SKKN Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT

1 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động dạy học tích cực cho người học Từ đó khơi dậy và thúc đẩy nhu cầu tìm tòi, khám phá chiếm lĩnh của ngư[.]

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động dạyhọc tích cực cho người học Từ đó khơi dậy và thúc đẩy nhu cầu tìm tòi, khámphá chiếm lĩnh của người học; phát triển tư duy, phát huy khả năng tự học củahọc sinh

Thực tế cho thấy qua những năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhậnthấy rằng các em học sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thicử đặc biệt là thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và thi vào các trường chuyên

Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thểthiếu đó là chương “Góc với đường tròn” SGK Toán 9 Tập 2- Trang 88 Nhàxuất bản giáo dục Đề bài thường cho dưới dạng: Chứng minh tứ giác nào đónội tiếp một đường tròn Phần lớn các em rất bối rối không làm được bài, bởi

vì các em chưa nhận thấy được các dữ kiện của bài toán đã cho có liên quanđến một kiến thức rất quan trọng về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp mộtđường tròn mà các em đã được học Xuất phát từ lý do đó, qua nhiều nămgiảng dạy lớp 9 và học hỏi ở đồng nghiệp, tôi rút ra được một số kinh nghiệmcho bản thân để cùng các em giải quyết được vấn đề khó khăn ở trên Chính

vì vậy tôi rất tâm đắc và chọn đề tài:

“ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà

ôn thi vào lớp 10 THPT ”.

II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

2.1.Mục đích nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích:

+ Giúp cho bản thân có kiến vững vàng hơn trong công tác giảng dạy và ôntập cho học sinh

+ Giúp cho học sinh vững tin hơn trong việc ôn tập và làm bài thi tuyển sinhvào lớp 10 THPT

+ Giúp học sinh lớp 9 tiếp cận và giải được dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn trong chương trình THCS hiện hành.

+ Rèn luyện cho học sinh về khả năng giải toán, khuyến khích học sinh tìm hiểucách giải cho một bài toán để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt,nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo trong học tập

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Đưa ra những kiến thức, bài tập cơ bản nhất của dạng toán “Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn” phần Hình học 9, chỉ ra được một số dấu hiệu

nhận biết và phương pháp đơn giản cần đạt của học sinh trong quá trình giảitoán

+ Đề xuất một số phương pháp phân loại toán theo thứ tự từ dễ đến khó cho họcsinh tiếp cận từ từ, đồng thời rèn luyện cho học sinh tìm tòi lời giải

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đề tài được áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 9 THCS hiện hành và đặcbiệt dùng cho học sinh lớp 9 đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT về dạng bài tập

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

4.1 Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên

quan đến đề tài của sáng kiến kinh nghiệm

4.2 Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát thực trạng dạy và học môn Hình học

nói chung và dạy học dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trònnói riêng cho đối tượng học sinh lớp 9 đại trà Thông qua các đề thi tuyển sinhvào lớp 10 THPT trên địa bàn của những năm trước, thông qua chấm, chữacác bài kiểm tra, các bài thi của học sinh và thông qua các hoạt động học tậpcủa các em, để từ đó có cơ sở phân dạng các dạng toán phù hợp cho học sinh

để ôn tập và làm bài thi

4.3 Thực nghiệm sư phạm: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã khảo

sát thực trạng trước khi nghiên cứu và tiếp tục khảo sát sau khi áp dụng đề tài

để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện đó

4.4 Giả thuyết khoa học:

Nếu trong quá trình học tập em nào cũng có phương pháp học tập tốt,

biết phân dạng bài tập, nhận ra dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường

tròn, trong chương “Góc với đường tròn” (Chương III - Hình Học 9-Tập 2) thì

kết quả chất lượng sẽ cao, học sinh không phải lo sợ nhiều về việc lĩnh hội trithức

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, dạng toán Chứng minh

tứ giác nội tiếp một đường tròn thường gặp Muốn giải được bài tập dạng

này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các dấu hiệu nhận biết và phải biết vậndụng chúng vào từng loại bài tập Cái khó ở đây là kĩ năng vẽ hình của các emhọc sinh rất yếu Chính vì vậy một số em có học lực trung bình, yếu khônglàm được bài tập Vì vậy cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình vànhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa Hình học và các đơn vị kiến thứcliên quan để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó một cách linhhoạt vào việc giải bài tập, làm bài thi tự tin hơn

Từ thực tế nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân,

để nâng cao chất lượng dạy học bộ môn và phân loại các dạng bài tập giúphọc sinh yếu kém có cơ hội làm được toán, tôi đã sưu tầm một số dạng bàitoán qua các đề thi năm trước để khi thực hiện học sinh dễ tiếp cận, với đề tài

“ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà

ôn thi vào lớp 10 THPT ”.

