Các phương pháp toán kinh tế (Giáo trình dàn cho ngành tin học và công nghệ thông tin)

Việc biết cách mô tả các vấn ñề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp toán học ñể giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết qu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðAỊ HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

PGS TS NGUYỄN HẢI THANH

CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

HÀ NỘI, 2008

MỤC LỤC

Trang

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ TRONG KINH TẾ TOÁN 11

2 CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH

1.5 Phân tích so sánh tĩnh mô hình cân ñối liên ngành 40

2 PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH CHO MÔ HÌNH KINH TẾ

2.2 Một số ví dụ tìm vi phân toàn phần và ñạo hàm hàm ẩn 44

CHƯƠNG IV MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 61

1 PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH

1.2 Hàm tăng trưởng và tốc ñộ tăng trưởng của biến kinh tế 65

1.3 Phân tích cân bằng thông qua mô hình tối ưu nhiều biến

2 PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH

2.2 ðiều kiện ñạt tới trạng thái cân bằng

2.3 Cực ñại hoá hàm thoả dụng của người tiêu dùng

83

85

3 HÀM SẢN XUẤT VÀ VẤN ðỀ PHÂN BỔ ðẦU VÀO TỐI ƯU 89

1.2 Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình

2.2 Tìm ñường cân bằng bền cho mô hình tăng trưởng Domar 113

3 PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG ðỐI VỚI GIÁ CẢ THỊ TRƯỜNG 114

4.2 Tiếp cận ñịnh tính giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một 122

4.3 Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow

4.4 Phân tích ñịnh tính trên biểu ñồ pha

4.5 Phân tích ñịnh lượng

126

127

129

5 MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG VỚI KỲ VỌNG GIÁ ðƯỢC DỰ BÁO TRƯỚC 129

5.1 Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

CHƯƠNG VI ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

1.4 Khảo sát tính ổn ñịnh của nghiệm của các phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai

150

152

2 PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH

2.2 Mô hình thị trường có hàng tồn kho

2.3 Mô hình thị trường với giá trần

4 MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP

4.2 Phân tích các ñường biến ñộng của giá cả và lạm phát 164

5 ÁP DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG

5.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

5.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một

166

169

5.3 Mô hình cân ñối liên ngành ñộng

5.4 Mô hình tương tác lạm phát và thất nghiệp

5.5 Biểu ñồ pha hai biến và ứng dụng

LỜI NÓI ðẦU

Những vấn ñề kinh tế trong các hoạt ñộng kinh tế thường rất ña dạng và phức tạp Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn ñề như vậy một cách chặt chẽ và hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực Việc biết cách mô tả các vấn ñề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp toán học ñể giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả ñạt ñược một cách logic luôn là một yêu cầu cấp thiết ñối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế Trong các thập kỉ gần ñây, nhiều giải Nobel kinh tế ñược trao cho các công trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và phương pháp toán học như tối ưu hóa, lí thuyết trò chơi, hệ phương trình vi phân và sai phân, lí thuyết xác suất và thống kê Nhà kinh tế học người Na Uy Trygve Haavelmo, trong lễ nhận giải thưởng Nobel kinh tế năm 1989, ñã từng phát biểu: “Nếu không có toán học kinh tế làm trung tâm cho các nghiên cứu kinh tế học, môn khoa học kinh tế có thể vẫn chưa vượt quá giới hạn những bài nói chuyện chung chung chẳng có kết quả thực sự hữu ích nào”

Hiện nay, các môn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế – quản lí nói chung và các phương pháp toán học áp dụng trong phân tích kinh tế nói riêng ñược ñưa vào giảng dạy trong nhiều chương trình ñào tạo ñại học trong và ngoài nước ðối với sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin và Toán – Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế – quản

lí là thực sự cần thiết cho các cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là cương vị CIO (Chief Information Officer – Giám ñốc Thông tin) Trong chương trình ñào tạo ngành Tin học của Khoa Công nghệ thông tin, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối

ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Vận trù học và Các phương pháp

toán kinh tế Giáo trình “Các phương pháp toán kinh tế” này với thời lượng từ 45 tới 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu với mục ñích cung cấp cho sinh viên năm thứ ba ngành Tin học một số kiến thức cơ bản về các

phương pháp toán kinh tế (mathematical methods for economics) ñược

ứng dụng rộng rãi trong phân tích các mô hình kinh tế (economic

models)

Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm ñược một số mô hình kinh tế

cơ bản, biết cách vận dụng các phương pháp toán kinh tế thích hợp ñể phân tích các mô hình ñó, biết cách rút ra các kết luận phản ảnh bản chất của vấn ñề kinh tế ñược xem xét Từ ñó, sinh viên sẽ tiếp thu ñược các vấn ñề kinh tế cơ bản làm cơ sở cho việc tiếp tục tự hoàn thiện các kiến thức về kinh tế vi mô cũng như vĩ mô Giáo trình cũng giúp cho sinh viên ngành Tin học, Công nghệ Thông tin, Toán – Tin ứng dụng có một cách tiếp cận hệ thống ñể sau này có thể xây dựng các hệ thống xử lí thông tin và các phần mềm tính toán trong lĩnh vực Tin học kinh tế Như vậy, ưu tiên của giáo trình là tập trung trình bày một cách logic một số phương pháp toán kinh tế cơ bản và các ứng dụng của chúng trong việc phân tích các loại mô hình kinh tế (các phương pháp khác ñược trình bày trong các học phần còn lại của khối kiến thức về kinh tế – quản lí thuộc chương trình ñào tạo như ñã ñề cập trên ñây) ðây là một vấn ñề mới so với các giáo trình về Toán kinh tế ñã ñược biên soạn và giảng dạy tại một số trường ñại học trong nước

Chương I của giáo trình giới thiệu tổng quan và ngắn gọn về lĩnh vực Kinh tế toán (Mathematical Economics) và các phương pháp toán kinh tế

cơ bản thường ñược sử dụng trong lĩnh vực này, cũng như giới thiệu về các yếu tố cơ bản của mô hình kinh tế toán Chương II ñề cập tới khái niệm phân tích cân bằng kinh tế bao gồm cân bằng tĩnh cũng như cân bằng có mục ñích và phương pháp ñại số ma trận ñể phân tích một số mô hình cân bằng kinh tế như mô hình thị trường, mô hình thu nhập quốc dân

và mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief (còn gọi là mô hình cân ñối liên ngành) Các phương pháp toán kinh tế như phép tính ñạo hàm, cũng như một trong các công cụ mạnh và ñẹp của toán học là ðịnh lí hàm ẩn ñược vận dụng trong Chương III nhằm thực hiện việc phân tích so sánh tĩnh cho các mô hình thị trường, mô hình cân ñối liên ngành và mô hình thu nhập quốc dân tổng quát (bao gồm cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ)

Chương IV xem xét việc vận dụng một số phương pháp toán tối ưu cơ bản không ràng buộc và ràng buộc dạng ựẳng thức ựể phân tắch các mô hình tối ưu trong kinh tế, bao gồm các mô hình thị trường ựộc quyền và phân biệt giá cả, mô hình cực ựại hàm thỏa dụng của người tiêu dùng, các mô hình phân bổ ựầu vào tối ưu với các dạng hàm sản xuất hiệu suất không

