Đáp án Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2004 môn toán khối A

Đáp án Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2004 môn toán khối A

Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm

đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004

Đề chính thức Môn: Toán, Khối A

(Đáp án - thang điểm có 4 trang)

I.1 (1,0 điểm)

2

3 3

2

ư

ư +

ư

=

x

x x

x 1

ư

a) Tập xác định: R \ 1{ }

b) Sự biến thiên:

x(2 x)2

y ' 2(x 1)

ư

=

yCĐ = y(2) = 1

2

ư , yCT = y(0) = 3

2

Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

Đường thẳng 1

2

Bảng biến thiên:

2

ư 3

c) Đồ thị:

0,25

I.2 ( 1,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m là :

x x

=

ư

ư +

ư

1 2

3 3

2

⇔ x2 +(2mư3)x+3ư2m=0 (*) 0,25 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

0

>

∆ ⇔ 4m2ư4m 3 0ư > ⇔ m 3

2

> hoặc m 1

2

< ư (**) 0,25 Với điều kiện (**), đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B có hoành

độ x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*)

AB = 1 ⇔ x1 ư x2 =1 ⇔ 2

x ưx = 1 ⇔ ( 1 2)

2

1 2

x +x ư4x x =1

0,25 ⇔ (2mư3)2 ư4(3ư2m)=1 ⇔ 1 5

m

2

±

= (thoả mãn (**)) 0,25

II.1 (1,0 điểm)

Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:

+ Nếu x > 5 thì bất phương trình được thoả mãn, vì vế trái dương, vế phải âm 0,25 + Nếu 4 x 5≤ ≤ thì hai vế của bất phương trình không âm Bình phương hai vế ta

được: ( 2 ) ( )2 2

2 x ư16 > 10 2xư ⇔x ư20x 66 0+ < ⇔ ư10 34 x 10< < + 34 Kết hợp với điều kiện 4 x 5≤ ≤ ta có: 10ư 34 x 5< ≤ Đáp số: x 10> ư 34 0,25

II.2 (1,0 điểm)

Điều kiện: y > x và y > 0

log ( ) log4 1 1

4

y x

y x

y

ư

4

3y

Thế vào phương trình x2 + y2 = 25 ta có:

2 2

3y

4

So sánh với điều kiện , ta được y = 4, suy ra x= 3 (thỏa mãn y > x)

III.1 (1,0 điểm)

+ Đường thẳng qua O, vuông góc với BA( 3 ; 3)JJJG

có phương trình 3x+3y 0= Đường thẳng qua B, vuông góc với OA(0; 2)JJJG

có phương trình y = 1ư ( Đường thẳng qua A, vuông góc với BO( 3 ; 1)

JJJG

có phương trình 3x+ ư = ) y 2 0 0,25 Giải hệ hai (trong ba) phương trình trên ta được trực tâm H( 3 ; ư 1) 0,25 + Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = 1

Đường trung trực cạnh OB có phương trình 3x+ + = y 2 0 ( Đường trung trực cạnh AB có phương trình 3x 3y+ = ) 0 0,25

Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c

III.2.a (1,0 ®iÓm)

+ Ta cã: C 2; 0; 0(− ), D 0;( −1; 0), M(−1;0; 2) ,

SA=(2;0;−2 2), BMJJJJG= − −( 1; 1; 2) 0,25 Gäi α lµ gãc gi÷a SA vµ BM

cos cos SA, BM

2

SA BM

JJJG JJJJG JJJG JJJJG

JJJG JJJJG ⇒ α = °30

0,25 + Ta cã: ⎡⎣SA, BMJJJG JJJJG⎤ = −⎦ ( 2 2; 0; 2− ), ABJJJG= −( 2; 1; 0) 0,25 VËy:

d SA, BM

3

SA, BM

JJJG JJJJG JJJG

III.2.b (1,0 ®iÓm)

Ta cã MN // AB // CD ⇒ N lµ trung ®iÓm SD ⇒ ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

1

; 0

0,25

SAJJJG= 2; 0; −2 2 ,SM=(−1;0;− 2), SB=(0;1;−2 2), 1

2

=⎜ − − ⎟

JJJG

SA, SM 0; 4 2; 0

S.ABM

S.AMN

= ⎣JJJG JJJG JJJG⎦⋅ = ⇒ VS.ABMN =VS.ABM +VS.AMN = 2 0,25

IV.1 (1,0 ®iÓm)

2

1

x

=

∫ §Æt: t= x−1⇒ x= t2+1⇒ dx 2= tdt

Ta cã:

2

0,25

I

1

0

IV.2 (1, 0 ®iÓm)

1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x

BËc cña x trong 3 sè h¹ng ®Çu nhá h¬n 8, bËc cña x trong 4 sè h¹ng cuèi lín h¬n 8 0,25 VËy x8 chØ cã trong c¸c sè h¹ng thø t−, thø n¨m, víi hÖ sè t−¬ng øng lµ:

Gäi M=cos2A+2 2cosB+2 2cosC−3

2

cos 2

cos 2 2 2 1 cos

2

2

M 2cos A 4 2 sin 4

2

MÆt kh¸c tam gi¸c ABC kh«ng tï nªn cosA≥0, cos2A cos≤ A Suy ra:

4 2 sin 2 4 cos

2 sin 2 4 2 sin 2 1

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

2 sin 2 4 2 sin

−

2 sin 2 2

2

≤

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

−

Theo gi¶ thiÕt: M = 0 ⇔

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

−

=

2

1 2 sin

1 2 cos

cos cos2

A

C B

A A

⇔ A 90

B C 45

= °

⎧

⎨

= = °⋅

⎩

0,25