Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hoà trong miền hình học phức tạp

Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hoà trong miền hình học phức tạp

Bộ Giáo dục và đào tạo Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Công trình được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin

Thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Đặng Quang á

2 PGS TS Hoàng Đình Dung

Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội

Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Hữu Công

Đại học Quốc gia Hà Nội

Phản biện 3: TS Nguyễn Đình Bình

Đại học Bách khoa Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nướcHọp tại: Viện Công nghệ Thông tin

Thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam

vào hồi 16 giờ 00 ngày 22 tháng 06 năm 2007

Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia

Khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Thái Nguyên

Phần mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Phương pháp chia miền được phát triển để giải quyết các bài toán biêntrong miền hình học phức tạp, tư tưởng chính của phương pháp là đưa bàitoán trong miền phức tạp về một dPy các bài toán trong miền đơn giản từ

đó nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp Các tác giả trên thế giới

đP đề xuất nhiều phương pháp lặp xuất phát từ tư tưởng xác định giá trịhàm trên biên phân chia để xây dựng các thuật toán chia miền khác nhau

Đối với lớp phương trình bậc cao, phương pháp chia miền chưa thật sự pháttriển Một hướng cần nghiên cứu về phương pháp chia miền là xây dựngcác sơ đồ lặp với tư tưởng xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia vàphương pháp chia miền đối với các lớp phương trình bậc cao

Vì những lý do trên, luận án lựa chọn đề tài Phương pháp chia miềngiải phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hoà trong miềnhình học phức tạp”

2 Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích của luận án là đề xuất các phương pháp chia miền dựa trên tưtưởng xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia áp dụng đối các bài toánelliptic cấp hai và bài toán song điều hoà, đồng thời mở rộng các phươngpháp đề xuất khi miền hình học là phức tạp và điều kiện biên phức tạp.Phương pháp nghiên cứu trong luận án là đề xuất các sơ đồ lặp, sử dụng

lý thuyết toán tử chứng minh sự hội tụ của các sơ đồ ở mức vi phân vàkiểm tra tính đúng đắn của lý thuyết bằng các thực nghiệm tính toán

3 Những đóng góp mới của luận án

+ Xây dựng hoàn chỉnh thư viện chương trình TK2004 giải số bài toánelliptic cấp hai trong miền chữ nhật làm công cụ cài đặt tất cả các thuậttoán đề xuất trong luận án

+ Đưa ra một phương pháp chia miền mới ngược với sơ đồ Neumann, trong trường hợp bài toán elliptic cấp hai với điều kiện biênDirichlet đP chứng minh được sơ đồ lặp đưa ra là hội tụ và thiết lập đượctham số tối ưu khi miền hình học là miền chữ nhật

Dirichlet-+ Đưa ra một phương pháp chia miền mới đối với bài toán biên hỗn hợpmạnh, trong trường hợp bài toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biênhỗn hợp mạnh đP chứng minh được sơ đồ lặp hội tụ và tham số lặp tối ưu

có thể xác định từ thực nghiệm tính toán

+ Mở rộng phương pháp chia miền đP đề xuất khi miền hình học là phứctạp đồng thời khảo sát tính gián đoạn mạnh của đạo hàm tại điểm phânchia giữa hai loại điều kiện biên

+ Trên cơ sở các kết quả đạt được đối với phương pháp chia miền, đP đềxuất giải pháp thiết kế thuật toán song song dựa trên tư tưởng chia miền.+ Mở rộng các kết quả đP nghiên cứu, đề xuất các phương pháp chiamiền đối với bài toán song điều hòa và bài toán hỗn hợp giữa phương trìnhelliptic cấp hai và phương trình song điều hoà trong miền hình học phứctạp

4 Bố cục của luận án

Luận án gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung, phần kết luận, tài liệutham khảo và phần phụ lục được cấu trúc như sau:

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị và đưa ra các kết quả xâydựng thư viện chương trình giải số bài toán elliptic cấp hai trong miền chữnhật, làm công cụ cài đặt các thuật toán đề xuất trong luận án

