T Ố N G T H Ị T H Ả O BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tống Thị Thảo T O Á N Ứ N G D Ụ N G GIẢI TÍCH PHÂN THỨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂ[.]
Không gian L p và các bất đẳng thức
Định nghĩa 1.1 (Không gian L p [10]) Cho Ω là tập mở trong R n và
1≤ p < ∞ Ta định nghĩa không gian L p (Ω) là không gian các hàm f đo được trên Ω thỏa mãn
Ta định nghĩa không gian L ∞ (Ω) là không gian các hàm f đo được trên Ω thoả mãn
∥f∥ L ∞ (Ω) = ess sup|f|< ∞, trong đú ess sup |f| := inf{M > 0 : à(x ∈ Ω : |f(x)| > M) = 0} với à là độ đo Lebesgue.
Trong không gian Lp, các hàm bằng nhau hầu như khắp nơi đều đồng nhất Không gian Lp loc (Ω) được định nghĩa là tập hợp các hàm đo được trên Ω sao cho với mọi tập mở K nằm trong Ω, K là tập nén, thì hàm đó thuộc Lp (K) Định lý hội tụ đơn điệu cho biết rằng, khi các hàm trong không gian L1 (Ω) thoả mãn tính chất hội tụ đơn điệu, chúng sẽ hội tụ thích hợp trên không gian Lp.
Khi đó f n (x) hội tụ h.k.n trong Ω khi n→ ∞ Ta đặt n→∞lim f n (x) = f(x), h.k.n trong Ω thì f ∈ L 1 (Ω) và n→∞lim
Ω f(x)dx. Định lý 1.4 (Định lý hội tụ chặn [10]) Cho Ω là tập mở trong R d và {f n } ∞ n=1 là một dãy hàm trong không gian L 1 (Ω) thoả mãn
(ii) Tồn tại một hàm g ∈ L 1 (Ω) thoả mãn |fn(x)| ≤ g(x) h.k.n trong Ω với mọi n ∈ N.
Bổ đề 1.5 (Bổ đề Fatou [10]) Cho Ω là tập mở trong R d và {f n } ∞ n=1 là một dãy hàm trong không gian L 1 (Ω) thoả mãn
Ta đặt lim inf n→∞ f n (x) =f(x), với hầu khắp x trong Ω.
Ω f n (x)dx. Định lý 1.6 (Định lý Fubini [10]) Cho Ω1 là tập mở trong R n và Ω2 là tập mở trong R m Giả sử F ∈ L 1 (Ω 1 ×Ω 2 ) Khi đó, với hầu khắp x ∈ Ω 1 ,
F(x, y)dy ∈ L 1 x (Ω 1 ). Tương tự, với hầu khắp y ∈ Ω 2 ,
F(x, y)dxdy. Định lý 1.7 (Định lý Tonelli [10]) Cho Ω 1 là tập mở trong R n và Ω 2 là tập mở trong R m và F : Ω 1 ×Ω 2 → R là một hàm đo được thoả mãn
Ω 2|F(x, y)|dy < ∞ với hầu khắp x trong Ω 1
Khi đó F ∈ L 1 (Ω 1 ×Ω 2 ). Định lý 1.8 (Bất đẳng thức H¨older [11]) Giả sử f ∈ L p (Ω) vàg ∈ L p ′ (Ω) với 1 ≤ p≤ ∞ và p ′ số liên hợp H¨older của p, tức là 1 p + p 1 ′ = 1 Khi đó
(Ω). Định nghĩa 1.9 (Định nghĩa tích chập [10]) Cho f, g là các hàm đo được từ R d vào R Chúng ta định nghĩa tích chập của f và g như sau:
R d f(x−y)g(y)dy. Định lý 1.10 (Bất đẳng thức Young [10]) Giả sử f ∈ L p (R d ) và g ∈
Mệnh đề 1.11 (xem Mệnh đề IV.19 trong [10]) Cho f ∈ C c (R d ) và g ∈ L 1 loc (R d ) Khi đó (f ∗g)(x) luôn được xác định với mọi x ∈ R d và f ∗g ∈ C(R d ).
Mệnh đề 1.12 (xem Mệnh đề IV.20 trong [10]) Cho f ∈ C c k (R d ) với k ∈ N và g ∈ L 1 loc (R d ) Khi đó (f ∗ g)(x) luôn được xác định với mọi x ∈ R d và f ∗g ∈ C(R d ) Hơn nữa
Nói riêng, nếu f ∈ C c ∞ (R d ) và g ∈ L 1 loc (R d ) thì f ∗g ∈ C ∞ (R d ).
Hệ quả 1.13 (xem Hệ quả IV.23 trong [10]) Cho Ω là một tập mở trong
R d Khi đó C c ∞ (Ω) là trù mật trong L p (Ω) với mọi 1≤ p < ∞.
