Phương pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh. doc

Trong các công trình trước đây chúng tôi đã đề xuất và nghiên cứu một phương pháp chia miền mới giải bài toán biên Dirichlet và các bài toán với điều kiện biên hỗn hợp yếu đối với phương

Trang 1

Tap chi Tin hoc va Diéu khién hoc, T.22, $.4(2006), 307-318

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỄN GIẢI BÀI TOAN BIEN HON HOP MANH

DANG QUANG A!, VU VINH QUANG?

! Viên Công nghệ thông tin

2 Khoa Công nghệ Thông tín - Đại học Thái nguyên

Abstract In our earlier papers we proposed and studied a new domain decomposition method for solving the Dirichlet problem and the problems with weakly mixed boundary value problems for an elliptic equation in domains with complicated geometry In this paper we continue to develop the method for solving problems with strongly mixed boundary conditions in the sense that there are points separating Dirichlet and Neumann types of boundary conditions on one or several smooth parts

of boundary The convergence of the method is proved for the problem with one point of separation

of boundary conditions For the problems in domains of complicated geometry with several points

of separation of boundary conditions numerical experiments show the effectiveness of the proposed method

Tóm tắt Trong các công trình trước đây chúng tôi đã đề xuất và nghiên cứu một phương pháp chia miền mới giải bài toán biên Dirichlet và các bài toán với điều kiện biên hỗn hợp yếu đối với phương trình elliptie trong miền hình học phức tạp Trong bài báo này chúng tôi tiếp tục phát triển phương pháp cho các bài toán với điều kiện biên hỗn hợp mạnh theo nghĩa trên một hoặc nhiều phần biên trơn có sự phân cách các loại điều kiện biên Dirichlet va Neumann Su hoi tu cua phương pháp được chứng minh cho bài toán khi chỉ có một điểm phân cách điều kiện biên trên một phần biên trơn Khi bài toán đặt ra trong miền hình học phức tạp với nhiều điểm phân cách các loại điều kiện biên các kết quả thực nghiệm đã chứng tỏ tính hữu hiệu của phương pháp

1 MỞ ĐẦU Cho Ô C #2 là miền với biên Lipschitz ØÖ, xét bài toán

—Au(x) = f(x), «EQ,

lu(x) = g(a), 2 € AN

Giả thiết ƒ(z) € L?(Q), g(a) € H?(80) Ta xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên (u(x) —= g(z) là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả 2 loại điều kiện biên Dirichlet (£ là toán tử hàm) và Neumamn (£ là toán tử đạo hàm hướng) Đây là bài toán đã được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm Khi © là hình chữ nhật, hình

tròn hoặc nửa mặt phẳng hoặc một dải và ƒ = 0 sử dụng phương pháp chuỗi Fourier hoặc biến đổi tích phân Fourier người ta đưa bài toán về phương trình chuỗi cặp hoặc phương trình tích phân chuỗi cặp, rồi đưa tiếp các phương trình cuối về phương trình tích phân

Eredhom để giải gần đúng bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp [6] Một cách tiếp cận khác tới

giải gần đúng bài toán đặt ra cho phương trình Laplaee là sử dụng phương pháp khai triển theo các hàm cơ bản [1, 5| Năm 1989 Vabischevich [8| đã đề xuất phương pháp lặp đưa bài

Trang 2

toán biên hỗn hợp mạnh về dãy các bài toán bién Dirichlet nhờ hiệu chỉnh giá trị của hàm trên phần biên, mà ở đó cho trước đạo hàm, phương pháp này, như đã được tác giả chỉ ra, không hội tụ ở mức liên tục với bất kỳ tham số lặp nào tuy nó hội tụ ở mức rời rạc Mới đây, một phương pháp lặp khác dựa trên hiệu chỉnh đạo hàm đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh

ve day các bài toán hỗn hợp yếu dễ giải đã được nghiên cứu trong [2| Ưu thế của phương

pháp này so với phương pháp hiệu chỉnh hàm là sự hội bụ của nó cả ở mức liên tục và mmức roi rac

