Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl,p (p # 2)

Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl,p (p # 2)

Đại học quốc gia hà nội

trường đại học khoa học tự nhiên

đại học quốc gia hà nội

trường đại học khoa học tự nhiên

Hà Nội-2007

Mở đầu

Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cứu đầu tiêntrong các công trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace như mộtcông cụ chính để mô tả cơ học cũng như là mô hình giải tích của vật lý Vàogiữa thế kỷ 19, đặc biệt với công trình của Riemann, Lý thuyết Phương trình

vi phân đạo hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngànhtoán học Cuối thế kỷ 19, H Poincare đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa

Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác.Sang thế kỷ 20, Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triểnmạnh mẽ nhờ công cụ Giải tích hàm Đặc biệt khi Lý thuyết hàm suy rộng

được xây dựng bởi S L Sobolev, L Schwartz được kết hợp với Giải tíchFourier nhiều bài toán đã được giải quyết Chẳng hạn bài toán biên elliptictuyến tính được giải quyết khá trọn vẹn Bằng lý thuyết nửa nhóm cùng cáckết quả từ toán tử elliptic, một số lớp bài toán parabolic, còn được gọi làphương trình tiến hóa, cũng đã được nghiên cứu bởi E Hille, K Yosida, F

E Browder, H Brezis, J L Lions, E Magnes, E B Davies, v.v Bài toánhyperbolic cũng đã có được những kết quả đẹp qua các công trình của I G.Petrovski, J Leray, L Garding, v.v Theo L Hormander, các công trình vềtoán tử hyperbolic của I G Petrovski như một điều dự báo về sự ra đời của

Lý thuyết toán tử Giả vi phân (GVP), một trong những công cụ hữu hiệu đểnghiên cứu Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng không chỉ tuyếntính mà cả với phi tuyến

Lý thuyết toán tử GVP là sự phát triển của Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợpvới Giải tích Fourier Một trong những kết quả đẹp dựa một phần trên Lýthuyết toán tử GVP là Định lý về chỉ số Atiyah- Singer, sự giao thoa giữanhiều ngành toán học Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lýthuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình học- Đại số Dựa vào Lý thuyết toán

tử GVP, F Treves, L Nirenberg đã giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải

được địa phương cho toán tử vi phân kiểu chính (chú ý rằng nói chung khôngthể giải được toàn cục, chẳng hạn đối với phương trình elliptic người ta cũng

chỉ có thể giải được một cách địa phương) Gần đây, cùng với nhiều côngtrình trước đó của L Hormander, Yu V Egorov, R Beals, C Fefferman,

N Lerner, v.v., cuối cùng là N Dencker mới giải quyết trọn vẹn bài toán vềtính giải được địa phương cho toán tử GVP kiểu chính Một kết quả lý thúkhác về tính subelliptic, tính chất nằm giữa elliptic và hyperbolic, là Yu V.Egorov đã đưa ra được điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic.Kết quả này được bắt nguồn từ công trình viết chung với V A Kondratiev

về bài toán đạo hàm nghiêng Khi khảo sát một vài lớp bài toán đạo hàmnghiêng cụ thể bằng cách chuyển thành toán tử GVP cùng với sự nghiên cứucác kết quả trước đó của L Hormander, Yu V Egorov đã tìm ra được phépbiến đổi chính tắc, rồi từ đó đi đến điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP

là subelliptic

Bài toán đạo hàm nghiêng là bài toán biên cho phương trình vi phân cấp

2, chẳng hạn phương trình Laplace ∆u = f, với điều kiện biên đạo hàmnghiêng ∂u

∂ν

∂Ω = g trong miền Ω bị chặn trong không gian có số chiều lớnhơn 2, với biên trơn ∂Ω, theo Yu V Egorov, V A Kondratiev được đặt

ra bởi H Poincare Tuy nhiên, cho đến trước năm 1963, bài toán đạo hàmnghiêng chỉ được xét khi trường véc-tơ Dν = ∂