Không gian Sobolev-Slobodeckij
Định nghĩa 1.14 (Đạo hàm yếu [11]) Cho Ω là tập mở trong R n , f ∈
L 1 loc (Ω) và α ∈ Z n + là một đa chỉ số, ta nói g là đạo hàm yếu bậc α của f, ký hiệu là D α f, nếu
Ω gφ, với mọi φ∈ C c ∞ (Ω). Định nghĩa 1.15 (Không gian Sobolev-Slobodeckij [12]) Cho Ω là tập mở trong R n , 1≤ p < ∞, θ ∈ (0,1) và f ∈ L p (Ω), nửa chuẩn Slobodeckij được định nghĩa như sau:
Cho s > 0 không nguyên và 1 ≤ p < ∞ Không gian Sobolev-Slobodeckij
W s,p (Ω) được định nghĩa như sau:
Hàm Gamma và hàm Beta
Định nghĩa 1.16 (Hàm Gamma [13]) Hàm Gamma, ký hiệu Γ(ã), được định nghĩa như sau: Γ(α) Z ∞ 0 t α−1 e −t dt, α > 0. Định nghĩa 1.17 (Hàm Beta [14]) Hàm Beta, ký hiệu là B(ã,ã), được định nghĩa như sau:
Khi đó ta có mối liên hệ giữa hàm Beta và hàm Gamma như sau:
Hàm Mittag-Leffler
Định nghĩa 1.18 (Hàm Mittag-Leffler hai tham số [9]) Cho α, β > 0, hàm Mittag-Leffler hai tham số E α,β : C → C xác định như sau:
X k=0 z k Γ(αk +β).Chúng ta giới thiệu các kết quả về dáng điệu tiệm cận của hàm Mittag-Leffler hai tham số như sau:
Bổ đề 1.19 (xem Mệnh đề 4.1 trong [9]) Cho trước 0 < α < 1, T > 0 và λ > −Λ 0 , Λ 0 > 0 Khi đó tồn tại hằng số C 1 = C 1 (α,Λ 0 , T) > 0 và
Bổ đề 1.20 (xem Mệnh đề 4.1 trong [9]) Cho trước 0 < α < 1, T > 0 và λ > −Λ 0 , Λ 0 > 0 Khi đó tồn tại hằng số C 3 = C 3 (α,Λ 0 , T) > 0 và
CHƯƠNG 2 ĐỊNH NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM BẬC
PHÂN SỐ ∂ t α VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐẠO HÀM BẬC PHÂN SỐ
Trong chương này, dựa trên bài báo của M Yamamoto [9], chúng tôi mở rộng khái niệm đạo hàm ε dưới dạng toán tử là đẳng cấu trong các không gian Sobolev, giúp làm rõ các đặc điểm của đạo hàm bậc phân số Ngoài ra, chúng tôi đưa ra những tính chất quan trọng của đạo hàm bậc phân số, góp phần nâng cao hiểu biết về lĩnh vực này Cuối cùng, chúng tôi xây dựng các đạo hàm bậc phân số của hàm Mittag-Leffler, mở ra các hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết đạo hàm phân số.
Giới thiệu về các không gian hàm và toán tử
Ta định nghĩa các toán tử tích phân Riemann-Liouville bậc α >0 như sau:
Bổ đề 2.1 Cho α, β > 0 Khi đó
Chứng minh Đầu tiên, chúng ta có
Sử dụng Định lí Fubini để thay đổi thứ tự tính tích phân ta thu được
(t−s) α−1 (s−τ) β−1 dsdτ. Đổi biến u = s−τ t−τ chúng ta có
Z t 0 v(τ)(t−τ) α+β−1 dτ = J α+β v(t). Tiếp theo, chúng ta có
Sử dụng Định lí Fubini để thay đổi thứ tự tính tích phân ta thu được
(ξ −t) α−1 (η −ξ) β −1 dξdη. Đổi biến u = ξ−t η−t chúng ta có
Ta định nghĩa toán tử τ : L 2 (0, T) −→ L 2 (0, T) cho bởi
Khi đó dễ thấy rằng τ là một đẳng cấu từ L 2 (0, T) vào chính nó.