ựổi, Cobb Ờ Douglas, CES (Hệ số co giãn thay thế không ựổi) Các

phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vi phân cũng như sai phân ựược nghiên cứu trong Chương V và Chương VI ựể thực hiện các phân tắch cân bằng ựộng trong các mô hình kinh tế ựộng như mô hình tăng trưởng Domar, mô hình tăng trưởng Solow, mô hình ổn ựịnh ựộng của giá

cả thị trường khi không có hoặc có kỳ vọng giá ựược dự báo trước, mô hình cân bằng ựộng lạm phát Ờ giá cả Ờ thất nghiệp, mô hình thu nhập quốc dân Samuelson, mô hình cân ựối liên ngành ựộng Một số nội dung của Chương V và Chương VI có thể ựược lược bớt tùy theo thời lượng môn học và trình ựộ tiếp thu của người học

Khi biên soạn, chúng tôi luôn có một nguyện vọng là làm sao việc trình bày các phương pháp toán kinh tế ựược ựề cập tới trong giáo trình phải cô ựọng và dễ hiểu, việc ứng dụng các phương pháp này trong phân tắch các dạng mô hình kinh tế phải chặt chẽ và logic Chắnh vì vậy, các phương pháp toán kinh tế luôn ựược trình bày một cách cụ thể và tương

ựối hoàn chỉnh thông qua các vắ dụ tắnh toán và các mô hình kinh tế từ dễ

tới khó Phần bài tập giúp sinh viên củng cố các kiến thức ựã học và thực hành áp dụng các phương toán học trong phân tắch mô hình kinh tế

Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Alpha C Chiang,

Fundamental methods of mathematical economics, McGrawỜHill Book

Company, New York, 1984; Alpha C Chiang Ờ Kevin Wainwright,

Fundamental methods of mathematical economics, McGrawỜHill Book

Company, New York, 2005; Michael W Klein, Mathematical methods for economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hoàng đình

Tuấn, Lắ thuyết mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành toán kinh

tế và toán tài chắnh), Nxb Khoa học và Kĩ thuật, 2003; Nguyễn Quang

Dong Ờ Ngô Văn Thứ Ờ Hoàng đình Tuấn, Giáo trình mô hình toán kinh

tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb Giáo dục, 2002; Tô Cẩm Tú,

Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb Khoa học và Kĩ thuật,

1997 Trong quá trình biên soạn giáo trình này, tác giả chủ yếu dựa vào các tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh Những sinh viên khá có thể tự học sâu thêm bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt trên Internet và viết các tiểu luận

“Các phương pháp toán kinh tế” là một môn học về mặt lí thuyết

ñang ñược tiếp tục phát triển, về mặt thực hành ñang ngày càng có nhiều ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực phân tích kinh tế, chắc

chắn sẽ gây cho người học nhiều hứng thú tìm tòi, sáng tạo Khi ñến thăm Việt Nam, nhà toán học và kinh tế học Robert Aumann, người nhận giải thưởng Nobel kinh tế năm 2005 ñã nói: “Có một công thức chung trong các hoạt ñộng kinh tế là tất cả mọi người sẽ giàu có hơn nếu mỗi người ñều ñược làm việc theo khả năng và sự yêu thích của mình” Trong quá trình biên soạn, tuy rất cố gắng, nhưng có lẽ tác giả không tránh khỏi sai sót Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến ñóng góp chỉnh sửa bản thảo bài giảng môn học của các ñồng nghiệp và sinh viên ngành Tin học các khóa K47, K48, K49 và K50 của Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, và luôn mong tiếp tục nhận ñược nhiều góp ý của các giảng viên và sinh viên, ñể cho giáo trình ñược hoàn chỉnh hơn, chính xác hơn và sinh ñộng hơn.

Hà Nội, ngày 19 tháng 8 năm 2008

Tác giả

Chương I

MỞ ðẦU

1 Các phương pháp toán kinh tế trong kinh tế toán

1.1 Khái niệm về kinh tế toán

Không giống như tài chính công hay thương mại quốc tế, kinh tế toán

(mathematical economics) không phải là lĩnh vực riêng biệt của kinh tế

Có thể coi kinh tế toán là một cách tiếp cận nhằm thực hiện các phân tích kinh tế Trong kinh tế toán, các nhà kinh tế sử dụng các kí hiệu toán học

ñể phát biểu bài toán và dựa vào các ñịnh lí toán học ñể suy luận, áp dụng

và tiếp tục phát triển các phương pháp và kĩ thuật toán học ñể mô tả và phân tích các vấn ñề kinh tế Nhà kinh tế học người Mĩ Paul Samuelson ñược coi là người ñặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng kinh tế toán

Một số sách kinh tế học ñại cương hiện nay vẫn dùng các phương pháp hình học trên mặt phẳng (hay không gian hai chiều) ñể minh họa

và rút ra các kết luận có tính chất lí thuyết Trong khi ñó, ñể nghiên cứu các bài toán kinh tế với nhiều biến kinh tế cần phải có sự hiểu biết sâu sắc về toán học Kinh tế toán cho phép mô tả các vấn ñề kinh tế cần khảo sát với các công cụ toán học ña dạng như ñại số ma trận và phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, phép tính ñạo hàm và tích phân, phương trình vi phân và sai phân, các phương pháp tối ưu hoá, lí thuyết trò chơi Trong các phân tích kinh tế, vi mô cũng như vĩ mô, các phương pháp toán học này còn ñược gọi là các phương pháp toán

kinh tế (mathematical methods for economics) Hiện nay các phương

pháp toán kinh tế ngày càng ñược sử dụng rộng rãi với các kết quả nổi bật ñược công bố trong các tài liệu chuyên khảo, các tạp chí chuyên ngành kinh tế và các tạp chí liên ngành khác

Cần nhấn mạnh rằng, dù có sử dụng các phương pháp toán kinh tế hay không, quy trình cơ bản của việc phân tích kinh tế vẫn là căn cứ vào các giả thiết, các ñịnh ñề hay các nguyên lí ñể ñưa ra các kết luận hay các

ñịnh lí thông qua một quá trình suy luận hay lập luận Nhưng khác với các phân tích kinh tế ñịnh tính, trong kinh tế toán các giả thiết cũng như các kết luận ñược phát biểu bằng các kí hiệu toán học cũng như các phương trình toán học Hơn nữa, các suy luận hay lập luận ñược ñưa ra dựa trên các ñịnh lí toán học ðiều này giúp cho quá trình suy luận trở nên thuận lợi và chặt chẽ hơn, cũng như giúp cho việc phát biểu các kết luận trở nên chính xác hơn

Tóm lại, các mặt mạnh của việc sử dụng kinh tế toán trong các phân tích kinh tế là:

– Cho phép sử dụng ngôn ngữ chính xác hơn

– Cho phép sử dụng các ñịnh lí toán học rất ña dạng nhằm gia tăng tốc ñộ suy luận

