Bài toán biên ban đầu đối với phương trình Parabolic trong miền trụ với đáy không trơn

Bài toán biên ban đầu đối với phương trình Parabolic trong miền trụ với đáy không trơn

− − − ? ? ? − − −

NGUYỄN THÀNH ANH

BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU

ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLICTRONG MIỀN TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: phương trình vi phân-tích phân

Mã số: 62 46 01 05

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2010

Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh, Trường Đại học Khoa học

tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Phản biện 2: GS TSKH Lê Hùng Sơn, Trường Đại học Bách khoa

Có thể tìm hiểu luận án này tại:

- thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

- thư viện Quốc gia

về các kết quả này như sau Nghiệm của các bài toán này nói chungkhông trơn tại các điểm kì dị của biên, và do đó, chúng không thuộccác không gian Sobolev thông thường Bởi vậy, điều quan trọng là

mô tả được tính chất của các nghiệm này trong lân cận các điểm kì

dị của biên và đưa ra các không gian Sobolev thích hợp để xét cácbài toán đó

Các bài toán biên đối với phương trình, hệ phương trình khôngdừng trong miền có biên không trơn cũng đã được nghiên cứu trongnhiều công trình với các loại phương trình khác nhau, trên các loạimiền không trơn khác nhau và các cách tiếp cận khác nhau

Trong luận án này, sử dụng cách tiếp cận giới thiệu cuối cùng ởtrên, chúng tôi dành sự chú ý vào việc nghiên cứu bài toán biên banđầu thứ hai (còn gọi là bài toán Cauchy- Neumann) đối với phươngtrình parabolic trong miền trụ với đáy là miền có biên chứa điểmnón Tuy nhiên, chúng tôi sẽ xét bài toán với các điều kiện biên dạngtổng quát hơn, chúng chứa điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biênNeumann như các trường hợp riêng Bởi vậy chúng tôi đặt tên đề tài

là "Bài toán biên ban đầu đối với phương trình parabolic trong miềntrụ với đáy không trơn"

2 Mục đích và đối tượng nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu bài toán biên ban đầu đối vớiphương trình parabolic trong miền trụ với đáy là miền bị chặn chứađiểm nón trên biên, bao gồm các vấn đề: tính đặt đúng của bài toán,tính chính quy của nghiệm và biểu diễn tiệm cận của nghiệm tronglân cận của điểm nón Chúng tôi chỉ xét bài toán tuyến tính với toán

tử parabolic mạnh, điều kiện biên thuần nhất và điều kiện ban đầutổng quát

4 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Luận án gồm 3 chương:

- Chương 1 dành cho việc giới thiệu bài toán và nghiên cứu sựtồn tại duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán Mục 1.1 dành choviệc giới thiệu một số kí hiệu, giả thiết và đặt bài toán Trong mục1.2 chúng tôi tính đặt đúng của bài toán trong không gianHm,1

B (Q)

- Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính chính quy của nghiệmsuy rộng theo cả biến thời gian và biến không gian Trước hết, trongmục 2.2, chúng tôi thiết lập định lí về tính chính quy của nghiệm theobiến thời gian trong không gian HBm,1(Q) bằng phương pháp xấp xỉGalerkin cũng như các kết quả về tồn tại duy nhất nghiệm suy rộngcủa bài toán Chúng ta sẽ thấy rằng tính chính quy của nghiệm theobiến thời gian trong không gian HBm,1(Q) không phụ thuộc vào tínhtrơn của biên Tiếp theo, trong mục 2.3, chúng tôi thiết lập đượctính chính quy của nghiệm suy rộng trong các không gian Sobolev

có trọng W2ml,l2,γ (GT) và W2ml,l

2,γ (GT) Trong khi tính chính quy củanghiệm suy rộng trong không gian Sobolev có trọng W2ml,l2,γ (GT) chỉphụ thuộc vào tính chính quy của các dữ kiện cùng với điều kiện phùhợp giữa chúng thì tính chính quy của nghiệm suy rộng trong khônggian Sobolev có trọng W2ml,l

2,γ (GT) còn phụ thuộc vào điều kiện vềphổ của bó toán tử tương ứng với bài toán Ý tưởng chính được dùngtrong chương này là chuyển số hạng chứa đạo hàm theo biến thời giancủa ẩn hàm sang vế phải và coi bài toán toán như là bài toán biênelliptic phụ thuộc tham số Sau đó sử dụng các kết quả về tính chínhquy của nghiệm của bài toán elliptic trong miền với biên chứa điểmnón và kết quả về tính chính quy của nghiệm suy rộng theo biến thờigian để nhận được các kết quả mong muốn

