chuyên đề hình học không gian ôn thi đại học - nguyễn đức thắng

>_ Một hình chop là hình chóp đều © đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình

-

s

= +

* +

: TONG HOP LY THUYET

<>

1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

với mạmy,m, lân lượt là độ dài đường trung tuyến ứng với

cạnh a,b,c của tam giác ABC

sind sinB sinC

(R la bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

3 Các công thức tính diện tích tam giác

+ Hình thoi: S = 7“ ( nữa tích hai đường chéo)

+ Hình thang: S = ; (Đáy lớn + đáy nhỏ) < chiều cao

+ Hình bình hành : S = đáy chiêu cao

$ Hình tròn: S = z.R”

4T giác hai đường chéo x,y vuông góc 2S = x.Vy

(Eình thoi cũng có hai đường chéo vuông góc)

1I- KHÁI QUÁT VẺ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Xác định một mặt phẳng

Ba diem không thăng hàng xác định một mặt phang

KH: mp(ABC) hay (ABC

Một điểm và một đường thăng không đi qua điểm đó xác định một mặt phăng KH: mp(4,đ) hay (4,3)

e Hai đường thăng cắt nhau xác định một mặt phăng KH: Gng(a, b))

2 Qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian

>_ Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng

>_ Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thăng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau

>_ Mội tam giác bắt kỳ có thể là hình biểu điễn của tam giác nào đó (kể cả các tam giác đều, vudng )

>_ Một hình bình hành bắt kỳ có thể là hinh biéu dién của hình bình hành (kề cả hành vuông, hình thoi, )

>_ Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa

điềm và đường thẳng

>_ Hình biểu điễn phái giữ nguyên tỉ lệ giữa các đoạn

thẳng song song,các đoạn thẳng cùng thuộc một đường

thẳng

> Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường che khuất nét đứt

3.Hình chóp hình tứ điện :

>_ Hình chớp S.A¡IA2As Aa Pint gồm đa giácA¡A2A; Aa

thuộc mặt phang day

> Đường chéo hình vuông cạnh x là d= x2

>_ Đường chéo hình lập phương cạnh x là d =x./3

> Đường chéo hình hộp chữ nhật canh a,b,c 1a

III- QUAN HE SONG SONG VA VUONG GOC

A QUAN HE SONG SONG

= 1 DUONG THANG VA MAT PHANG SONG SONG

1 Định nghĩa:

* Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có

va dsong song với một jf

DL2: Néu dung a/(P)

thăng a song song với

giao tuyến của chúng A

song song với đường =>đ//đ

thing do

= 2 HAI

1 Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gợi là

song song nếu chúng không

có điểm chung

()/()©(?)^(@)=Ø-

2 Các định lý:

L1: Nếu mp(P) chứa hai :

during thing a,b ct nhau và “>=

cùng song song với mp(Q) thì

®//(Q) LZ /f

L2: Nếu một đường thing (P)//(@)

trong một trong hai mặt cœ) =4//9

Hình có hai đáy là các đa giác lồi đồng dang tỉ số là 1

“bằng nhau” và nằm trong hai mặt phẳng song song

B QUAN HE VUONG GOC

= 1 DUONG THANG VUONG GOC VOI MAT PHANG

a1 mp(P) ©a Le,Ve C(P)

®ĐLI: Nêu đường thăng d vuông góc với hai đường thăng cắt nhau a và b cùng

nam trong mp(P) thì d 1 (P)

ĐL2: (Ba đường vuông góc)

Cho đường thăng a không I©C vuông góc với mp(P) và

đường thẳng b nằm trong (P), a" là hình chiếu của a trên (P) Khi dé:b La bla’

= 2 HAI MAT PHANG VUONG GOC

1.Đinh nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nễu góc

giữa chúng bằng 90° Kí hiệu: (P).L (Q)

2 Các định lý:

ĐLI: Điều kiện cần và đủ đê 2 mặt

phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa 1 đường thắng (@\*

vuông góc với mặt phẳng kia B

@)1(Q)@ 3a c@)va al (P)

®ĐL2: Nếu 2 mặt phăng vuông /®)

góc với nhau thì bất cứ đường thắng nào nằm trong mặt phẳng $

này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt

phing kia L MLO) V@=«¢

aCc(P),alc>al@Q) DL3: Néu 2 mit phing (P) va (Q) vuông góc với nhau và A

là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A

DLS: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phăng (P)

có duy nhất một mặt phăng (Q) chứa a và vuông góc (P)

Tom tat: a L (P)=> 51) 4,(Q) 1 (P)

Bién sogn: Nguyén Dic Thing — THPT Nguyén Van Linh — Ninh Thuan 2

= 3 KHOANG CACH

1 Khodng cach tit mét diém t6i mét diréng thang,téi mét

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳn;

Cho điểm O và đường thăng

A không chứa O, H là hình

chiếu vuông góc của O lên A

> Trong nh đường — > Vớimọiđiểm MihuộcA

b) Khoảng cách từ một điển đến một mặt phần;

Cho điềm O và mặt phăng °

(ơ), H là hình chiếu vuông

„đường cao SH=d(S,(ABC)) Kalin /

> Với mọi điểm M thuộc

2 Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẩn;

Cho đường thắng a song

song với mặt phăng (0)

Vĩ dụ: lăng tru tam gác đều

©)Hình hộp đứng:

Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành ị Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 - ==

mặt bên đều là hình chữ nhật

đ) Hình hộp chữ nhật:

Dinh nghia: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ

nhật

Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật

> Trường hợp đặc biệt của hình hộp

đ(ø),()) = đŒM,())

Với M thugc(a),Nthuée (82) 4_# 7

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai

đừng thẳng song song là

khoảng cách từ một điểm

thuộc đường thăng này đến

đường thẳng kia

§ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa đường

thẳng chéo nhau là độ dài

của đoạn vuông góc chưng

của hai đường thăng đó

la hinh chop déu © đáy của

nó là đa giác đều và chan đường cao của hình chóp

trùng với tâm đáy

4 Nhậnxớt:

> Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường 4 cao của hình chóp

>_ Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó

là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

>_ Một hình chop là hình chóp đều © đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều ™ 7

= 4 GOC

1.Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thăng a và b

là góc giữa hai đường thăng a” và

b’ cing di qua một điểm và lần

lượt song song với cả a và b

2.Góc giữa đường thăng a và mặt phẳng (P)

a) Nếu a không vuông góc (P) : thì

3.Góc giữa hai mat phẳng:

a) Định nghĩa: Góc giữa 2 mặt phăng là góc giữa 2 đường thăng|

lần lượt vuông góc với 2 mặt phăng đó

>_ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm|

trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

l : ¢ xa

* Nhận xét: Nêu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng

nhau thì ta nói rằng góc giữa 2 mặt phẳng đó bằng 0°

c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S° = S cos Ø0

Với S là điện tích đa giác nằm trong (P), S° là điện tích hình|

chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q), Ø = góc (Œ), (Q))