– Bắt buộc phải phát biểu các giả thiết một cách rõ ràng, không hàm chứa ẩn ý, ña nghĩa, do ñó tránh ñược các giả thiết không mong muốn có thể phát sinh

– Giúp xử lí các bài toán kinh tế nhiều biến một cách hiệu quả trong việc phân tích kinh tế vi mô cũng như vĩ mô

Có thể có ý kiến (chẳng hạn ý kiến trước ñây của trường phái kinh tế học Vienna, Áo) cho rằng: Kinh tế toán sử dụng các suy luận và các phân tích có tính chủ quan và hình thức dựa vào các ñịnh lí và phương pháp toán học ñể ñưa ra các kết luận nên ít có tính thực tiễn Tuy nhiên, ý kiến phê phán kiểu này không nên áp dụng ngay cả ñối với các lí thuyết kinh

tế nói chung, chứ không chỉ ñối với lí thuyết kinh tế toán Thật vậy, là sự khái quát hóa của thế giới thực, mọi lí thuyết nói chung vẫn luôn chỉ xét tới một số yếu tố và mối liên quan bản chất nhất Chẳng hạn, không thể phê phán lí thuyết về lợi nhuận của công ty trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo hay không hoàn hảo là không thực tiễn, dù lí thuyết này có ñược ñưa ra dựa trên các công cụ toán học hay không

1.2 Phân loại các phương pháp toán kinh tế

Việc phân loại các phương pháp toán kinh tế là không ñơn giản và thậm chí còn chưa ñược thống nhất Mục ñích của giáo trình này, với dung lượng thời gian từ 45 tới 60 tiết, là nhằm giới thiệu cho người học

làm quen với các phương pháp toán kinh tế cơ bản thường ñược áp dụng trong kinh tế toán trong khuôn khổ các công cụ toán học ñã nêu, bao gồm ñại số ma trận, phép tính ñạo hàm và tích phân, một số phương pháp tối

ưu, phương trình vi phân và sai phân Các công cụ sâu sắc và phức tạp hơn của toán kinh tế như quy hoạch phi tuyến, quy hoạch ña mục tiêu, quy hoạch ñộng, phương trình tích phân, mô phỏng ngẫu nhiên, phân tích Markov, lí thuyết trò chơi, sẽ không ñược ñề cập trong giáo trình này Cần chú ý rằng, tuy các phương pháp toán xác suất, toán thống kê khi

áp dụng trong các phân tích kinh tế cũng ñược coi là các phương pháp toán kinh tế, nhưng trong giáo trình này chúng ta cũng không ñề cập tới Các phương pháp này thường ñược trình bày chi tiết trong các môn học như

Kinh tế lượng (Econometrics), Vận trù học (Operations Research), hay Các phương pháp ñịnh lượng trong quản lí – kinh doanh (Quantitative

Methods for Management and Business) Ngoài ra, do thời lượng môn học, giáo trình không giới thiệu các phương pháp giải tích ngẫu nhiên là cơ sở

cho môn học Tài chính toán (Mathematical Finance) có rất nhiều ứng

dụng trong phân tích tài chính Khi nghiên cứu các phương pháp toán kinh

tế ñược ñề cập tới trong giáo trình, cần tập trung vào việc nên sử dụng chúng như thế nào trong phân tích các vấn ñề kinh tế, mà không nên quá chú trọng vào cơ sở toán học của các phương pháp này

1.3 So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng

Thuật ngữ “kinh tế toán” và “kinh tế lượng” ñôi khi ñược sử dụng một cách nhầm lẫn Thật ra, kinh tế toán ñi sâu vào phân tích các mô hình kinh tế, các lí thuyết kinh tế bằng cách sử dụng các công cụ toán học Trong khi ñó, kinh tế lượng lại liên quan ñến việc ñịnh giá, ño lường các số liệu kinh tế hay các biến kinh tế, tức là liên quan ñến các nghiên cứu dựa trên các khảo sát thực nghiệm có sử dụng các phương pháp thống kê về ước lượng, kiểm ñịnh, dự báo, phân tích hồi quy và phân tích nhân tố Một trong những người ñặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu

và áp dụng kinh tế lượng là nhà kinh tế học người Na Uy Ragnar Frisch Như vậy, kinh tế toán có tính chất suy luận, lí thuyết còn kinh tế lượng có tính chất quy nạp, thực nghiệm Tất nhiên, các phân tích kinh tế

dù là mang tính lí thuyết hay mang tính thực nghiệm ñều quan trọng Chúng luôn là sự bổ sung cần thiết cho nhau và làm tăng cường hiệu quả lẫn nhau Trước khi ñược ñưa vào áp dụng, các lí thuyết của kinh tế toán cần ñược kiểm ñịnh về tính phù hợp căn cứ các số liệu thực nghiệm thu ñược Mặt khác, ñể xác ñịnh ñược các hướng nghiên cứu liên quan một cách hợp lí, các khảo sát thống kê trong kinh tế lượng sẽ ñược tiến hành dựa trên một lí thuyết kinh tế chỉ ñạo Mối liên quan này ñược thể hiện khá rõ, chẳng hạn, trong các nghiên cứu về hàm tiêu dùng tổng hợp và nhiều nghiên cứu kinh tế khác

2 Các yếu tố của mô hình kinh tế toán

2.1 Khái niệm mô hình kinh tế

Như ñã trình bày trên ñây, mọi lí thuyết kinh tế là sự khái quát hóa cần thiết của thế giới thực ðể nghiên cứu về một vấn ñề kinh tế thực tế, không thể xét ñồng thời tất các các yếu tố cũng như các mối liên quan nội tại (ñiều này quá phức tạp, ñôi khi vượt quá sự hiểu biết của chúng ta) Hơn nữa, các yếu tố hay các mối liên quan cũng không phải là có tầm quan trọng như nhau cho việc tìm hiểu bài toán kinh tế ñặt ra Bởi vậy, bằng cách này hay cách khác, chúng ta cần lựa chọn ra ñược các yếu tố

và các mối liên quan cơ bản nhất ñể xem xét Việc lựa chọn như vậy trong nhiều trường hợp là khá nhạy cảm

Một mô hình kinh tế (economic model) là một khung lí thuyết, là một

sự diễn ñạt (hay mô tả, thể hiện) có tính khái quát một vấn ñề kinh tế

thực tế Khi xây dựng mô hình cần chú trọng tính phù hợp, tính khả thi, tính thực tiễn và tính mục ñích ðiều này cho phép mô hình ñược ñề xuất

phù hợp với các ñặc ñiểm cơ bản của vấn ñề nghiên cứu và các thông tin thu thập ñược, ñồng thời có thể ñược phân tích bởi các phương pháp hay công cụ thích hợp nhằm tìm hiểu và nhận thức thực tiễn một cách sâu sắc Trên cơ sở phân tích mô hình phải ñưa ra ñược các tác ñộng ñiều khiển hợp lí nhằm ñạt ñược các mục tiêu ñề ra