Tôi đã hệ thống một số dạng bài tập mà học sinh có học lực yếu, kém cóthể tiếp cận và giải được Với mỗi dạng tôi đều đưa ra kiến thức cơ bản cần sửdụng và các ví dụ minh hoạ phù hợp Ngoài ra còn có các dạng bài tập liênquan nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học bộ môn toán, kích thíchlòng say mê hứng thú khi học môn Toán, phát triển tư duy độc lập sáng tạo vànăng lực tự học cho học sinh lớp 9

II THỰC TRẠNG

Như chúng ta đã biết trên địa bàn tỉnh Hà Tĩnh công tác tuyển sinh vàolớp 10 THPT, Sở giáo dục và đào tạo đã đổi mới hình thức thi tuyển nhằmchọn lọc và phân loại trình độ học sinh Phương pháp thi tuyển gồm 3 môn thi

là Toán, Văn bắt buộc và môn thứ ba Sau khi thi tuyển Sở GD-ĐT sẽ công bốđiểm và xếp hạng trường THCS theo điểm của 3 môn tuyển sinh từ caoxuống Điều này sẽ khiến các trường nỗ lực cao trong giảng dạy, ôn tập chohọc sinh để đạt được yêu cầu cao về chất lượng tuyển sinh và tăng vị trí xếphạng hàng năm Từ thực tiễn này mà không những cán bộ quản lý mà các giáoviên luôn cùng học sinh tìm tòi phương pháp kiến thức trọng tâm để nhằm ôntập cho học sinh có kết quả

Với những trường nằm ở những vùng xa xôi khó khăn như huyện HươngKhê thì việc giúp học sinh tăng lên nữa điểm là cũng cả một vấn đề đòi hỏi sự

nổ lực rất nhiều của cả thầy và trò thì mới có kết quả Đặc biệt trong quá trìnhgiảng dạy và ôn tập cho học sinh, người thầy phải phân ra các dạng toán để ôntập cho phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh Đặc biệt là dạng toán

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn thường gặp trong đề thi vào

lớp 10 THPT

Trước khi nghiên cứu đề tài tôi đã khảo sát 90 em học sinh của khối lớp 9

có học lực tương đương nhau trong một trường qua mỗi năm học và tôi đã ra

đề kiểm tra dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn, lấy số

liệu điều tra theo dõi kết quả cả 3 khóa học lớp 9 trong những năm liền kề, kếtquả cho thấy như sau:

Qua kết quả điều tra khảo sát ở trên tôi thấy tỉ lệ học sinh yếu, kém chiếm

tỉ lệ khá cao, học sinh còn lúng túng chưa biết phân loại các dạng toán, chưanhận ra các dấu hiệu để áp dụng, bên cạnh đó tâm lý lo sợ, e ngại thiếu tự tin Trong chương trình toán THCS, môn Hình học là rất quan trọng và rất cầnthiết cấu thành nên chương trình toán học cấp THCS cùng với môn số học vàđại số Hình học là một bộ phận đặc biệt của toán học Phân môn Hình họcnày có tính trừu tượng cao, học sinh luôn coi là môn học khó Với môn Hìnhhọc là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suyluận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Đặc biệt là rèn luyện chohọc sinh đại trà trong cách tìm lời giải bài tập toán Vì vậy muốn học tốt mônhọc này không những đòi hỏi học sinh phải có các kĩ năng đo đạc và tính toánnhư các môn học khác mà còn phải có kĩ năng vẽ hình, khả năng tư duy hìnhhọc, khả năng phân tích tìm lời giải bài toán và khả năng khai thác các cáchgiải và phát triển bài toán theo một cách có hệ thống

Điều đó đã dẫn đến một số thực trạng là có không ít học sinh lớp 9 chỉchuyên tâm vào học môn Đại số và bỏ mặc môn Hình học Nguyên nhân thì

có nhiều nhưng nguyên nhân cơ bản là các em không biết định hướng chứngminh, không tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức và còn không biết cáchtrình bày lời giải