5 š PHÉP CHIẾU 1.Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng (œ) và đường

thăng ^ cắt nhau Đường thăng d

đi qua M song song với ^ cắt (œ)

tai diém M’ Diem M' gọi là hình

chiếu song song của M trên mặt

phẳng, (œ) theo phương A mặt

phăng (ơ) gọi là mặt phẳng chiến,

A gọi là phương chiêu

song song theo phương d

được gọi là phép chiêu

III - THẺ TÍCH KHÔI ĐA DIỆN

D/t toàn phân Š„ =2ZRI+2zE

Cho khối tứ điện SABC và A,,

BC là 3 điểm lần lượt trên 3 canh SA, SB, SC

<>

A- QUAN HE SONG SONG

I DUONG THANG VA MAT PHANG

VĂN ĐÈ 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

| Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điển

lchung phân biệt của hai mặt phẳng Khi đó giao tuyến là

đường thang đi qua hai điểm chưng đó

Vi du: Cho bon diem A, B C D khong dong phang Goi |

K lân lượt là trung điêm của AD và BC

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phang (IBC) va (KAD)

b) Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên AB và AC Tìm|

giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN)

b)Tim giao tuyén cia (IBC) & (DMN)

Gọi E=MDOBI,F =NDACI

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình

bình hành tâm O M, N, P lần lượt là trung điểm của BC

CD, SO Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phang|

© (SCD) & (MAB) cé mét diém chung là M

Mat khac ABA CD=E

điêm M, N sao cho_MN không song song vói CD Gọi O

là một điêm bên trong ABCD

a) Tim giao tuyén của (OMN) va (BCD) _

b) Tim giao diém cia BC và BD với mặt phẳng (OMN)

Bai 2: Cho hình chóp S.ABCD M là một điểm trên cạnh

SC

a) Tim giao diém cua AM va (SBD) -

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC Tìm giao điểm của

SD và (AMN) | Bài 3: Cho tứ diện ABCD M, N là hai điểm lần lượt trênAC

Và AD Với O là một điểm bên trong ABCD.Tim giao

điểm của:

a) MN va (ABO) b) AO va (BMN)

HD: a) Tìm giao tuyến của (ABO) và(ACD)

b) Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO)

VĂN ĐÈ 3: Chứng minh ba điểm thắng hàng, ba

đường thăng đồng qui

+ Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng

binh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

* Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng mình giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của

|hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba

Muốn tìm giao điển của một đường thẳng và một mặt

|phẳng ta có thể tìm giao điển của đường thẳng đó với

Imột đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho

Ví dụ1: Cho tứ giác ABCD năm trong mặt phăng (Z) có

hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm nằm Ví dụ 1: Cho ba đường thang d;, d; ,d› không cùng nằm

trong một mặt phăng và cắt nhau từng đôi một Chimg minh ba đường thăng trên đồng quy

GIải:

Kí hiệu mp(d¡.d;) là mặt phăng chứa d; và d;

Kí hiệu mp (d›,d›) là mặt phăng chứa d; và d;

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng - THPT Nguyên Văn Linh — Ninh Thuận 5

Vi du 2: Cho tir gidc ABCD nam trong mặt phẳng (a) 6 c

hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm nằm|

ngoài (z).M là trung điêm của SC.Gọi {O}= AC MBD

Gọi E là giao điêm của AB và CD, N là giao điểm của EM|

và SD.Chứng minh răng: SO ,AM ,BN đông quy

Vay SO AM BN déng quy tai I

© BAI TAP TULUYEN -

Bài 1: Cho hình chớp S.ABCD Gọi I, J là hai điểm cố

định trên SA và §C với SI > IA va SJ < JC Mé& mat}

phang (P) quay quanh IJ cat SB tai M, SD tại N

a) CMR: IJ, MN va SO đồng qui (O =AC=BD) Suy ra

cách dựng điểm N khi biết M -

b)AD cat BC tai E, TN cất MI tại F.CM:S,E.F thắng hàng

c) IN cat AD tại P, MI cắt BC tại Q CMR PQ luôn đi

qua 1 điềm cổ định Khi (Ð) di động

Bài 2: Cho mặt phăng (P) và ba điêm A, B, C không thăng

hang 6 6 ngoai (P) Gia sir cac duéng thang BC, CA, AB lan

lượt cắt (P) tại D, E, F Chứng minh D, E, F thing hang

Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm

trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cat

AD tai H Chimg minh CD, IG, HF déng qui

VAN DE 4: Xác định thiết điện của một hình chop với

một mặt phẳng

l4 Muốn xác định thiết điện của một hình chóp với mặt

phang (P) ta có thể làm như sau:

+ Từ điển chung có sẵn, xác định giao tuyến đâu tiên của (P)

lvới một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian)

ø Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp,

lứa sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác Từ

|đó xác định được các giao tuyến mới với các mat nay

+ø Tiệp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được

thiét điện

Vidu 1: Cho hình chớp S.ABCD có đáy ABCD là hình

bình hành Trong mặt phẳng ( đáy vẽ đường thăng d đi qua

A va không song song với các cạnh của hình bình hành d cắt đoạn BC tai E Gọi C° là một điểm trên SC

a) Tìm giao điểm M của CD voi mp(C’ AE)

b)_ Tìm thiết điện của hình chớp cắt bởi mặt phang

e _ Đường thắngCÌM CD=M Vay CD 0 (C’AE) =M

b)Tìm thiết diện của hình chớp cắt bởi mp(C’ AE)

(C'AE) ¬(ABCD) = AE (CAE) A (SBC) =EC’

Goi F = MC’ SD

Nén (C’AE) A (SCD) = CF (C'AE)n¬ (SDA) =FA Vay thiét dién can tim 14 AEC’F

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

.Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành

tâm O Gọi M, N, I là ba điểm trên AD, CD, SO

Tìm thiết điện của hình chớp với mặt phẳng (MND

Bài 2: Cho tứ điện đều ABCD, cạnh bằng a Kéo đài BC

một đoạn CE=a Kéo đài BD một đoạn DF=a Gọi M là trung

điêm của AB

a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF)

2

b) Tính điện tích của thiết điện

HD: Lên Bài 3: Cho hình chóp S.ABC M là một điểm trên cạnh

VAN DE 1: Ching minh hai đường thăng song song

| Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

phương pháp chứng mình song song trong hình học phẳng

lứrhư tính chất đường trung binh, dinh li Talét dao, .)

|2 Chứng mình 2 đường thẳng đó cùng song song với

đường thăng thứ ba

3 Ap dung dinh li vé giao tuyén song song

.Yí dụ1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với|

đáy lớn AB Goi M, N lần lượt là trung điểm của SA val

SB

a) Chứng minh: MN // CD

b) Tìm giao điềm P của SC với (AND) Kéo dài AN và

DP cắt nhau tại I Chứng minh SI // AB // CD Tứ giác

a) MN // AB ( Đường trung bình trong tam giác )

CD /AB ( giải thiết )