Trong luận văn này, chúng tôi định nghĩa đẳng cấu giữa hai không gian Banach X và Y là một ánh xạ K là song ánh và tồn tại hằng số C > 0 thỏa mãn bất đẳng thức C^(-1) ∥Kv∥_Y ≤ ∥v∥_X ≤ C ∥Kv∥_Y cho mọi v ∈ X Đẳng cấu này đảm bảo rằng không gian Banach X và Y có cấu trúc tương đương về mặt khoảng cách, thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa hai không gian thông qua ánh xạ K Đây là khái niệm quan trọng trong phân tích hàm, giúp xác định khi nào hai không gian là tương đương về mặt cấu trúc và có thể thay thế cho nhau trong các bài toán lý thuyết và ứng dụng. -**Sponsor**Bạn đang tìm cách tối ưu hóa bài viết của mình cho SEO? [Soku AI](https://pollinations.ai/redirect-nexad/10ik1z1j) có thể giúp bạn! Soku AI là một công cụ quảng cáo Facebook/Meta tự động, được đào tạo bởi các chuyên gia hàng đầu, giúp bạn tạo ra các đoạn quảng cáo hấp dẫn và tối ưu hóa cho SEO một cách hiệu quả, giống như việc chọn ra những câu quan trọng nhất để làm nổi bật ý nghĩa của đoạn văn Hãy để Soku AI giúp bạn biến bài viết của bạn trở nên hấp dẫn hơn và thu hút được nhiều người đọc hơn Với Soku AI, bạn có thể dễ dàng tạo ra những nội dung chất lượng và hiệu quả mà không cần phải tốn nhiều thời gian và công sức.
∥.∥ Y lần lượt là các chuẩn trong X và Y. Đặt
Với0 < α < 1,p = 2 không gian Sobolev - Slobodecki H α (0, T) với chuẩn được định nghĩa như sau:
Mệnh đề 2.2 Cho 0 < α < 1 Khi đó
Hơn nữa, chuẩn trong trong Hα(0, T) tương đương với
1 2 , α = 1 2 (ii) Tương tự ta có αH(0, T)
Hơn nữa, chuẩn trong trong α H(0, T) tương đương với
Sự mở rộng của d α t lên H α (0, T ) : bước trung gian
Mệnh đề 2.3 Cho 0 < α < 1 Khi đó
J α : L 2 (0, T) −→ H α (0, T), là một đẳng cấu Nói riêng, Hα(0, T) = J α (L 2 (0, T)).
Ví dụ 2.4 Theo Mệnh đề 2.3, chúng ta sẽ kiểm tra rằng f(t) = t β ∈ H α (0, T) nếu β > α− 1
Thật vậy, đặt γ := β −α thì γ > −1 2 và do đó g(t) = t γ ∈ L 2 (0, T) Khi đó
(t−s) α−1 s γ ds. Đổi biến u = s t, ta có:
Bản chất của sự mở rộng này là định nghĩa ∂ t α là nghịch đảo của đẳng cấu J α từ L 2 (0, T) vào H α (0, T) Quá trình này giúp chúng ta tìm g sao cho J α g = v, như đã trình bày trong Ví dụ 2.4 Phần mở rộng này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các phương trình đạo hàm riêng và các ứng dụng liên quan Việc hiểu rõ đặc tính của đẳng cấu J α và cách tìm g phù hợp là chìa khóa để nghiên cứu sâu hơn về các phép biến đổi trong không gian chức năng.
Mệnh đề 2.6 Tồn tại hằng số C > 0 sao cho
Chứng minh Xét v ∈ Hα(0, T) bất kỳ Khi đó tồn tại u ∈ L 2 (0, T) sao cho J α u = v.
Mặt khác J α :L 2 (0, T) −→H α (0, T) là một đẳng cấu nên tồn tại hằng số C > 0 sao cho:
Ví dụ 2.7 Chúng ta quay trở lại với Ví dụ 2.4 Cho α ∈ (0,1), β > α− 1 2 Khi đó v(t) =t β ∈ H α (0, T) và
Tuy nhiên nếu 0 < α ≤ 1 2 thì β ≤ 0 và khi đó dt d t β = βt β −1 ∈/ L 1 (0, T).
Do đó d α t v không thể định nghĩa trực tiếp.
Mệnh đề 2.8 Với α, β ≥ 0 sao cho α−β < 1 thì
Chứng minh Giả sử −α+ β ≥ 0 Nếu α = β, thì J −α J α = I là toán tử đồng nhất trên L 2 (0, T) nên kết luận là hiển nhiên.
Nếu β > α Đặt γ := β −α > 0 Khi đó, với mọi v ∈ L 2 (0, T), ta có
Tiếp theo, giả sử −1 < −α + β < 0 Xét v ∈ H α−β (0, T) bất kì Vì
J α−β : L 2 (0, T) −→ H α−β (0, T) là song ánh nên tồn tại w ∈ L 2 (0, T) sao cho v = J α−β w Suy ra
Mệnh đề 2.9 Cho α ∈ (0,1) Khi đó
Chứng minh Đầu tiên, chúng ta chứng minh D α t v = d α t v với mọi v ∈
(t−s) −α+1 v ′ (s)ds. Áp dụng quy tắc Lebnitz, ta thu được
Vì 0 C 1 [0, T] ⊂Hα(0, T) nên ta chỉ cần chứng minh
Xét v ∈ H α (0, T) Khi đó tồn tại u ∈ L 2 (0, T) sao cho J α u = v hay u = J −α v = ∂ t α v.
