Tuyển tập các đề thi hsg toan 9 cấp tỉnh lớp 9 năm 2022 2023 các tỉnh

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A B , sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 0, 4cm2O là gốc tọa độ, đơn vị đo trên

Trang 1

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Tỉnh Hà Tĩnh

• Giáo viên góp đề: Nguyễn Dương Quang Minh

• Giáo viên góp đề: Nguyễn Duy Hoàng

• Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện

I.PHẦN GHI KẾT QUẢ:

Câu 1 Cho x = +2 5 Tính giá trị biểu thức P=5x5−18x4−10x3−13x2+3x+4

Câu 4 Tìm số tự nhiên n để B n= 2+4n 2013+ là số chính phương

Câu 5. Gọi M là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng y=(m 2 x m 5+ ) + − với

m là tham số Khi OM đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của m bằng bao nhiêu?

Câu 6 Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn a3−a b2 +ab2−6b3 =0 Tính giá trị của biều thức

4 4

4P

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A có 4AB 3AC, BC 25= = Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam

giác ABC sao cho D thuộc cạnh AB , E thuộc cạnh AC , F và G thuộc cạnh BC Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật DEFG

Câu 9 Cho ,a b không âm thỏa mãn 2a+b≤4, 2a+3b≤6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P a= 2−2a b−

Câu 10 Giải phương trình 3x +2 33 3 x 2x 7+ = +

II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày Lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11 Giải hệ phương trình

2 2

2

21

Trang 2

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 12 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R= Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (

M khác A, B ), các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn ( )O cắt nhau tại K Gọi E và giao điềm của AM và OK Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N

a) Tính BM AN theo R

b) Vẽ MH vuông góc với AB tại H Gọi F là giao điềm của BK và MH Chứng minh rằng

EF song song với AB và BH.OK OE AB= ⋅

Câu 13 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x3+y3+z3 =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

xy yz zx x y zP

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

• Giáo viên góp đề: Nguyễn Dương Quang Minh

• Giáo viên góp đề: Nguyễn Duy Hoàng

Câu 3 Tính giá trị của biểu thức

Trang 4

Câu 5. Gọi M là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng y=(m 2 x m 5+ ) + − với

m là tham số Khi OM đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của m bằng bao nhiêu?

Trang 5

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A có 4AB 3AC, BC 25= = Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam

giác ABC sao cho D thuộc cạnh AB , E thuộc cạnh AC , F và G thuộc cạnh BC Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật DEFG

A

H

x A

Trang 6

Vậy tập nghiệm phương trình S ={1;4;64}

II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày Lời giải vào tờ giấy thi)

Trang 7

Câu 11 Giải hệ phương trình

2 2

2

21

Câu 12 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn (

M khác , A B ), các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn ( )O cắt nhau tại K Gọi E là giao điểm của AM và OK Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N .

a) Tính BM AN

Trang 8

b) Vẽ MH vuông góc với AB tại H Gọi F là giao điểm của BK và MH Chứng minh rằng

EF song song với AB và BH OK. =OE AB.

Gọi P là giao điểm của đường thẳng BM và đường thẳng AK

Ta có AMP∆ vuông tại M , có KA KM= nên KA KM= =KP

Áp dụng hệ quả định lí Thales, ta có FM BF FH FM FH (2)

Từ (1), (2) suy ra EF là đường trung bình AHM∆ nên EF AB//

Mặt khác OK cũng là đường trung bình của ABP∆ nên OK BP//

Ta có ABM =AOK và AMB=OAK =90° BM BA

Trang 9

Trang 10

Tỉnh Khánh Hòa

• Giáo viên góp đề: Nguyễn Bá Vinh + 0384 93 77 30

• Giáo viên góp đề: Đặng Mai Quốc Khánh + 0905712246

2. Cho hình vuông ACD có tâm O Điểm E thay đổi trên cạnh BC ( E khác B và C ) Gọi F

là giao điểm của tia AE và đường thẳng CD , gọi H là giao điểm của OE và BF

Trang 11

• Giáo viên góp đề: Nguyễn Bá Vinh + 0384 93 77 30

• Giáo viên góp đề: Đặng Mai Quốc Khánh + 0905712246

Trang 12

Theo giả thiết:

Vì (3 – a) và (4 – a) là hai số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 2

⇒ Vế phải của (*) chia hết cho 2 , nhưng vế trái không chia hết cho 2 (Vô lý)

⇒ Điều giả sử sai

Vậy f x( )–12 không có nghiệm nguyên

Trang 13

Vì , ,a b c có vai trò bình đẳng nên không mất tính tổng quát, giả sử 5a⋮ a=5 (vì a∈P) Khi đó: 5 .b c=5 5( + +b c)⇔ + + =5 b c b c ⇔b c b c − − + =1 6

Trang 14

2. Cho ,a b là hai số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn điều kiện a+ ≤b 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

−

+

+ Với 2 x 2− ≤ ≤ thì VT của (**) luôn dương nên (**) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2;2

4≥a+b≥2 ab ab≤4 ( )4

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra

Trang 15

2 2 3

3 3

2 4

a b B

2. Cho hình vuông ACD có tâm O Điểm E thay đổi trên cạnh BC ( E khác B và C ) Gọi F

là giao điểm của tia AE và đường thẳng CD , gọi H là giao điểm của OE và BF

Trang 16

I

Trang 17

H O

F C

B A

D

E

Trang 18

Gọi H’ là chân đường vuông góc hạ từ C xuống BF

Ta có: BH BF’ =BO BD = BC2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Qua H kẻ đường vuông góc xuông AD cắt AD, BC lần lượt tại P và Q

Gọi M là trung điểm của BC

Giả sử độ dài 4 cạnh của tứ giác là a b c d a b c d ∈ ℕ, , , ,( , , *)và không có 2 cạnh nào bằng

nhau Không mất tính tổng quát, giả sử: a>b>c>d

Trang 19

Vậy tứ giác đó phải có ít nhất hai cạnh bằng nhau (đpcm)

Cách 2:

Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a b c d a b c d ∈ ℕ, , , , , , ( *)

Giả sử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau

Không mất tính tổng quát, giả sử a>b>c>d (*)

Do tứ giác lồi nên a<b c+ +d  < + + <a b c d 3a

Trang 20

ĐỖ VĂN LINH TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Rút gọn biểu thức P và tính giá trị của biểu thức P khi x = 13 6 2 + + 9 4 2 +

2) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d y : = ( m2+ 1 ) x − m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A B ,

sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 0, 4cm2(O là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục là

1)Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AP BM CN, , cắt nhau tại trọng tâm G , BM

vuông góc với CN.AH là đường cao của tam giác ABC ,GK vuông góc BC K( ∈BC)

b) Gọi Klà trung điểm của AB M , là giao điểm của KI và AC Đường thẳng chứa đường cao

AH của tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N Chứng minh AM = AN

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a b c , , thỏa mãn a b + + 3 c = 2 Tìm giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức T = ab + ac − 6 bc

-Hết -

9

Học sinh giỏi

Trang 21

HƯỚNG DẪN GIẢI Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện

Rút gọn biểu thức P và tính giá trị của biểu thức P khi x = 13 6 2 + + 9 4 2 +

2) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d y : = ( m2+ 1 ) x − m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A B ,

sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 0, 4cm2(O là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục là

Trang 22

+

2

2 2

1

2 2

Trang 23

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là ( 1,2 , 1, ) 1

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là ( 2,6 , 4,6 , 0, 2 , ) ( ) ( − ) ( − − 2, 2 )

2) Trong bài toán này, ta xét các trường hợp sau

TH1: Nếu p = 2, ta có 2p 2 22 22 8

p

+ = + = là hợp số TH2: Nếu p = 3, ta có 23+32 = +8 9 17= là số nguyên tố

TH3: Nếu p > 3, dễ thấy p không chia hết cho 3 và 2 Ta đặt p =2k+1, khi đó

1)Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AP BM CN, , cắt nhau tại trọng tâm G , BM

vuông góc với CN.AH là đường cao của tam giác ABC ,GK vuông góc BC K ( ∈ BC )

b) Gọi Klà trung điểm của AB M , là giao điểm của KI và AC Đường thẳng chứa đường cao

