TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THPT CHUYÊN; MÔN TOÁN; CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) docx

Phép sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa trong chuyên đề này chủ yếu đề cập tới một lớp các phương trình chứa căn thức, từ mức độ đơn giản nhất tới các phức tạp nhất, đòi hỏ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LÝ THUYẾT: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1)

-

Phương trình và bất phương trình là một những chuyên đề phong phú, đa dạng, cơ bản nhưng khá hấp dẫn và chứa đựng nhiều thú vị Phép sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa trong chuyên đề này chủ yếu đề cập tới một lớp các phương trình chứa căn thức, từ mức độ đơn giản nhất tới các phức tạp nhất, đòi hỏi tư duy logic, tỉ mỉ và chính xác Tài liệu nhỏ được viết theo trình tự kiến thức tăng dần, phù hợp với các bạn học sinh THCS (lớp 9) ôn thi vào lớp

10 THPT, các bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán các cấp và luyện thi đại học, cao đẳng

KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ

1 Kỹ năng nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử

2 Kỹ năng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích hằng đẳng thức, thêm bớt

3 Sử dụng thành thạo các ký hiệu logic trong phạm vi toán phổ thông

4 Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai

MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

Bài toán 1 Giải phương trình 1 3 2 1

x



Lời giải

1

4

x



4

S    

 

Bài toán 2 Giải bất phương trình 3 4 1

4

x



Lời giải

4

x





Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S 4;

Nhận xét

Hai bài toán trên là những dạng toán cơ bản, phức tạp hóa phương trình chứa ẩn ở mẫu thức bằng cách thay thế x bởi

x Dạng toán này quen thuộc với các bạn học sinh lớp 9 khi được học về biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Trong các bài toán bất phương trình, khi chưa xác định chính xác dấu của mẫu thức lưu ý không được bỏ mẫu thức mà cần chuyển vế và giữ nguyên mẫu thức, sau đó xử lý tiếp tục

Trang 2

Bài tập tương tự

Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực

1,

1

2,

9

3,

x



Bài toán 3 Giải phương trình x x6 x  7 0

Lời giải

Điều kiện x  0

Đặt xt t 0thu được

Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu S  1

Bài toán 4 Giải phương trình x x1 x2 x324

Lời giải

5

y





 



4

t





  



; Do xt t 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S  1

Bài toán 5 Giải phương trình  x1 x4 x22 90x

Lời giải

Xét t  không thỏa mãn phương trình (1) 0

10

u

u t





 



t

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1;16

Trang 3

Nhận xét

Ba bài toán 3, 4, 5 đều là dạng phương trình bậc cao quen thuộc với ẩn xt t 0 Điểm khác biệt là biến t không

âm, do đó xuất hiện nghiệm ngoại lai, cần tính toán cẩn thận và đối chiếu nghiệm Về các dạng phương trình bậc cao, mời các bạn tìm đọc Sở chỉ huy trung đoàn 1, 2 – Sư đoàn 5, Quân đoàn bộ binh

Bài toán tương tự

Giải các phương trình sau trên tập hợp số thực

2

2,

6

9

x

Bài toán 6 Giải phương trình 2x 1 x 1

Lời giải

2

x   Phương trình đã cho tương đương với

1

4 0

4

x

x x

x





 





2

x   )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  4

Bài toán 7 Giải phương trình 2

2 x 2x6 x 5

Lời giải

Điều kiện x   Phương trình đã cho tương đương với

5

1

3 3

x

 









 







3

S   

Nhận xét

Hai bài toán 6 và 7 là dạng toán cơ bản của phương trình chứa căn thức (bậc hai) Các bạn chú ý đặt điều kiện cho ẩn (kể cả khi biểu thức trong căn bậc hai luôn luôn không âm) Dễ thấy một vế luôn không âm, do đó phương trình nếu có nghiệm thì vế phải không âm, đó là nguyên do phương trình luôn tương đương với một hệ điều kiện như trên

Dạng tổng quát: Phương trình f x g x   

Điều kiện f x  Khi đó   0    

0

g x







Trang 4

Bài toán 8 Giải phương trình x32x2 1 x 1

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

1 0

0;1

x

 