∂ν không tiếp xúc với biên

Đến năm 1963, A V Bisadze xét bài toán đạo hàm nghiêng khi trường véc-tơ

Dν tiếp xúc với biên, cụ thể A V Bisadze xét bài toán biên cho phươngtrình Laplace trong hình cầu B = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 ≤ 1}với điều kiện biên (x1 ư a) ∂u

mà trường véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên là bài toán đạo hàmnghiêng không cổ điển phân biệt với các bài toán đạo hàm nghiêng đượctrước năm 1963 Việc nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển

gặp nhiều khó khăn Một trong những khó khăn là loại bài toán đạo hàmnghiêng không cổ điển này không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinskinhư các bài toán biên Dirichlet, Neuman hay các bài toán đạo hàm nghiêng

cổ điển Chúng tôi cũng xin được gọi bài toán biên không thỏa mãn Điềukiện Shapiro- Lopatinski là bài toán biên không cổ điển để phân biệt với bàitoán biên thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski Sau công trình của A V.Bisadze và nhiều tác giả khác như R Borrelli, L Hormander, Yu V Egorov,

V A Kondratiev, M B Malyutov, V G Mazya, Nguyễn Minh Chương,

Lê Quang Trung, v.v , cũng có những kết quả lý thú về bài toán đạo hàmnghiêng không cổ điển Một trong các kết quả lý thú đạt được bởi Yu V.Egorov- V A Kondratiev vào năm 1969 Yu V Egorov, V A Kondratiev

đã giải quyết khá trọn vẹn bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển, cụ thể

là bài toán biên cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 trong miền bịchặn Ω trong không gian với số chiều lớn hơn 2, với điều kiện biên đạo hàmnghiêng Dνu = g trên biên trơn ∂Ω, khi trường véc-tơ Dν tiếp xúc với biên

∂Ω tại những điểm thuộc đa tạp con trơn (n ư 2)ư chiều Γ0của biên ∂Ω Đểgiải quyết bài toán này, các tác giả đã phân Γ0 thành ba loại, tùy theo hìnhdáng của nó đối với trường véc-tơ Dν, và tập trung vào nghiên cứu bài toánxung quanh Γ0bằng cách sử dụng một phân hoạch đơn vị đặc biệt Gần đây,các tác giả A Maugeri , D K Palagachev, C Vitanza đã giải quyết được bàitoán đạo hàm nghiêng không cổ điển khi trường véc-tơ Dν tiếp xúc với biêntrên một tập con của biên Bài toán đạo hàm nghiêng được nghiên cứu theonhiều cách cho nhiều loại phương trình khác nhau, Yu V Egorov, V A.Kondratiev nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phương trình vi phânelliptic tuyến tính cấp 2, trong Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chương nghiêncứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phương trình vi phân parabolic tuyến tínhcấp 2, Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chương nghiên cứu bài toán biên không

cổ điển trong không gian Sobolev cấp biến thiên, Lê Quang Trung nghiêncứu bài toán biên không cổ điển cho phương trình vi tích phân kỳ dị ellipticcấp cao, Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chương nghiên cứu bài toán biên

không cổ điển cho phương trình vi tích phân kỳ dị elliptic nửa tuyến tính cấpcao Được sự gợi ý của Giáo sư Nguyễn Minh Chương, tác giả nghiên cứubài toán biên không cổ điển cho phương trình GVP cấp cao trong không giankiểu Sobolev H`,p, 1 < p < ∞.

Luận án này bao gồm các kết quả mà tác giả đã đạt được đối với các bài toánbiên cổ điển và không cổ điển cho phương trình GVP elliptic, parabolic cấpcao tuyến tính, nửa tuyến tính trong không gian H`,p, 1 < p < ∞

Luận án được chia thành bốn chương chính như sau

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày tổng quan về các kết quả cho bài toánbiên không cổ điển đối với phương trình elliptic và bài toán biên cổ điển đốivới phương trình parabolic Về bài toán biên không cổ điển đối với phươngtrình elliptic, các kết quả đưa ra ở đây thuộc về các tác giả Yu V Egorov,

V A Kondratiev và các kết quả gần đây của các tác giả A Maugeri , D K.Palagachev, C Vitanza Ngoài ra, chúng tôi cũng điểm qua các kết quả màchúng tôi được biết Về bài toán biên cổ điển đối với phương trình parabolic,các kết quả đưa ra ở đây được thuộc về các tác giả M S Agranovich, M

I Vishik và chúng tôi cũng điểm qua các kết quả mà chúng tôi được biết,chẳng hạn các kết quả gần đây của L Softova

Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên cổ điển

đối với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong khônggian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Đối với bài toán biên elliptictuyến tính, tính giải được đã được giải quyết trọn vẹn từ những năm 60 củathế kỷ 20 Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý là thứ nhất để bài toán giải đượcthì vế phải phải thỏa mãn một số hữu hạn điều kiện (nghĩa là toán tử ứngvới bài toán biên không là toàn ánh), thứ hai nếu bài toán giải được thì sốnghiệm của bài toán có thể nhiều hơn một (nghĩa là toán tử ứng với bài toánbiên không là đơn ánh) Khi đó, việc sử dụng phương pháp tuyến tính hóa