MN và CD không trung nhau

Bài 1: Cho tứ điện ABCD Gọi I, J lần lượt là trọng tâm|

các tam giác ABC, ABD Chứng minh IJ//CD

Bài 2: Cho tứ điện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt

là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ RS cắt nhau tại trung

điêm của mỗi đoạn

Bài 3: Cho tam giác ABC nằm trong mặt phăng (P) Gọi

Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng]

một phía đối với (P) M, N là hai điểm đi động lần lượi

trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM -

a) Chứng minh đường thăng MN luôn di qua 1điêm

cố định I khi M, N di động

b)E thuộc đoạn AM và EM = SEA IE cat AN tại

E Gọi Q là giao điểm của BE va CF CMR AQ Song

song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thăng cô

định khi M, N di động

VAN ĐÈ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phuong php:

Tim mé6t diém chưng của hai mặt phẳng

* Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến

Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song

lvới đường thang ấy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang

với các đáy AD = a, BC = b Gọi I, J lần lượt là trong tam cac tam giac SAD, SBC

a) Tim doan giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyên của (Cl) voi mat (SAD)

db) Tim độ đài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (AD))

và (BC]) giới hạn bởi hai mặt phăng (SAB) và (SCD)

Suyra:B’C’ // AD > A.D B’,C’ déng phing

= BC là giao tuyến của mp(ADJ) va mp(SBC)

*Trong mp(SAD) vẽ đường thăng qua I song song AD cắt SB và SC lần lượt tại A' và D” -

Suyra : A'D' /BC — B,C ,A',D' đồng phẳng

= BC là giao tuyến của mp(ADJ) và mp(SBC)

và G là trọng tâm của ASAB

a) Tim giao tuyến ctia (SAB) va (JG)

b) Xác định thiết diện của hình chóp véi mat phang(IJG) Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB va CD dé

thiết điện là hình bình hành

Bai 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành

Goi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD

M là trung điểm của CD Xác định thiết điện của hình chóp với mặt phăng (IJM) |

Bai 3: Cho tứ điện đều ABCD, canh a Goi I, J lần lượt là

trung điểm của AC, BC Gọi K là một điểm trên cạnh BD]

voi KB = 2KD |

a) Xác định thiết diện của tứ dién voi mat phang (IJK)

Chứng minh thiết điện là hình thang cân

b) Tinh điện tích thiết điện đó HD:b) = si

III DUONG THANG VA MAT PHANG

SONG SONG

VẤN ĐÈ 1: Chứng minh đường thẳng song song với

mat phang

Phương pháp: Ta chứng mình d không nằm trong(P)

và song song với một đường thăng d “nào đó nằm trong (?)

Yĩ dụ 1: Cho tứ điện ABCD G là trọng tâm của AABD

IM la 1điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng

Goi I là trung điểm AD

Vì G là trong tâm = GB =2GI

Mà : MB =2MC

= MG // CI, CI năm trong (ACD)

= MG//(ACD)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

di 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không

cùng năm trong một mặt phăng

a) Gọi O, O' lần lượt là tâm của ABCD và ABEF Chứng

minh OO' song song với các mặt phăng (ADF) và (BCE)

b)M, N là 2 điểm lân lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho

AM= FAB, BN= SBD Chứng minh MN // (CDFE)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình|

bình hành.Gọi M,Niân lượt là trung điêm của các cạnh|

a) Chứng minh MN song song với các mặt phăng (SBC),

b) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh SB, SC đều

song song với (MNP)

c) Gọi Gì, G› là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC

HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác

VAN DE 2: Tim giao tuyén của hai mặt t phang

Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến Từ đó xác định thiết điện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước

Vi dul: Cho hình chóp S.ABCD có M, N là hai điểm lbát kì trên SB,CD.Mặt phẳng( z )qua MN và song song

b) Thiết điện là ngũ giác MIPNQ

® BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD M, N là hai điểm trên

AB, CD Mat phang (P) qua MN va song song với SA

4) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC)

b) Xác định thiết điện của hình chớp với mặt phẳng (P) c) Tim điều kiện của MN đẻ thiết điện là hình thang HD: ©) MN/BC

Bai 2: Trong mặt phăng (P), cho tam giác ABC vuông tại B= 60, AB =a Gọi O là trung điêm của BC.Lấy điểm S

ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB L OA Gọi M là 1 điêm trên cạnh AB Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB

va OA, cat BC, SC, SA lân lượt tại N, P, Q

Đặt x = BM (0 <x<a)

a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông

Đ) Tính điện tích hình thang đó.Tìm x đê DT lớn thắt

HD: b) Sun = — 33), Siayo (Max) khi x = 2a

Bién sogn: Nguyén Dic Thing — THPT Nguyén Van Linh — Ninh Thuan 8

IV HAI MAT PHANG SONG SONG

[VAN DE 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Phuong phap:

Chimg minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt

nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia

c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A Gọi AE,

AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD

và SAB Chứng minh EF // (SAD)

Vi dụ]: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong

phẳng khác nhau Trên các đường chéo AC và

IBF lần lượt lây các điểm M, N sao cho: AM = BN Các

đường thăng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt

ba thì 2 giao tuyến song song

«e Sử dụng định lí trên để xác định thiết điện của hình

chóp bị cắt bởi 1 mặt phẳng song song với ] mặt phẳng

Dé chimg minh (1) ta can dya vao đoạn thăng tỉ lệ trên các

tam giac ABF va tam giac ACD

© BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bai 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành

tam O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD

a) Chimg minh (OMN) // (SBC)

b) Goi P, Q 1 trung diém cia AB, ON Cm PQ// (SBC)

Bai 2: Cho tt dign ABCD Goi I, J a hai diém di động

1A _JB

lầnlượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: —— = ——

ID JC

a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định

b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn II theo tỉ số k cho trước

AD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD

b) Tap hop diém Mla đoạn EF với E, F là các

điểm chia AB, CD theo tỉ số k-

Bài 3: Cho hình chớp S.ABCD, có đáy là hình bình hành

tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD

a) CMR: (OMN) // (SBC)

b) Goi I 1a trung diém của SD, J là một điểm trén(ABCD)

và cách đều AB, CD Chứng minh IJ song song (SAB)

|Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình

Ihành tâm O với AC = a, BD = b Tam giác SBD đề Một

Imặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điêm I trên đoạn AC

a) Xác định thiết điện của hình chóp với (P)

Ib) Tính diện tích thiết điện theo a, b và x = AI

® BAI TAP TULUYEN

Bai 1: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) Tam giác

ABC nằm trong (P) và đoạn thăng MN nam trong (Q) a) Tim giao tuyén của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q) b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC)

Bài 2: Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bến nửa

nửa đường thăng song song cùng chiều Ax, By, Cz, Dt khong nam trong (ABCD) Mot mat phang (P) cat bén nửa đường thăng tại A', B’, C’, D’

>_ C1: Ta chứng minh cho a vuông góc với mặt phẳng

() chứa đường thăng b

> C2: Dùng định lý 3 đường vuông góc

ĐL: (Ba đường vuông góc)

Cho đường thăng a không vuông góc với mp(P) và đường thăng

b nằm trong (P), a` là hình chiếu của a trên (P)

và mặt phăng (AMN) Chứng minh SC vuông góc với [AI và tính thẻ tích khối chóp MBAI

