Các tình huống điển hình trong dạy học môn toán CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông việc dạy học những khái niệm và định nghĩa, những đị[.]
Trang 1CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông việc dạy học những khái niệm và định nghĩa, những định lý và chứng minh, việc dạy giải bài tập toán được lặp đi lặp lại rất nhiều lần, ta gọi
đó là các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán
1 Dạy học các khái niệm toán học
a) Vị trí và yêu cầu
Trong môn Toán, việc dạy học các khái niệm toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu Việc hình thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường trung học cơ sở phải dần dần làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:
Nắm được đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm
Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra (vẽ, gấp hình, nêu bằng lời ) một đối tượng là một minh hoạ cụ thể cho một khái niệm cho trước
Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm
Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán, ứng dụng và thực tiễn
Nắm hệ mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong một hệ thống các khái niệm Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lý do sư phạm, các yêu cầu trên đây không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm
Ở trung học cơ sở, có khái niệm được hình thành tương đối chính xác cho học sinh, như khái niệm
số nguyên tố, khái niệm hình bình hành , nhưng cũng có khái niệm chỉ có thể được giải thích, mô tả, minh hoạ trên hình ảnh và ví dụ cụ thể, giúp học sinh sử dụng khái niệm đó một cách trực giác mà thôi, như khái niệm phân số, khái niệm số nguyên, số đối Giáo viên cần hiểu rõ điều đó để có những yêu cầu và biện pháp sư phạm thích hợp
Chẳng hạn, đối với khái niệm “phân số” thì không thể yêu cầu học sinh nắm được những đặc điểm đặc trưng của khái niệm như đối với khái niệm “hình bình hành” Ở trường phổ thông, chưa thể đưa ra một định nghĩa chính xác về phân số mà chỉ diễn tả dựa vào kinh nghiệm sống của trẻ (một cái bánh được chia làm “bốn phần” bằng nhau, mỗi em “một phần”; đi bộ mất “nửa giờ” ) nhằm giải thích khái niệm về phân số, từ đó biết làm các phép tính về phân số Vì thế không nên đặt cho học sinh câu hỏi:
“phân số là gì?”
b) Các con đường hình thành khái niệm
Thứ nhất là con đường quy nạp được áp dụng cho phần lớn các khái niệm Theo con đường này,
xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể ), bằng cách trừu tượng hoá và khái quát hoá, ta dẫn dắt học sinh tìm ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa khái niệm
Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể, điển hình trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn các dấu hiệu khác thì thay đổi Chẳng hạn, để hình thành khái niệm “góc ngoài của tam giác”, bước đầu vẽ ba hình như sau (hình 30: a, b, c)
H×nh 30
c)
Trong các hình này, những dấu hiệu không bản chất của khái niệm “góc ngoài của tam giác” được thay đổi, như “một cạnh của góc ngoài là phần kéo dài của cạnh đáy” chỉ có ở hình a) mà không có ở
Trang 2hình b) và c), như “góc ngoài luôn là góc tù” chỉ có ở hình a) và b) mà không có ở hình c), như “đỉnh góc ngoài luôn thuộc cạnh đáy” chỉ có ở hình a) và b) mà không có ở hình c) v.v
Quá trình hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp chứa đựng khả năng phát triển nữhng năng lực trí tuệ như so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá Vì thế cần chú trọng khai thác khả năng này
Con đường thứ hai để hình thành khái niệm cho học sinh là con đường suy diễn, trong đó việc định
nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm cũ mà học sinh đã biết
Chẳng hạn, đối với học sinh khá giỏi “khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận” ở lớp 7 có thể được xây
dựng bằng cách dựa vào định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết trong số học lớp 6 để đưa ra một định nghĩa của khái niệm mới, sau đó mới đưa ra ví dụ để minh hoạ Sau khi cho học sinh nhắc lại định nghĩa và tính chất của tương quan tỉ lệ thuận đã học ở lớp 6, ta lưu ý học sinh rằng tương quan tỉ