Chương 2 trình bày cơ sở toán học về phương pháp chia miền, đề xuấtphương pháp chia miền mới đối với bài toán elliptic cấp hai với điều kiệnbiên Dirichlet và điều kiện biên hỗn hợp mạnh Nghiên cứu phương phápchia miền đối với các bài toán biên hỗn hợp yếu, bài toán biên hỗn hợpmạnh trong miền hình học phức tạp Khảo sát tính gián đoạn mạnh của

đạo hàm và đồng thời đề xuất giải pháp song song đối với thuật toán chiamiền trong miền hình học phức tạp và điều kiện biên phức tạp

Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu phương pháp chia miền đối vớilớp bài toán song điều hòa và bài toán hỗn hợp giữa phương trình ellipticcấp hai và phương trình song điều hoà

Phần phụ lục của luận án là các chương trình nguồn của thư viện TK2004.Trong luận án, các kết quả lý thuyết được kiểm tra bằng các chươngtrình thực nghiệm lập trình trong môi trường Matlab trên máy tính PC

+ Các định nghĩa về các không gian: W 1,p (Ω), H 1 (Ω), H 1/2 (∂Ω), H ư1 (Ω)

và H ư1/2 (∂Ω), khái niệm về biên Lipschitz

+ Định lý vết, công thức Green, bất đẳng thức Poincare cùng các kháiniệm về hằng số vết C γ (Ω), hằng số Poincare C Ω

Phương trình elliptic

+ Các định nghĩa về bài toán Dirichlet, bài toán Neumann và bài toánRobin

+ Khái niệm về nghiệm yếu

+ Định lý Lax-Milgram và các định lý tồn tại duy nhất nghiệm

1.2 Kết quả bổ trợ

Việc tìm nghiệm bằng số các bài toán biên là một trong những nhiệm

vụ quan trọng đối toán học tính toán Trong phần này sẽ trình bày các kếtquả thiết kế thư viện chương trình giải số các bài toán biên cho phương

trình vi phân dạng

ư∆u(x) + cu(x) = f (x), x ∈ Ω, c
0,

trong đó Ω là miền chữ nhật, là toán tử điều kiện biên

1.2.1 Phương pháp thu gọn khối lượng tính toán

Xét bài toán biên

về các hệ phương trình vectơ ba điểm dạng thứ nhất

Trên cơ sở mở rộng các thuật toán thu gọn khối lượng tính toán, chúngtôi tiến hành xây dựng thư viện chương trình TK2004 giải số các bài toánbiên dạng (1.1) Đưa vào không gian lưới Ω h 1 h 2, kí hiệu b1, b2, b3, b4 lần lượt

là các vectơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các cạnhtrái, phải, dưới và trên của miền chữ nhật, r = h

2 1

h 2 2

, d = 2(1 + r) + ch 2

2 Lựachọn ngôn ngữ cài đặt các thuật toán là Matlab version 6.5.1

Bài toán biên Dirichlet

ư∆u(x) + cu(x) = f (x), x ∈ Ω,

u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.

Từ phương pháp sai phân với độ chính xác O(h 2

trong đó Y j là các vectơ nghiệm, F j là các vectơ cấp (M ư 1), C là ma trận

hệ số cấp (M ư 1) ì (M ư 1). Trên cơ sở của thuật toán thu gọn, thiết kế hàm

T K0000(ϕ, b1, b2, b3, b4, c, L 1 , L 2 , M, N, n) thực hiện thuật toán thu gọn,

hàm u0000(ϕ, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n, p 1 , p 2 , q 1 , q 2 ) trả lại ma trận nghiệmxấp xỉ của bài toán từ tọa độ (p 1 , q 1 ) đến (p 2 , q 2 )

Bài toán biên Neumann

là một trong các biên còn lại, các hàm u0010( ), u0100( ), u1000( ) đượcxây dựng tương tự qua hàm T K0001( ) và phương pháp biến đổi toạ độ.Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình chữnhật là dạng Neumann Bài toán vi phân tương ứng với hệ phương trìnhvectơ ba điểm

u0110( ), được xây dựng tương tự qua hàm T K0002( ) và phương phápbiến đổi toạ độ