Một mô hình kinh tế có thể chứa hoặc không chứa các yếu tố toán học, có thể là một mô hình toán học hay không phải là một mô hình toán

học Nếu một mô hình kinh tế là mô hình toán học thì nó còn ñược gọi là

mô hình kinh tế toán (một số tác giả gọi là mô hình toán kinh tế) Mô hình kinh tế toán bao gồm các phương trình (các hệ thức toán học nói chung) mô tả cấu trúc của mô hình Các phương trình phản ánh mối liên quan giữa các biến kinh tế dưới dạng toán học một cách phù hợp với các giả thiết của mô hình Như vậy, các biến, hằng số, tham số và các loại phương trình là các yếu tố cơ bản của một mô hình kinh tế toán Nhờ áp dụng các phép toán, các ñịnh lí toán học, chúng ta sẽ ñưa ra ñược các kết luận ñược suy ra một cách logic từ các giả thiết ñã nêu

2.2 Biến, hằng số và tham số

Biến là một ñại lượng mà ñộ lớn và dấu của nó có thể biến thiên, tức

là nó có thể nhận các giá trị khác nhau Chẳng hạn, trong các phân tích kinh tế thường gặp các loại biến sau ñây:

– P: giá cả (price),

– Π: lợi nhuận (profit),

– R: doanh thu (revenue),

– C: chi phí (cost),

– Y: thu nhập (income),

–

Trong các mô hình kinh tế toán, các biến ñược phân loại như sau:

– Biến nội sinh Nếu một mô hình kinh tế ñược xây dựng một cách

chính xác thì thông qua việc giải quyết mô hình có thể xác ñịnh ñược các giá trị của một số biến, chẳng hạn như xác ñịnh ñược mức giá cả làm cân bằng thị trường hay mức sản phẩm ñầu ra làm tối ña hóa lợi nhuận Các biến như vậy ñược gọi là biến nội sinh, giá trị của chúng ñược xác ñịnh

từ các mối liên quan nội tại của mô hình

– Biến ngoại sinh Biến ngoại sinh là các biến với các giá trị ñược

xác ñịnh bởi các yếu tố, các lực lượng xuất hiện ngoài mô hình Vì vậy,

ñộ lớn của các biến ngoại sinh ñược coi như các số liệu cho trước

Một biến kinh tế có thể là nội sinh hay ngoại sinh tùy theo mô hình hay lí thuyết kinh tế ñang ñược xem xét Chẳng hạn, khi nghiên cứu mô

hình cân bằng thị trường thì giá cả P của một loại hàng hóa là biến nội sinh Nhưng nếu nghiên cứu lí thuyết về chi phí của người tiêu dùng thì P lại là biến ngoại sinh, vì P ñược coi là số liệu ñầu vào cho mô hình này Ngược lại so với biến, hằng số là một ñại lượng có giá trị không thay ñổi Hằng số có thể ñược kí hiệu bởi các số hoặc, một cách tổng quát hơn, bởi các chữ Trong các trường hợp khi hằng số ñược kí hiệu bởi các chữ, chúng ta có các hằng số dạng tham số, còn ñược gọi một cách ngắn gọn hơn là các tham số Giá trị của các tham số ñược coi là hằng số chỉ sau khi chúng ñược xác ñịnh

Các tham số thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái thường a, b, c hay

α, β, γ Còn các biến nội sinh ñược kí hiệu bởi các chữ in như P, Q, R,

C hay Π, Λ Biến ngoại sinh ñược phân biệt với biến nội sinh bởi chỉ số dưới “0” , chẳng hạn như P0, C0

2.3 Các loại phương trình

Mối liên quan giữa các biến, hằng hay tham số ñược thể hiện thông qua các phương trình Chúng ta xét các loại phương trình thường gặp trong mô hình kinh tế như sau:

– Phương trình ñịnh nghĩa (definitional equation)

– Phương trình hành vi (behavioral equation)

– Phương trình cân bằng (equilibrium equation)

Phương trình ñịnh nghĩa là một ñẳng thức mà hai biểu thức thay thế

ở hai vế của nó có cùng một ý nghĩa Như vậy, dấu “=” trong phương trình ñịnh nghĩa phải ñược hiểu như dấu ≡ (ñồng nhất thức)

Ví dụ 1 Lợi nhuận ñược ñịnh nghĩa thông qua phương trình ñịnh

nghĩa sau: Π = R – C, tức là lợi nhuận thu ñược chính là phần dôi ra của doanh thu sau khi ñã trừ ñi chi phí

Phương trình hành vi phản ánh cách thức một biến thay ñổi phụ thuộc vào sự thay ñổi giá trị của các biến khác Nó có thể bao hàm các hành vi có ý thức của con người (chẳng hạn, khi xét mối liên quan của tiêu dùng tổng hợp phụ thuộc vào thu nhập quốc dân) hoặc các hành vi

vô thức (chẳng hạn, khi xem xét mối liên quan giữa tổng chi phí sản xuất

và mức sản phẩm ñầu ra) Tuy nhiên, ñể thiết lập một phương trình hành

vi cần tuân theo các giả thiết nhất ñịnh Như vậy, dấu “=” trong phương trình hành vi phải ñược hiểu như một mối liên quan phụ thuộc

Ví dụ 2 Xét các ví dụ sau ñây về phương trình hành vi với C là chi

Q2 = 2Q + 1 Chẳng hạn nếu Q tăng từ 12 lên 13 thì C tăng lên 25 ñơn vị Phương trình cân bằng mô tả ñiều kiện cân bằng, nói ñúng hơn là các ñiều kiện cần thiết ñể ñạt tới tình trạng cân bằng

Ví dụ 3 Xét các ví dụ sau ñây về phương trình cân bằng:

– Qd = Qs: Lượng cầu phải bằng lượng cung

– S = I: Tổng tiết kiệm phải bằng tổng ñầu tư

Phương trình thứ nhất mô tả ñiều kiện cân bằng trong mô hình thị trường, còn phương trình thứ hai mô tả ñiều kiện cân bằng trong mô hình thu nhập quốc dân Về bản chất, phương trình cân bằng khác với phương trình ñịnh nghĩa và phương trình hành vi Phương trình cân bằng có một ý nghĩa quan trọng trong các phân tích kinh tế ñể tìm ra các trạng thái cân bằng

Chương II PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH

1 Phân tích cân bằng trong kinh tế

1.1 Khái niệm về trạng thái cân bằng

Cân bằng hay trạng thái cân bằng có thể ñược hiểu là một tập hợp có cấu trúc của các biến ñược lựa chọn, có liên quan nội tại và ñược ñiều chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mô hình mà chúng tạo nên, khuynh hướng thay ñổi không tiềm ẩn một cách ñáng kể