Yí dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB = SC = CA =

CB =a+x/2_.ASC =BSC = 60”, SH là đường cao trong

tam giác SAB Ching minh SC | AB

Vi du 2:(B-2002) Cho hinh lap phuong ABCD.A;B,C,D,

-Goi M, N, P 1an lvot 1a trung điểm của BB;, CD va AyD

(Chimg minh MP | CiN

S.ABCD cạnh day bảng a.Gọi E là điểm đối xứng của D

qua trung điểm cạnh SA Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AE, BC Chứng minh MN | BD

Bién sogn: Nguyén Dic Thing — THPT Nguyén Van Linh — Ninh Thuan 10

N

Ví dụ 5:(TS D- 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD

có đáy ABCD là hình thang, trong đó BA = BC =a

.AD =2a, ABC=BAD=90°.Giả sử SA =a/2 và SA

alb (CM: a ném trong mét mat phẳng(Q) vuông góc với

(P)va giao tuyến b của (Q) và (P) cũng vuông góc với 4 )

> C2:

=aI(P)

allb

> C4: { bL(P) (Kết hợp quan hệ song song)

1 ()hoạc Í +1

>a (Py hoa | oe =a1(®)

Thí dụ 1:(TS A- 2007) Cho hình chóp tứ giác A.ABCD

có đáy là hình vuông cạnh a.Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phăng vuông góc với đáy.Gọi M.N,P

Ví đụ 6:(CĐ- 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

(có cạnh đáy bằng a Cạnh bên bằng a-/2 Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của SA SD, DC

> C1: Ta ching minh cho a vuông góc với hai đường,

Vĩ dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

đè cạnh a.BiếtSA = 2a và SA L (ABC).Goi I là trung

Từ (1) và (2) = BC L(SAI) = (SBC) L(SAD (4pem)

>

T

B

= AC | (SBD) = (ABCD) 1 (SBD)

b) Hiên nhiên ASAC = ABAC Do AS8D có trung tuyến

thuộc BD băng nửa BD nên tam giác này vuông tại S

Vi du 4: Cho hinh chop S.ABCD có đáy ABCD là hình

chi nhat voi AB = a, AD = a-/2, SA =a và SA vuông

góc với đáy ABCD Gọi M, N là trung điểm AD và SC Chứng minh mp(SAC) vuông góc với mp(SBM)

Vĩ du 2: Cho hình chóp S ABC có SA L (ABC) Trong

tam giác ABC các đường cao AE và CF cắt nhau tại O

Gọi H là trực tâm của tam giác SBC Chứng minh:

(Theo định lí 3 đường vuông góc)

Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên

©) Theo chứng minh trên ta có:

+ BC L (SAE), OH c(SAE)—= BC LOH

+SB 1 (CFH), OH c (CƑH)> SB L OW

Mà BC và SB cắt nhau tai B trong mat phang

(SBC)-»OH 1 (SBC)

HD:

Gia st’ ACA BM =1, tacd: MA= MD, AD // BC

= ar=FIC (P là trung điểm CD đề em)

AC +DC = (a2)? +a? =3a? > AP ~SAC ==

Vidu 5: Cho hinh chép S.ABC có đáy ABC tam giác

vuông tại C, hai mặt bên (SAC) và (SAB) cùng vuông

|góc với day Goi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên

SC va SB Chứng minh (SAB) _L (ADE)

Vidu 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có

IAB = BC = CD = DA= SA = SC.Chứngminh:

la) Mặt phăng (ABCD) và (SBD) vuông góc

lb)_ ASBD là tam giác vuông

HD

a) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AC L BD

Vì ASAC cân tại S nên AC L OS,với O =AC¬BD Vì (SAB) | (ABC) va (SAC) (ABC)

Ma (SAB) (SAC) =SA = SA | (ABC)

Bién sogn: Nguyén Dic Thing — THPT Nguyén Van Linh — Ninh Thuan 12

Ví dụ 6: Trong mặt phang (P) cho hình vuông ABCD

canh a Doan SA cé dinh va góc với (P) tại A.Với MvàN

là là hai điêm tương ứng di động trên các cạnh BC và

ICD.Đặt BM =u ,DN = v, Xác định mối quan hệ giữa

= MON là góc giữa hai mặt phẳng (MAC) va (NAC)

<= MN? =MO?+NO?

= (av2) +(v-u}=u2 tay +T©2w=a

2) Giả sử ta có (1)

Vì Bx, Dy cùng vuông góc (P), nên (BDMN) L(P)

Do AC L DB =AC 1 (DBMN) KẻOK LMN

= AK LMN, CK LMN (đi ba đường vuông góc)

= ÄKE là góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (CMN)

Trong AMON vuông tại O, ta có OK là đường cao

OK =OA =OC >AAKC vuông tại K

Ví dụ 8: (TS:A-2003) Cho hình hộp chử nhật

ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

(A'BD) | (MBD)

\Vidu 7: Trong mặt phăng (P) cho hình vuông ABCD

canh a Hai nữa đường thăng Bx và Dy vuông góc với (P)

Iva ở về cùng một phía với (P) M và N là hai điểm di

động tương ứng trên Bx, Dy Đặt BM = u và DN = v

1) Tìm môi liên hệ giữa u và v dé (MAC) | (NAC)

Giả sử AC¬BD =O = MO L AC;NO L AC

Vi (MAC) ¬(NAC) =AC

= A'OM là góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD)

=(A'ED) I(MBD)©A'OM=9ƒ ©A'Ơ +OMỆ =A'MỆ @)

Ta có: A'O =A'B)-BƠ? =a? +bẺ 1#] =b2+ = @)

Am =MC’ +0C “TG ¬-: (3)

Bién sogn: Nguyén Dic Thing — THPT Nguyén Van Linh — Ninh Thuan 13

A'M? =A'C? +C'M? = 2a? = (4)

Bài 1 Cho hình chớp S.ABCD có SA _L đáy và SA =a,

đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a,

BC =2a Ngoài ra SC L BD

a) Chứng minh tam giác SBC vuông

Đ) Tính theo a độ dai doan AD

€) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với

0<x<a Tinh độ dài đường cao DE của tam giác BDM

theo a và x Xác định x đề DE lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 2 Cho hình chop S.ABC co SA | day va SA = 2a,

tam giéc ABC vuéng tai C véi AB = 2a, BAC =30°

Gọi M là một điêm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu

của S trên BM

a) Chứng minh AH | BM

b) Dat AM =x, voi 0<x <3 Tinh khoảng cách từ S

tới BM theo a va x Tim x dé khoảng cách này là lớn

nhật, nhỏ nhật

Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD

Trên đường thắng vuông góc với mp(ABC) tai A lay

điểm S sao cho SA= a-/2 Gọi E, F là trung điểmSB,SC

a) Chứng minh BC L (SAD)

b) Tinh diện tích của tam giác AEF

Bài 4 Cho hình lăng trụ ABC.A'B°C' có đáy là tam giác

đều cạnh a cạnh bên AA' = a và vuông góc với đáy

a) Goi I là trung điểm của BC Chứng minh AI | BC’

b) GoiM 1a trung điểm của BB'.Chứng minh AM L BC?