- Trong Chương 3 chúng tôi nghiên cứu việc biểu diễn tiệm cậnnghiệm suy rộng trong lân cận của điểm nón Ý tưởng chính củachương này là sử dụng các kết quả về biểu diễn của nghiệm của bàitoán elliptic trong lân cận của điểm nón Trước hết, chúng tôi nghiêncứu tính chính quy của các hàm giá trị riêng và các hàm vectơ riêngcủa bó toán tử tương ứng với bài toán trong mục 3.2 Trong phần đầucủa mục 3.3, chúng tôi nghiên cứu biểu diễn tiệm cận của nghiệm củabài toán biên elliptic phụ thuộc tham số trong không gian Sobolev cótrọng kiểu "V" Kế đó, trong phần cuối của mục 3.3, sử dụng các kết

quả này và kết quả về tính chính quy của nghiệm chúng tôi thiết lậpbiểu diễn tiệm cận nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu đangxét trong lân cận của điểm nón Chúng tôi dành mục 3.4 để trình bàycác bài toán biên mẫu đối với phương trình parabolic cấp hai trongmiền góc Ở đó chúng tôi tính toán tường minh các hàm giá trị riêng

và các hàm vectơ riêng của bó toán tử tương ứng với bài toán Cáckết quả này được sử dụng để xây dựng công thức biểu diễn tiệm cậncủa nghiệm của bài toán biên ban đầu đối với phương trình paraboliccấp hai trong miền trụ với đáy là đa giác cong, được chúng tôi xéttrong mục 3.5 như một ví dụ của các kết quả tổng quát của luận án

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các kết quả của luận án góp phần hoàn thiện lí thuyết định tínhcác bài toán biên không dừng nói chung và các bài toán biên khôngdừng trong miền không trơn nói riêng Các kết quả này có thể đượcdùng trong quá trình xây dựng các lược đồ giải số các bài toán biênđối với phương trình parabolic trong miền trụ với đáy không trơn.Một số ý tưởng và phương pháp được dùng trong luận án có thể dùng

để nghiên cứu các bài toán biên không dừng khác

Nội dung chính của luận án này đã được được báo cáo tại:

- Hội nghị Quốc tế về giải tích trừu tượng và ứng dụng lần thứ 2(ICAAA), Quy nhơn - 2005

- Hội nghị - Đại hội Toán học Toàn quốc, Quy nhơn - 2008

- Hội nghị khoa học Khoa Toán -Tin, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội, 2008

Chương 1TÍNH GIẢI ĐƯỢC DUY NHẤT CỦA BÀI TOÁN

Mục đích chính của chương này là giới thiệu bài toán và nghiêncứu sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán Sự duy nhấtnghiệm được chứng minh bằng phương pháp năng lượng đánh giá tiênnghiệm; trong khi sự tồn tại nghiệm được chứng minh bằng phươngpháp xấp xỉ Galerkin Kết quả chính của chương này là Định lí 1.2.2.Nội dung chính của chương này được viết dựa trên phần đầu của cácbài báo số 1, 2, 3 trong danh mục các công trình của tác giả

1.1 Đại cương và phát biểu bài toán

Giả sử G là một miền bị chặn trong Rn (n > 2) với biên ∂G Tagiả sử S = ∂G \ {0} một đa tạp trơn và G trong một lân cận củagốc tọa độ 0 trùng với nón K = {x : x/|x| ∈ Ω} trong đó Ω mộtmiền trên hình cầu đơn vịSn−1 với biên ∂Ω trơn Giả sử T là một sốthực dương hoặc T = +∞ Với mỗi t ∈ (0, +∞), đặt Gt= G × (0, t),

St= S × (0, t), Q = G∞= G × (0, +∞), và Γ = S∞= S × [0, +∞).Giả sử

là một hệ của các toán tử (vi phân) biên trên ST Ta giả sử ord Bj =

µj 6 m − 1 với j = 1, , J, và m 6 ord Bj = µj 6 2m − 1 với j =

J + 1, , m, và giả thiết rằng các hệ số của Bj không phụ thuộc tnếu ord Bj < m Giả thiết rằng các hệ số của các toán tử L và Bj cóđạo hàm mọi cấp bị chặn trên GT Giả sử rằng {Bj(x, t, ∂x)}mj=1 làmột hệ chuẩn tắc trên ST và đẳng thức tích phân sau