lệ thuận trong số học có thể định nghĩa bằng hai cách tương đương nhau:
- Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận khi đại lượng này tăng (giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (giảm) bấy nhiêu lần (1)
- Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận khi tỉ số giữa một giá trị bất kỳ của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia là một hằng số (hằng số này gọi là hệ số tỉ lệ) (2)
Bây giờ, ta lấy (2) làm định nghĩa của hai đại lượng tỉ lệ thuận trong đại số, hệ số tỉ lệ cũng như giá trị của hai đại lượng đều là số hữu tỉ, dương, âm hoặc bằng 0
Từ đó, với cách suy nghĩ tương tự, học sinh có thể đi đến khái niệm “đại lượng tỉ lệ nghịch” mà không cần quy nạp từ những ví dụ cụ thể (thay từ “thuận” bằng từ “nghich”, thay “tỉ số” bằng “tích số”)
Trong hình học, sau khi học xong hình bình hành, học sinh dễ dàng định nghĩa khái niệm hẹp hơn như hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi
Việc hình thành khái niệm mới bằng con đường suy diễn (sau đó lấy ví dụ cụ thể minh hoạ để chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy là tồn tại) tiềm tàng khả năng phát huy tính chủ động và sáng tạo của học sinh trong học tập
c) Dạy học định nghĩa khái niệm
Các cách định nghĩa việc hình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái niệm Trong toán học và trong giảng dạy toán học có những cách khác nhau để định nghĩa khái niệm Ở trường trung học cơ sở, các định nghĩa thường có cấu trúc dạng:
(đối tượng x có tính chất B khi và chỉ khi có tính chất A và tính chất C) Trong cấu trúc trên, tính chất
A là tính chất của một khái niệm bao trùm đối tượng x được định nghĩa, còn C là sự khác biệt đặc trưng giữa đối tượng có tính chất B với các đối tượng còn lại mang tính chất A
Ví dụ:
- Hình chữ nhật:
+ là hình bình hành,
+ có một góc vuông
- Số nguyên tố:
+ là số lớn hơn 1,
+ chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó
Định nghĩa như vậy là tường minh, trong đó các khái niệm được định nghĩa (B(x)) và khái niệm dùng để định nghĩa (A(x) và C(x)) là tách bạch với nhau Điều đó cho phép ta thay thế cái được định nghĩa bằng cái dùng để định nghĩa hay ngược lại Sự thay thế như vậy rất hay được sử dụng khi chứng minh định lý hoặc giải toán
Nhưng không phải tất cả các khái niệm toán học đều được định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở trên Lần ngược lại quá trình lôgíc định nghĩa các khái niệm, tất phải đến những khái niệm xuất phát đầu tiên không được định nghĩa qua các khái niệm khác của hệ thống lí thuyết đã cho, bởi vì trong hệ thống này trước chúng không có một khái niệm nào Nhưng điều đó không có nghĩa là những khái niệm đầu tiên này không được định nghĩa Thực ra, các khái niệm xuất phát này được định nghĩa một
Trang 3cách không tường minh, gián tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung của chúng (ở trình độ thấp) hay bằng những tiên đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ) Chẳng hạn, khái niệm “điểm) ở lớp 6: Điểm là hình đơn giản nhất Một dấu chấm nhỏ trên trang giấy trắng là hình ảnh của điểm (Toán 6, tập hai)
Như vậy, khi nói rằng các khái niệm “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” là những khái niệm xuất phát nên không được định nghĩa thì cần phải hiểu rằng “chúng không được định nghĩa tường minh qua các khái niệm khác”
Tóm lại, trong dạy học ở trường phổ thông có những khái niệm không được định nghĩa vì hai lí do khác nhau: hoặc vì chúng là những khái niệm xuất phát trong khoa học toán học, hoặc vì lí do sư phạm mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong khoa học toán học (người thầy giáo cần phân biệt hai trường hợp này) Đối với những khái niệm như vậy thì cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể giúp học sinh hình dung được hình ảnh, hiểu được ý nghĩa của khái niệm ấy, chẳng hạn như khái niệm “điểm”, “đường thẳng” trong sách Toán 6, tập hai, khái niệm “trục số” trong sách Đại số 7 Trong các khái niệm toán học, có những khái niệm về đối tượng và có những khái niệm về quan