©) Gọi K là một điểm trên đoạn A”B' sao cho KB’ = ‘

va J 1a trung điểm của B°C° Chứng minh AM L (MK))

Bai 5, Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang

vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a Biết AB = a, SA

= a2 và SA | đáy

a) Chứng minh (SAC) | (SDC)

b) Dựng thiết điện của hình chớp khi cắt bởi mp(P) chứa

AB và vuông góc với mp(SDC) Tính diện tích thiết điện

theo a

Bài 6 Cho tứ điện ABCD có AB = BC =a,AC = b,

DB=DC=x,AD= y.Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,x.y đẻ:

a) (ABC) | (BCD) : _b) (ABC) L (ACD)

Bai 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh

a, SA _L đáy Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh BC,

CD sao cho BM = x, DN = y Tìm hệ thức liên hệ giữa a,

x va y dé (SAM) | (SMN)

Bai 8 Cho hinh chop S.ABCD, day 1a hình vuông tâmO

„cạnh a, SA _L đáy va SA = a¥2 Goi M la mét diém

thuộc đoạn AO sao cho AM = x, 0<x< 2,

a) Gọi H là hình chiếu của M trên (SBC) Tính MH

b) MpŒ@).L AC tại M cắt hình chớp theo một đa giác Trình bày cách dựng thiết diện này

©) Tìm x đề diện tích đa giác lớn nhất

Bai 9 Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A

a) Chứng minh (SAC) L (SAB)

b) Lay điểm M thuộc đoạn AB sao cho BM = x,

0<x<a QuaM dựng mp(Q) song song với AC và

SB.Tính điện tích thiết điện của (Q) với hình chóp

Tìm x đề điện tích này lớn nhất

Bai 10*:(DH-A2007) Cho hình chóp tam giác S.ABCD

có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mat phăng vuông góc với đáy Gọi M, N,P là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP

II - XÁC ĐỊNH GÓC

|LÁNĐÈ1: Xác định góc gita hai đường thẳng

Piurơng pháp: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong

không gian là góc giữa hai đường thăng a' và b' cùng đi qua một điêm bât kì lân lượt song song với cả a và b ( có

thê a = a' hoặc b=b)

@ Cuýý: *a//bhoặca=b thì góc giữa a và b là 0°

*a Lb thì gốc giữa a và b là 90°

Vidu 1: Cho hinh chop S.ABC co SA = SB = SC =a va

lcác tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S Gọi M là

trung điêm BC Tính góc giữa AB và SM

Goi D 1a trung diém AC

=MD là đường trung binh AABC =MD // AB Gọi ơ góc giữa AB và SM => a=SMD

ASAC vuông cân tại S có SD là trung tuyên

> sD=5AC=3 SASF “Vere 8

Tuong tr trong A SBC: SM =

Bién sogn: Nguyén Dic Thing — THPT Nguyén Van Linh — Ninh Thuan 14

MD là đường trung bình AABC

Yí dụ 2: (ĐHB - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình vuông cạnh 2a,,SA =a,SB=av3 và mp(SAB)

vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm của AB,

BC.Xác định chân đường cao hình chóp A.ABCD.Tính

cosin góc giữa 2 đường thăng SM và DN

N ic

Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH | (ABCD)

=> SH la đường cao của hình chóp S.BMDN

Ta có: SA? + SB= a? + 3a? = AB?—ASAB vuông tại S

=SM= 5aB =a=ASAM đều =sH- ST

KéME // DN (Ee AD) =AE=$

Dat ø là góc giữa SMvàDN =SME=o

Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SA L AE

Ap dung dinh ly césin trong ASME

=p _ SM’ + ME? -SE? 5

cosọ =cosSME =———————————~ = »Š

® BAI TAP TULUYEN

Bài 1 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh

băng a, 84D =60°, 844'= D44'=120)

a) Tinh góc giữa các cặp đường thăng AB với A”D và

AC' với B'D

b) Tính diện tích các hinh A’B’CD và ACC’A’

©) Tính góc giữa đường thăng AC” và các đường,

thang AB, AD, AA’

Bài 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có

AB=a.BC=bvà AA'=c ©

a) Tính góc giữa hai đường thăng AD' và BC

b) Tính góc giữa hai đường thing AB va A’C

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC =a và

các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S Gọi M là

trung điểm BC Tính góc giữa AC va SM

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có tắt cả các cạnh đều bằng| a, đáy là hình vuông Gọi N là trung điêm SB

Tính góc giữa AN và CN, AN và SD

Bài 5 Cho tứ điện ABCD có các tam giác ABD và

DBC là các tam giác đều cạnh a Cho AD = a2

a) Chứng minh AD | BC

b) Tính góc giữa hai đường thăng AB và CD

Bài 6*:` (@ĐH—B2002) Cho hình lập phương

ABCD.A'B'C”D' có cạnh bằng a

a) Tính theo a khoảng cách giữa đường thăng A'B và B'D

b) Gợi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA', CD,

;D' Tính góc giữa hai đường thăng MP và CN

: (@H-A2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ

đài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB=a, AC=a-/3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A” trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thê

tích khối chớp A'.ABC và tính cosin góc giữa hai đường

thang AA’ va B’C’

[VAN DE 2: Xác định góc giữa đường thẳng a va mp(P) |

> Cl:

>_ C2: Là góc giữa a và đường thăng b với b // (P)

> C3: t, #0,y„) Z Ú.ta CỔ:

góc giữa a và hình chiếu aˆ của a trên (P)

sin (a,(P)) = eos (u,.7%)

Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 1a

hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,SA=a-J2'

* Chứng minh ASC vuông :

Ta có: BC L AB (Hai cạnh kê của hình vuôngABCD)

BC 1 SA(vi S41 (ABCD) )

=> BC (SAB), ma SB <(SAB)=> BC 1 SB

> ASZC vuông tại B

s* Do ĐC L (S48) tại B nên hình chiếu của C lên

s* Trong ASAB vuông tại A, ta có :

SB= SA? + AB = ylev2) +a? =ay3

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a, SA = a4 và vuông góc với đáy

a) Tính góc giữa BS và CD

b) Tính góc giữa SC và (ABCD)

c)Tinh goc gitta SC va (SAB), SB va (SAC), AC va

(SBC)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với

day, day ABCD 1a hình thang vuông tai A, hai đáy là

AD =2a, BC =a Biế SA =2a, AB =a

a) Chứng minh SCD là tam giác vuông

b) Tính góc giữa SD và (SAC)

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh

đáy bằng a, tam O Gọi M, N là trung điền của SA,

BC Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60”

a) Tinh MN va SO

b) Tính góc giữa MN và (SBD)

Bài 4 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A"B°C” có đáy là

tam giác đều cạnh a Biế BC’ hop với mp(ABB’A’)

góc 30°

a) Tinh AA’

b) Gọi M, N là trung điểm của AC va BB’ Tính góc

giữa MN và mp(BA"C))