Với tầm quan trọng như vậy, để khắc phục tình trạng trên và giúp các

em có cái nhìn đúng đắn về việc học bộ môn Hình học Trong quá trình giảngdạy, bên cạnh tìm ra phương pháp dạy lý thuyết thích hợp, người thầy luôn cốgắng rèn cho học sinh khả năng định hướng chứng minh qua các nội dung bàitập, củng cố lý thuyết và bài tập luyện tập

Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ởđịnh lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK Toán 9 tập 2 thì SGK đã chianhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặtcác dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếpmột đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu.Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp mộtđường tròn

Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọnggiúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 ( Hình chữ nhật)

để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác

Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách đểchứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nộitiếp một đường tròn”

O A

D

B C

Trước thực trạng trên, đòi hỏi phải có các giải pháp và phương phápdạy và học sao cho phù hợp, từ đó đã thúc dục bản thân tôi tìm hiểu và thựchiện nghiên cứu đề tài này

III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Trong nội dung này tôi xin trình bày một số dạng toán giúp học sinh dễtiếp cận một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường tròn và giảiđược một số dạng toán đơn giản, như sau:

- Phương pháp 1: Chứng minh các điểm cách đều một điểm.

- Phương pháp 2: Định lý thuận, định lý đảo về “Tứ giác nội tiếp một đường

- Khi dạy xong bài “Tứ giác nội tiếp một đường

tròn” Trang 87,88 SGK Toán 9 tập 2 Học sinh tự rút

ra được cách chứng minh tứ giác nội tiếp là:

Dạng 1: ( Định nghĩa) Nếu tứ giác ABCD có:

OA = OB = OC = OD thì ABCD là tứ giác nội tiếp

Với bài toán đặc biệt hơn, tứ giác ABCD có:

=>

=>Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính

BD Đây là cách đơn giản và thường gặp nhất

Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc

trong của đỉnh đối diện

Khai thác: Sử dụng tính chất của hai góc kề bù gọi

tia đối của tia CD là tia Cx chẳng hạn:

O A

D

B C

O A

D

B C

Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp

(Tổng hai góc đối bằng 1800 )

Dạng 4: Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa

góc

Xét tứ giác ABCD có

Với C, D nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ

chứa AB ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp

Ta có: và AB cố định nên C và D

nằm trên cung chứa góc  dựng trên đoạn AB (theo

bài toán quỹ tích cung chứa góc )

Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường

tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp

Vậy là ta có cách thứ tư để chứng minh tứ giác nội

tiếp một đường tròn

Với trường hợp đặc biệt : Khi cho  = 90o ta có Vàhai điểm C, D liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc 900

Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB

Ta có thể xét thêm trường hợp dựa vào kết quả bài toán phương tích: Từ mộtđiểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát

tuyến MAB, MCD

Chứng minh MA.MB = MC MD

Ta chứng minh ∆MAD ∆MCB (g-g)

=> => MA.MB = MC MD

Đảo lại: Nếu có: MA.MB = MC.MD

và A  MB; C  MD Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp

Ta dễ dàng chứng minh ∆MAD ∆MCB (c-g-c) => Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp ( Quỹ tích cung chứa góc)

Với trường hợp này đa phần là ứng dụng để chứng minh đẳng thức: a.b = c.dNhư vậy với cách nghiên cứu như trên cùng với định nghĩa đường tròn ta

có một số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp mộtđường tròn để vận dụng làm bài tập





O A

D

B C

O A

D

B C

M

O

D

C B

A

V MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH “TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN”.

Dạng 1: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Với dạng toán này, ta chứng minh các điểm cách đều một điểm Để sửdụng phương pháp này, học sinh cần biết tìm được điểm mà các điểm kháccách đều và biết vận dụng cơ sở nào để chứng minh Giáo viên cần chuẩn bị

tốt cho học sinh các kiến thức liên quan (Đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền - Bài: Hình chữ nhật – Hình học 8) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác vuông là trung điểm cạnh huyền ( Hình học 9 – Ôn tâp chương II )

Phương pháp : Vận dụng các tam giác vuông có cạnh huyền chung.

Nếu hai hay nhiều tam giác vuông có cạnh huyền chung thì ta có thểchứng minh đa giác tạo thành bởi các đỉnh của các tam giác đó nội tiếp trongđường tròn Với kiến thức trên ta có thể chứng minh được các dạng bài tậpnày

Bài toán 1.1:

Cho tứ giác ABCD có:

Chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một

đường tròn Xác định tâm đường tròn.

Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh các điểm

A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn Ta có thể

xét những tam giác vuông nào có cạnh huyền chung? Dễ dàng ta tìm được cáctam giác vuông có cùng cạnh huyền Vậy tâm của đường tròn là trung điểmcạnh huyền

Lời giải : Gọi O là trung điểm AD

∆ABD vuông tại B nên ∆ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD

∆ACD vuông tại C nên ∆ACD nội tiếp đường tròn đường kính AD

=> A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD

Tâm của đường tròn là trung điểm O của đoạn thẳng AD

điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm đường tròn.

Phân tích tìm lời giải:

Tương tự bài toán 1.1, ta xét tương tự những

tam giác vuông có cùng cạnh huyền và chứng

minh được các điểm cùng thuộc đường tròn

Lời giải :

Nối AC, gọi O là trung điểm AC

D O

C B

A

O

D C B

A

∆ABC vuông tại B nên ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC.

∆ADC vuông tại D nên ∆ADC nội tiếp đường tròn đường kính AC

=> A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Tâm của đường tròn là trung điểm O của đoạn thẳng AC

Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, kẻ các đường cao BH, CK Chứng minh các

điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm đường tròn.

Phân tích tìm lời giải: Với yêu cầu bài toán, ta

cần xét những tam giác vuông nào có cùng cạnh

huyền? Vì sao tam giác đó vuông ?

Lời giải :

Ta có BH là đường cao của tam giác ABC nên

Suy ra ∆BCH vuông tại H nên ∆BCH nội tiếp

đường tròn đường kính BC (1)

Tương tự, ta có CK là đường cao của tam giác

Suy ra ∆BCK vuông tại K nên ∆BCK nội tiếp đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) => B, H, C, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Gọi O là trung điểm BC=> Tâm đường tròn là trung điểm O của BC

Nhận xét chung: Với dạng toán này ta có thể dễ dàng chứng minh các

điểm cùng thuộc một đường tròn và xác định được tâm của đường tròn đó Ởcách chứng minh này các em cần phải chứng minh được tam giác vuông, các

em hay sai sót ở chỗ chỉ ghi góc vuông Một số em còn có thể sử dụng kiếnthức đường trung tuyến ứng vơi cạnh huyền để xác định các điểm cách đềumột điểm Tuy nhiên cách chứng minh đó dài dòng hơn

Dạng 2: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 180 0

Phương pháp: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 thì

tứ giác đó nội tiếp được đường tròn (định lý đảo trang 88 SGK Toán 9 tập 2) Với dạng toán này chúng ta cần nhìn nhận một cách cụ thể, phán đoántốt về cặp góc đối điện, nếu nhận đính sai cặp góc dẫn đến chứng minh khônghiệu quả

Bài toán 2.1: Cho tứ giác ABCD có Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường

A

C B

A

Nhận xét: Một số em chỉ nêu hai góc bằng 900 nhưng chưa cộng tổng hai

góc Một số em hay sai ở phần giải thích: Hai góc đối diện bằng 180 0

Bài toán 2.2: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R , phía trong

nửa đườn tròn vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính AO Từ A kẻ dây cung AC cắt đường tròn (O’) tại D Từ C hạ CH vuông góc AB Chứng minh tứ giác ODCH nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn này.

Phân tích tìm lời giải: Với bài tập này,

các em khó khăn hơn trong việc tìm cặpgóc đối diện để chứng minh tứ giác nội tiếp.Giáo viên có thể gợi mở, trong tứ giácODCH có góc nào đặc biệt? ( ).Vậy góc đối diện ta cần chứng minh nhưthế nào?

Lời giải :

Xét đường tròn (O’) có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> (hai góc kề bù); (CH vuông góc AB)

Xét tứ giác ODCH có: (chứng minh trên) và

(chứng minh trên)

Suy ra tứ giác ODCH nội tiếp đường tròn đường kính OC (Tổng hai góc đốidiện bằng 1800 ) Tâm đường tròn là trung điểm I của OC

Bài toán 2.3: Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến SA,

SB ( A, B là tiếp điểm ), cát tuyến SCD ( C nằm giữa S và D) Gọi H là trung điểm CD Chứng minh các điểm S, A, H,O, B, cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm đường tròn.

