB tại N và H Chứng minh :

a./HK // MN

b./MN cắt AC tại E ; BD tại F Chứng minh ME = NF

Bài 5 Cho tam giác ABC , AM trung tuyến, lấy O trên AM, gọi BO và CO cắt AC và

AB tại E và F CMR FE//BC

C.TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

B

C A

B'

hình 12

N

O M

I./ Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy

Ví dụ: Hình trên  ABC

a)AD là phân giác trong của   DB AB

DC  AC (1) b)AE là phân giác ngoài của   EB AB

EC  AC (2)

Từ (1) và (2)  EB DB

EC  DC  DB.EC= EB.DC

Áp dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC và AD, BE, CF là ba đường phân giác Chứng minh

Giải

 ABC có AD, BE, CF là ba đường phân giác

Suy ra DB AB EC; BC FA; AC

DC  AC EA  AB FB BC

Suy ra DB EC FA AB BC AC 1

DC EA FB  AC AB BC 

Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm và có AD là đường phân

giác Tính các đoạn DB, DC

Giải

 ABC vuông tại A  BC2= AB2 +AC2(Pitago)

 BC2 = 62 +82 = 100  BC = 10

 ABC có AD phân giác

DC  AC(ĐL)

8 4

DB

DC  



3 4

DB  DC.Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được

;





Bài 3: Cho  ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở

D Đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E Chứng minh rằng: ED// BC

Trong  ABM có MD là phân giác của AMB

nên ta có: AD

DB=MA

MB (1) (Định lý) Trong AMC có ME là phân giác của AMC nên ta có:

AE

EC=MA

MC (2) (Định lý)

Vì MB= MC (giả thiết) Nên từ (1) và (2) suy ra : AD

DB= AE

EC

4 3

E

D

2

A

B

C

M

B

C

A

D

A

hình 14

y x

8 6

D

A

Trong ABC cĩ DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC

4.BÀI TẬP HỌC SINH GIẢI

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho ABC có BC = 5cm, AC = 4cm, AB = 6 và AD là đường phân giác thì

BD bằng

Câu 2: Cho ABC, AM là tia phân giác của BAC(M BC) Kết luận nào sau đây đúng

MC  AB B.MB AB

MC  AC C.AB MC

AC  MB D.AB MB

AC  BC

Câu 3 : Cho hình bên Chọn câu đúng :

A AB BD

AC  BC B AD AC

BD  DC

C BD AC

AB  DC D DB AB

DC  AC

Câu 4 : Cho hình bên Số đo độ dài x trong hình là :

A 4 B 5 C 6 D 7

Câu 5: Độ dài x ở hình 15

A 5,1 B 8,1

Bài làm phần trắc nghiệm

Trả

lời

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Cho tam giác ABC vuơng tại A,

cĩ AB = 6; BC = 10 Phân giác gĩc B cắt AC tại M

và đường cao AH tại N

a/ Tính AH, AM; AN

b/Vẽ MI vuơng gĩc BC Tính MI

Bài 2: Cho tam giác ABC cĩ phân giác gĩc B cắt AC tại D Biết DA:DC = 3:5 và BC

= 10 cm Chứng tỏ tam giác ABC vuơng

Bài 3: Hình bình hành ABCD Phân giác gĩc A và D cắt đường chéo BD và AC tại M

và N C/m: MN // AD

Bài 4:  ABC (AB < AC) Phân giác AD Đường thẳng đi qua M trung điểm của BC song song với AD cắt AB tại E; AC tại F C/m: BE = CF

x 2

3

9

B A

hình 15

8,5 5

3

x

H

D

Tài liệu dạy thêm – Hình học 8 chương III- GV: Lương Công Hiển

D TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

I.ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

1./Định nghĩa

A’B’C’ ABC A A B'' 'A B; 'B C' 'B C; 'C A' 'C

AB BC CA

   



 

 



Khi  ABC ~  A’B’C’ thì tỉ số hai cạnh tương ứng

' '

AB

A B gọi là tỉ số đồng dạng

2./ Tính chất :

a./  ABC  ABC

b./ ABC ~  A’B’C’ theo tỉ đồng dạng

' '

AB

A B = k =>  A’B’C’  ABC theo tỉ

số A B' ' 1

AB  k

c./  ABC ~  A’B’C’ theo tỉ đồng dạng k1 và  A’B’C’ ~  MNP tỉ đồng dạng k2 thì  ABC ~  MNP tỉ đồng dạng k1.k2

Chú ý: Hai tam giác băng nhau thì đồng dạng ( tỉ đồng dạng bằng 1), nhưng hai tam giác đồng dạng thì không bằng nhau

Định lí :  ABC và  AMN có MN // BC => AMN ABC

2/Áp dụng

Bài 1:Chứng minh Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai chu vi bằng tir đồng dạng Giả sử  ABC ~  A’B’C’ theo tỉ đồng dạng

' '

AB

A B = k

Ta có

' ' ' ' ' '

k

A B  B C  A C  Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

k

A B B C A C A B A C B C

  Vậy tỉ số hai chu vi bằng k

Bài 2 Cho  ABC ~ A’B’C’, biết AB =3; BC=5; CA =7 Cạnh nhỏ nhất của  A’B’C’ bằng 4,5 Hãy tính các cạnh của  A’B’C’