Trong bài báo này, khác với các phương phấp nêu trên, chúng tôi áp dụng phương phap chia miền đã được chính chúng tôi phát triển trong |3, 4| vào việc xử lý bài toán biên hỗn

hợp mạnh Nhờ phương pháp này bài toán được dẫn về dãy các bài toán biên hỗn hợp yếu

dễ giải Sự hội tụ của phương pháp đối với trường hợp chỉ có một điểm phân cách điều kiện biên được nghiên cứu cả về lý thuyết và thực nghiệm Khi bài toán đặt ra trong miền phức tạp cấu thành từ nhiều hình chữ nhật và có nhiều điểm phân cách các loại điều kiện biên các

thực nghiệm tính toán cũng chứng tỏ tính hữu hiệu của phương pháp chia miền

2 MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP

Giá sử © cho bởi Hình 1, xét bài toán

—Au —ƒ, „cQ,

Ou

Hinh 1 Chia Ô thành 2 miền ©1,Ôs¿ với biên tron T, Q = 0; UN2,0;NN2g = w Ký hiệu

Ty = 09, \ {Pa UT}, P2 = 002 \ {Tp UT}, u; la nghiệm trên miền ©; (¿ —= 1,2) Tư tưởng

của phương pháp là tìm ra các xấp xÌ cla g = an để chuyển bài toán đang xét về hai bai

1

OV

toán trên hai mién O day 1; 1A vecto phdp tuyén ngoai cia mién Q; (i=1, 2)

Mô tả thuật toán chia miền

Bước 1 Cho trước ø9) e L2(T), chẳng hạn g9) = 0, e T

Bước 2 Với ø#) trên I' (& = 0,1,2, ) tiến hành giải 2 bài toán

Trang 3

PHUONG PHAP CHIA MIEN GIAI BAI TOAN BIEN HON HOP MANH

—Au\) =f, wen,

ul’) =y, x El, Ula,

on = g™, axel

—Aus) =f, „cQa,

us’) =ự, œ€C L2, us’) = ul’), cel,

Ou = ye ET,

Buéc 3 Hiéu chinh gid tri gt)

ght) =(1- r)g™ — cô” eel,

Ø1⁄2

trong đó 7 là tham số lặp cần lựa chọn

3 SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP

Sơ đô lặp (4) được viết lại dưới dạng

(k+1) _ ,(k) dul”)

- +g Duy 0, (k = 0,1, 2, )

ky hiéu cŒ) — „œŒ _ uj, (¢ = 1,2)

cŒ) — gŒ) _ g,

Khi d6 ¢/") (i=1, 2) va g thep mga 9 x ea,

cự =0, œø€LU Lủ, 8e” _ elk On EN, @ ET,

Ac) =0, x EM,

cÓ =0, xe,

cụ" = ef), œ€T,

aes) —- Os =0, #ø€ lạ

(k+1) _ e(k) (k)

ề g + c(E) 4 08 =0,@€T, (k=0,1,2, )

Ta định nghĩa các toán tử Steklov-Poineare S1, 52 như sau:

ụ

SiỆ= an x ET, trong dé v, la nghiém cua bai toán

1

309

Trang 4

—Av,;=0, «EQ,

vy =0, x ET, UL,

So€ = ,« €T trong dé v2 la nghiệm của bài toán

Ø2)

ta =0, wx ETL,

dus

= 0, Dn

Khi đó toán tử nghịch đảo Ss; được xác định bởi

5Ị '£= miẬr

trong đó + là nghiệm của bài toán

—A =0, œøœ€C(ÔI,

1, =0, wel,

ot = —€ wel

Vì thế

sy te — |;

se = đc

8 Vy

Sử dụng các todn tit S,, Sz da dinh nghia, (5) duoc viét lai duéi dang

2S (7 + S257 !)e = 0, (k = 0,1, )

Tac dong Ss; lên cả hai vế của ie trình trên, ta thu được lược đồ lặp hai lớp

a lp ley pelt) ~0, (k=0,1, ) - i lr , ;1, ),

trong đó ký hiệu B = I + S19 Từ lược đồ trên ta “

Để thiết lập sự hội tụ của lược đồ này chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất của toán tử B

i

Vì mục đích này ta đưa vào không gian A = H¢,(T) = {v] :o € HẠ(Q)} và không gian đối