Trường hợp 3: Điều kiện biên trên ba cạnh phải, dưới và trên của hình chữnhật là dạng Neumann Bài toán vi phân tương ứng với hệ phương trìnhvectơ ba điểm

thu gọn, hàm u0111(ϕ, b1, b2, b3, b4, L 1 , L 2 , c, M, N, n, p 1 , p 2 , q 1 , q 2 )trả lại ma trậnnghiệm xấp xỉ của bài toán từ tọa độ (p 1 , q 1 ) đến (p 2 , q 2 ) Trong trường hợpkhi biên Neumann là ba trong các biên còn lại, các hàmu1110( ), u1101( ),

được xây dựng tương tự qua hàm T K0003( ) và phép biến đổi toạ độ.Trường hợp 4: Trên các cạnh của hình chữ nhật đều cho điều kiện biênNeumann Bài toán vi phân tương ứng với hệ phương trình vectơ ba điểm

Qua thực nghiệm tính toán, các hàm thiết kế đP đảm bảo độ chính xáctính toán O(h 2

1 + h 2

2 ) và độ phức tạp tính toán là O(M N log N ) Trong luận

án, các chương trình thiết kế giải số các bài toán biên bằng phương phápchia miền đều sử dụng các hàm trong thư viện chương trình TK2004 Cáckết quả xây dựng thư viện chương trình đP được công bố trong công trình[5]

Kết luận: Nội dung chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản cần thiếtcho các chương sau và đặc biệt đP thiết kế hoàn chỉnh thư viện chươngtrình TK2004 Đây là công cụ rất quan trọng để cài đặt các thuật toán sẽ

đề xuất trong chương 2 và chương 3 của luận án

Chương 2

Phương pháp chia miềngiải phương trình elliptic cấp hai

2.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền

Hình 2.1

Xét bài toán Poisson trong đóΩlà miền với biên Lipschitz ∂Ω, chia miền

Ω bởi biên Γ, kí hiệu u i là nghiệm trong miền Ω i (i = 1, 2), n là vectơ pháptuyến ngoài của Ω 1 trên Γ, (hình 2.1) Khi đó bài toán được viết dưới dạng

đa miền như sau:

Kí hiệu λ là giá trị chưa biết của hàm u trên biên phân chia Γ, khi đóbài toán đa miền sẽ được giải quyết nếu xác định được giá trị của λ Cácphương pháp chia miền chủ yếu đều tìm cách xác định giá trị xấp xỉ của λ

Xuất phát từ cơ sở của phương pháp chia miền, nhiều tác giả trên thế giới

đP đề xuất hàng loạt phương pháp lặp Một trong các phương pháp phổ biến

được biết đến đó là phương pháp Dirichlet-Neumann Trong phương phápnày, mỗi lần lặp cần giải quyết bài toán Dirichlet trong Ω 1 và sau đó giảibài toán Neumann trong Ω2 Một tiếp cận khác để giải bài toán là phươngpháp Neumann-Neumann bằng cách giải song song hai bài toán Dirichlettrong các miền con và sau đó giải song song hai bài toán Neumann Trongphần này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc đưa

ra một phương pháp chia miền giải bài toán biên Dirichlet Sự khác biệt

so với tất cả các phương pháp đP biết là tại mỗi bước lặp, có hai bài toán

được giải quyết trước hết là bài toán Neumann trong Ω1 và sau đó là bàitoán Dirichlet trong Ω 2 Do vậy phương pháp chúng tôi đưa ra có thể xem

là ngược với sơ đồ Dirichlet-Neumann Các kết quả này đP được công bốtrong công trình [1]

Giả thiết f ∈ L 2 (Ω), ϕ ∈ H12 (∂Ω) Chia Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 , Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅ với biên trơn

Γ, kí hiệu Γ 1 = ∂Ω 1 \ Γ, Γ 2 = ∂Ω 2 \ Γ, u i là nghiệm trong miền Ω i, ν i là vectơpháp tuyến ngoài của miền Ω i (i = 1, 2) Đặt g = ∂u1

3 Tính toán lại xấp xỉ mới

g(k+1) = (1 ư τ )g(k)ư τ∂u

(k) 2

∂ν 2

trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn

2.3.2 Nghiên cứu sự hội tụ

Ta viết lại sơ đồ (2.2) dưới dạng

g (k+1) ư g (k)