Vì ABC ~ A’B’C’,  ABC có cạnh nhỏ nhất là AB  cạnh nhỏ nhất của 

A’B’C’ phải là cạnh A’B’  A’B’ = 4,5

AB BC AC

A B  B C  A C   B C  A C

Suy ra B’C’ = (5.4,5): 3 = 7,5; A’C’ = (7.4,5): 3 = 10,5

3./ BÀI TẬP HỌC SINH GIẢI

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Nếu ABC ∽ A’B’C’ theo tỉ số k thì A’B’C’ ∽ ABC theo tỉ số:

Câu 2: ABC, gọi M và N là trung điểm AB và AC thì  ABC ∽  AMN theo tỉ đồng dạng

Tài liệu dạy thêm – Hình học 8 chương III- GV: Lương Công Hiển

Câu 3:Cho ABC A’B’C và hai cạnh tương ứng AB = 8 cm, A’B’ = 4 cm Thì hai tam giác giác này đồng dạng với tỷ số đồng dạng là bao nhiêu ?

Câu 4: Cho ABC A’B’C và hai cạnh tương ứng AB = 8 cm, A’B’ = 4 cm Gọi

p1 và p2 theo thứ tự là chu vi của ABC vàA’B’C Khăng định nào đúng?

A 1

2

2

p

p  B 1

2

1 2

p

p  C 1

2

1 4

p

p  D 1

2

4

p

p 

Bài làm phần trắc nghiệm

Trả

lời

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Cho  ABC ~ A’B’C’, biết AB =16,2; BC=24,3; CA =32,7 Hãy tính các cạnh của  A’B’C’trong các trường hợp sau

a./ A’B’ – AB = 10,8

b./AB- A’B’ = 5,4

Bài 2:Cho  ABC, M trên cạnh AB, Vẽ MN//BC và MD//AC(N trên cạnh AC và D trên cạnh BC) Tìm tất cả các cặp tam giác đồng dạng có ở hình?

Bài 3:Cho ABCD hình thangAB//CD và CD = 2AB Gọi E trung điểm CD Nối EA và

EB Tìm tất cả các cặp tam giác đồng dạng có ở hình?

II CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC

1/Trường hợp c – c – c :

 ABC và  A’B’C’ có

' ' ' ' ' '

A B B C A C

AB  BC  AC  A’B’C’ ABC

Áp dụng

Bài 1:  ABC , gọi M;N;P là trung điểm AB;AC,BC Chứng minh  PNM ~  ABC

Giải

 ABC có M;N;P là trung điểm các cạnh

 MN; NP;MP là 3 đường trung bình

2

BC  AB  AC    PNM ~  ABC (c-c-c)

Bài 2:Hai tam giác có độ dài các cạnh như sau có đồng dạng không? 4 cm; 5 cm; 6

cm và 12 cm; 18 cm; 15 cm

Giải: Ta có 4 5 6 1

12 15183  hai tam giác có độ dài cách cạnh đã cho đồng dạng

2./ Trường hợp c – g – c :

 ABC và  A’B’C’ có '

' ' ' '

A A

A B A C

AB AC





 



 

A’B’C’ ABC(c-g-c)

Áp dụng

Hình 16

P

N M

A

Tài liệu dạy thêm – Hình học 8 chương III- GV: Lương Công Hiển

Bài 1:Cho  ABC có AB = 6 cm, AC = 4 cm Trên AB và AC lấy M và N sao cho

AM = 2 cm và AN = 3 cm Chứng tỏ  AMN ~  ACB

Ta có AM.AB = 2.6 =12; AN.AC = 3.4 = 12

 AM.AB = AN.AC  AM AN

AC  AB và Â chung Vậy  AMN ~  ACB(c-g-c)

Bài 2:Cho ABCD hình thang (AB//CD) và AB =4 cm

CD= 16 cm, BD = 8 cm.Chứng minh BADDBC và BC = 2 AD

TA có AB.CD = 4.16 = 64

BD2 = 82 = 64 suy ra AB.CD=BD2

BD CD

Vì AB//CD  ABDBDC(so letrong)   ABD ~  BDC (c-g-c)  BADDBC

4

AD  AB    BC = 2 AD

3./ Trường hợp g – g :

 ABC và  A’B’C’ có '

'



 



  A’B’C’ ABC(c-g-c)

Áp dụng

Bài 1: Cho  ABC Trên AB lấy M, v ẽ tia Mx sao cho AMxC, Mx cắt AC tại N

Chứng minh: AM.AB =AN.AC

Xét  AMN và  ACB có

 chung và AMN C   AMN ~  ACB (g-g)

AC  AB  AM.AB =AN.AC

Bài 2:Cho  ABC ~  A’B’C’có tỉ đồng dạng k

Vẽ phân giác góc B cắt AC tại D và phân giác góc B’ cắt A’C’ tại D’ Tính

' '

BD

B D

theo k

 ABC ~  A’B’C’ Â=Â’ và BB'

2 2

B  B  B1 B1 '

hình 17

3cm 2cm

A

B

C

8cm

16cm 4cm

Hình 18

hình 19

A

B

C

Hình 20

1 1

D' D

A'

A

C'