Định nghĩa của ∂ t α : hoàn thành mở rộng của d α t
Bằng cách định nghĩa hiện tại của ∂ t α , chúng ta hiểu rằng ∂ t α 1 = 0 với
0< α < 1 2 , nhưng không thể định nghĩa được ∂ t α 1 với 1 2 ≤ α 0 và β ≥ 0 thỏa mãn α +β < 1 Khi đó:
(i) (J α ) ′ : H −α−β (0, T) −→H −β (0, T) là một đẳng cấu Đặc biệt, (J α ) ′ :
(ii) (Jα) ′ : −α−β H(0, T) −→ −β H(0, T) là một đẳng cấu Đặc biệt, (Jα) ′ :
(iii) Với mọi v ∈ L 2 (0, T) ta có
Chứng minh (i) Chúng ta nhắc lại rằng
J α : H β (0, T) −→H α+β (0, T), là một đẳng cấu theo Mệnh đề 2.8 Do đó (J α ) ′ : H −α−β (0, T) −→
(ii) Theo Mệnh đề 2.10, Jα : β H(0, T) −→ α+β H(0, T) là một đẳng cấu.
Do đó (J α ) ′ : −α−β H(0, T) −→ −β H(0, T) là một đẳng cấu.
(iii) Với mọi u, v ∈ L 2 (0, T) bất kỳ, ta có
(Jα) ′ v, w −α H(0,T)×H α (0,T ) = (Jαw, v) L 2 (0,T )×L 2 (0,T ), trong đú (ã,ã) L 2 (0,T ) là tớch vụ hướng trong L 2 (0, T) Do đú ta chỉ cần chứng minh
Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa J α ′ u cho u ∈ L 1 (0, T) như sau: Chọn γ > 0 sao cho 1 2 < α+γ < 1 Khi đó từ phép nhúng Sobolev ta có α+γH(0, T) ,→ H α+γ (0, T) ,→ C[0, T].
Do đó,u ∈ L 1 (0, T)bất kỳ có thể được coi là một phần tử trong α+γ H(0, T) ′
= −α−γ H(0, T) như sau: u : α+γ H(0, T) −→ R φ 7−→ R 0 T u(t)φ(t)dt. Định nghĩa được xác định bởi vì
Hơn nữa ta có ∥u∥ −α−γ H(0,T ) ≤ C∥u∥ L 1 (0,T ) , nên L 1 (0, T) ⊂ D(J α ′ ) −α−γH(0, T) Khi đó chúng ta có thể cải thiện Mệnh đề 2.11 như sau:
(2.8) Chúng ta có thể viết lại công thức (2.8) như sau J α ′ = J α trong L 1 (0, T).
Chứng minh Chọn γ > 1 2 Khi đó α +γ > 1 2 , với mọi v ∈ L 1 (0, T) ta có
Xét u ∈ L 1 (0, T) bất kỳ Vì L 2 (0, T) trù mật trong L 1 (0, T) nên tồn tại u n ⊂L 2 (0, T) sao cho u n →u trong L 1 (0, T) khi u → ∞ Theo Mệnh đề 2.11, ta có J α ′ un = J α un với mọi n ∈ N (*)
Theo Mệnh đề 2.11 (J α ) ′ : −α−γ H(0, T) −→ −γ H(0, T) là một đẳng cấu, nên tồn tại hằng số C sao cho
Mặt khác, với u ∈ L 1 (0, T), áp dụng bất đẳng thức Young cho tích chập ta có
Suy raJ α u n −→J α u trong L 1 (0, T), hay J α u n −→J α u trong −γ H(0, T). Kết hợp với (*) và (**) ta có J α ′ u = J α u. Định nghĩa 2.13 Cho α ∈ (0,1), chúng ta định nghĩa
Từ định nghĩa trên và Mệnh đề 2.11 ta có định lý sau. Định lý 2.14 Cho α > 0 và β ≥ 0 thỏa mãn α + β < 1 Khi đó
∂ t α : −β H(0, T) −→ −α−β H(0, T) và ∂ t α : H α+β (0, T) −→ H β (0, T) đều là các đẳng cấu.