Phân tích tìm lời giải:

Mức độ bài toán này khó hơn là

chúng ta phải chứng minh 5 điểm cùng

thuộc một đường tròn Chúng ta có thể chia

nhỏ để chứng minh các điểm thuộc đường

tròn Ta có thể chứng minh tứ giác nào nội

tiếp đường tròn? (Tứ giác SAOB và tứ giác

SHOB)

Với tứ giác SAOB ta có thể dễ dàng chọn cặp góc đối diện nhờ hình vẽbởi tiếp tuyến SA, SB Với tứ giác SHOB ta có nhận xét gì về điểm H?

( Kiến thức cần dùng ở đây là quan hệ đường kính và dây) Ở đây ta có thể sử

dụng kiến thức ở phần kết luận để suy ra vấn đề cần chứng minh cho điểm H

Với cách chia nhỏ như trên ta có thể dễ dàng chứng minh các điểm cùngthuộc một đường tròn.

Lời giải :

Xét tứ giác SAOB có: SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên

Suy ra tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn đường kính SO (1)

( Tổng hai góc đối diện bằng 180 0 )Xét đường tròn (O) có H là trung điểm CD nên OH  CD nên

Suy ra tứ giác SHOB nội tiếp đường tròn đường kính SO (2)

( Tổng hai góc đối diện bằng 180 0 )

Từ (1) và (2) => S, A, O, H, B, cùng thuộc đường tròn đường kính SO

Bài toán 2.4

( Kiểm tra học kì II năm 2015 – 2016)

Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) nội tiếp

đường tròn (O) Vẽ bán kính OD vuông góc với

dây BC tại I Tiếp tuyến đường tròn (O) tại C và

D cắt nhau tại M Tia CM cắt tia AD tại K, tia

Phân tích tìm lời giải:

- Phân tích tương tự, ta có thể chứng minh tứ giác OCMD nội tiếp

Lời giải : Xét tứ giác ODMC có: CM, DM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Phương pháp: Nếu một tứ giác có một góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối

diện thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn Dạng toán này chỉ là

hệ quả của dạng 2.

Với dạng toán này, đa số học sinh không làm được vì chứng minh cácgóc bằng nhau không được Giáo viên cần khắc phục nhược điểm này bằngcách: Chúng ta cần cho học sinh nắm các kiến thức liên quan giữa góc vớiđường tròn và áp dụng các tính chất đó vào giải quyết các bài tập Ta có thểsử dụng các kết quả đã chứng minh để có được các góc bằng nhau Với dạng

E

K

M I O

D

C B

A

toán này cần có các bài tập có hệ thống để học sinh tích hợp phương phápchứng minh tốt nhất.

Bài toán 3.1 (BT 39/SBT) Trên đường tròn tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó Trên dây AB lấy điểm E và H Các đường thẳng

SH, SE cắt đường tròn tại C và D Chứng minh CDEH là một tứ giác nội tiếp.

Phân tích tìm lời giải: Với tứ giác CDEH, ta không có các đỉnh của góc

đối là các góc vuông Vậy ta cần chứng minh nhưthế nào?

Cách 1: Để chứng minh tứ giác CDEH nội

tiếp được ta cần chúng minh góc

Vậy thử xét quan hệ giữatổng số đo hai góc này với số đo các cung có liênquan như thế nào ?

Ta có: = sđSA+ sđDA;

= sđ DC+ sđ CB+ sđ SA

Cộng kết quả ta thấy được điều gì? Thiếu cung SB nhưng thừa cung SANhận xét gì về hai cung trên?

Cách 2: Giả sử tứ giác CDEH nội tiếp ta có được kết quả nào? (

) Theo định lý đảo ta cần chứng minh điều gì ? Hãy dựa vàođịnh nghĩa của các góc để xác định tính chất của nó

Lời giải : Xét đường tròn (O) có:

= sđ SB+ sđAD ( Góc có đỉnh ở bên trong đườngtròn)

= sđSA+ sđAD ( Góc nội tiếp )

Mà SA = SB (gt)

=> SEH= DCH Xét tứ giác CDEH có SEH= DCH (chứng minh trên)

Lại có SEH + = 180 ( kề bù) nên DCH + DEH = 180

=> Tứ giác CDEH nội tiếp đường tròn (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 )

Bài toán 3.2: Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai đường thẳng

cắt tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B ở E và F, cắt đường tròn (O) ở C và

D Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được

Phân tích tìm lời giải:

S

O

H

E D

C

B A

Tương tự với cách phân tích như bài toán 3.1,

để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp ta cần chứng

minh cặp góc nào bằng nhau? Cái khó của bài toán

là học sinh chưa thấy được số đo của hai cung AB

bằng nhau vì AB là đường kính Ta có thể khai thác

bài toán theo hướng khác là sử dụng góc trung gian

nhưng vẫn đảm bảo phương pháp giải ( ABC)