hệ Khái niệm đơn thức được định nghĩa như sau là một khái niệm về một đối tượng:
Một biểu thức đại số trong đó các phép toán thực hiện trên các biểu thức chỉ là những phép nhân hoặc luỹ thừa gọi là một đơn thức (Đại số 7)
Để làm ví dụ cho khái niệm về một quan hệ, ta xét các định nghĩa sau:
- Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức, sau khi thu gọn, có phần biến giống nhau (Đại số 7)
- Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ (Hình học 8)
Trong mỗi định nghĩa này, quan hệ mới (cái được định nghĩa) được xác định thông qua quan hệ đã biết trước đó (cái dùng để định nghĩa)
Chú ý, kí hiệu được là “có nghĩa là theo định nghĩa” hoặc “được gọi là”, ta cũng hiểu “khi và chỉ khi theo định nghĩa” để tránh sự nhầm lẫn với kí hiệu mang ý nghĩa “điều kiện cần và đủ” của một định lí
Các yêu cầu của một định nghĩa
Đối với một định nghĩa, ta không thể nói rằng nói đúng hay sai Một định nghĩa có thể hợp lí (chấp nhận được) hay không hợp lí (không chấp nhận được) phụ thuộc vào việc thoả mãn hay không thoả mãn những yêu cầu tối thiểu của định nghĩa
Yêu cầu quan trọng đầu tiên là định nghĩa không được vòng quanh Việc vi phạm quy tắc này thể
hiện ở chỗ cái được định nghĩa lại chứa đựng (tường minh hoặc không tường minh) trong cái dùng để định nghĩa Điều này có thể được minh hoạ qua các định nghĩa sau:
- “Góc được gọi là góc vuông nếu hai cạnh của nó vuông góc với nhau”;
- “Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu chúng tạo thành một góc vuông”
Sự vòng quanh thể hiện ở chỗ: trong định nghĩa đầu, góc vuông được định nghĩa qua các đường thẳng vuông góc, còn trong định nghĩa sau thì khái niệm lại được định nghĩa qua khái niệm thứ nhất.
Tương tự, học sinh cũng mắc sai lầm về định nghĩa vòng quanh khi trả lời “góc vuông là góc bằng
900”, và để trả lời cho câu hỏi “góc 10 là gì?” thì lại nói “góc 10 là của góc vuông”
Yêu cầu thứ hai nhằm đảm bảo sự đúng đắn (chuẩn mực) của một định nghĩa, có là định nghĩa phải
có trị nhưng không đa trị Định nghĩa phải có trị nghĩa là phải tồn tại ít nhất một đối tượng thoả mãn
các điều kiện nêu trong định nghĩa Định nghĩa không được đa trị nghĩa là để chỉ cái được định nghĩa thì chỉ được dùng một thuật ngữ hay kí hiệu Sự vi phạm yêu cầu này dẫn đến việc cùng một thuật ngữ hay kí hiệu lại xác định những khái niệm khác nhau, tức là vi phạm một trong những nguyên tắc sử dụng kí hiệu hay thuật ngữ dưới dạng tên gọi Ví dụ về sự vi phạm này là việc dùng cùng một kí hiệu
“AB” để chỉ các đối tượng sau: đường thẳng đi qua hai điểm AB, độ dài đoạn thẳng AB, tia với điểm gốc A và chứa điểm B vì vậy trong sách giáo khoa người ta phải đặt trước kí hiệu này thuật ngữ chỉ loại đối tượng, ví dụ “đoạn thẳng AB”, “đường thẳng AB”, “tia AB” (Toán 6, tập 2)
Những hoạt động củng cố định nghĩa
Trang 4H×nh 31
Trong dạy học khái niệm, ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức bằng cách cho họ tập luyện những hoạt động như nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ hay một số hoạt dộng khác
- Nhận dạng và thể hiện khái niệm Một trong những biểu hiện của chủ
nghĩa hình thức trong học tập môn Toán là một số học sinh thuộc cách phát
biểu của định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể có
thoả mãn định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối
tượng thoả mãn định nghĩa Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành những
hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” để khắc phục chủ nghĩa hình thức, để
củng cố khái niệm
Chẳng hạn, khi học về tam giác cân (Hình học 7, tr.43), có thể cho học
sinh làm bài tập: Hãy tìm các tam giác cân trong hai hình bên, trước hết đoán
nhận bằng mắt, sau đó đo trực tiếp để kiểm tra lại
Khi học về “hệ số của đơn thức” (Đại số 7, tr.97) có thể cho các bài tập
trong đó lưu ý đến trường hợp khi hệ số bằng
Trong việc nhận dạng khái niệm, nên có một số bài tập mà câu trả lời
không phải là “có hoặc không” mà là “chưa rõ”, ví dụ như:
“Hai góc O1 và O2 có chung đỉnh O và cùng bằng 600 Hai góc đó có đối đỉnh không?”
