Chuyên đề 10 Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến Những tính chất cần nhớ 1) Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại thì 2) Đảo lại nếu hai đường thẳng cắt nhau tại và thì bốn đi[.]
Trang 1Những tính chất cần nhớ:
1) Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại thì
2) Đảo lại nếu hai đường thẳng cắt nhau tại và
thì bốn điểm thuộc một đường tròn
3) Nếu là tiếp tuyến và là cát tuyến thì
4) Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến , là trung điểm thì năm điểm nằm trên
O
D C
B A
M O
D
C
B
A
M
B
A
C M
Trang 25) Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát tuyến thì
Ta có:
Tương tự ta cũng có: mà nên suy ra
Chú ý: Những tứ giác quen thuộc như trên thì ta luôn có:
và
O K
C
B A
A
B
C
D
Trang 3Bài 1: Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến
cát tuyến đến Gọi là giao điểm và Vẽ dây qua Chứng minh
a) là tứ giác nội tiếp
b) là phân giác của góc
Giải:
a) Để chứng minh là tứ giác nội tiếp việc chỉ ra các góc là rất khó khăn
Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến , tiếp tuyến
Ta có: là tứ giác nội tiếp và nên ta có:
Mặt khác là tứ giác nội tiếp nên
Từ đó suy ra hay là tứ giác nội tiếp
a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác Ta có
I
K
D C
B A
Trang 4Bài 2: Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến
cát tuyến đến Gọi là giao điểm và
Chứng minh
a) là tứ giác nội tiếp
b) Đường thẳng chứa phân giác của góc
Giải:
a) Vì là tiếp tuyến nên ta có:
Mặt khác tam giác vuông tại và nên
suy ra
hay là tứ giác nội tiếp
Mặt khác ta có:
Trường hợp 1:
Tia thuộc nửa mặt phẳng chứa và bờ là (h1)
Hai góc có 2 góc phụ với nó tương ứng là mà
nên hay là tia phân giác của góc Trường hợp 2:
O
B
A
D C
M K
O K
D C
B A
M
Trang 5cũng có là tia phân giác của góc
Suy ra Đường thẳng chứa phân giác của góc
Bài 3 Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến
cát tuyến đến Gọi là trung điểm Vẽ dây
đi qua Chứng minh
Giải:
Để chứng minh ta chứng minh
Ta có ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung )
Mặt khác là phân giác góc nên
Vì cùng nằm trên đường tròn đường kính nên
Bài 4 Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến
cát tuyến đến Gọi là trung điểm Đường thẳng qua song song với cắt tại Chứng minh
F A
B
C
D H
Trang 6nên suy ra hay là tứ giác nội tiếp Do đó
Mặt khác ta có cùng nằm trên đường tròn đường kính nên
Nhận xét: Mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề Thay vì chứng minh ta chứng minh
Bài 5: Cho đường tròn dây cung Gọi là điểm đối xứng với qua Kẻ tiếp tuyến với đường tròn Tiếp tuyến của đường tròn tại cắt ở Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn Chứng minh rằng
Giải:
I
F A
B
C
D H
B C
K
O
Trang 7Mặt khác ta có: nên ta sẽ chứng minh hay Thật vậy theo tính chất 5 ta có: mà
Tứ giác nội tiếp nên
Hay
Bài 6 Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến
cát tuyến đến Gọi là giao điểm và Vẽ dây qua Chứng minh
Giải:
1 2
1 M
A C
D H
Trang 8Kẻ
Ta chứng minh được: là tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên
Từ đó suy ra
Chú ý: là hình thang cân có hai đáy là
Bài 7: Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến
cát tuyến đến Gọi là giao điểm và Kẻ vuông góc với cắt ở Chứng minh
a) là tứ giác nội tiếp
b) là tiếp tuyến của đường tròn
Giải:
a) Theo bài toán 2, ta có
là tứ giác nội tiếp nên
Do đó các góc phụ với chúng
Suy ra là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc)
c) Cũng theo bài toán 2, nội tiếp
E
M A
B
C
D H
Trang 9Từ đó dễ chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 8) Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến
cát tuyến đến Vẽ đường kính Các dây
cắt theo thứ tự ở Chứng minh rằng
Giải:
Ta vẽ trong hình trường hợp và nằm khác phía đối với Các trường hợp khác chứng minh tương tự
Để chứng minh , ta sẽ chứng minh
phải có Ta sẽ chứng minh Chú ý đến là đường kính, ta có , do đó ta kẻ Ta có là tứ giác nội tiếp, suy ra (1)
1
1 1
I
O
C
D
K
A
Trang 10Sử dụng bài 2, ta có là tứ giác nội tiếp và
(2) Từ (1) và (2) suy ra Ta lại
HS tự giải tiếp
Bài 9 Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến
cát tuyến đến Gọi là trung điểm của Chứng
Giải:
Kẻ , cắt ở
Theo bài 7 , là tiếp tuyến của đường tròn , nên theo bài toán quen thuộc 3, ta có là tứ giác nội tiếp, suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau:
(g.g) nên
O K
H
D C
B
A
M E