(k) + ∂u

(k) 2

trong đó v i là nghiệm của bài toán

Để thiết lập sự hội tụ của sơ đồ lặp (2.7), xét toán tử B trong các không gianhàm: Λ = H001 (Γ) = {v 

Γ : v ∈ H 1

0 (Ω)} và không gian đối ngẫu Λ  = H00ư1(Γ)

Sử dụng các công thức yếu và định nghĩa tương đương của toán tử Poincare, đP chứng minh được Si là toán tử đối xứng và xác định dương Từcác kết quả của công thức ước lượng nghiệm suy ra rằng S i ξ, η

Steklov-Λ
,Λ là tíchvô hướng của ξ, η ∈ Λ và chuẩn sinh bởi tích vô hướng này tương đươngvới chuẩn thông thường của H1/2(Γ) Trong tích vô hướng này ta có:

τ opt = 2

3 + th

πa b

th π (1ưa) b

trong đóf ∈ L 2 (Ω), ϕ ∈ H12 là toán tử điều kiện biên Bài toán được gọi

là bài toán biên hỗn hợp yếu nếu trên một đoạn biên S i (i = 1, , k) chỉ chomột loại điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann Giả sử Ω được chia thànhhai miền con Ω 1 vàΩ 2 với biên trơnΓ Kí hiệu Γ i = ∂Ω i \Γ, u i = u| Ω i (i = 1, 2)

trong đó ∂Ω i là biên của Ω i, đặt g = ∂u1

∂ν 2

trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn

Trong trường hợp miền Ω được chia thành n + 1 miền con, phương pháp lặp(2.13)-(2.14) sẽ được áp dụng để hiệu chỉnh đạo hàm trên các biên chung.Tham số lặp trên mỗi biên chung có thể khác nhau Việc khẳng định sựhội tụ của phương pháp về phương diện lý thuyết là chưa thực hiện được,tuy nhiên thông qua thực nghiệm tính toán có thể khẳng định sự hội tụ củasơ đồ lặp cũng như việc lựa chọn giá trị tham số tối ưu phụ thuộc từng bàitoán trong các miền hình học phức tạp

2.4.2 Các kết quả thực nghiệm trong miền hình học phức tạp

Sử dụng các kí hiệu 0 chỉ điều kiện biên dạng Dirichlet, 1 chỉ điều kiệnbiên dạng Neumann, ε là sai số lớn nhất giữa nghiệm đúng và nghiệm gần

đúng, a và b là kích thước của hình chữ nhật cơ sở, K là số lần lặp Xétbài toán biên hỗn hợp yếu trong đó Ω cho bởi hình 2.2

hiện bằng thuật toán sau đây:

Khởi động ξ(0)1 = ξ(0)2 = 0, k = 0.

Bước 1: Giải bài toán trong miền Ω 1

Tìm nghiệm u(k)1 = u0001( ) trong đó

b4 =

ξ1(k), 0  x 1  a, x 2 = 0,

ϕ, ưa  x 1 < 0, x 2 = 0.

Bước 2: Giải bài toán trong miền Ω 2

Tìm nghiệm u(k)2 = u0010( ) trong đó

b3 =

ξ2(k), 0  x 1  a, x 2 = b,

ϕ, ưa  x 1 < 0, x 2 = 0.

Bước 3: Giải bài toán trong miền Ω 3

Tìm nghiệm u(k)3 = u1000( ) trong đó

b3 = u(k)1 , 0  x 1  a, x 2 = 0, b4 = u(k)2 , 0  x 1  a, x 2 = b.