Sau khi nêu lên định nghĩa của khái niệm, cần yêu cầu học sinh biết thể hiện khái niệm tức là cụ thể hoá khái niệm đó Chẳng hạn, sau khi định nghĩa góc ngoài của tam giác, ta yêu cầu học sinh vẽ các góc ngoài của một tam giác cho trước Khi cụ thể hoá khái niệm, chú ý hướng dẫn học sinh nêu lên các thí dụ một cách đa dạng, kể cả một số trường hợp riêng, tránh sự đơn điệu Ví dụ, khi cụ thể hoá khái niệm “đường cao của hình tam giác”, gợi ý cho học sinh vẽ hình trong các trường hợp chân đường cao ở trên một cạnh, trùng với đỉnh, ở phần kéo dài của một cạnh
- Hoạt động ngôn ngữ Để giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý hướng dẫn và khuyến khích học sinh diễn đạt các định nghĩa theo một cách khác, bằng lời lẽ của bản thân mình Ví dụ, đối với định nghĩa số nguyên tố, có thể phát biểu “số nguyên tố là số có đúng hai ước” (tức là “có hai và chỉ có hai ước”)
Sự chú ý phương diện ngôn ngữ trong dạy học khái niệm cũng sẽ góp phần tích cực phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh, bao gồm vốn từ ngữ và các kí hiệu toán học, tạo cơ sở phát triển năng lực nhận thức cũng như năng lực vận dụng toán học vào việc học tập các bộ môn khác, vào khoa học và đời sống
- Một số hoạt động củng cố khác Một số hoạt động cần rèn luyện cho học sinh trong dạy học khái
niệm khi có điều kiện là hệ thống hoá, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa các khái niệm Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng khái niệm đó vào những bài toán,
những hoạt động khác nhau đặc biệt là những bài toán chứng minh trong môn toán Điều đó có tác dụng củng cố, nắm vững khái niệm, lại vừa góp phần phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn
d) Dạy học phân chia khái niệm và hệ thống hoá khái niệm
Dạy học phân chia khái niệm
Khi ta định nghĩa một khái niệm (dưới dạng tường minh hoặc không tường minh) thì nội dung của khái niệm (tức là các tính chất đặc trưng) và phạm vi của khái niệm (tức tập hợp các đối tượng thoả mãn định nghĩa) được xác định Phạm vi của khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm (vạch rõ phạm vi của khái niệm) Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nắm vững các khái niệm toán học cũng như các khái niệm thuộc bất kì một môn học nào
Chẳng hạn, học sinh sẽ nắm vững khái niệm số nguyên tố hơn, nếu đồng thời với việc hiểu định nghĩa này, học sinh còn biết rằng số nguyên tố có thể chẵn, có thể lẻ, nhưng chỉ có một số chẵn là số 2, còn các số nguyên tố còn lại đều là lẻ Tương tự như vậy, nếu học sinh biết rằng khái niệm số tự nhiên được phân chia thành: số 1, số 0, số nguyên tố, hợp số
Nhiều khi, học sinh cần phải nắm vững cách phân chia khái niệm để có thể giải toán hoặc xem xét các vấn đề có liên quan
Trang 5Ví dụ, đối với bài toán “Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p + 10 và p + 14 không cùng là các số nguyên tố”, thì học sinh cần phải biết phân loại các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai loại 3k + 1, 3k + 2 để chứng minh
Hoặc như, việc giải một số bài toán có liên quan đến số hữu tỉ x, đòi hỏi phải xét ba trường hợp: x
= 0, x > 0, x < 0
Ta có thể minh hoạ việc phân chia khái niệm qua hai ví dụ sau:
Hình 32
Người ta còn diễn tả việc phân chia khái niệm bằng sơ đồ Chẳng hạn, sơ đồ các loại tứ giác trong Hình học 8 như sau:
Hình 33
Sơ đồ này được hiểu là: tứ giác có các loại đặc biệt là hình thang, ngoài ra còn có tứ giác không là hình thang; hình thang có ba loại đặc biệt là hình thang cân, hình thang vuông và hình bình hành, ngoài
ra còn có những hình thang khác không là hình thang cân, không là hình thang vuông mà cũng không phải là hình bình hành