đúng với mọi u, v ∈ C∞(G) và hầu khắp t ∈ [0, T ], trong đó Φj, j =

1, , m, các toán tử biên trên S và

Giả sử X, Y là các không gian Banach Ta kí hiệu bởi W1

2(0, T ; X, Y )không gian bao gồm các hàm u ∈ L2(0, T ; X) sao cho đạo hàm suyrộng ut= u0tồn tại và thuộc L2(0, T ; Y ) Chuẩn trong W21(0, T ; X, Y )xác định bởi kukW1 (0,T ;X,Y )= kuk2L

2 (0,T ;X)+ kutk2

L 2 (0,T ;Y )

1 Để các

1.2 Tính giải được duy nhất của bài toán

Trong bài này chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệmsuy rộng của bài toán (1.3)- (1.5) Sự duy nhất nghiệm được chứngminh bằng phương pháp đánh giá năng lượng Còn sự tồn tại đượcchứng minh bằng phương pháp Galerkin

Bổ đề 1.2.1 Giả sử F (t, , ) là một dạng song tuyến tính trên HBm(G)

×Hm

B(G) thỏa mãn |F (t, v, w)| 6 CkvkH m

B (G)kwkHm

B (G) (C = const )với mọi t ∈ [0, +∞) và v, w ∈ HBm(G), và F (., v, w) là đo được[0, +∞) với mỗi cặp v, w ∈ HBm(G) Giả sử u ∈ Hm,1

B (Q) thỏau(., 0) = 0 và

hut(., t), v(., t)i + B(t, u(., t), v(., t)) =

Z t 0

F (θ, u(., θ), v(., t))dθ

với hầu khắp nơi t ∈ [0, +∞) và mọi hàm v xác định trên Q, v ∈

HBm,0(Gτ) với τ là số dương bất kì Khi đó u ≡ 0 trên Q

Định lí 1.2.2 Nếu f ∈ HB−m,0(Q), φ ∈ L2(G) thì bài toán (1.5) tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng u ∈Hm,1

(1.3)-B (Q) thỏa mãnkuk2

H m,1

B (Q)6 C kφk2L2(G)+ kf k2H−m,0

B (Q)
, (1.7)trong đó C là hằng số không phụ thuộc φ, f và u

Chương 2TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM

Mục đích chính của chương này là nghiên cứu tính chính quy củanghiệm suy rộng của bài toán theo biến thời gian trong không gian

HBm,1(Q) và tính chính quy theo các biến không gian và thời giantrong các không gian Sobolev có trọng Tính chính quy theo biếnthời gian được chứng minh bằng cách kết hợp các kết quả về tồn tạiduy nhất nghiệm suy rộng của bài toán, phương pháp xấp xỉ Galerkintrên cùng với phương pháp quy nạp toán học Để xét chính quy theocác biến không gian và thời gian trong các không gian Sobolev cótrọng, phương pháp chính là chuyển số hạng chứa đạo hàm theo biếnthời gian của ẩn hàm sang vế phải và coi bài toán nhận được như

là bài toán biên elliptic phụ thuộc tham số Sau đó sử dụng các kếtquả về tính chính quy của nghiệm của bài toán elliptic trong miềnvới biên chứa điểm nón và kết quả về tính chính quy của nghiệm suyrộng theo biến thời gian của chương trước để nhận được các kết quảmong muốn Kết quả chính của chương này là Định lí 2.2.3, Định

lí 2.3.4 và Định lí 2.3.6 Nội dung chính của chương này được viếtdựa theo phần sau của các bài báo số 1, 2, 3 trong danh mục cáccông trình của tác giả

2.1 Đại cương

Kí hiệu bởi V2,γl (G), W2,γl (G) (γ ∈ R) các không gian Sobolev

có trọng với các chuẩn kukVl

W2h((0, T )) = W2h((0, T ); C), W2l,h(ΩT) = W2h((0, T ); W2l(Ω)),

V2,γl,h(GT) = W2h((0, T ); V2,γl (G)), Vl−

1 ,h 2,γ (ST) = W2h((0, T ); Vl−

1

2,γ (∂G)),

W2,γl,h(GT) = W2h((0, T ); W2,γl (G)), Wl−

1 ,h 2,γ (ST) = W2h((0, T ); Wl−

1

2,γ (∂G))

Cuối cùng kí hiệu bởi W2ml,l2,γ (GT),W2ml,l

2,γ (GT) (γ ∈ R) các không gianSobolev có trọng,

G T

|α|+2mk62ml k<l

kukW 2ml,l

2,γ (G T ) =



Z

2.2 Tính chính quy của nghiệm theo biến thời

Bổ đề 2.2.2 Giả sử φ ∈ HBm(G) và f ∈ H−m,1

B (Q) Khi đó nghiệmsuy rộng u trong Hm,1

B (Q) của bài toán (1.3)- (1.5) thực tế thuộc

Giả sử φ ∈ W2,loc(2h+1)m(G), f ∈ W2hm,h

2,loc (Q), trong đó h một sốnguyên dương Ta đặt φ0 := φ, φ1 := f (., 0)−L(x, 0, ∂x)φ0, , φh:=

fth−1(., 0) −Ph−1

k=0 h−1

k
Lth−1−k(x, 0, ∂x)φk Ta nói điều kiện phù hợp

bậc h đối với bài toán (1.3)-(1.5) thỏa mãn nếu các hàm φ0, , φh−1thuộc W2,loc2m (G) và