Cụm từ “các biến ñược lựa chọn” ñược nêu trên có nghĩa là, theo sự lựa chọn của nhà phân tích kinh tế, ñã có một số biến không ñược ñưa vào mô hình Như vậy, trạng thái cân bằng chỉ liên quan tới các biến ñược lựa chọn và ñược ñưa vào xem xét mà thôi Nếu mô hình ñược mở rộng ñể bao gồm cả các biến khác thì có thể trạng thái cân bằng trên sẽ không còn duy trì ñược nữa Cụm từ “có liên quan nội tại” có nghĩa là ñể ñạt tới tình trạng cân bằng, các biến ñược lựa chọn ñều phải ở trong trạng thái dừng Hơn nữa trạng thái dừng của các biến cũng phải tương thích với nhau Nếu trái lại, việc một số biến thay ñổi có thể kéo theo việc các biến khác thay ñổi theo phản ứng dây chuyền, do ñó trạng thái cân bằng

có thể không còn tồn tại nữa Cụm từ “tiềm ẩn” “trong mô hình” nói lên rằng trong trạng thái cân bằng, các trạng thái dừng của các biến ñược thiết lập dựa trên việc cân bằng các biến nội sinh trong khi các biến ngoại sinh ñược coi là không ñổi Có thể nói, trạng thái cân bằng là trạng thái

mà với giá trị cho trước của các biến ngoại sinh, của các tham số, giá trị của các biến nội sinh ñược xác ñịnh và không thay ñổi theo thời gian Như vậy, trạng thái cân bằng là tình trạng ñược ñặc trưng bởi việc không phát hiện thấy có khuynh hướng thay ñổi Do ñó, phân tích cân bằng

ñể tìm ra các trạng thái như vậy còn ñược gọi là phân tích tĩnh hay phân

tích cân bằng tĩnh (static – equilibrium) Tuy nhiên, việc không phát hiện

thấy có khuynh hướng thay ñổi hay ñộng lực thay ñổi không ñồng nghĩa với việc nhất thiết cần coi tình trạng cân bằng là lí tưởng ðối với nhiều

công ty, tình trạng cân bằng cung cầu hiện tại về sản phẩm có thể cần ñược thay ñổi chứ không thể coi là lí tưởng Tình trạng cân bằng, bởi vậy, có thể ñược hiểu như tình huống, mà các biến nội sinh có khuynh hướng duy trì chống lại các thay ñổi từ phía ngoài, từ phía các biến ngoại sinh

Một kiểu cân bằng khác là cân bằng có mục ñích (goal –

equilibrium), hay cân bằng tối ưu, ñược phân tích thông qua các bài toán tối ưu Trạng thái cân bằng như vậy có thể ñược coi là lí tưởng, hay ít nhất ñược coi là trạng thái “mong muốn” trong ñiều kiện hiện có Trong những trạng thái cân bằng như vậy, các biến ñược lựa chọn, có liên quan nội tại với nhau và ñược ñiều chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mô hình mà chúng tạo nên, trạng thái lí tưởng hay mong muốn xảy ra Trong chương này, chúng ta sẽ chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu cân bằng tĩnh không có tính mục ñích

1.2 Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh

Trong các mô hình cân bằng tĩnh, bài toán ñặt ra là cần xác ñịnh các giá trị của các biến nội sinh sao cho phương trình cân bằng của mô hình ñược thỏa mãn Một khi các giá trị ñó ñược xác ñịnh, trạng thái cân bằng cũng sẽ ñược thiết lập Chúng ta hãy minh họa vấn ñề này qua mô hình (tuyến tính cũng như phi tuyến) phân tích cân bằng thị trường riêng, tức

là cân bằng thị trường ñối với một mặt hàng

Ví dụ 1 Mô hình tuyến tính cân bằng thị trường riêng

Trong mô hình này chúng ta chỉ xét một mặt hàng với các biến: Qd là lượng cầu, Qs là lượng cung và P là giá cả của mặt hàng Lúc ñó cần xác ñịnh nghiệm (P, Q) sao cho Qd = Qs= Q và P thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính sau:

Qd = a – bP (với ñiều kiện a > 0, b > 0) (2.2)

Qs = – c + dP (với ñiều kiện c > 0, d > 0 ) (2.3) Trong hệ trên, phương trình (2.1) là phương trình cân bằng xác ñịnh ñiều kiện cân bằng giữa cầu và cung Phương trình (2.2) và (2.3) là các

phương trình hành vi mô tả sự biến thiên của cầu và cung phụ thuộc vào

P ðể ñơn giản, các mối liên quan này ñược coi là tuyến tính Các tham

số a, b, c, d xác ñịnh các mối liên quan này Trong phương trình (2.3) ta

có Qs = – c + dP với c > 0, d > 0 ðiều kiện này có nghĩa là cung Qs chỉ xuất hiện (Qs > 0) một khi giá cả P của mặt hàng vượt qua một ngưỡng dương tối thiểu P1 = c/d

Nghiệm (P, Q) ñược gọi là trạng thái cân bằng, Qd = Qs= Q là mức cân bằng cung cầu và Plà mức cân bằng giá Trên hình II.1, nghiệm (P, Q) chính là giao ñiểm của các ñường cầu và ñường cung

Q

Qd = a – bP

Qs = –c + dP

Hình II.1

ðể mô hình có ý nghĩa thực tế, các tham số a, b, c và d ñều phải lấy giá trị dương và thỏa mãn ñiều kiện ad – bc > 0

Ví dụ 2 Mô hình phi tuyến cân bằng thị trường riêng

Các mối phụ thuộc của cầu hay cung vào giá cả không nhất thiết phải

là tuyến tính Nói chung, các mối liên quan này là phi tuyến Xét ví dụ sau:

2 Các mô hình tuyến tính trong phân tích cân bằng tĩnh

2.1 Mô hình cân bằng thị trường tổng quát

Xét ví dụ ñơn giản về mô hình cân bằng thị trường tuyến tính với hai mặt hàng:

Cần xác ñịnh trạng thái cân bằng của thị trường với hai mặt hàng

(P , P ,Q ,Q1 2 1 2) thỏa mãn hệ phương trình trên với Q1d = Q1s= Q1 và

ðưa hệ ñiều kiện trên về hệ phương trình tuyến tính với 4 ẩn, dễ dàng xác ñịnh ñược các giá trị cân bằng:

Trong trường hợp tổng quát, mô hình cân bằng thị trường với n mặt hàng có phát biểu toán học như sau:

Qdi (P1, P2, P3 , , Pn) = Qsi (P1, P2, P3 , , Pn)

i = 1, 2, , n

Trong ñó, Qdi và Qsi có thể là các hàm tuyến tính hay phi tuyến của P1, P2, P3 , , Pn Các giá cả cân bằng xác ñịnh ñược từ hệ ñiều kiện trên sẽ phụ thuộc vào các tham số của mô hình Pi= Pi(a1, a2, , am) ,

i = 1, 2, , n

2.2 Mô hình thu nhập quốc dân

Xét mô hình thu nhập quốc dân Keynes

Y = C + I0 + G0 (ñây là phương trình cân bằng)

C = a + bY (với ñiều kiện a > 0, 0 < b < 1)

Trong ñó:

Y: thu nhập quốc dân, là biến nội sinh,

C: mức tiêu dùng quốc dân, là biến nội sinh,

I0: tổng ñầu tư quốc gia, là biến ngoại sinh,

G0: tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước, là biến ngoại sinh

Các tham số a, b lần lượt là chi phí tiêu dùng cố ñịnh (autonomous

consumption expenditure ) và hệ số tiêu dùng biên (marginal propensity

to consume)

Từ mô hình trên có thể xác ñịnh ñược các mức cân bằng của thu nhập quốc dân và mức tiêu dùng quốc dân phụ thuộc vào giá trị của các biến ngoại sinh I0 và G0:

1 b Hay, nếu viết dưới dạng véc tơ, thì có:

là cao hay thấp phụ thuộc vào I0, G0, a và b theo công thức trên Chẳng hạn, nếu cố ñịnh I0, G0 và a, thì với b càng lớn sát 1, Y và C càng cao

Do ñó, ñể tăng thu nhập quốc dân, có thể áp dụng chính sách kích cầu (tăng hệ số tiêu dùng biên)

Cần chú ý rằng mô hình thu nhập quốc dân Keynes là một mô hình khá ñơn giản Mô hình thu nhập quốc dân sau ñây coi chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước là biến nội sinh phụ thuộc vào mức thu nhập quốc dân:

Y = C + I0 + G

C = a + b(Y – T0) (với ñiều kiện: a > 0, 0 <b < 1)

G = gY (với ñiều kiện: 0 < g < 1)

Trong ñó:

Y: thu nhập quốc dân,

C: tiêu dùng quốc dân,

G: tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước,

T0: tổng thu thuế quốc gia,

I0: tổng ñầu tư quốc gia,

g: hệ số thuế

Có thể xác ñịnh ñược các mức cân bằng cho thu nhập quốc dân, tiêu dùng quốc dân và chi phí cho bộ máy nhà nước, căn cứ vào giá trị của các biến ngoại sinh và các tham số a, b, g

2.3 Mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief

Phân tích tĩnh ñầu vào – ñầu ra Leontief nhằm trả lời câu hỏi: Mỗi một trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải ñảm bảo một mức sản xuất hàng hóa ñầu ra bằng bao nhiêu ñể vừa vặn ñủ thỏa mãn tổng cầu về loại hàng hóa ñó, tức là thỏa mãn ñược chính các ngành công nghiệp ñó và nhu cầu chung của xã hội

Cụm từ ñầu vào – ñầu ra có nghĩa là: ñầu ra của một ngành công nghiệp A lại có thể là ñầu vào cần thiết cho một hoặc một số ngành công nghiệp B, C, D nào ñó Do ñó, mức ñầu ra hợp lí của ngành công nghiệp A (không bị thiếu hụt hay thặng dư) là phụ thuộc vào nhu cầu ñầu vào của các ngành công nghiệp B, C, D và nhu cầu chung của xã hội, bao gồm các nhu cầu về tiêu dùng, tích lũy tài sản và xuất khẩu Một cách tổng quát có thể nói, mức ñầu ra hợp lí của mỗi ngành công nghiệp phụ thuộc vào chính các nhu cầu ñầu vào của các ngành công nghiệp Việc xác ñịnh ñúng các mức ñầu ra hợp lí của các ngành công nghiệp ñể

“cân bằng” các ñầu vào giúp cho nền kinh tế giữ ñược ổn ñịnh và phát

triển, không ñể xảy ra các tình trạng “nút thắt cổ chai” (bottleneck), khi

ñầu ra của một số loại hàng hóa quá khan hiếm không ñủ dùng làm ñầu vào cho các ngành công nghiệp khác Chính vì vậy, mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief cũng có thể ñược coi là một mô hình phân tích cân bằng

ðể nghiên cứu về cấu trúc của mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief, chúng ta cần xét ñến các giả thiết sau ñây của mô hình:

– Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng hóa j Tuy nhiên, giả thiết này cho phép xem xét việc hai hoặc nhiều hơn

loại hàng hóa ñược sản xuất với các tỉ lệ cố ñịnh (bạn ñọc có thể tự tìm hiểu ñiều này)

– Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỉ lệ ñầu vào cố ñịnh ñể sản xuất hàng hóa ñầu ra

– Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất không ñổi

(constant return to scale), tức là nếu mở rộng ñầu vào k lần thì ñầu ra sẽ

tăng k lần

Theo giả thiết thứ hai trên ñây, với mọi j = 1, 2, , n, ñể ngành công nghiệp j sản xuất ra một ñơn vị hàng hóa loại j cần có các tỉ lệ ñầu vào cố ñịnh aij các hàng hóa loại i, i = 1, 2, , n Chẳng hạn, a32 = 0,35 có nghĩa là

ñể sản xuất ra một lượng hàng hóa loại 2 có giá trị bằng 1 ñơn vị tiền tệ (chẳng hạn như 1 triệu ñồng, ở ñây ñơn vị sản phẩm ñược tính theo ñơn vị tiền tệ) cần có một lượng sản phẩm loại 3 làm ñầu vào có giá trị 0,35 triệu ñồng Các tỉ lệ ñầu vào aij ñược gọi là các hệ số ñầu vào, còn ma trận A = [aij]n×n ñược gọi là ma trận hệ số ñầu vào hay ma trận ñầu vào:

ðầu ra: 1 2 N

ðầu vào

12

a a a

= A

Trong mô hình Leontief, nhu cầu chung của xã hội dj về loại hàng

hóa j ñược coi là nhu cầu cuối cùng (final demand) ñể phân biệt với các nhu cầu ñầu vào (input demand) sử dụng cho sản xuất Nhu cầu chung

là nhu cầu dành cho “thành phần mở” (open sector), là nơi cung cấp

dịch vụ, lực lượng lao ñộng cho các ngành công nghiệp, tức là cung cấp

“ñầu vào cơ bản” (primery input)

Ma trận ñầu vào A phải có tính chất: tổng các phần tử của cột j là

giá trị 1 ñơn vị tiền tệ, tổng giá trị các ñầu vào cần thiết phải ít hơn 1 ñơn

vị tiền tệ Phần dôi ra trên 1 ñơn vị (tính theo ñơn vị tiền tệ) ñầu ra của hàng hóa loại j sau khi trừ ñi tất cả chi phí do sử dụng các loại hàng hóa ñầu vào là 1 –

Từ các phân tích trên, chúng ta ñi tới hệ phương trình sau ñây:

x1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxn + d1

x2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn + d2

xn = an1x1 + an2x2 + + annxn + dn ,

hay:

(1 – a11)x1 – a12x2 – – a1nxn = d1

– a21x1 + (1 – a22)x2 – – a2nxn = d2

– an1x1 – an2x2 – + (1 – ann)xn = dn

Trong ñó:

di: nhu cầu chung của xã hội về sản phẩm loại i,

xi: mức sản xuất ñầu ra của ngành công nghiệp i

Giải thích: Hệ (2.4) là hệ có n ẩn, n phương trình Xét phương trình thứ nhất của hệ (2.4), mức sản xuất ñầu ra của hàng hóa loại 1 là x1 phải vừa vặn bằng tổng lượng hàng hóa loại 1 cần thiết cho ñầu vào khi sản xuất các loại hàng hóa loại 1, 2, 3, , n và cho nhu cầu chung (nhu cầu cuối cùng) của xã hội về hàng hóa loại 1 Các phương trình khác ñược giải thích tương tự