Còn đối với sơ đồ minh hoạ việc phân chia khái niệm hình tam giác trên chẳng hạn, thì lại phải hiểu là: Hình tam giác có ba loại là tam giác có ba góc nhọn, tam giác vuông và tam giác có một góc
tù Do đó, giáo viên phải thận trọng và giải thích kĩ cho học sinh khi vẽ các sơ đồ
Ta thường hay gặp cách phân chia khái niệm theo nhiều tầng mà ở mỗi tầng, tập hợp các đối tượng được chia thành hai lớp theo một tính chất nào đó (gọi là phép chia nhị phân)
Ví dụ sau đây là phép chia nhị phân khái niệm số thực
Tam giác có góc tù
Tam giác
có ba góc nhọn
Tam giác vuông
Hình thoi
Hình chữ nhật
Hình bình hành Hình vuông
Số thực
Trang 6Chú ý: Trong sơ đồ trên, thuật ngữ “số phân” để chỉ các số hữu tỉ không phải là số nguyên, còn
“số tự nhiên” bao gồm cả số 0
Dạy học hệ thống khái niệm
Trong việc dạy học các khái niệm, bao giờ cũng nêu lên mối quan hệ giữa các khái niệm, đặt khái niệm mới vào hệ thống các khái niệm có sẵn, tức là sau mỗi phần, mỗi chương cần phải hệ thống hoá các khái niệm
Khi dạy học số học, đại số, có nhiều cơ hội cho học sinh thấy đươc sự mở rộng khái niệm: mở rộng
về số (số tự nhiên - số nguyên - số hữu tỉ - số thực), khái niệm về biểu thức, về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch v.v Cần lưu ý để học sinh nhận thức được đặc điểm đặc trưng nào của khái niệm mới được mở rộng so với khái niệm cũ
Trong chương I - Tứ giác, đa giác (Hình học 8), học sinh có cơ hội thấy được sự thu hẹp khái niệm: hình tứ giác – hình thang – hình bình hành – hình chữ nhật – hình vuông Trường hợp này cần hướng dẫn học sinh nắm vững được khi chuyển từ một khái niệm sang một khái niệm hẹp hơn thì khái niệm hẹp hơn này không những có mọi tính chất của khái niệm trước đó mà còn có thêm những tính chất riêng mà khái niệm trước đó nói chung là không có, chẳng hạn hình vuông có mọi tính chất của hình chữ nhật, đồng thời có tính chất riêng như hai đường chéo vuông góc với nhau mà hình chữ nhật nói chung không có Những tính chất này cần nắm vững để vận dụng có hiệu quả vào giải toán cũng như ứng dụng vào các tình huống khác nhau
Ý nghĩa của hoạt động phân chia khái niệm, hệ thống hoá khái niệm (một trong những dạng quan trọng của hoạt động trí tuệ) vượt xa ra khỏi phạm vi của việc nắm vững các kiến thức toán học, nó cần thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của con người Vì thế những tri thức và kỹ năng về mặt này cần được chú ý thích đáng trong môn Toán cũng như các môn học khác
2 Dạy học các định lí toán học
a) Vị trí và yêu cầu
Việc dạy các định lí toán học nhằm cung cấp cho học sinh một trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ môn Đó cũng là những cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ
Việc dạy học các định lí toán học cần đạt được các yêu cầu sau:
- Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng các định lí vào hoạt động giải toán cũng như vào các ứng dụng khác;
- Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác (với mức
độ thích hợp ở trường phổ thông);
- Phát triển năng lực chứng minh toán học
b) Các con đường dạy học định lí
Việc dạy học các định lí toán học có thể được thực hiện theo hai con đường: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán Hai con đường này được minh hoạ bằng sơ đồ sau
Việc đi theo con đường nào không phải là tuỳ tiện mà tuỳ theo nội dung định lí và tuỳ vào điều kiện cụ thể về học sinh
Trong dạy học hình học, việc phát hiện định lí có thể được tiến hành thông qua vẽ hình hoặc thông qua hoạt động thực hành dưới sự hướng dẫn của giáo viên Chẳng hạn, khi dạy bài “Tính chất ba trung tuyến của tam giác” (Hình học 6), trước hết, có thể cho mỗi học sinh vẽ một tam giác tuỳ ý, sau đó vẽ