Bài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'BC' có đáy

ABC là tam giác vuông cân tại A Gọi M, N là trung

điểm của AB và BC” Biết MN =a va MN hop voi

- Vi SAB là tam giác đều — SH L AB

Do (SAB) L (ABCD), (SAB) ¬(ABCD) = AB

=SH l (ABCD) =SH LAD ()

- Vì ABCD là hình vuông— AB L AD (2)

- Tw (1) va(2) > AD 1 (SAB)

Ma AD C(SAD) Vay (SAD) L (SAB)

* Lập luận tương tự ta có (SBC) | (SAB)

Vi tam giác SAB đều nên góc ASB = 60°

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60° c)Vi ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của

[VAN DE 3: Goc gitra hai mat phăng (P) và mp(Q)

Vi du 2: Cho hinh chop S ABCD cé đáy là hình chữ

inhat tam O, AB = a, BC = 2a vaSO 1 (ABCD) Dat

SO =h Goi M, N lan lượt là trung điểm của AB và CD

la) Tính góc giữa mặt phăng (SMN) với các mặt phang

(SAB) và (SCD).Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a đê (SMN) L (SAB), (SMN) L SCD)

Ib) Tính góc giữa 2 mat phang (SAB) va (SCD) Tinh

theo a đề 2 mặt phăng đó vuông góc

i+ Xác định giao tuyến Acta (P) va (Q)

+ Xác định hai đường thăng a < (P) va bc (Q) sao

cho a.L A và b.LA

+ Khi đó giữa (P) và(Q) là góc giữa a và b

> C2:La sóc giữa hai đường thăng a va b với a L(P)

[Ví du 1: Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong

khong gian sao cho SAB là tam giác đều và mặt phẳng

(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

la)CMR: (SAB) L (SAD), (SAB) | (SBC)

Ib)Tính góc giữa 2 mat phang (SAD) và (SBC)

c)Goi H va I lan lượt lần lượt là trung điểm của AB và

IBC Chứng minh rang (SHC) | (SDI)

*TacoSO 1 (ABCD) =SO1 AB

* Căn cứ vào kết quả trên ta thây với h tuỳ ý ta luôn có|

mặt phăng (SMN) vuông góc với 2 mat phang (SAB) val

- X& ASMN: MN?= SM? + SN?—2 SM.SN.cos 9

© 4a*>=2( + a?)~ 2(h*+ a”).cos ø

Vi du 3: Cho lập phuong ABCD.A’B’C’D’cé canh

băng a.Tính góc mp(A”BC) và mp(A"DC)

Giải:

* Xác định góc giữa 2 mặt phang (A’BC) va (A'DC):

'Vì ABCD.A'B°C'D' là hình lập phương nên

Vi(A’BC) A(4'DC) = 4'C nén gocgitta mp(A’BC) và

mp(A°DC) là góc giữa 2 đường thăng BH và DH

Do vậy nếu gọi Z là góc giữa 2 mặt phẳng (A'BC) và (A'DC), ø là góc BHD thì

Vậy góc giữ 2 mặt phăng (A”BC) va (A’DC) bang 60°

Vĩ dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân

tại đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) va (SAC) cing †ạO Với

Imặt phẳng đáy góc 60” Tính côsin của góc giữa hai mặt

*Gọi H là trung diém BC , ching minh SH 1 (ABC)

*Xac dinh dung goc gitta hai mat phang (SAB) (SAC)

với mặt đáy là SEH=SFH=60° -

*Kẻ HK 1 SB , lap luận suy ra góc giữa hai mặt phăng

(SAB) va (SBC) bang HKA

a) Tính góc giữa hai mp(SAD) và (SBC)

b) Tính góc giữa hai mp(SCD) và (SBC)

Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cé day

là tam giác đều cạnh a, AA' = a Tính góc giữa hai

với đáy Goi M là trung điềm của AB Tính góc giữa

hai mp(SCM) và (ABC)

Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

vuông đỉnh B, AB =a, BC = ax/3, SA = 2a và vuông

góc với đáy Gọi M là trung điểm của AB

a) Tính góc giữa hai mp(ABC) và (SBC)

b) Tính góc giữa hai mp(SCM) và (ABC)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD =

> day 1a hinh thoi canh a va 4= 60°

a) Chứng minh (SAC) | (ABCD) va SB _L BC

b) Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)

Bài 6°: (DỰ BỊ2-A:2002)Cho tam giác vuông can ABC

có

cạnh huyền BC = z Trên đường thăng vuông góc với

mặt phẳng ( 48C) tại điểm 44 lầy điểm Š sao cho góc giữa

hai mặt phăng ( 48C) va (SBC) bang 60° Tinh độ dài đoạn|

thang S4 theo a

Bài 7*: (DỰ BỊ 2-B:2002)Cho tứ dign OABC cé ba cạnh

đôi một vuông góc với nhau Gọi ø, /, 7 lần lượt là các

góc giữa mặt phăng (ABC) với các mặt phăng

(OBC),(OCA),(SAB)

Chứng minh rằng cosa + cos# + cosy < *

Bài 8*: (DỰ BỊ 2-A:2003) Cho lăng trụ đứng 4BC.4BC

có đáy là tam giác can voi AB= AC= a và góc

BAC =120° cạnh bên 8B'= a Gọi là trung điểm của

CC’ Chứng minh rằng, tam giác 78⁄4 vuông ở 4 Tính

cosin của góc giữa hai mặt phăng (ABC) và (487)

=AH LSB, AH 1 BC(viBC 1 (SAB)

=> AH | (SBC)>h=AH Trong tam giác vuông SAB., AH là đường cao

1: + Xác định chân đường vuông góc của điêm đã cho

+ Tính khoảng cách là độ dài đoạn nối điêm với hình chiêu

C2: Thông qua công thức thẻ tích đề tinh khoảng cách từ một

điêm đến một mặt phẳng (Xem phần thể tích)

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

Khoảng cách giữa đường đến mặt phẳng song song với

no; khoang cách giữa hai mặt phăng song song đều được

quy về bài toán 1

Vĩ dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, SA=a-/2 và SA | mp(ABCD)

la) Chứng minh đường thắng BC vuông góc với mặt

Iphăng (SAB) và tam giác SCD vuông

Ib) Tinh khoảng cách giữa đường thing AD va mặt phẳng

(SBC)

Iphăng (BCD)

Giải

Ta thay BC’ = AC?+ AB?