AH của tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N Chứng minh AM = AN

Lời giải

1)

Trang 24

Ta có GK AH // (Do cùng vuông góc với BC) Theo định lí Thales ta có

A

Trang 25

AIB AES

 = Và EAS = IAB nên ∆ IAB ∼ ∆ EAS

Vì IA là phân giác của ∆ AMKnên AK IK

Trang 26

GV TRẦN THỊ THẢO TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Tỉnh Nghệ An bảng A

• Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện

Câu 1 (3,5 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Cho m, n là các số nguyên Chứng minh rằng mn m( 2−n2) chia hết cho 6

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p q r, , thỏa măn p2+14q2+2r2 =6pqr

Câu 3 (1,5 điểm) Cho các số thực dương x y, thỏa mãn x2−y2 +z2 =xy+3yz+zx

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2 1

(2y z) xy(y 2z)

Câu 4 (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) , đường kính BC 2R= và một điềm A thay đổi trên nửa

đường tròn đó (A không trùng với Bvà C) Vẽ AHvuông góc vớiBCtại H Gọi I, J lần lượt

là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC Đường thẳng IJ cắt AB, AC theo thứ

tự tại M và N

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

b) Gọi P là giao điểm của BI và CJ Chứng minh

1

CA AB AB BC BC CA⋅ + ⋅ + ⋅ = c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác HIJ theo R

Câu 5 (1,5 điểm) Trên một khu đất hình chữ nhật kích thước 100 m 120 m× Người ta muốn xây một

sân bóng nhân tạo có nền đất là hình chữ nhật kích thước 25 m 35 m× và 9 bồn hoa hình tròn đường kính 5 m Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở các vị trí như thế nào thì trên phần đất còn lại luôn tìm được một nền đất kích thước 25 m 35 m× đế xây sân bóng

-Hết -

9

Trang 27

Với mọi số nguyên a, ta có a3−a=a a( −1)(a+1)

Vì a−1, ,a a+1là 3 số nguyên liên tiếp nên a a( −1)(a+1) 6⋮ a3−a⋮6, với mọi số nguyên a

Nếu plẻ  p3+2r2 lẻ và 18(pr −7) chẵn nên không tồn tại p r, thỏa mãn  p=2

Khi p =2, thay trở lại ta có : 2 5

=

+)Với r= 3 p2 +14q2 =18(pq−1)

Nếu p lẻ  p2+14q2và 18(pq −1) chẵn nên không tồn tại p q, thỏa mãn  p=2

Khi  p=2, thay trở lại ta có : 2

Trang 28

Khi x=00y=3 (không thỏa mãn)

Khi x= 1 y=3

Vậy nghiệm của hệ đã cho là ( ; ) (1;3)x y =

Câu 3 (1,5 điểm) Cho các số thực dương x y, thỏa mãn x2−y2 +z2 =xy+3yz+zx

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2 1

Câu 4 (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC 2R= và một điềm A thay đổi trên nửa

đường tròn đó (A không trùng với B và C ) Vẽ AH vuông góc với BC tại H Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC Đường thẳng IJ cắt AB,AC theo thứ tự tại M và N

Trang 29

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

b) Gọi P là giao điểm của BI và CJ Chứng minh

a)Ta có B C 90A = ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH suy ra 2 HA HC

Đồng thời IHJ =AHB 90= °  ∆HIJ#∆HBA (c.g.e)

HIJ HBA MIH MBH 180°

Trang 30

Ta có AP là phân giác của BAC Qua P vẽ đường thẳng vuông góc với AP, cắt AB,AC theo thứ tự tại D và E Suy ra tam giác ADE vuông cân tại A

Gọi K và F theo thứ tụ là giao điêm của Al; AJ với BC Ta có

AFC FAC ACF

BAF HAF BAH

Xét tam giác KAJ có KAJ 45 ; JA JK°

= = (do J nằm trên CJ là trung trưc đoạn AK )