-$

ngau A’ = Ho)? (LT) Co thé kiểm tra rằng trong dạng phát biểu yếu toán tử Š¡ được định nghĩa bởi

(S181) ara = (VME, Vin) 12(0,), VE © A

trong d6 Hy € 1a thac trién điều hòa của £ lên ©

Trong [1| đã chứng mỉnh rằng ®¡ là toán tử đối xứng, xác định dương va

Trang 5

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP MẠNH 311

1

Ca ||Ê|Ì r3 (ý < (S16, €) Ara Š Carll dsc:

Do đó (Sig, TA a xác định một tích vô hướng ctia €,7 € A va chuẩn được sinh bởi tích vô hướng này tương đương với chuẩn thông thường của H2) Ký hiệu tích vô hướng này và

dạng chuẩn cảm sinh bởi (.,.)s, và ||.||s¡

1

(É,?)s, =< S1€,7 > AAs Ells, =< SiE,€ > AA +

Bây gio ta xét tinh chat ca todn tir Sy Gid st » € HZ(L), ky hieu w = Aon 1a thac trién

điều hòa của 7 lén Qo tite 1a w là nghiệm của bài toán

—Au =0, ø€ Ó¿, w=0, «ET,

w=n, «ET,

Ow

OV, 7S

Tương tự, ký hiệu v = ›¿ là thác triển điều hòa của £ lên ©s Khi đó

Ov 0=_— | Avwdx = —~—wds+ | VuVwda

Ø1⁄2

= — f segnas + | VfcVfinae

©2

T

Từ đó wee / S»£nds — / V A.V Honda a (7)

Theo bat dang thức Poineare-lridrichs và định lý vết, ta có

< S2€,€ >aa = (V Abé, VÌ) ro, ) = (Vv, Vv) 1(92)

2 C52||0|fr(o,) > Cãa||Ê|Ì py

Mặt khác, theo đánh giá nghiệm của bài toán xác định œ ta có

Ngoai ra, theo dinh nghia cia chuan trong H!(Q2) thì

lIellis¿e,› = llelli»¿o„ + |IV®ll25¿o,)

nên

IIVellzee„ < |Iellỗnye,: (9) Tir (8) va (9) suy ra rang

(526,84 = [IVellz05) Š C IS 4 op

Trang 6

Như vậy, toán tử Ss là toán tử đối xứng, xác định dương và giới nội

Trong tích năng lượng của 61 ta có

(BE,1) = (%Œ + Sy 'S2)&.1) arg — (S181) ara + (536, HỒ Ai A-

Do $j, S2 là các toán tử đối xứng nên toán tử cũng là toán tử đối xứng

Giả sử rằng đối với phép chia miền Ô© thành các miền con ©, ©s¿ tôn tại các hằng số

0 <m <Š M sao cho (5e, CD AvA

Ehi đó ta có

(1+ m)||£|lš, < (B£,£)s, < (1+ M7) ||e|lễ,

trong không gian năng lượng của 6ì

Từ lý thuyết tổng quát của lược đồ lặp bai lớp [7Psuy ra rằng nếu

T

1+ M

thì || — rB|[ < 1 và giá trị tối ưu của 7 là

2

Với giá trị này của 7 ta thu được ước lượng

IIePIrlls, < ø*llei ˆIrllsi:

= ———_ 14

Khi đó, để ý rằng

IPllumiaa < G.lldPIrllys

ta suy ra

Ở đây các hằng s6 duong C21, C31, Co2, C1, Ở chỉ phụ thuộc vào Ø¿ và Ï

Ta phát biểu kết quả thu được ở trên về sự hội tụ của phương pháp bởi định lý sau đây

Định lý Với giá thiết (10), phương pháp lắp (2)-(4) hội tụ nếu tham số lặp T thỏa mãn điều kiên (12) Giá trị tối ưu của tham số lặp được cho bởi (18) va khi dó ước lượng cho các sai số được xác định bởi (15)