=> AABC vuông tại A

KẻAMIBC(MeBC) (1) KẻAHILDM(HeDM) @)

|Vĩ dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA= 3a,

SA L(ABC).Giả sử AB = BC = 2a; ABC =120°.Tìm

Ikhoảng cách từ A đến mặt phăng (SBC)

a) Tacó SA L(ABCD) >BC 1SA

Mà ABCD là hình vuông nên BC L AB

=BC | (SAB)

Tuong ty CD 1 (SAD) => CD LSD = Tam giác SCD vuông tai D HD:

Kê AH LBC= SH L BC (Định lý ba đường vuông góc)

Ta lại có: BC L(SAH) = (SBC) L(SAH)

Do (SBC) ¬(SAH) = AH nên nếu kẻ AK | SH (KeSH)

thi AK | (SBC) = d(A,(SBC) = AK

Bién sogn: Nguyén Dic Thing — THPT Nguyén Van Linh — Ninh Thuan 18

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCcó đầy, ABC là tam giác

vuông tai B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với

đáy và SA = 2a Xác định và tính độ dài đường vuông

|góc chung của hai đường thăng AB và SC

Khi đó MN là đường vuông góc chung

Đặc biế: Nếu a L b thì ta có thể đựng đoạn vuông góc

chung như sau:

Dựng mp() chứa b và vuông góc với a

Goi M Ia giao của a và (P)

Trong (P) dựng MN vuông góc b

Khi đó MN là đoạn vuông

góc chung của a và b

Ví đụ 1: Cho tứ điện đều ABCD cạnh a =22 cm Hãy

Ixác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai

lđường thăng AB và CD

Gọi M và N tương ứng là _các trung điểm của CD và AB

Vì AABC đều , AABD đều nên ta có:

CN LAB vàDN LAB = AB | (NCD) > MN LAB

Goi M va N lần lượt là trung điểm của SC và AB

Ta có: MÃ=MB= SCE>AAMB cân>MN LAB (1)

Ta cé ASAB = ACBA=> SN =CN => MN LSC @)

Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của AB và SC

Ta có SC = SA” + AC? = SA’ + AB + BC” = .= 9a”

=SC=3a= MA = 2

Do dé: MN=~/MA? - AN? = 2 4728

Vi du 3*:(TS:B-2002) Cho lập nương ARCD A'B'CD'

co canh bang a Tìm khoảng cách giữa hai đường thing

|A;B va B,D

Ta cd: AB; LAB (vi BAA;B; đi hình vuông)

BA¡ LAD(vì AD L(BAA¡B,)

=> BA, L(B,AD) > BA; LB;D @)

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng - THPT Nguyên Văn Linh — Ninh Thuận 19

Ta cé: DD; LAiC; (viDD; 1(A:B:C:D,))

B,D; LA;C; (vi A;BiC;D, là hình vuông)

=> AC; LBDD)) > AC, LBD @)

Từ (1) và (2) suy ra B.D L(A¡BC¡} @)

Gọi H là giao điểm của AB¡ và BA:

Trong mp(B;A:DC;), gọi G là giao cia HC, va B,D

EF LSB

Ta có: EF LSB>ES =EB< ASAE = ABCE

©BC=SA=a

Vậy C là giao của hai đường tròn: Đường tròn đường

kính AB( đã cho) và đường tròn tâm B bán kính a

Vì a < 2R nên tỏn tại 2 giao điểm như vậy

4 Van dé 3: Tim khoang cách giữa hai đừng thẳng

Vidu 4*: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, SA = h và SA vuông góc với đáy.Dựng và

Itính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thăng

song song d(a,b) = d(a,(P))

(Với mp(P)chứa b và (P) // a)

® PP2: Xác định độ dài đoạn

vuông góc chung đ(a,b) = IJ

© PP3: Quy vẻ khoảng cách giữa hai mặt phăng song song

đ(a,b) = d(),(Q))

(mp(P) chứa b, mp(Q) chứa ava (P) // (Ó)))

Vi du 1:(TS:B-2007) Cho hinh chép tit giac đều SABCD

ang a Goi E la diém đối xứng của D qua trung điểm SA.Gọi M, ÁN tương ứng là trung điềm AE và

IBC.Tìm khoảng cách giữa hai đường thăng MN và AC

Ví dụ 5: Cho đường tròn đường kính AB = 2R trong

ig (P) Biết C là điểm chạy trên đường tròn Trên

đường thang đi qua A và vuông góc (P) lay điểm S sao

cho SA =a <2R Goi E và F lần lượt là trung điển AC

và SB Xác định vị trí của C dé EF là đường vuông góc

Gọi P là trung điểm AB Khi đó MP // EB a

Ta co: SE // DA va SE=DA= SE// BC, ma SE= BC

=> SEBC là hình bình hành — EB // SC 2)

Từ (1) và (2) suy ra MP // SC

Lại có PN //AC — (MPN) //(SAC) @)

Từ (3) suy ra:

d(MN, AC) = d(MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) (4)

d(H(SAQ) = OH = _= aay?

Bién sogn: Nguyén Dic Thing — THPT Nguyén Van Linh — Ninh Thuan 20

wh

Vay d(MN, AC) ==

Vi du 2:(TS:A-2006) “ho lập phương ABCD.ABCD'

cạnh bang 1 Gọi M, N lân lượt là trung điểm của AB va

ICD.Tính khoảng cách giữa hai đường thăng A'C và MN

=d(MN AC) = dMN.(ABC)) = d(M,(ABC) (1)

Ta có: AIL AB (vớiI= AB ¬A)

Ví dụ 3 : Cho lăng, trụ ‘am giác ABC.A;B¡C) có tất cả các

canh bang a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phang day bằng

30 Hình chiến H của điềm A trên mặt phang (AiB¡C¡)

thuộc đường thăng BịC¡ Tính khoảng cách giữa hai

\dwong thang AA, va B,C; theo a

Do 4ƒ Ì (4,,C,) nên góc ⁄447 là góc giữa AA; và

(A:B:C)), theo gia thiét thi géc 44,77 bang 30° Xét tam

giac vung AHA: c6 AA1 =a, goc AAH=30°

ax3

>AH= > Do tam giác A;B¡C; là tam giác đều

a3

cạnh a, Hthuộc B¡C¡ và 44 = ¬ niên A;H vuông

goc voi BiC; Mat khac 4H 1 B,C, nén

B,C, 1 (44,4)

Kẻ đường cao HK của tam giác AA;H thi HK chinh 1a

khoảng cách giữa AA; và B¡C;

A.H.AH

Ta có AAi.HK = AiH.AH > HK = 17" = avs

Vidu 4:(TS:B-2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCDcó

đáy là hình thoi: cạnh AB = ^5,đường chéo AC =4,

SO =22x/2 và SO vuông góc với đáy (ABCD) với O là

giao diém AC va BD Gọi M là trung điểm SC Tính

Vi BO L(OMC) = (BOM) | (OMC)

Vidu 5:(TS:D-2008) Cho lang tru dimg ABC.A'B'C'

đáy là tam giác vuông có BA = BC =a Tính khoảng cách giữa hai đường thăng AM và B'C

Giải

Gọi E là trung điểm BB' Ta có EM // RC—>BC //(AEM)

=á(AM.BC) =d(B'C(AME)) =đ(C(AME)) =đ(B,(AME))

(Vì MB =MC)

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng - THPT Nguyên Văn Linh — Ninh Thuận 21

Do AABC wuéngtaiB,nén Á' c

tứ diện B.AEM có BA, BM,

BE đôi một vuông góc với

nhau Gọi BH là đường cao

lsong song với nó — khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Isong song- Khoảng cách giữa hai đường thang song

song

Bài 1 Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A

có BC =2a, 4CB =60° Dựng hai đoạn BB' = a, CC?