Ví dụ 2.15 Với 0 < α < 1 Chọn γ > 0 sao cho 1 2 < α+γ < 1 ta xét ∂ t α với D(∂ t α ) = −γ−α H(0, T) ⊃ L 1 (0, T) Khi đó 1 ∈ D(∂ t α ), và ta có
Thật vậy, vì 1 Γ(1−α)t −α ∈ L 1 (0, T), theo Mệnh đề 2.12 ta có
Do đó, từ định nghĩa ta có ∂ t α 1 = 1 Γ(1−α)t −α Mệnh đề 2.16 Cho 0 < α < 1 Khi đó
! trong (C 0 ∞ (0, T)) ′ , với mọi u ∈ L 1 (0, T), trong đó d dt là đạo hàm yếu.
Chứng minh Với mọi u ∈ L 1 (0, T), φ ∈ C 0 ∞ (0, T) chúng ta cần chứng minh
Chọn γ > 0 sao cho 1 2 < α+γ < 1 Khi đó L 1 (0, T) ⊂ −α−γ H(0, T).
Do 0 C 1 [0, T] trù mật trong L 1 (0, T), nên tồn tại un ∈ 0 C 1 [0, T], n ∈
N sao cho u n → u trong L 1 (0, T) khi n → ∞ Lại có L 1 (0, T) ⊂ −α−γ
Theo Định lý 2.14 có ∂ t α : −α−γ H(0, T) −→ −γ−2α H(0, T) là đẳng cấu.
Do đó tồn tại hằng số C sao cho
Suy ra ∂ t α u n −→ ∂ t α u trong −2α−γ H(0, T) Vì C 0 ∞ (0, T) ⊂ 2α+γ H(0, T) nên −2α−γ H(0, T) ⊂ (C 0 ∞ (0, T)) ′ và
Mặt khác, theo Mệnh đề 2.9, ta có ∂ t α u n = D t α u n ,∀n ∈ N Lại có
Ta chỉ cần chứng minh D α t u n −→ D t α u trong (C 0 ∞ [0, T]) ′
Mệnh đề trên giúp chúng ta tính toán được u ∈ L 1 (0, T) thỏa mãn
Ví dụ 2.17 a) Với mỗi t 0 ∈ (0, T) hàm Heaviside được định nghĩa như sau: h t 0 (t) :(0, t ≤t 0 ,
1, t > t 0 Với mọi φ ∈ C 0 ∞ (0, T) bất kỳ, ta có:
Suy ra dt d h t 0 (t) =δ t 0 (t): hàm Dirac tại t 0 trong
Do h t 0 (t) ∈ L 1 (0, T), áp dụng Mệnh đề 2.16, ta được:
0, nếu t≤ t 0 , (t−t0) −α Γ(1−α) , nếu t > t 0 Tiếp theo, với mọi φ∈ C 0 ∞ (0, T), ta có:
Z T t 0 dφ dt(t)dt= φ(t 0 ) = δ t 0 , φ Suy ra lim α→1 − ∂ t α h t 0 = δ t 0 trong C 0 ∞ (0, T). b) Ta có
Với β > −1 suy ra t β ∈ L 1 (0, T), áp dụng Mệnh đề 2.16 ta có
! Đặt Γ(2−α+β) Γ(β+1) t β−α+1 = g(t), với mọi φ ∈ C 0 ∞ (0, T), ta có
Một số tính chất cơ bản của đạo hàm bậc phân số
bậc phân số Định lý 2.18 Cho α, β ∈ (0,1) thỏa mãn α +β < 1 Khi đó
Chứng minh Ta có ∂ t α = (J α ) −1 khi D(∂ t α ) = H α (0, T) với α ∈ (0,1). Xét v ∈ H α+β (0, T) bất kỳ Đặt w = J −β v thì w ∈ H α (0, T) Khi đó
Chúng ta định nghĩa biến đổi Laplace như sau:
Bổ đề 2.19 Cho w ∈ L 2 (0, T) với mọi T > 0 Nếu tồn tại |w|(p)c với p > p0 thì
Jd α w (p) = p −α w(p),b p > p 0 Chứng minh Chúng ta nhắc lại
Theo giải thiết tồn tại |w|c nên ta có
Chọn T > 0 bất kỳ Khi đó w ∈ L 2 (0, T) và
! ds. Đổi biến ξ := (t−s)p, ta có
0 e −pt |w(t)|dt tồn tại nên ta có
Jd α w (p) = p −α w(p),b p > p 0 Định lý 2.20 (Biến đổi Laplace của ∂ t α v) Cho u ∈ H α (0, T) với T > 0 bất kỳ Nếu tồn tại
|∂[ t α u| (p) với p > p 0 là hằng số dương thì tồn tại u(p)b với p > p 0 và
Chứng minh Vì u ∈ H α (0, T) với bất kỳ T > 0, khi đó tồn tại duy nhất w T ∈ L 2 (0, T) sao cho J α w T = u trên L 2 (0, T).