Cần nhận xét rằng định lý trên kháng định sự hội tụ tối ưu của phương pháp lặp với 7 được chọn theo công thức (13) Nhưng việc xác định các hang s6 M va m trong công thức

này là một bài toán khó Vì thế, dưới đây chúng tôi trình bày các kết quả về sự hoi tu của phương pháp đề xuất ở trên với các giá trị của tham số lặp được chọn từ thực nghiệm

4 CÁC KẾT QUÁ THỰC NGHIỆM

Trang 7

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN GIẢI BÀI TỐN BIÊN HỖN HỢP MẠNH 313

Chúng tơi tiến hành thực nghiệm bằng số trên máy tính điện tử để kiểm tra lược đồ

lặp đã đưa ra, miền được xét là hình chữ nhật với kích thước a và đ được chia bởi biên

T = zin = c,0< #¿ <đ},0< c< à (Hình 2) Trong các ví dụ này các điều kiện biên và vế

phải là các hàm cho trước, —= (#, #¿) là nghiệm chính xác của bài tốn Các bài tốn vi

phân (2) và (3) được xấp xỉ bởi các lược đồ sai phân với sai số xấp xỉ cấp hai trên các lưới

với bước lưới h = 1/64 và sau đĩ các bài tốn riêng rẽ được giải bởi các hàm thiết kế trong

[3] Qué trinh lap được thực hiện cho đến khi sai s6 err = max (Ile, cos Leo IIc) khơng

vượt quá độ chính xác cho trước e = 107

Dưới đây là kết quả tính tốn cho một số thí dụ với cấu hình được cho bởi Hình 2

Trang 8

Bang 1.a=1,d=1,c=0.5

a sin v1 sin v2 (ti tea)

Tham số 7 Số bước lặp | err | Số bước lặp | err

Bang 2.a=1.5,d=0.5,c=0.5

Bang 8 a=1.5,d=0.7,c=1

Từ các kết quả thực nghiệm trên ta thấy rằng phương pháp lặp hội tụ rất nhanh với tham số lặp 7 được chọn trong khoảng (0.4; 0.6)

Trong [2| cũng đã đưa ra phương pháp giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên bư tưởng xây dựng dãy lặp xác định giá trị xấp xi của đạo hàm ø — nụ trên phần biên Fạ để đưa bài toán đang xét về bài toán biên hỗn hợp bình thường từ đó chỉ ra nghiệm của bài toán gốc

Sự so sánh về tốc độ hội tụ của hai phương pháp được thể hiện bởi Bảng 4

Trang 9

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP MẠNH 315

Bang 4 c=d=1,a=2

Phương pháp chia miền Phương pháp lặp đạo hàm

lặp (giây) lặp (giây) SỈn #1 SỈn 2 6 | 6.10~° 7.15 10 | 810° | 1706

Từ các kết quả thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy rằng phương pháp chia miền thật sự

là hiệu quả hơn rất nhiều phương pháp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên

5ö PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP CHO CÁC MIỀN HÌNH HỌC PHỨC TẠP

Trong trường hợp khi điều kiện biên là hỗn hợp mạnh và miền hình học phức tạp, chúng

tôi mở rộng phương pháp đã trình bày bằng cách chia miền thành một số hữu hạn các miền

chữ nhật bởi các biên phân chia sao cho trên mỗi miền chữ nhật bài toán trở thành bài toán biên hỗn hợp yếu và từ đó xây dựng các dãy lặp xác định giá trị đạo hàm trên các biên chung

để tìm nghiệm xấp xỉ bằng số của bài toán Tính khả thi của phương pháp được khẳng định qua các kết quả thực nghiệm Dưới đây chúng tôi luôn xét dạng bài toán

| —-Au=f, xEQ,

(16)

tu =g, C09,

tốn tại điều kiện biên trên một cạnh là điều kiện biên hỗn hợp mạnh Thống nhất các ký hiệu