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u, f, φ

2.3 Tính chính quy của nghiệm trong không

gian Sobolev có trọng

Trong mục này chúng tôi sẽ thiết lập định lí về tính chính quy củanghiệm suy rộng của bài toán trong không gian có trọng W2ml,l2,γ (Q).Trước hết chúng tôi đưa ra một số bổ đề bổ trợ

Hơn nữa, nếu giả thiết thêm rằng u|S ∈ Vl−q−

1 2

2,γ−q (S), q là một sốnguyên bé hơn l, l> 1, thì u|S ∈ Vl−

1

2,γ (S)

Bổ đề 2.3.2 Giả sử u ∈ W2m(G) ∩ W2,loc2m (G) là một nghiệm của bàitoán

Bj(x, t0, ∂x)u = gj trên S, j = 1, , m (2.6)với f ∈ W2,m0 (G), gj ∈ W2m−µj − 1

+ kuk2Wm

2 (G)
,trong đó hằng số C là không phụ thuộc u, f và t0

Bổ đề 2.3.3 Giả sử l, s là các số nguyên không âm, l> 2m, và γ làmột số thực Giả sử u ∈ W2,γl,0(Q) là nghiệm của bài toán sau

Bj(x, t, ∂x)u = gj trên Γ, j = 1, , m (2.8)Khi đó nếu f ∈ W2,γ+sl−2m+s,0(Q), g ∈ Wl−µj−

1 +s,0 2,γ+s (Γ) thì u ∈ W2,γ+sl+s,0(G)và

+ kuk2

W2,γl,0(G)
với hằng số C không phụ thuộc u, f, g

Bây giờ là lúc chúng tôi đưa ra định lí chính của mục này

Định lí 2.3.4 Giả sử h là một số nguyên không âm và các giả thiếtcủa Định lí 2.2.3 thỏa mãn Giả thiết thêm rằng f ∈ W2hm,h2,(2h+1)m(Q).Khi đó nghiệm suy rộng u ∈Hm,1(Q) của bài toán (1.3)- (1.5) thuộc

W(2h+2)m,h+12,(2h+1)m (Q) Hơn nữa ta có đánh giá

trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, f, φ

Trong phần còn lại của mục này chúng tôi sẽ thiết lập định lí vềtính chính quy của nghiệm suy rộng của bài toán trong không gian

có trọng W2ml,l

2,γ (Q) Những kết quả này là mạnh hơn so với nhữngkết quả của mục trước Tuy nhiên, chúng chỉ đạt được nhờ giả thiết

về phổ của bó toán tử tương ứng với bài toán

Trước hết ta giới thiệu về bó toán tử tương ứng với bài toán Giả

sử L = L(t, ∂x), Bj = Bj(t, ∂x) phần chính của L(x, t, ∂x), Bj(x, t, ∂x)tại x = 0 Bởi vậy ta có thể viết L(t, ∂x), Bj(t, ∂x) dưới dạng

L(t, ∂x) = r−2mL (ω, t, ∂ω, r∂r), Bj(t, ∂x) = r−µjBj(ω, t, ∂ω, r∂r)

Ta đặtU (λ, t) = (L (ω, t, ∂ω, λ),Bj(ω, t, ∂ω, λ)) với λ ∈ C, t ∈ [0, T ]

và gọi là bó toán tử tương ứng với bài toán (1.3)-(1.5)

Bổ đề 2.3.5 Giả sử u ∈ W2,γl,0(Q) là một nghiệm của bài toán

Bj(x, t, ∂x)u = gj trên Γ,j = 1, , m, (2.10)trong đó f ∈ W2,δk−2m,0(Q), gj ∈ Wk−µj−

1 ,0 2,δ (Γ), l, k là một số nguyên

> 2m, k − δ > l − γ, γ +n

2 ∈ {1, , l}, δ +/

n

2 ∈ {1, , k} Giả sử/dải −γ + l − n

+ kuk2

W2,γl,0(Q)