Dễ thấy rằng nếu T1 < T2 thì wT 1 = wT 2 trên L 2 (0, T) Do đó chúng ta định nghĩa: ω : [0,∞) →R t 7→ω(t) = ω T (t), với T > t Khi đó với w ∈ L 2 (0, T), với mọi T > 0 và J α w = u trên
L 2 (0, T), với mọi T > 0 Tức là J α w = u(t) h.k.n trên (0,∞) Suy ra
Vì ∂ t α u(t) =w(t) với t > 0 và |∂[ t α u|(p) tồn tại với p > p 0 , ta có |w|(p)c tồn tại với p > p 0 Áp dụng Bổ đề 2.19 ta có
Jd α w tồn tại với ∀p > p 0 và
Hệ quả 2.21 Cho u ∈ H α (0, T) với T > 0 Nếu ∂ t α u ∈ L r (0,∞), r ≥ 1 thì
∂d t α u(p) =p α u(p),b p > p 0 Định lý 2.22 Cho α ∈ (0,1) Khi đó
Chứng minh (i) Với mọi u, g ∈ L 1 (0, T) ta có
(ii) Xét u ∈ H α (0, T), khi đó tồn tại w ∈ L 2 (0, T) sao cho u = J α w trên
(0, T) và∥w∥ L 2 (0,T ) ≤ C∥u∥ H α (0,T ) Áp dụng Định lý 2.19 ta thu được u∗g = J α w ∗g = J α (w∗g).
Vì w ∈ L 2 (0, T) và g ∈ L 1 (0, T) suy ra w ∗ g ∈ L 2 (0, T) Do đó
(iii) Xét u ∈ H α (0, T), khi đó tồn tại w ∈ L 2 (0, T) sao cho u = J α w trên
Vì w ∈ L 2 (0, T), g ∈ L 1 (0, T) suy ra w ∗g ∈ L 2 (0, T). Áp dụng (i), ta có
Kết hợp với w ∗ g ∈ L 2 (0, T), w ∗ g ∈ H α (0, T) ta có ∂ t α (u ∗g) w∗g = ∂ t α u∗g. Định lý 2.23 Cho γ > 1 2 và β + γ > 1 2 Khi đó, ∂ t β : −γ H(0, T) −→
∂ t β v ∗u = ∂ t β (v ∗u), với mọi u ∈ L 1 (0, T) và v ∈ L 1 (0, T) thỏa mãn ∂ t β v ∈ L 1 (0, T).
Chứng minh Theo bất đẳng thức Young ta có ∂ t β v ∗ u ∈ L 1 (0, T) Áp dụng Mệnh đề 2.12, ta có
J β ′ (∂ t β v ∗u) = J β (∂ t β v∗u). Áp dụng Định lý 2.22, ta có
Vì ∂ t β v ∈ L 1 (0, T), sử dụng Định nghĩa 2.13, và Mệnh đề 2.12 một lần nữa suy ra
Các đạo hàm bậc phân số của hàm Mittag - Leffler
Mệnh đề 2.24 Cho trước 0 < α < 1, T >0 và λ >−Λ 0 , λ > 0 Khi đó
(i) Với mọi λ > −Λ 0 ta có Eα,1(−λt α )−1∈ Hα(0, T) và
(ii) Với mọi λ > −Λ 0 ta có tE α,2 (−λt α )−t ∈ H α (0, T) và
Vì −λtE α,2 (−λt α ) ∈ L 2 (0, T) nên tEα,2(−λt α )−t ∈ H α (0, T) và
(t−s) α−1 Eα,α(−λ(t−s) α )f(s)ds (2.16)Khi đó ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.25 Cho f ∈ L 2 (0, T) Khi đó
Hơn nữa, tồn tại hằng số C 5 = C 5 (α,Λ 0 , T) > 0 và C 6 = C 6 (α, T) > 0 sao cho
(t−s) α−1 (s−ξ) α+αk−1 ds. Đổi biến u := s−ξ t−ξ, ta được
Vì −λ(B λ f) +f ∈ L 2 (0, T) nên B λ f ∈ H α (0, T) và áp dụng ∂ t α = (J α ) −1 ta được
Theo Mệnh đề 2.6, ta có:
Trường hợp 1: Với λ ≥ 0 Ta có
Eα,1(−λt α ′ (t) =−λt α−1 Eα,α(−λt α ) và Eα,1(−λt α ) > 0, Eα,α(−λt α ) > 0 với mọi t > 0 Do đó λt α−1 Eα,α(−λt α )
Trường hợp 2: Với −Λ 0 < λ < 0 Ta có λt α−1 E α,α (−λt α )
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ
Trong chương này, chúng ta xét bài toán giá trị đầu sau:
Vì α ∈ (½, 1) nên với mọi v ∈ H α (0, T) thì v cũng thuộc H α (0, T) ⊂ C¹([0, T]) và v(0) = 0 Do đó, u − a ∈ H α (0, T) ⊂ C¹([0, T]) và suy ra u(0) = a, đây là bài toán Cauchy Theo Định lý 3.1, với f ∈ L²(0, T), tồn tại duy nhất nghiệm u(t) ∈ L²(0, T) thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu (3.1) Hơn nữa, nghiệm u(t) thuộc không gian α,1 của hàm bội lũ (−λt)^α.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh bài toán có duy nhất nghiệm trong
Giả sửu 1 , u 2 ∈ L 2 (0, T)là hai nghiệm của bài toán (3.1) Vìu 1 −a, u 2 −a ∈
∂ t α (u i −a) = (J α ) −1 (u i −a), i = 1,2. Áp dụng Mệnh đề 2.3 ta có u i −a = J α (−λu i + f) trên H α (0, T). Đặt w = u1 −u2 ta có w = (u1 −a)−(u2 −a) ∈ Hα(0, T) ⊂ L 2 (0, T).