Thỏa mãn (*)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  0;1

Nhận xét

Trong một số phương trình, việc tìm điều kiện rất phức tạp, đôi khi mức độ khó vượt xa bài toán chính thức Do vậy chúng ta chỉ cần đặt điều kiện hình thức, giữ đúng vai trò "chính – phụ", tất nhiên không làm ảnh hưởng đến kết quả bài toán, vì vẫn còn các phép thử lại để kết luận nghiệm

Trong trường hợp bất phương trình, biểu thức dưới dấu căn không quá phức tạp, yêu cầu tìm điều kiện chính xác

Bài toán 9 Giải phương trình 3

7x 1 x 1

Lời giải

Vậy phương trình có nghiệm S   4; 0;1

Bài toán 10 Giải phương trình 2x x24x  1 3

Lời giải

Điều kiện x24x  Phương trình đã cho tương đương với 1 0

2

3





3

Nhận xét

Phương trình trong bài toán 10 ban đầu chưa có dạng f x g x   

Thành thử cá tính "ương ngạnh" không đưa về dạng (*), có bạn bình phương trực tiếp Hoặc là sai do thiếu điều kiện, hoặc là rất phức tạp do điều kiện cồng kềnh, thậm chí dẫn tới phương trình hệ quả chứa lũy thừa bậc 4 mà vẫn chưa khử được căn thức Sự sáng tạo và mạo hiểm rất đáng hoan nghênh, tuy nhiên bằng bất cứ giá nào luôn phải phù hợp chân lý, bảo đảm logic và thẩm mỹ, tất nhiên tránh đi theo lối mòn mà đánh mất tư duy

Giải các phương trình sau trên tập hợp số thực

2

3

2

  

Trang 5

Bài toán 11 Giải bất phương trình x23x2  4 x

Lời giải

1

x







 (*)

x x





Kết hợp điều kiện (*) thu được nghiệm x  1

Bài toán 12 Giải bất phương trình 2x x24x7 1

Lời giải

Điều kiện x  

Bất phương trình đã cho tương đương với

2

1 2 1

3 3

3

x

















3

S   

Nhận xét

Bất phương trình là nội dung cơ bản nhưng rất dễ ngộ nhận và mắc sai sót trong tính toán, lý luận Điều kiện của biểu thức dưới dấu căn yêu cầu độ chính xác cao (ngoại trừ trường hợp duy nhất nghiệm), nếu không sẽ ảnh hưởng mạnh

mẽ đến kết quả bài toán (đi vào ngõ cụt, hoặc là đáp số sai)

Dạng toán tổng quát cho hai bài 11 và 12: f x g x  (*)

Điều kiện f x   0 Khi đó    

0

g x







Bài toán 13 Giải bất phương trình x25x6x (1) 1

Lời giải

2

x





 (*) Xét x 1 0 x Kết hợp điều kiện (*) suy ra bất phương trình (1) nghiệm đúng với 1 x  1

3

x







3

x

3

S  

Trang 6

Bài toán 14 Giải bất phương trình 3x 9x210x  1 2

Lời giải

1

9

x







 

 (*)

3x 2 9x 10x (1) 1

3

9

x 

3

2

2 2

3 3

3

2

x x





2

S    

Bài toán 15 Giải bất phương trình 2 2x23x  1 2 x

Lời giải

1

2

x







 

 (*) Phương trình đã cho tương đương với

2

0

x

x x

x







 



 







 





2

S   

Nhận xét

Các bài toán 13, 14, 15 cùng một dạng f x g x  Đặt điều kiện f x    0

Xét trường hợp g x  , bất phương trình luôn nghiệm đúng Kết hợp nghiệm   0

Xét trường hợp g x  Bình phương hai vế và kết hợp nghiệm   0

Tổng hợp 2 trường hợp và đối chiếu điều kiện f x   0, kết luận tập hợp nghiệm của phương trình ban đầu

Lời giải bài toán 15 có thể gọi là trình bày "trọn gói" Về bản chất không gì thay đổi, tuy có hơi cồng kềnh nhưng đảm bảo logic và dễ sửa chữa Tùy theo gu trình bày, các bạn tùy nghi lựa chọn cho mình cách giải phù hợp