để giải quyết bài toán nửa tuyến tính sẽ gặp nhiều trở ngại Chúng tôi đã sửdụng phương pháp tham biến lớn để giải quyết trở ngại này, cụ thể là trongkhông gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến phức q, khi |q| đủ lớn với

mọi vế phải nằm trong không gian Sobolev thích hợp bài toán cổ điển đốivới phương trình GVP elliptic tuyến tính có duy nhất nghiệm Từ đó, bằngphương pháp tuyến tính hóa chúng tôi có kết quả về Định lý tồn tại nghiệmcho bài toán nửa tuyến tính.

Trong Chương 3, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không

cổ điển đối với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tínhtrong không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Đối vớibài toán biên không cổ điển, bài toán biên không thỏa mãn Điều kiệnShapiro- Lopatinski kiểu Egorov- Kondratiev, ta chỉ có đánh giá subelliptic

mà không thể có đánh giá kiểu elliptic, nghĩa là đánh giá có dạng sau

||u||`,p,Ω ≤ C(||Uu||`+δ,p,Ω,∂Ω+ ||u||0,p,Ω), trong đó U là toán tử ứng với bàitoán biên, còn 0 < δ Nếu U là toán tử ứng với bài toán biên elliptic thì ta

có đánh giá với δ = 0 Do vậy, để nghiên cứu bài toán biên không cổ điểnchúng tôi xây dựng một lớp không gian mới kiểu Sobolev với chuẩn phụthuộc tham biến Với lớp không gian kiểu Sobolev này chúng tôi đã có đượccác kết quả về Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp bài toánbiên không cổ điển tuyến tính Từ đó, bằng các kỹ thuật của Giải tích phituyến, chúng tôi cũng có những kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bàitoán nửa tuyến tính

Trong Chương 4, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ

điển đối với phương trình GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính trongkhông gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Chẳng hạn, bằngphương pháp nửa nhóm ta chuyển bài toán biên parabolic dạng ∂u

∂t = Au,trong đó A là toán tử elliptic, về việc nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi toán tửelliptic A Để nghiên cứu nửa nhóm này người ta nghiên cứu toán tử elliptic

A Chúng tôi dùng phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa bàitoán biên parabolic về bài toán biên elliptic Từ việc nghiên cứu bài toánbiên cổ điển và không cổ điển cho phương trình elliptic ở các Chương trước,chúng tôi thu được các kết quả cho bài toán biên parabolic tuyến tính và nửatuyến tính

Chương 1 Tổng quan

Trong Chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả nổi bật, mà chúngtôi biết, về các bài toán biên không cổ điển đối với phương trình vi phânelliptic của các tác giả Yu V Egorov, V A Kondratiev, và của các tác giả

A Maugeri, D K Palagachev, C Vitanza; cũng như bài toán biên cổ điển

đối với phương trình parabolic của M S Agranovich, M I Vishik, được xéttrong một tập mở, bị chặn, liên thông Ω với biên ∂Ω trơn, trong không gian

Rn với số chiều n ≥ 3 Ngoài ra, chúng tôi điểm qua các kết quả của cáctác giả Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chương, Lê Quang Trung về các bàitoán biên không cổ điển đối với phương trình elliptic tuyến tính và nửa tuyếntính cũng như các kết quả của các tác giả Yu V Egorov, Nguyễn MinhChương, Lê Quang Trung, L Softova bài toán biên cổ điển đối với phươngtrình parabolic

Chương 2 Bài toán biên cổ điển đối với

• Cho p, ` ∈ R, 0 ≤ `, 1 < p < ∞, Ω là miền bị chặn với biên ∂Ω trơn,trong Rn Các không gian H`,p( ¯Rn+), H`,p(Ω), H`,p(∂Ω)được xây dựngnhư truyền thống

• Lấy q ∈ C, p, ` ∈ R, 1 < p < ∞, 0 ≤ `, trong H`,p(Rn), H`,p(Ω),

H`,p( ¯Rn+), H`,p(∂Ω)ta định nghĩa chuẩn phụ thuộc tham biến q:

kuk`,p,q = p `,p + |q|p` p 0,p

1/p

.Khi đó ta kí hiệu các không gian với chuẩn phụ thuộc tham biến lầnl−ợt là H`,p,q(Rn), H`,p,q(Ω), H`,p,q( ¯Rn+), H`,p,q(∂Ω)