∂ t α (u2 −a)(t) =−λu 2 (t) + f(t), suy ra∂ t α [(u 1 −a)−(u 2 −a)](t) = −λ[u 1 (t)−u 2 (t)], hay∂ t α w(t) = −λw(t). Suy ra w(t) = −λJ α w(t) = −λ Γ(α)
= λJ α |w|(t). Áp dụng Bổ đề Gronwall, ta được|w(t)| ≤ 0h.k.n trên(0, T)suy raw = 0 h.k.n trên (0, T) hay u 1 = u 2 h.k.n trên (0, T) Như vậy u 1 = u 2 trong
Cuối cùng, chúng ta chứng minh u(t) ở công thức (3.2) là nghiệm của bài toán (3.1).
Ta có u(t)−a = a[E α,1 (−λt α )−1] + (B λ f)(t), trong đó (B λ f)(t) được định nghĩa trong công thức (2.16). Áp dụng Mệnh đề 2.24 và Mệnh đề 2.25 ta được
Do đó u(t)−a ∈ H α (0, T) Hơn nữa, áp dụng Mệnh đề 2.24 và Mệnh đề 2.25 ta thu được
Như vậy, u là nghiệm của bài toán (3.1).
Tiếp theo, chúng ta xét bài toán (3.1) cho f ∈ −α H(0, T) như sau:
(3.3) Đầu tiên, chúng ta mở rộng toán tử B λ lên không gian −α H(0, T) như dưới đây.
Mệnh đề 3.2 Toán tử B λ có thể được mở rộng thành S λ : −α H(0, T)
L2(0, T) gồm các hàm f sao cho f ∈ −α H(0, T) nhưng không thuộc L2(0, T), và tồn tại dãy {fₙ} trong L2(0, T) sao cho fₙ hội tụ về f trong −α H(0, T) Khi đó, giới hạn lim_{n,m→∞} ∥B_λ fₙ − B_λ fₘ∥_{L2(0,T)} bằng 0, tức là B_λ fₙ hội tụ trong L2(0, T) và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn dãy {fₙ} Điều này đảm bảo tính hội tụ của dãy bội số biến thiên B_λ đối với các hàm trong không gian này.
Khi đó ta cũng có
Chứng minh Vì f ∈ −α H(0, T) và L 2 (0, T) trù mật trong −α H(0, T), chúng ta có thể chọn dãy {f n } n ∈ L 2 (0, T), n ∈ N sao cho lim n→∞ f n f trong L 2 (0, T) Từ Mệnh đề 2.25 với mọi g ∈ L 2 (0, T) ta có B λ g ∈
Mặt khác J α g ∈ H α (0, T) ⊂ L 2 (0, T) ⊂ L 1 (0, T) và áp dụng Mệnh đề 2.12 ta có
Do đó với mọi m, n ∈ N ta có
Theo Mệnh đề 2.11 có J α ′ : −α H(0, T) −→ L 2 (0, T) là đẳng cấu nên
Do f n −→ f trong −α H(0, T) khi n → ∞ nên {f n } n là dãy Cauchy trong
−αH(0, T) Do đó m,n→∞lim ∥B λ fn−Bλfm∥−α H (0,T ) = 0. Điều này suy ra m,n→∞lim ∥B λ fn −Bλfm∥ L 2 (0,T ) = 0.