Chúng ta sử dụng các kí hiệu toán học sau ñây:

dd

Có thể thực hiện các phân tích sau:

a) Ý nghĩa của aij: Chẳng hạn a12 = 0,3, a22 = 0,1, a32 = 0,3 có nghĩa là

ñể sản xuất ra 1 ñơn vị (tính bằng giá trị tiền tệ, chẳng hạn 1 triệu ñồng) hàng hóa loại 2, cần có các lượng ñầu vào là 0,3 triệu ñồng hàng hóa loại

1, 0,1 triệu ñồng hàng hóa loại 2 và 0,3 triệu ñồng hàng hóa loại 3

0, 21 0, 27 0,60

Việc tính ma trận nghịch ñảo T–1 có thể thực hiện theo công thức thông thường (như công thức trên), hoặc có thể tính gần ñúng theo công thức sau:

T–1 = (I – A)–1 = I + A + A2 + + Am +

≈ I + A + A2 + + Am

ðiều này là do với ma trận A có tính chất như ñã biết: các phần tử ñều không âm và tổng các phần tử trên mỗi cột ñều nhỏ hơn 1, có thể chứng minh ñược Am sẽ dần tiến tới ma trận 0 khi m → ∞ (bạn ñọc tự tìm hiểu ñiều này trong các giáo trình ðại số tuyến tính)

e) Giả sử véc tơ cầu ñã ñược xác ñịnh d =

(×100 tỉ ñồng) Áp dụng công thức tính nghiệm của hệ Cramer dùng ma trận nghịch ñảo, ta có:

xxx

(×100 tỉ ñồng)

g) Có thể xác ñịnh ñược mức lương trả cho ñầu vào cơ bản của từng ngành công nghiệp căn cứ vào các phân tích tại mục b) Chẳng hạn, ñể sản xuất ra 24,84×100 tỉ ñồng hàng hóa loại 1, cần một lượng lao ñộng (kể cả dịch vụ) cho ngành công nghiệp 1 tương ứng với mức lương là a01× 24,84×100 = 0,3 × 24,84×100 = 8,65×100 tỉ ñồng Vậy ñể ñảm bảo cho nền kinh tế với ba ngành công nghiệp như trong ví dụ này ñáp ứng ñược véc tơ cầu d ñã cho, cần có một lượng lao ñộng tương ứng với mức lương là:

=

∑3 0 j j

j 1

a x = (0,3× 24,84 + 0,3× 20,68 + 0,4× 18,36)×100 = 21×100 tỉ ñồng

Bài tập Chương II Bài 1 Giả sử các hàm cung và hàm cầu ñã biết:

a) Qd = 51 – 3P, Qs = 6P – 10;

b) Qd = 30 – 2P, Qs = 5P – 6

Hãy tìm các mức cân bằng cung cầu Q và mức cân bằng giá P

Bài 2 Tìm nghiệm cân bằng của các mô hình cân bằng thị trường sau:

a) Qd = Qs, Qd = 3 – P2, Qs = 6P – 4;

b) Qd = Qs, Qd = 8 – P2, Qs = P2 – 2

Bài 3 Cho biết các hàm cầu và hàm cung trong mô hình thị trường với

C = a + b(Y – T) (với ñiều kiện a > 0, 0 < b < 1),

T = d + tY (với ñiều kiện d > 0, 0 < t < 1)

Trong ñó Y, C, T lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng quốc dân

và tổng thu thuế quốc gia ñều là các biến nội sinh, còn I0 và G0 là tổng ñầu tư quốc gia và tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước ñều là các biến ngoại sinh

a) Hãy cho biết ý nghĩa của các tham số a, b, c và d

Trong ñó Y, C, G lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng quốc dân

và tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước ñều là các biến nội sinh, còn I0 và T0 là tổng ñầu tư quốc gia và tổng thu thuế quốc gia ñều là các biến ngoại sinh

a) Hãy cho biết ý nghĩa của tham số g

b) Tìm các mức cân bằng Y, C và G

Bài 6 Tìm Y và C từ các ñiều kiện sau:

Cho biết d1 = 30, d2 = 15 và d3 = 10 (ñơn vị là 100 tỉ ñồng)

a) Hãy xác ñịnh các mức ñầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp b) Hãy xác ñịnh mức tiền lương trả cho ñầu vào cơ bản ñối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công nghiệp

Bài 8 Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp (chủ ñạo) Cho biết

ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,1 triệu ñồng và một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 0,6 triệu ñồng làm ñầu vào ñể sản xuất ra ñược một lượng sản phẩm loại hàng hóa

1 trị giá 1 triệu ñồng Trong khi ñó, ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,5 triệu ñồng làm ñầu vào ñể sản xuất ra ñược một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu ñồng a) Hãy thiết lập ma trận ñầu vào, ma trận công nghệ và phương trình ma trận xác ñịnh các mức ñầu ra cho nền kinh tế trên

b) Hãy tìm các mức ñầu ra cần thiết thỏa mãn ñược các nhu cầu ñầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành phần mở

Bài 9

a) Chứng minh rằng: (I – A)(I + A + A2 + A3 + + Am) = I – Am+1, trong ñó A là ma trận vuông cấp n, I là ma trận ñơn vị cùng cấp

b) Giả sử tất cả các phần tử của A ñều không âm Gọi N(A) là chuẩn của A ñược ñịnh nghĩa bởi giá trị lớn nhất của tổng từng cột của A Hãy chứng tỏ rằng N(Am) ≤ [N(A)]m, từ ñó suy ra với m lớn: Am ≈ O (ma trận với tất cả các phần tử bằng 0) Vậy có thể tính gần ñúng ma trận nghịch ñảo:

Chương III PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH

1 Phân tắch so sánh tĩnh trong kinh tế

1.1 Khái niệm phân tắch so sánh tĩnh

Phân tắch so sánh tĩnh (comparative statics) thực chất là việc so sánh

các trạng thái cân bằng khác nhau của một mô hình kinh tế nào ựó đó là các trạng thái cân bằng ựạt ựược với các giá trị khác nhau của các tham

số và của các biến ngoại sinh của mô hình

Chẳng hạn trong mô hình thị trường riêng, giả sử trạng thái cân bằng

ựã ựạt ựược, tức là ựã xác ựịnh ựược mức giá cân bằng và mức cung cầu cân bằng là P và Q Một số yếu tố mất cân bằng sẽ xuất hiện khi các giá

trị của một số biến ngoại sinh hay một số tham số của mô hình thay ựổi

điều này dẫn tới việc các giá trị cân bằng của các biến nội sinh (là P và

Q) sẽ thay ựổi và trong mô hình xuất hiện trạng thái cân bằng mới

Tương tự, trong mô hình thu nhập quốc dân, khi giá trị của các tham sốhay của các biến ngoại sinh thay ựổi, thì mô hình sẽựạt tới trạng thái cân

bằng mới, xác ựịnh bởi các mức cân bằng mới của thu nhập quốc dân Y

và tiêu dùng quốc dân C Vậy chúng ta có thể nghiên cứu so sánh các

trạng thái cân bằng mới và cũ theo cách thức nào? đó chắnh là vấn ựề cần

thảo luận trong chương này

Vắ dụ 1. Xét mô hình thu nhập quốc dân sau ựây:

Vì vậy, việc thay ñổi các giá trị của a, b, I0, G0 sẽ dẫn tới trạng thái cân bằng (Y, C) thay ñổi Vấn ñề cần phân tích ởñây là: các mức cân

bằng Y, C sẽ thay ñổi thế nào về hướng (tăng lên hay giảm ñi?) cũng như về biên ñộ (tốc ñộ thay ñổi là nhanh hay chậm?) ðây chính là các nội dung cơ bản của phân tích so sánh tĩnh ðể nghiên cứu lĩnh vực này, trước hết cần phân tích ý nghĩa của ñạo hàm, một khái niệm nền tảng của Giải tích toán học, ñể từ ñó tìm hiểu khái niệm tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế

1.2 ðạo hàm và tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế

Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh và khả vi trong một miền D ⊂ R Lúc

ñó, ∀ x ∈ D ñạo hàm của f(x) ñược xác ñịnh và kĩ hiệu như sau:

∆ chính là tốc ñộ biến thiên trung bình của hàm số

y khi ñối số x chạy từ x tới x + ∆x Còn y' = dy

dx = x 0

ylimx

Chú ý. Tốc ñộ thay ñổi tức thời của y theo x là y' = dy

dx = x 0

ylimx

∆ ñược gọi là tỉ lệ biên hay tốc ñộ thay

ñổi biên hay hàm biên (marginal function) Vậy tốc ñộ thay ñổi tức thời

của hàm số có thểñược lấy xấp xỉ bởi tỉ lệ biên

vị So sánh hai kết quả trên ta thấy: tốc ñộ tăng tức thời của chi phí tại Q

= 3 là cao hơn tốc ñộ tăng tức thời của chi phí tại Q = 2

Ví dụ 3 Xét trường hợp công ty sản xuất một loại sản phẩm với các

biến AR là doanh thu trung bình (average revenue), Q là lượng sản phẩm

ựầu ra (quantity output) Giả sử doanh thu trung bình phụ thuộc vào lượng sản phẩm ựầu ra theo mối quan hệ: AR = 15 Ờ Q (trong trường hợp tổng quát AR có thể là hàm phi tuyến) Lúc ựó tổng doanh thu R = ARừQ

= 15Q Ờ Q2 nên doanh thu biên (marginal revenue) MR = RỖ = 15 Ờ 2Q

Trong trường hợp tổng quát, nếu AR = f(Q) thì R = f(Q)ừQ và MR = RỖ = f(Q) + QừfỖ(Q) Vậy MR Ờ AR = QừfỖ(Q) Do AR = R

Q = Q

PQ = P

nên doanh thu trung bình cũng chắnh là giá P của một ựơn vị sản phẩm Do

ựó P = AR = f(Q) đây chắnh là mối quan hệ giữa mức sản xuất ựầu ra Q

và giá P, còn gọi là Ộhàm cầu ngượcỢ, vì Q = fỜ1(P) là hàm cầu ựối với sản phẩm của công ty

Trong ựiều kiện cạnh tranh hoàn hảo, AR là một hằng số nên fỖ(Q) = 0,

do ựó MR Ờ AR = 0 ựối với mọi mức ựầu ra Q, nên các ựường doanh thu trung bình AR và doanh thu biên MR là trùng nhau Trong ựiều kiện cạnh tranh không hoàn hảo, thông thường hàm AR có ựạo hàm âm hay ựường

AR có ựộ dốc âm (xem hình III.2) đó là vì khi Q tăng thì AR giảm hay fỖ(Q) < 0 Lúc này, ta có MR Ờ AR = QừfỖ(Q) < 0 nên ựường doanh thu biên nằm thấp hơn ựường doanh thu trung bình

Q

Hình III.2

1.3 Phân tích so sánh tĩnh mô hình thị trường riêng

Xét mô hình thị trường thị trường riêng (với một loại hàng hóa):

Q = ad bc

b d

−+

ðể phân tích so sánh tĩnh về mặt ñịnh tính cũng như ñịnh lượng mô hình trên, cần tính ñạo hàm riêng của P và Q theo a, b, c, d:

– Trong phân tích ñịnh tính, phải xác ñịnh ñược dấu của các ñạo hàm riêng ñể biết ñược xu hướng P và Q là tăng hay giảm khi các tham số a,

b, c và d của mô hình thay ñổi

– Trong phân tích ñịnh lượng, cần xác ñịnh ñược ñộ lớn (magnitude)

của các ñạo hàm riêng ñể từ ñó xác ñịnh ñược các tốc ñộ thay ñổi biên

b d+ > 0 nên khi a tăng thì P tăng Giả sử

b = 2 và d = 3 là các giá trị ñã cho của các tham số b và d Lúc ñó

++ > 0 nên khi cho a, b, c cố ñịnh thì d

tăng sẽ kéo theo Q tăng Còn tốc ñộ tăng biên của Q theo d là do các giá

trị của các tham số a, b, c và d quyết ñịnh

b d+ Hình III.3 minh họa sự

thay ñổi trạng thái cân bằng từ ( )P, Q sang (P ', Q ') khi a tăng, còn b, c, d ñược coi là cố ñịnh Tương tự, chúng ta có thể xét minh họa hình học cho các trường hợp khác

1.4 Phân tích so sánh tĩnh mô hình thu nhập quốc dân

Xét mô hình thu nhập quốc dân với các biến nội sinh Y, C và T lần lượt là thu nhập quấc dân, tiêu dùng quốc dân và thuế; các biến ngoại sinh I0, G0 là mức tổng ñầu tư và chi phí cho bộ máy nhà nước

Y = C + I0 + G0 (với ñiều kiện: α > 0, 0 < β < 1)

C = α + β(Y − T) (với ñiều kiện: γ > 0)

T = γ + δY (với ñiều kiện: 0 < δ < 1)

Dễ dàng tìm ñược mức thu nhập quốc dân cân bằng theo công thức sau:

Thực hiện việc tính các ñạo hàm riêng của Y theo G0, I0, α, β, γ và

⇒Nếu G0 hoặc I0 hoặc α tăng thì Y tăng

số thuế ngoài thu nhập, còn ∂Y

∂δ ñược gọi là hệ số thuế thu nhập Có thể

thấy các phân tích so sánh tĩnh trên ñây cho ta các kết luận không phải là hoàn toàn hiển nhiên

1.5 Phân tích so sánh tĩnh mô hình cân ñối liên ngành

Cho A ma trận hệ số ñầu vào A= [aij]3×3 trong mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief, còn gọi là mô hình cân ñối liên ngành, với ba ngành công nghiệp

ðể tìm các mức sản xuất (ñầu ra) cân bằng, trước hết chúng ta tìm

ma trận T= I– A và xét phương trình ma trận Tx = d, trong ñó

là véc tơ nhu cầu (cuối cùng)

Do ñó mức cân bằng của véc tơ sản xuất là x = T–1d ðặt B = T–1 ta

1

2 3

ddd

bbb

xdxdxd

Ý nghĩa của ma trận B = T–1 trong việc phân tích so sánh tĩnh: Chúng

ta muốn trả lời câu hỏi, chẳng hạn khi tăng d1 lên thêm 1 ñơn vị thì x1,