Giải các bất phương trình sau trên tập hợp số thực

2

Trang 7

Bài toán 16 Giải phương trình 2 1 2 1

x x

 



Lời giải

2

3





2

x  ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm S  1

Bài toán 17 Giải bất phương trình

2

x



Lời giải Điều kiện

2 2

1 3

x x







 Bất phương trình đã cho tương đương với

3

1

x







2

x x





 



3

x  )

3

2

1

x





Lời giải

Điều kiện x1;x2 Bất phương trình đã cho có dạng

2

(1)

1

x







1

x





 Xét x23x  3 1 x23x 2 0 1 x 2

x





Trang 8

2

x x

 

Lời giải

3

x  Bất phương trình đã cho tương đương với 3x2x2  x 1 x22x 3x2  x 1

2

1

2 1

x





 



 













Nhận xét

Các bài toán 1619 đều là các bất phương trình chứa một căn thức, mức độ phức tạp hóa tăng dần theo biểu thức dưới mẫu thức Lưu ý rằng khi gặp bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, tùy theo điều kiện xác định căn thức, các bạn cần xét dấu biểu thức dưới mẫu, thực hiện chuyển vế, quy đồng mẫu và thực hiện theo các dạng cơ bản

2

1

2

4

x

x x

x

 









 







  





Bài toán 20 Giải phương trình 2x 1 x3 3

Lời giải

2

2x   1 x 3 2 2x1 x3 92 2x 5x3 7 3x

2

7 7

1 3

1

61

x

x x

x















2

x  )

Trang 9

Bài toán 21 Giải phương trình 3x 1 2x  1 1

Lời giải 1

2

3x 1 2x  1 1 3x 1 2x  1 1 2 2x 1 x 1 2 2x 1

5

x

 

2

x  )

Vậy phương trình đã cho nghiệm S  1; 5

Lời giải 2

2

 

2 2

1; 5

x





2

x  ta thu được nghiệm S  1; 5

Nhận xét

Hai bài toán 20 và 21 đã tăng dần độ khó, với sự xuất hiện của hai căn bậc hai Phương pháp biến đổi tương đương,

sử dụng phép nâng lũy thừa được sử dụng theo hai hướng khác nhau Khi nâng lũy thừa bậc chẵn, chúng ta luôn đưa hai vế về các biểu thức không âm, chú trong đơn giản, giảm thiểu sự phức tạp, hoặc tối thiểu cần có điều kiện đi kèm, nếu không sẽ xuất hiện nghiệm ngoại lai và tất yếu sẽ mắc sai lầm Lời giải 2 bài toán 21 minh họa cho tình huống này

Bài toán 22 Giải bất phương trình 1 8 x 1 x 3

Lời giải

8

x   Bất phương trình đã cho tương đương với

2

3

1 1

7

49

x x

x















 Kết luận tập nghiệm S 1; 

Trang 10

Bài toán 23 Giải bất phương trình 2 1 1 1

x x

 



Lời giải

x



Xét 3x  1 1 0x0; 1  2x 1 3x 1 x 0

Bài toán 24 Giải bất phương trình 5 1 2 2 1 0

1

x



Lời giải

Điều kiện x  Do 2 x2     nên bất phương trình đã cho tương đương với 1 x

5x  1 1 x25x 2 2 5x 1 x 2 2x 2 5x  (1) 1 0

(1) vô nghiệm do 2x 2 5x    Tập nghiệm của bất phương trình là 1 0 x 2 S   

Bài toán 25 Giải bất phương trình 3 1 1 2

3

2 1 3



Lời giải

2

5

121

x













 Kết luận nghiệm của bất phương trình là x  1

Nhận xét

Các bài toán từ 2025mức độ phức tạp đã tăng dần, sự xuất hiện của hai căn thức và phân thức có thể gây trở ngại cho một số bạn Tuy nhiên phương pháp chính vẫn là sử dụng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, đặc biệt chú ý các bất phương trình chứa ẩn ở mẫu và đối chiếu điều kiện

3,

2





 

Trang 11

Bài toán 26 Giải phương trình 3x 1 x 4x 3

Lời giải

4

1

4

3

x





  