Bước 4: Hiệu chỉnh các giá trị đạo hàm trên Γ 1 , Γ 2 :

ξ1(k+1) = τ 1 ξ1(k)+ (1 ư τ 1 )∂u

(k) 3

Thực nghiệm tính toán cho thấy sơ đồ lặp trên hội tụ với τ 1 và τ 2 trongkhoảng (0.1, 0.9), giá trị τ opt ≈ 0.5 Các kết quả với cấu hình phức tạp hơn

đP được đưa ra trong công trình [2], các kết quả thu được đP khẳng địnhtính hữu hiệu của phương pháp đề xuất giải quyết các bài toán biên hỗnhợp yếu trong các miền hình học phức tạp

2.5 Phương pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh

Xét bài toán ư∆u = f (x) trong trên ∂Ω trong đó Ω ∈ R 2 Taxét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên là điều kiện biên dạnghỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả hai loại điều kiện biênDirichlet và Neumann Đây là bài toán đP được nhiều tác giả trên thế giớiquan tâm Để giải quyết bài toán trên, trong các trường hợp đặc biệt khi vế

phải đồng nhất bằng không và các điều kiện biên dạng đặc biệt, việc tìmnghiệm xấp xỉ của bài toán có thể sử dụng phương pháp khai triển qua cáchàm mẫu dưới dạng toạ độ cực, hoặc xuất phát từ mục đích xác định giá trị

đạo hàm hướng trên phần biên Dirichlet để chuyển bài toán biên hỗn hợpmạnh về bài toán hỗn hợp yếu để xây dựng phương pháp lặp giải bài toán.Một hướng tiếp cận khác để giải bài toán biên hỗn hợp mạnh là sử dụngphương pháp chia miền Trên cơ sở của các kết quả đP đạt được khi nghiêncứu phương pháp chia miền đối với bài toán biên Dirichlet, trong phần nàychúng tôi sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu đối với việc giải các bàitoán biên elliptic cấp hai khi điều kiện biên là hỗn hợp mạnh trong miềnhình học phức tạp bằng phương pháp chia miền

∂ν 1

|Γ, (hình 2.3) Việc giải bài toán

được thực hiện bởi thuật toán chia miền như sau:

∂ν 2

2.5.2 Sự hội tụ của phương pháp

Sơ đồ lặp (2.17) được viết lại dưới dạng

g (k+1) ư g (k)

(k) + ∂u

(k) 2

Khi đó toán tử nghịch đảo S ư1

1 ξ = w 1 | Γ trong đó w 1 là nghiệm của bài toán

 Ω

∇v∇wdx= ư

 Γ

S 2 ξηds +

 Ω

∇  H 2 ξ.∇  H 2 ηdx.

Từ đó

 Γ

Định lý 2.2

Với giả thiết (2.8) phương pháp lặp (2.16)-(2.17) hội tụ nếu tham số lặp

τ thoả m4n điều kiện 0 < τ < 2/(1 + M ) Giá trị tối ưu được cho bởi (2.9)

và khi đó ước lượng cho các sai số được xác định bởi (2.10)

2.5.3 Các kết quả thực nghiệm trong miền hình học phức tạp

Xét bài toán biên hỗn hợp mạnh trong đó Ω cho bởi hình 2.4

4 Việc tìm nghiệm bằng số được thực hiện bởi thuật toán:

Xuất phát từ η1(0) = η2(0) = 0, ξ1(0) = ξ2(0) = 0, với mọi k = 0, 1, 2, thực hiệnBước 1: Tìm nghiệm u(k)1 = u0100( ) với giá trị xấp xỉ η1(k)

Bước 2: Tìm nghiệm u(k)2 = u0100( ) với giá trị xấp xỉ η2(k)

Bước 3: Tìm nghiệm u(k)3 = u0001( ) với giá trị xấp xỉ ξ1(k)

Bước 4: Tìm nghiệm u(k)4 = u0010( ) với giá trị xấp xỉ ξ2(k)

Bước 5: Tìm nghiệm u(k)5 = u0000( ) với các kết quả từ bước 3,4

∂ν 1... hợp yếu để xây dựng phương pháp lặp giải toán.Một hướng tiếp cận khác để giải toán biên hỗn hợp mạnh sử dụngphương pháp chia miền Trên sở kết đP đạt nghiêncứu phương pháp chia miền tốn biên Dirichlet,... khẳng địnhtính hữu hiệu phương pháp đề xuất giải toán biên hỗnhợp yếu miền hình học phức tạp

2.5 Phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh

Xét toán ư∆u = f (x)