Mệnh đề 2.1.3 khẳng định với p, ` ∈ R, 1 < p < ∞, 0 ≤ `, toán tử hạn

chế M từ Rn xuống ¯Rn+ là toán tử tuyến tính bị chặn từ H`,p(Rn) vào

H`,p( ¯Rn+) Với K là tập compact trong ¯Rn+, toán tử thác triển L biến mỗihàm u ∈ C∞

0 ( ¯Rn+), mà supp u ⊂ K, thành hàm Lu(x) = u(x) khi xn ≥ 0

và Lu(x) = 0 khi xn < 0 là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian gồmcác hàm u ∈ H`,p( ¯Rn+), supp u ⊂ K vào H`,p(Rn)

Mệnh đề 2.1.4 khẳng định với p, ` ∈ R, 1 < p < ∞, 0 < |α| < `, toán

tử vi phân Dα là toán tử tuyến tính bị chặn từ H`,p(Rn) (hay H`,p( ¯Rn+))vào H`−|α|,p(Rn) (hay H`−|α|,p( ¯Rn+)) Do đó, toán tử vi phân Dα là toán tửtuyến tính bị chặn từ H`,p(Ω) vào H`−|α|,p(Ω) Với (1 − 1

p) < `, toán tửvết u 7→ u

xn =0 là toán tử tuyến tính bị chặn từ H`,p(Rn) (hay H`,p( ¯Rn+))vào H`−(1−1

2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) trong Rn

Định nghĩa 2.2.1 Cho s ∈ Z+, γ1, γ2 ∈ R, Q = 

z ∈ C|γ1 ≤arg z ≤ γ2

.Toán tử GVP A(x, D, q) cấp s trong Rn với tham biến q được xác định nhưsau

Au(x, q) = A(x, D, q)u(x, q) = (2π)ưn/2

Z

R n ξ

α,β(., ξ) ∈ C0∞(Rn)với mỗi ξ ∈ Rn \ {0},(ii) các hàm a(0)α,β(.), a(0)α,β(x, ) ∈ C(Rn\ {0}), với mỗi x ∈ Rn,và thuầnnhất dương bậc 0 theo ξ nghĩa là

a(0)α,β(cξ) = a(0)α,β(ξ), a(1)α,β(x, cξ) = a(1)α,β(x, ξ), ∀x ∈ Rn, ξ ∈ Rn\ {0}, ∀c > 0.Toán tử GVP A được gọi là thuần nhất nếu biểu trưng của nó σA(x, ξ, q)thuầnnhất theo (ξ, q), nghĩa là σA(x, ξ, q) = P

trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q

Dưới đây, ta quan tâm toán tử GVP cấp s thuần nhất A với biểu trưng khôngphụ thuộc x, nghĩa là σA(ξ, q) =P

|α|+β=sa(0)α,β(ξ)ξαqβ

Định lý 2.2.4 Cho `, p ∈ R, s ∈ Z+, 1 < p < ∞ Giả sử toán tử GVP thuầnnhất A với biểu trưng không phụ thuộc x và thoả mãn σA(ξ, q) 6= 0, khi

||ξ||+|q| 6= 0 Khi đó với q ∈ Q\{0}, toán tử A : H`,p,q(Rn) → H`ưs,p,q(Rn)

là khả nghịch, mà toán tử nghịch đảo của nó Aư1 là toán tử có dạng

2.3 Bài toán biên trên nửa không gian Rn

+

Định nghĩa 2.3.1 Cho s ∈ Z+, γ1, γ2 ∈ R, Q = 

z ∈ C|γ1 ≤arg z ≤ γ2

.Toán A được xác định bởi A = M ˜AL,trong đó

(i) M là toán tử hạn chế từ Rn xuống Rn

+,(ii) L là toán tử thác triển từ Rn

+ lên Rn (trong Mệnh đề 2.1.3),(iii) ˜Alà toán tử GVP cấp s trong Rn với biểu trưng

σA˜(x, ξ, q), x ∈ Rn, ξ ∈ Rn \ {0}, q ∈ Q

được gọi là toán tử GVP cấp s trong Rn

+ với biểu trưng

σA(x, ξ, q) = σA˜(x, ξ, q), x ∈ Rn+, ξ ∈ Rn\ {0}, q ∈ Q

Toán tử A được gọi là thuần nhất nếu toán tử ˜Athuần nhất

Toán tử A được gọi là chấp nhận được (admissible) nếu biểu trưng của phầnchính của nó có dạng σA0(x0, 0, ξ, q) = Ps

k=0σA0k(x0, ξ0, q)ξk,trong đó σA0k(x0, ξ0, q)thuần nhất dương bậc (sưk) theo (ξ0, q), k = 0, , s,