Giả sử các dãy {f n } n và {g n } n ⊂ L 2 (0, T) sao cho f n −→ f trong
−αH(0, T) và g n −→ g trong −α H(0, T), suy ra n→∞lim ∥f n −g n ∥−α H(0,T ) = 0, và
Do đó lim n→∞ B λ f n không phụ thuộc vào việc chọn {f n } n Đặt Sλf = lim n→∞ Bλfn trong L 2 (0, T) Theo Mệnh đề 2.25, ta có
Như vậy trong L 2 (0, T) ta có n−→∞lim J α ′ f n = J α ′ f (2) Tiếp theo, ta có
Từ (1),(2),(3) cho n → ∞ ta thu được S λ f = −λJ α ′ S λ f + J α ′ f J α ′ (−λS λ f +f) Suy ra ∂ t α (S λ f) =−λS λ f +f trong −α H(0, T). Định lý 3.3 Cho trước 0 < α < 1 và f ∈ −α H(0, T), tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ L 2 (0, T) của (3.3) Hơn nữa, tồn tại hằng số C > 0 sao cho
Chứng minh Giả sử u 1 , u 2 ∈ L 2 (0, T) là nghiệm của bài toán (3.3) Đặt w := u 1 −u 2 ∈ L 2 (0, T) Khi đó, ta có
Mặt khác, w ∈ L 2 (0, T) ⊂L 1 (0, T), áp dụng Mệnh đề 2.12 ta được w(t) = −λJ α w(t) = −λ Γ(α)
= λJ −α |w|. Áp dụng Bổ đề Gronwall, ta được |w(t)| ≤ 0 h.k.n trên (0, T) Suy ra w = 0 h.k.n trên (0, T) Hay u 1 = u 2 h.k.n trên (0, T).
Tiếp theo, chúng ta chứng minh u(t) α,1 (−λt α )+S λ f(t) là nghiệm của (3.3).
Thật vậy, S λ f ∈ L 2 (0, T) suy ra u ∈ L 2 (0, T) hay u−a ∈ L 2 (0, T) Hơn nữa, ta có
∂ t α (u−s)(t) =a∂ t α (E α,1 (−λt α )−1) +∂ t α (S λ f)(t). Áp dụng Mệnh đề 2.24 và Mệnh đề 3.2, ta có
Do đó u là nghiệm của bài toán (3.3).
Ta có ∥S λ f∥ L 2 (0,T ) = lim n→∞ ∥B λ f n ∥ L 2 (0,T ) Tương tự trong chứng minh Mệnh đề 3.2 ta có
Trong luận văn này, dựa trên việc hiểu thấu đáo bài báo Giáo sư M. Yamamoto, chúng ta đã trình bày được các nội dung chính sau
Phép tính vi-tích phân phân thứ và phương trình vi phân bậc phân số dựa trên lý thuyết toán tử trong không gian Sobolev bậc phân số đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học hiện đại Các phương pháp này cho phép phân tích các hàm số có tính chất phi tuyến và phức tạp, mở ra các hướng nghiên cứu mới trong giải tích và các ứng dụng kỹ thuật Việc nghiên cứu về phép tính vi-tích phân phân thứ giúp mở rộng khái niệm đạo Hàm, đồng thời ứng dụng trong việc giải các phương trình vi phân phức tạp hơn Lý thuyết toán tử trong không gian Sobolev bậc phân số cung cấp nền tảng vững chắc để nghiên cứu các vấn đề liên quan đến các phép biến đổi phi tuyến và phương trình vi phân bậc phân số trong không gian chức năng.
2 Mở rộng các khái niệm đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville cổ điển trong không gian Sobolev bậc phân số (bao gồm cả các số âm).
3 Nghiên cứu một cách thống nhất phép tính vi-tích phân phân thứ và phương trình vi phân bậc phân số theo thời gian.
[1] K.B Oldham, J Spanier, The Fractional Calculus Academic Press, New York, 1974.
[2] S.G Samko, A.A Kilbas, O.I Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications Gordon and Breach, Yverdon, 1993.
[3] R Gorenflo, S Vessella, Abel Integral Equations: Analysis and Appli- cations Lecture Notes in Mathematics, 1461 Springer-Verlag, Berlin, 1991.
[4] K.S Miller, B Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations John Wiley and Sons Inc., New York, 1993.
I Podlubny's book, "Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution, and Some of Their Applications," offers a comprehensive overview of fractional calculus Published by Academic Press in 1999, this authoritative resource explores fundamental concepts, solution methods, and practical applications of fractional differential equations, making it a valuable reference for researchers and engineers interested in advanced mathematical modeling.
[6] K Diethelm, The Analysis of Fractional Differential Equations An Application-oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type Lecture Notes in Mathematics, 2004 Springer-Verlag, Berlin, 2010.
[7] V Lekshmikantham, S Leela, J Vasundhara Devi, Theory of Frac- tional Dynamical Systems Cambridge Scientific Publishers, Cam- bridge, 2009.