Suy luận lôgíc dẫn tới định lí
Tạo động cơ
Phát hiện định lí
Chứng minh định lí
Phát biểu định lí
Củng cố định lí
Trang 7Hình 34
ba đường trung tuyến rồi nêu nhận xét dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trước khi dạy bài “Tổng ba góc của tam giác” (Hình học 6), có thể giao cho học sinh công việc thực hành ở nhà là “cắt một tam giác bất kì bằng giấy, đo mỗi góc trong của tam giác rồi cộng các kết quả lại”, sau đó, khi lên lớp giáo viên gợi ý học sinh phát hiện định lí trong bài học
Để minh hoạ cho con đường suy diễn, có thể đưa ra ví dụ khi dạy định lí về bình phương của một hiệu trong bài “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” (Đại số 8): từ hằng đẳng thức
suy ra
c) Dạy chứng minh định lí
Trong dạy học định lí, một khâu rất quan trọng là phát triển ở học sinh năng lực chứng minh toán học Dựa vào những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động, ta cần chú ý giải quyết các vấn đề sau:
- Gợi động cơ chứng minh,
- Rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh,
- Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh,
- Phân bậc hoạt động chứng minh
Ta lần lượt đi vào từng khâu này
Gợi động cơ chứng minh Hình thành động cơ chứng minh có vai trò quan trọng đối với việc học tập những định lí, nó phát huy tính tự giác và tích cực của học sinh trong học tập
Ở những bài toán chứng minh đầu tiên ở trường phổ thông cơ sở, học sinh thường chưa thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề toán học, nhiều học sinh vẫn không hết băn khoăn tại sao lại phải tốn công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ Để khắc phục tình hình này, cần tận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh định lí
Cần cho học sinh thấy rằng những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra chỉ là là trên một hình
vẽ, hay nếu chịu khó thử thì cũng chỉ là trên một số hữu hạn hình vẽ mà thôi Vấn đề đặt ra là với một mệnh đề tổng quát, ta không thể thử trực tiếp nó trên vô số trường hợp Vì vậy cần phải chứng minh nó
Một ví dụ liên quan đến định lí Pitago (Hình học lớp 8) là như sau: Khi
làm nhà tre, gỗ, người thợ mộc đục các lỗ A, B, C của vì kèo AC, quá giang
BC và trụ chống AB theo cự li tỉ lệ với 3 : 4 : 5 tức là AB : BC : CA = 3 : 4 :
5 (hình vẽ) thì lúc dựng lên bao giờ cũng được tam giác vuông ABC vuông
ở B (tức là trụ chống thẳng góc với quá giang) Ta có thể kiểm nghiệm kinh
nghiệm này trên một số hữu hạn trường hợp, nhưng để đảm bảo sự đúng đắn
của nó cho tất cả (vô số) các trường hợp thì phải chứng minh Như vậy, từ
yêu cầu của thực tế có thể học sinh thấy sự cần thiết phải chứng minh
Đôi khi, việc chọn ví dụ và vẽ hình cũng giúp học sinh thấy sự cần thiết
phải chứng minh Chẳng hạn, với định lí “Mỗi góc ngoài của tam giác lớn hơn góc trong không kề với nó” (Hình học lớp 7), nếu ta vẽ tam giác ABC có ba góc nhọn tức là góc ngoài ở C là góc tù (Hình 35.a) thì học sinh có thể cho rằng chẳng cần phải chứng minh vì góc tù bao giờ cũng lớn hơn góc nhọn
A và B Nhưng nếu vẽ hình có góc ngoài ở C là góc nhọn (Hình 35.b) thì việc góc ngoài C lớn hơn góc
A và góc B không phải là điều hiển nhiên nữa
b) a)
C B
A
C B
A
Hình 35
Rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh Cần chú ý tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát
Trang 8Điều quan trọng là những thao tác kết luận lôgíc theo những quy tắc thường không được dạy tường minh ở trường phổ thông và chỉ được sử dụng dưới dạng tắt
Ví dụ, ta hãy xem xét cách chứng minh công thức bình phương của một tổng (Đại số 8), trong sách giáo khoa:
Các bước chứng minh đầy đủ được trình bày trong bảng sau:
1 (a + b)2 = (a + b)(a + b)
2 = a(a + b) + b(a + b)
3 = aa + ab + ba + bb
4 = aa + ab + ab + bb
5 = aa + 2ab + bb
6 = a2 + 2ab + b2
1 Theo định nghĩa của luỹ thừa
2 Theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
3 (Như trên)
4 Theo tính chất giao hoán của phép nhân
5 Theo định nghĩa của hệ số
6 Theo định nghĩa của luỹ thừa
Một ví dụ khác, ta hãy xem xét cách chứng minh định lí “Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân” (Hình học lớp 8)
Hình 36
Chứng minh trong sách giáo khoa Phân tích chứng minh
1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt
đường thẳng DC ở E
2 BE = AC
3 BE = BD
4 Tam giác BDE cân
5
6
7
8
9
10 ABCD là hình thang cân
1 Theo tiên đề Ơclít và địng lí đã được chứng minh (hình học 7, tr.30)
2 Theo tính chất đã được chứng minh (hình học 7,
tr 47)
3 Theo 2, giả thiết và tính chất của đẳng thức
4 Theo 3 và định nghĩa tam giác cân (hình học 7, tr 43)
5 Theo định lí đã được chứng minh (như đã dẫn)
6 Tính chất của cặp góc đồng vị
7 Theo 5, 6 và tính chất của đẳng thức
8 Theo giả thiết 7 và định lí đã được chứng minh (chứng minh hình học 7, tr 20)
9 Theo 8 và định nghĩa hai tam giác bằng nhau
10 Theo 9 và định nghĩa hình thang cân
Truyền thụ những tri thức phương pháp liên đến đến chứng minh Trong quá trình dạy học chứng minh, còn cần phải truyền thụ những tri thức liên quan đến chứng minh
Đó trước hết là những tri thức về các quy tắc kết luận lôgíc mà ở trường phổ thông chúng chỉ được truyền thụ theo con đường không tường minh Chẳng hạn, trong ví dụ vừa nêu ở trên, từ bước 4 chuyển sang bước 5 ta đã dùng quy tắc kết luận (gọi là modus ponens) như sau:
- Trong một tam giác cân, hai góc kề cạnh đáy bằng nhau
- Tam giác BDE là tam giác cân với cạnh đáy DE Vậy hai góc kề cạnh đáy
Sơ đồ quy tắc kết luận này là:
Trang 9Đó là quy tắc thường được dùng nhiều hơn cả ở trường phổ thông Trong ví dụ trên, ở các bước 3,
4 hay 7, 8, 9, ta cũng ngầm sử dụng quy tắc kết luận này
Đồng thời, cần chú ý truyền thụ những tri thức về những phương pháp suy luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, lùi), suy xuôi, phản chứng theo con đường thông báo chúng nhân cơ hội tiến hành các phép chứng minh Đặc biệt, cần luyện tập dần để học sinh nắm được những tri thức sau (đương nhiên không phát biểu tường minh như ở đây):
- Phép suy xuôi có sơ đồ sau, trong đó Ai là một định nghĩa, tiên đề hoặc một mệnh đề đúng nào
đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh:
- Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ như sau:
Các phép suy xuôi và suy ngược lùi là những phép chứng minh trong khi suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán
Ví dụ Cho bài toán: “Chứng minh rằng: ” (Đại số lớp 8, tr 13)
- Chứng minh bằng phép suy xuôi:
(A2) (đpcm) (B)
- Chứng minh bằng phép suy ngược lùi:
Đẳng thức này chính là hằng đẳng thức 4 đã học
Trong quá trình dạy học chứng minh định lí, ta cũng cần truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về chiến lược chứng minh (có tính chất tìm đoán) theo con đường tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức này Chiến lược này kết tinh ở học sinh như một bộ phận kinh nghiệm
mà họ tích luỹ được trong quá trình học các chứng minh định lí, cũng như giải các bài toán chứng minh Đương nhiên, sự kết tinh này không nên diễn ra một cách tự phát mà cần được thực hiện một cách có chủ đích, có ý thức của thầy giáo Chẳng hạn, thầy giáo luôn luôn lặp đi lặp lại một cách có dựng ý những chỉ dẫn hoặc câu hỏi như:
- Giả thiết nói gì ? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào ?