Au(x, q) = A(x, D, q)u(x, q) = f (x, q), xn > 0, (2.9)

Bju(x, q)

xn=0 = Bj(x, D, q)u(x, q)

xn=0 = gj(x0, q), j = 1, , s

(2.10)trong đó q ∈ Q, A, Bj là các toán tử GVP chấp nhận được cấp (tương ứng)

xn=0, , Bs

xn=0

,khi `0 ≤ `, 1 < p < ∞,

có đánh giá

+,Rnư1 ≤ Ckuk`,p,q, ¯Rn

+, u ∈ H`,p,q(Rn+)trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q

Bây giờ, ta xét bài toán biên (2.9)ư(2.10) đối với toán tử thuần nhất A(D, q),

Bj(D, q)với biểu trưng σA(x, ξ, q), σBj(x, ξ, q)không phụ thuộc x, nghĩa là

, q)

Toán tử A(D, q) được gọi là elliptic nếu σA(ξ, q) 6= 0khi ||ξ|| + |q| 6= 0.Bài toán biên (2.9) ư (2.10) thoả mãn điều kiện Shapiro-Lopatinski nếu bàitoán

t=0 = hj, j = 1, , s, (2.12)khi ||ξ0|| + |q| 6= 0, có duy nhất nghiệm trong không gian M các nghiệm ổn

định của phương trình (2.11) với mọi hj

Bài toán biên (2.9) ư (2.10) (hay toán tử U) được gọi là elliptic nếu toán

tử A(D, q) là elliptic, và bài toán biên (2.9) ư (2.10) thoả mãn điều kiệnShapiro-Lopatinski

Định lý 2.3.5 Cho p, ` ∈ R, `0 ≤ `, 1 < p < ∞, toán tử U là elliptic Khi

Khi q 6= 0, ta có bất đẳng thức

||u||`,p,q, ¯Rn

+ ≤ C||Uu||`,p,q,Rn

+,Rn−1, ∀u ∈ H`,p,q( ¯Rn+),trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q

Khi đó toán tử U là đơn ánh từ H`,p,q( ¯Rn+) vào H`,p,q(Rn+, Rn−1)

Định lý 2.3.6 Cho p, ` ∈ R, `0 ≤ `, 1 < p < ∞, toán tử U là elliptic Cáckhẳng định sau là đúng

(i) Nếu q ∈ Q \ {0} thì toán tử U là khả nghịch, và toán tử nghịch đảo

U−1 là toán tử bị chặn từ H`,p,q( ¯Rn+, Rn−1)vào H`,p,q( ¯Rn+), không phụ thuộc

p, `,

(ii) Nếu q = 0, có một toán tử bị chặn R từ H`,p,q(Rn+, Rn−1) vào

trong đó Id1là toán tử đồng nhất trên H`,p,q(Rn+, Rn−1), T là toán tử bị chặn

2.4 Bài toán biên trên miền bị chặn

Cho Ω là một miền compact trong Rn(n ≥ 3),với biên ∂Ω trơn và phânhoạch đơn vị {Uj, ϕj}N j=1

Định nghĩa 2.4.1 Toán tử A tác động tuyến tính từ ∪`≥0H`,p,q(Ω) vào

(i) với mỗi ϕ ∈ C∞(Ω), toán tử ϕA − Aϕ là toán tử tuyến tính bị chặn từ

(ii) với mỗi ϕ, ψ ∈ C∞

có ϕA[ψ.] = ϕAj[ψ.], với Aj là chấp nhận đ−ợc

đối với phương trình parabolic M S Agranovich, M I Vishik, xéttrong tập mở, bị chặn, liên thông Ω với biên ∂Ω trơn, không gian

Rn... Dνu = g biên trơn ∂Ω, trường véc-tơ Dν tiếp xúc với biên

∂Ω điểm thuộc đa tạp trơn (n 2)? ? chiều Γ0của biên ∂Ω Đểgiải toán này, tác giả phân Γ0... tốn tử ứng với bàitốn biên, cịn < δ Nếu U toán tử ứng với toán biên elliptic ta

có đánh giá với δ = Do vậy, để nghiên cứu tốn biên khơng cổ điểnchúng xây dựng lớp không gian kiểu Sobolev