Lời giải :

Cách 1: Xét đường tròn tâm (O) có: AEF = sđAB- sđBC= sđAC

(góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)Lại có: = sđAC ( góc nội tiếp ) => =

Suy ra: Tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn

(Tổng hai góc đối diện bằng 180 0 )

Cách 2: Ta thấy tứ giác ACBD nội tiếp đường tròn (O) nên

( góc nội tiếp cùng chắn cung AC); ABC AEF (cùng phụ với góc CBE)

=> + = 1800 Suy ra: Tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn

(Tổng hai góc đối diện bằng 180 0 )

Bài toán 3.3 : Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến tại A cắt BC tại M, vẽ bán kính OI vuông góc BC (I thuộc đường tròn (O)), AI cắt BC tại E

a) Tính và độ dài BC theo R.

b) Chứng minh ∆MAE cân.

c) Gọi H là hình chiếu của A trên OM Chứng minh tứ giác OHCB nội tiếp Phân tích tìm lời giải:

Để chứng minh tứ giác OHCB

nội tiếp ta cần chứng minh điều gì

? Một số học sinh khá, giỏi vẫn

gặp khó khăn ở bài toán này Nếu

chúng ta không có phương pháp

thích hợp, sẽ dẫn đến nhìn nhận

sai hướng chứng minh vì khai

thác từ đề bài toán và các giá trị đã chứng minh

O

E

F D

C

B A

E I

M

O H

C

B

A

Ở đây, ta chứng minh hai góc: dựa trên cơ sở hai tamgiác đồng dạng

Lời giải : ∆MHA ∆MAO (g.g) => => MA 2 = MH.MO

Suy ra tứ giác BCHO nội tiếp đường tròn (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 )

Nhận xét: Ta vẫn sử dụng phương pháp chứng minh trên nhưng để chứng

minh hai góc bằng nhau ta dựa vào cơ sở hai tam giác đồng dạng theo trườnghợp cạnh góc cạnh, học sinh khó khăn để nhận biết

Bài toán 3.4: ( Kiểm tra học kì II năm 2015 – 2016) Cho nửa đường tròn (O),

đường kính BC = 2a, A là điểm trên nửa đường tròn, (0 0 < 

<90 0 ) Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D ( D khác B ), tiếp tuyến với đường tròn này ở D cắt AC tại I Vẽ DE  AB, DF  AC ( E  AB, F  AC).

a) Tính góc AOC theo .

b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.

c) Tính diện tích hình quạt ( Ứng với cung nhỏ AB và đường tròn (O), đường kính BC) và diện tích tam giác AOB

A

Để chứng minh tứ giác BCFE nội tiếp, tương tự như các bài tập trên tagiải quyết như thế nào? Ta có thể chọn góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đốidiện không? Vậy ta sử dụng góc trung gian ở đây là góc nào? ( )

Với , ta chứng minh như thế nào?

Tương tự , ta chứng minh như thế nào?

Giáo viên có thể khai thác bài toán theo hướng khác: Ta có thể chứngminh trực tiếp được không? Chứng minh hai góc tương ứngcủa hai tam giác đồng dạng được không?

Lời giải :

Cách 1: Tứ giác AEDF nội tiếp (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 )

=> ( góc nội tiếp cùng chắn cung AE )

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)

=> ( cùng phụ với góc BDE)

Suy ra

=> => Tứ giác BCFE nội tiếp đường tròn

(Tổng hai góc đối diện bằng 1800 )

Cách 2: Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho tam giác vuông ta có:

AE.AB = AD2 ; AF.AC = AD2

=> AE.AB = AF.A=> => ∆AEF ∆ACB (c.g.c)

Suy ra ( hai góc tương ứng )

=> => Tứ giác BCFE nội tiếp đường tròn

(Tổng hai góc đối diện bằng 1800 )

Bài toán 3.5: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,

AC với đường tròn Lấy điểm D nằm giữa B và C Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn

Phân tích tìm lời giải:

Để chứng minh tứ giác AEOF nội

tiếp đường tròn, với phương pháp trên ta

chứng minh như thế nào? (

) Với trường hợp này, takhông thể chứng minh hai góc bằng nhau

dựa trên tam giác đồng dạng hay tính chất

của góc với đường tròn Vậy ta chứng

E

O

D

C B

A