Trang 31

Dấu "=" xảy ra khi A là điểm chính giữa cung BC

Vậy GTLN của chu vi HIJ∆ là R 2, khi A là điểm chinh giữa cung BC

Câu 5 (1,5 điểm) Trên một khu đất hình chữ nhật kích thước 100 m 120 m× Người ta muốn xây một

sân bóng nhân tạo có nền đất là hình chữ nhật kích thước 25 m 35 m× và 9 bồn hoa hình tròn đường kính 5 m Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở các vị trí như thế nào thì trên phần đất còn lại luôn tìm được một nền đất kích thước 25 m 35 m× đế xây sân bóng

Suy ra MNPQ là mảnh đất đủ để xây sân bóng theo yêu cẩu

Như vậy trong phần đất còn lại sau khi xây 9 bồn hoa ta luôn tìm được mành đất có kích thước

25 m 35 m× đế xây sân bóng

Trang 32

Tỉnh Nghệ An bảng B

• Giáo viên góp đề: Đường Lý + 0948523135

• Giáo viên góp đề: Thảo Trần 0989457818

Câu 4 (7,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O, R ) Trên cung BC không chứa điểm

A lấy điểm M bất kỳ ( M không trùng với B và C )

Câu 5 (1,5 điểm) Trên một khu đất hình chữ nhật kích thước 100m× 120m. Người ta muốn xây một

sân bóng nhân tạo có nền đất là hình chữ nhật kích thước 25m × 35m và 9 bồn hoa hình tròn đường kính 5m Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở các vị trí như thế nào thì trên phần đất còn lại luôn tìm được một nền đất kích thước 25m × 35m để xây sân bóng

-Hết -

9

Trang 33

• Giáo viên góp đề: Đường Lý + 0948523135

• Giáo viên góp đề: Thảo Trần 0989457818

2 2

Trang 34

3x 13x 1 2 2x 1

5x9x 14x 5

13

Thay vào (2) ta thấy:

Khi x=0 ⇒0y=3 (không thỏa mãn)

Khi x= ⇒ =1 y 3

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) ( )= 1;3

Câu 3 (1,5 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + 3y + 2z = 3 Tìm giá trị lớn nhất

Câu 4 (7,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O, R ) Trên cung BC không chứa điểm

A lấy điểm M bất kỳ ( M không trùng với B và C )

a) Chứng minh MA = MB + MC

Trang 35

b) Gọi D là giao điểm của AM và BC. Chứng minh MD MD

Trên đoạn AM lấy điểm E sao cho ME = MB,

Ta có: AMB=ACB=600 (cùng chắn cung AB)

Suy ra tam giác MBE là tam giác đều Suy ra MB = BE (1)

Xét tam giác EBA và tam giác MBC có:

MB=BE; AB=AC; BCM=BAE (cùng chắn cung BM)

Trang 36

Lại do AC=AB⇒ MD CD CD

BM=AC=AB (4) Cộng (3) và (4) vế theo vế ta có MD MD BD CD BC AB 1

= ≥ = (do MA≤2R) Dấu “=” xảy ra khi MA=2R⇒MB = MC

Câu 5 (1,5 điểm) Trên một khu đất hình chữ nhật kích thước 100m× 120m. Người ta muốn xây một

sân bóng nhân tạo có nền đất là hình chữ nhật kích thước 25m × 35m và 9 bồn hoa hình tròn đường kính 5m Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở các vị trí như thế nào thì trên phần đất còn lại luôn tìm được một nền đất kích thước 25m × 35m để xây sân bóng

Suy ra MNPQ là mảnh đất đủ để xây sân bóng theo yêu cầu

Như vậy trong phần đất còn lại sau khi xây 9 bồn hoa ta luôn tìm được mảnh đất có kích thước

25m x 35m để xây sân bóng

Tiêu đề	Tuyển tập các đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh lớp 9 năm 2022-2023 các tỉnh
Trường học	Trường Trung học phổ thông Hà Tĩnh
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tập đề thi
Năm xuất bản	2022-2023
Thành phố	Hà Tĩnh

Định dạng
Số trang	73
Dung lượng	2,29 MB