= 2a cùng vuông góc với mp(P) và ở cùng một bên

với (P) Tính khoảng cách từ:

a)C đến mp(ABB’)

b) Trung điểm B'C đến mp(ACC')

c) B’ den mp(ABC’)

d) Trung diém BC dén mp(AB’C’)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều

cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy Gọi M, N, P

là trung điễm của AB, SA, AC

a) Chứng minh (MNP)//(SBC)

b) Tính khoảng cách giữa hai mp@MNP) va (SBC)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang

vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a và vuông,

góc với đáy Ngoài ra, còn có SC L BD

a) Chứng minh tam giác SBC vuông

b) Tính độ đài AD

c) Goi M là điểm trên SA sao cho AM = X(0 < x <a)

Tính khoảng cách từ D đến BM theo a vax Timx dé

khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

tâm O, cạnh a, SA _L đáy và SA = ax/3

a) Gọi I là trung diém ca SD CM: AI 1 (SCD)

a) Tinh khoảng cách từ trọng tâm ASBC đến

mp(ABCD)

Bài 6*: Cho hình chop S.ABCD, day ABCD 1a hinh|

vuông

vuông cạnh a: SA =a vuông góc với đáy; E là trung điểm|

cạnh CD Tính khoảng cách từ S đến đường thăng BE

Bài 7*: (DỰ BỊ 1-B:2002)Cho hình chóp SABCD có đáy

là hình vuông cạnh a, SAvuông góc với mặt phăng

(ABCD) và SA = ¡ E là trung điểm của cạnh CD.Tính

theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE

Bai 8*: (DỰ BỊ 2-D:2002) Cho hình chóp SABC có đáy

ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SAvuông góc với mặt phăng đáy Tính khoảng cách từ điêm A tới mặt phẳng (SBC) theo a,biét ring S4 = sẽ

Bài 9*: (DỰ BỊ 1-B:2003) Cho hình lập phương

'CT' Tìm điêm M thuộc cạnh AA' sao cho

mặt phẳng (BDM ) cắt hình lập phương theo một thiết

diện có diện tích nhỏ nhất

Bài 10*: (DỰ BỊ 1-D:2003) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và , AB= a, BC=2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a.Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh rằng, tam giác AMB cân tại M

và tính điện tích tam giác AMB theo a

Bài 11*: (DỰ BỊ2-D:2003) Cho tứ diện ABCD có AD

vuông góc với mặt phăng (ABC)và tam giác ABC vuông

tai A AD =a, AC= b, AB =c Tinh diện tích S của tam

giác BCD theo a, b, c và chứng minh 2S > /abc(a + b+c)

Bài 12": (DỰ BỊ 1-B:2004) Cho hình chóp S.ABC có

SA= 3a và vuông góc với đáy ABC, tam giác ABC có

AB= BC =2a góc ở B bằng 120° Tính khoảng cách từ A đến mặt phăng (SBC)

Bài 13": (DỰ BỊ2-D:2004) Cho hình vuông ABCD có

cạnh AB =a Trên các nửa đường thắng Ax, By vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và năm ve cùng một phía đối voi mat phẳng ( ABCD) , lần lượt lầy các điểm M, N sao cho tam giác MNC vuông tại M ĐặtAME=m, BN=

n.Chứng minh rằng m(n - m) = a”, và tìm giá trị nhỏ nhất

của diện tích hình thang ABNM

Bài 14”: Cho SABC là 1 tứ điện có ABC là l tam giác

vuông cân định B và AC =2a, cạnh SA L mp(48C) và

b) Tính d(A,(SBC))

Bài 16”: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông S4.L (4BCD)., SA=a-j6.H là hình chiều của A

lên SD

a) Chứng minh : AH | (SBC)

b) Goi O 1a giao diém cia AC va BD Tinh d[0,(SBC)] Bài 18*: ĐH —A2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC Tính theo a điện tích

tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với

mp(SBC)

Bài 19”: (ĐH -D2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD

vuông góc với mặt phang (ABC); AC = AD = 4cm, AB =

3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD)

Bài 20*: (ĐH-D2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy lài

hình thang, ABC=BAD=90”

BA = BC =a, AD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA]

=a^ƒ2 Gợi H là hình chiếu cuông góc của A trên SB

Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng

cách từ H tới mặt phăng (SCD)

[a Khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau.|

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

canh a, SA = SB = SC = SD = a-/2 Gọi I, K là trung

điêm của AD, BC

a) Chứng minh (SIK) | (SBC)

b) Tinh khoảng cách giữa 2 đường thing SB va AD

Bai 2 Cho hình chớp S.ABCD có đáy là hình chữ

nhật, AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hinh chop bang

nhau và bằng a-/2

a) Tính chiều cao của hình chớp -

b) Gọi E, F là trung điểm của AB, CD; K là điểm bát

kì thuộc AD Chứng minh khoảng cách giữa hai

đường thăng EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của

K, hãy tính khoảng cách đó theo a

Bài 3 Cho hình vuông ABCD cạnh a, [ là trung điểm

AB Dung IS | (ABCD) sao cho $7 = = Gọi M,

N, P là trung điểm của BC, SD, SB Hay dựng và tính

độ đài đoạn vuông góc chung của các cặp đường

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a, tâm O Gọi H là trung điêm của AD,

SH | đáy, SAD là tam giác đều

a) Chứng minh (S4D) | (ABCD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của

hai đường thăng SH và BC

c) Goi M,N, K là trung điêm của SA, SC, AB Xác

định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp

đường thăng sau:+) MN và BD +) DM và NK

Bài 6*: (DỰ BỊ 1-D:2002) Cho hình tứ điện đều ABCD

có cạnh a = 6/2 Hãy xác định độ đài đoạn vuông góc

chung của hai đường thăng AD và BC

Bài 7*: (ĐH-B2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi D là điểm đồi

xứng của D qua trung điểm của SA, M, N là trung điểm của AE và BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thăng MN và

AC

@ BAI TAP TONG GOP VE QUAN HE

VUONG GOC- CO LOI GIAI

IBài 1 Cho hình chớp S.ABCD cé day ABCD là

hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a-/2 la)Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam

tam giác vuông

s* Taco: SA 1L (ABCD)= SA L AD,SA L AB

= ASAD,ASAB vuông tại A

s Chứng minh ASBC vuông :

` Chứng minh ASZC vuông :

Ta có : BC L AB ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD)

BC LSA (vì SA L(ABCD) )

=BC I (SAB) mà SB =(SAB) = BC LSB

= ASBCvuông tại B

` Chứng minh ASCD vuông :

Ta có: CD L AD (Hai cạnh kê của hình vuông ABCD)

CD 1 SA (Vì SA L(ABCD) )

=CD L(SAD) mà SD c (SAD)—= CD 1 SD

= ASCD vuông tại D

b) CMR (SAC) L (SBD) :

BD L AC (Hai đường chéo của hình vuông ABCD )

BD LSA (Vi SA L(ABCD) )