(2.11)với hằng số C không phụ thuộc u, f, gj

Sau đây là định lí chính của mục này

Định lí 2.3.6 Giả sử h là một số nguyên không âm và các giả thiếtcủa Định lí 2.2.3 thỏa mãn Giả thiết thêm rằng 06 γ 6 m, γ +n

2 ∈/{1, , 2(h + 1)m} và f ∈W2hm,h

2,γ (Q) Hơn nữa giả sử dải m − n

2 6

Re λ 6 −γ + 2hm + 2m −n

2 không chứa giá trị riêng nào củaU(λ, t)với mọi t ∈ (0, +∞) Khi đó nghiệm suy rộng u ∈Hm,1(Q) của bàitoán (1.3)- (1.5) thuộcW2(h+1)m,h+1

, (2.12)

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u, f, φ

Chương 3BIỂU DIỄN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM

Mục đích chính của chương này là nghiên cứu dáng điệu tiệm cậnnghiệm suy rộng trong lân cận của điểm nón Phương pháp chínhdùng để nghiên cứu là sử dụng các kết quả về nhiễu giải tích của cáctoán tử tuyến tính, tuyến tính hóa các bó toán tử phụ thuộc đa thức

và các kết quả về biểu diễn của nghiệm của bài toán elliptic tronglân cận của điểm nón Kết quả chính của chương này là Định lí 3.3.3

và Định lí 3.3.4 Để đạt được các kết quả này, Định lí 3.2.5 và Bổ

đề 3.3.1 là những kết quả quan trọng Nội dung chính của chươngnày được viết dựa theo công trình số 5, riêng hai mục 3.4, 3.5 chúngtôi dựa theo công trình số 4 trong danh mục các công trình của tácgiả

Λ = dim kerU (λ0) được gọi là bội hình học của giá trị riêng λ0.Hạng của vectơ riêng ϕ0, kí hiệu bởi rank ϕ0, là độ dài cực đại của

các xích Jordan tương ứng với vectơ riêng ϕ0 Tổng các hạng của một

hệ các vectơ riêng tạo thành một cơ sở của kerU (λ0) gọi là bội đại

số (hay gọi ngắn gọn là bội) của giá trị riêng λ0 Một giá trị riêng cóbội đại số bằng bội hình học (các bội riêng đều bằng 1) thì gọi là giátrị riêng bán đơn (semi-simple) Một giá trị riêng bán đơn thì chỉ cócác vectơ riêng mà không có vectơ riêng suy rộng tương ứng với nó.Giả sử A ∈L(X) Các khái niệm giới thiệu ở trên (giá trị riêng,vectơ riêng, vectơ suy rộng, bội hình học, bội đại số, xích Jordan, hệchính tắc các xích Jordan) của bó toán tử λI − A còn được gọi là củatoán tử A

Kí hiệu bởi Ca([0, T ]; X) tập các hàm giá trị trong X xác định vàgiải tích trên [0, T ] Ta nói rằng f ∈ C∞,a(DT) nếu f ∈ Ca([0, T ]; Cl(D))với mọi số nguyên không âm l Trong chương này, chúng tôi giả thiếtthêm rằng: các hệ số của toán tử L(x, t, ∂x) thuộc lớp C∞,a(GT) vàcác hệ số của các toán tử biên Bj = Bj(x, t, ∂x) thuộc lớp C∞,a(∂G ×[0, T ])

3.2 Giá trị riêng và các hàm riêng của bó toán

tử tương ứng với bài toán

Trong mục này chúng tôi sẽ nghiên cứu tính trơn theo t của cáchàm giá trị riêng và các hàm vectơ riêng của bó toán tửU (λ, t).Định nghĩa 3.2.1 Một hàm giá trị phức λ(t) xác định và liên tụctrên một khoảng conR nào đó của [0, T ] sao cho λ(t) là giá trị riêngcủa toán tử A(t) với mọi t ∈R được gọi là một hàm giá trị riêng của

họ toán tử A(t)

Hàm giá trị riêng λ(t) được gọi là có bội không đổi nếu các bộihình học, bội riêng và bội đại số của λ(t1) và λ(t2) tương ứng bằngnhau với mọi t1, t2 ∈ R Khi đó bội của λ(t1) cũng được gọi là bộicủa hàm giá trị riêng λ(t)

Hàm giá trị riêng λ(t) được gọi là bán đơn (tương ứng, đơn) nếuλ(t) là giá trị riêng bán đơn (tương ứng, đơn) của toán tử A(t) vớimỗi t ∈R

Định nghĩa 3.2.2 Giả sử λ(t) là một hàm giá trị riêng của họ toán

tử A(t) xác định trênR ⊂ [0, T ] Một hàm ϕ(t) xác định trên R nhận