- Hãy vẽ một hình theo những dữ kiện của bài toán Những khả năng có thể xảy ra
- Từ giả thiết suy ra được điều gì ? Những định lí nào có giả thiết giống hoặc gần giống với giả thiết này ?
- Kết luận nói gì ? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào ?
- Những định lí nào có kết luận giống hoặc gần giống với kết luận của bài toán ?
v.v
Trang 10 Phân bậc hoạt động chứng minh Dựa vào những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động, ta cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển quá trình học tập của học sinh về phương diện này Bao quát nhất là phân bậc căn cứ vào hoạt động độc lập của học sinh:
- hiểu được chứng minh;
- trình bày lại chứng minh;
- độc lập tiến hành chứng minh
Cần lưu ý rằng mức độ khó khăn của một hoạt động chứng minh không chỉ phụ thuộc cách phân bậc trên mà còn quan hệ với từng nội dung bài toán Hiểu chứng minh ở một bài toán khó rất có thể là khó khăn hơn là độc lập chứng minh ở một bài toán dễ
d) Dạy học củng cố định lí
Trong dạy học định lí, ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức bằng cách cho họ luyện tập những hoạt động sau:
Nhận dạng và thể hiện Những hoạt động quan trọng để củng cố định lí là “nhận dạng” và “thể hiện” “Nhận dạng” là xem xét một tình huống cho trước có ăn khớp với một nhận định nào đó hay không “Thể hiện” là tạo ra một tình huống phù hợp với định lí cho trước
Chẳng hạn:
- Một số tròn chục có chia hết cho cả 2 và 5 không ? (nhận dạng – Toán lớp 6)
- Hãy vẽ một hình bình hành có một cạnh dài gấp đôi cạnh kia (thể hiện – Hình học lớp 8)
Hoạt động ngôn ngữ về mặt ngôn ngữ lôgíc, cần chú trọng phân tích cấu trúc lôgíc cũng như phân tích nội dung định lí, khuyến khích học sinh thay đổi hình thức phát biểu định lí nhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập những ý nghĩ của mình
Ví dụ, đối với định lí về dấu hiệu chia hết cho 3: “Những số mà tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3” (Toán lớp 6, tr 57), học sinh có thể phát biểu theo nhiều cách khác, như:
- Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3 và ngược lại, nếu một chữ số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3;
- Một số chia hết cho 3 khi nó có tổng các chữ số chia hết cho 3 và không chia hết cho 3 khi nó có tổng các chữ số không chia hết cho 3
Một ví dụ khác trong sách Hình học lớp 8:
- “Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau”, “Hai đường chéo của hình chữ nhật luôn bằng nhau”, “Nếu tứ giác là hình chữ nhật thì hai đường chéo của nó bằng nhau”
- Tính chất ba trung tuyến của tam giác: “Ba trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
Các hoạt động củng cố khác Cùng với các hoạt động trên cần tập luyện cho học sinh những hoạt động củng cố khác như đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá và vận dụng những định lí trong giải toán, đặc biệt là trong chứng minh toán học
Trong việc dạy học các định lí toán học, cũng như dạy học các khái niệm, cần phải làm cho học sinh hiểu và nắm vững được một hệ thống kiến thức Sau mỗi phần, mỗi chương cần tiến hành hệ thống hoá các định lí, chú ý nêu rõ mối liên hệ giữa chúng
Mối liên hệ giữa các định lí có thể là mối quan hệ chung riêng: một định lí có thể là một trường hợp mở rộng hay đặc biệt của một định lí nào đó đã biết Chẳng hạn, trong Hình học lớp 7, có định lí:
“Tổng số đo ba góc của tam giác bằng 1800” (tr 36) Từ đó, có các trường hợp riêng là các định lí:
- Trong tam giác vuông, tổng số đo hai góc nhọn bằng 900 (tr 37);
- Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 600 (tr 44)
Mối liên hệ giữa các định lí cũng có thể là mối liên hệ suy diễn: định lí này suy ra định lí kia Ví
dụ, trong sách Hình học lớp 8, tr 78, định lí Pitago đối với tam giác vuông a2 = b2 + c2 được suy ra từ một định lí ngay trước đó: b2 = ab’; c2 = ac’
Sau đây là một ví dụ về một cách hệ thống hoá một số định lí trong chương 1 Hình học lớp 8