4

Bài toán 27 Giải bất phương trình 5x 1 x 1 3x 1

Lời giải

1

x x

Bài toán 28 Giải bất phương trình 3 1 2 1 2



Lời giải

2

x 

2

1

2

x







  



2

x  ta thu được nghiệm S 1; 

 

 

Lời giải

10

2

Bất phương trình đã cho có nghiệm x  1

Trang 12

Bài toán 30 Giải bất phương trình 2 1 2



Lời giải

 

Nhận xét

Các bài toán từ 2630 đều chứa ba căn thức với biểu thức khác nhau, độ phức tạp chưa cao do đặc điểm phân thức độc lập một vế và bậc của biểu thức dưới dấu căn tối đa là bậc 2 Đường lối giải chung vẫn là xét dấu biểu thức dưới mẫu thức và nâng lũy thừa Điều kiện xác định đôi khi là mấu chốt của lời giải và giảm thiểu các trường hợp xảy ra

3,

6 6

x



 

 





2

3





Lời giải

x





  



2

3

x







Kết hợp điều kiện thu được

1 7 2

3

x x







  



3

Bài toán 32 Giải bất phương trình 1 1

Lời giải

2

Trang 13

x x

2

S  

x





Lời giải Điều kiện 7

1

x x





  



 

2

3 3

3 2

2

x x





Kết hợp x  ta có 7 x  7

2





(vô nghiệm)

Kết luận nghiệm x  7



Lời giải Điều kiện 1 3

2

x

2



Lời giải Điều kiện

3 3;

2

x







 Bất phương trình đã cho tương đương với

x



2

12

0

 

3

2

x







 



2

S  

Trang 14



Lời giải

Điều kiện

1

1 2

1

0 2

x x





  



(1)

2

S    

1

2

x







  

 Khi đó  1   1 x 0 x Kết hợp điều kiện thu được 1 S 2 1; 

S    

Nhận xét

Các bài toán từ 3136đều là bất phương trình hai vế đều có dạng mẫu thức, trong đó tử thức hoặc mẫu thức có phần chung Các bạn chú ý đặt điều kiện chính xác, biến đổi hợp lý, đầy đủ và logic

Đối với tử số cần xét trường hợp căn thức bằng 0, sử dụng điều kiện để xác định dấu các biểu thức khác (nếu có thể) Đối với mẫu số cần xét hai trường hợp như các lời giải phía trên

2

1,

2,

3,

2

4,

6,

8

7,

8,

x

























Trang 15

2

4

3

x





Lời giải

Điều kiện x  

Nhận xét:

2

1

x

17

Lời giải

Điều kiện x  0

2

1

11

x







(Thỏa mãn điều kiện)

Phương trình đã cho có nghiệm S 1;11

Lời giải

Điều kiện x  0



3

x x

x









Khi đó  

2

0

3 3

3

x x

x







0

x x









Nhận xét

Bài toán 37 mặc dù điều kiện đơn giản, song bằng cách nhìn tinh tế theo hướng "làm giảm, làm trội", chúng ta dễ dàng loại trừ một trường hợp, giảm thiểu tính toán và sai lầm

Hai bài toán 38 và 39, biểu thức trong dấu căn trở nên phức tạp, chứa ẩn dưới mẫu thức, tuy vậy phương hướng giải vẫn theo đường mòn nâng lũy thừa Các bạn chú ý giải các bất phương trình hệ quả cẩn thận và so sánh điều kiện xác định để được đáp số chính xác

Trang 16

Bài toán 40 Giải phương trình 3 3

Lời giải

3

Thử lại hai giá trị x đều thỏa mãn phương trình Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   61; 30

Bài toán 41 Giải phương trình 3 3

1 1

Lời giải

 

3

2

1

x







Nhận xét

Đối với dạng toán chỉ chứa căn thức bậc ba, các bạn đặt điều kiện x   và thực hiện tam thừa (nâng lũy thừa bậc ba)

để khử căn thức Các bạn chú ý các hằng đẳng thức quen thuộc

Phương trình bậc ba không có điều kiện chặt chẽ như phương trình bậc hai nên qua các phép biến đổi hệ quả, các bạn cần thêm một phép thử lại để kết luận nghiệm

Bài toán 42 Giải phương trình 3 3 3

Lời giải

2

Lời giải

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	451,69 KB