# là số bước lặp, £ là thời gian tính theo đơn vị giây, « là sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm

xap xi, M x N là lưới chia hình chữ nhật cơ sở, a, b là kích thước hình chữ nhật cơ sở Trong các hình vẽ, chúng tôi sử dụng các ký hiệu 0 ứng với điều kiện biên trên cạnh dạng Dirichlet,

1 ứng với điều kiện biên trén canh dang Neumann, w0000( ), u0001( ), u0010( ), ¿0100( )

là các hàm được thiết kế trong [9| trả lại nghiệm bằng số của các bài toán tương ứng trong miền chữ nhật

ũ QO

“3

1;

bởi 2 biên phân chia T'y,T2 Ky hiéu 7 = = ,u; la nghiém trong mién

Ox} ry’ 7 Ox2IT2

Trang 10

Q; (¢ = 1,2,3) Viéc tim nghiém xap xi bang số của bài toán trên được thực hiện bởi thuật toan:

Xuất phát từ xấp xỉ ban đầu ø( = 0,€ = 0, véi moi k = 0, 1,2, thực hiện giải các bài

toán sau đây:

Bước 1: Tìm nghiệm ul’) = u0100( ) trong mién + với gid tri dao ham 7) trén Ty Bước 2: Tìm nghiệm us’) = u0001( ) trong mién Q2 vi gid tri dao ham €“) trén To, gid trị

hàm xấp xỉ nhận được từ Bước 1 trên Ï\

Bước 3: Tìm nghiệm us’) = u0000( ) trong mién 23 véi gid tri ham nhận được từ Bước 2 trên [P5

Bang 5 a=b=1,Mx N=64x 64,0, =0.5

sina] sin a9 10a1(1 — x1)x2(1 — #2) tụ — €?172

" [TK] t | £ K [| ¢ | « |Ki] ¢t [ie

0.5 Khong hoi tu Khong hoi tu Khong hoi tu

0.6 | 26 | 62.7 | 8.105 18 444 | 7.10-° | 23 | 57 | 6.10-°

0.65 | 14 | 35.1 | 6.105 10 244 |6.105 |12|30.5 |9.105

0.7 |[11|281 | 7.105 10 254 |4.105 |11|27.9|4.105

0.75 | 14 | 35.3 | 7.105 12 295 |7.105 |14| 35 |4105

0.8 | 19 | 47.7 | 6.105 16 39.8 | 7.10-° | 18 | 45.7 | 7.105

0.9 130 | 74.3 | 2.102 30 77.5 | 0.001 | 39 | 97.5 | 9.1075

Bước 4: Hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân chia theo các công thức

au?

Ox2 lr, , Ox} | Ty

ARTY = On + (1-01)

k:i=k+1

Giá trị cdc tham s6 61,7, sé duoc chọn để dãy lặp hội tụ

Thực nghiệm chỉ ra rằng quá trình lặp nêu trên hội tụ với việc lựa chọn các tham số

Ø¡ € (0.1,0.9) và 7¡ € (0.6, 0.9) Bảng ð trình bày kết quả thực nghiệm về hội tụ của phương

pháp với Ø = 0.5 và một số giá trị khác nhau của 7¡

Chia miền Q = on UO» UOs UOg UOs bang 4 bién Ty › Ta, Ts, Ta Ký hiệu m= elt 32>

+1

amins€t = amlns'6 = min là nghiệm trong miền ©; (¿ = 1, ,5) Việc tìm nghiệm xap xi bang số của bài toán trên được thực hiện bởi thuật toán:

Xuất phát từ xấp xỉ ban đầu 7 = ny? = 0, c19) = c0) = 0 với mọi k = 0,1,2, thực

hiện giải các bài toán sau đây:

Bước 1: Tìm nghiệm ul’) = u0100( ) trong mién Qy véi gid tri 7h) trén Ty

Bước 3: Tìm nghiệm us’) = u0001( ) trong mién Og véi gid tri el) trên ['3, gid tri ham

nhận được từ Bước 1 trên L3

Bước 4: Tìm nghiệm ul’) = u0010( ) trong mién Q4 véi gid tri el) trên Ty, gid tri ham

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	758,57 KB