Về số học và đối đồng điều Galois của nhóm luỹ đơn trên trường hàm địa phương và toàn cục

Về số học và đối đồng điều Galois của nhóm luỹ đơn trên trường hàm địa phương và toàn cục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN DUY TÂN

VỀ SỐ HỌC VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU GALOIS

CỦA NHÓM LŨY ĐƠN TRÊN TRƯỜNG HÀM ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số : 62.46.05.01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2007

Công trình được hoàn thành tại:

Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Quốc Thắng

Phản biện 1:

……… Phản biện 2:

……… Phản biện 3:

………

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại:

………

……… Vào hồi … giờ … ngày … tháng … năm …

Có thể tìm hiểu về luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

Danh mục công trình của tác giả liên quan

đến luận án

1 N Q Thang, N D Tan (2004), “On the surjectivity of the localization maps for Galois cohomology of algebraic groups over fields”,

Commun Algebra 32, pp 3169-3177

2 N Q Thang, N D Tan (2005), “On the Galois and flat cohomology of

unipotent algebraic groups over non-perfect fields”, Proc Japan Acad

81(6), Ser A, pp 121-123

3 N Q Thang, N D Tan (2007), “On an analog of Serre's conjectures, Galois cohomology and defining equation of unipotent algebraic

groups”, Proc Japan Acad 83(7), Ser A, pp 93-98

4 N Q Thang, N D Tan (2008), “On the Galois and flat cohomology of unipotent algebraic groups over local and global function fields, I",

Journal of Algebra 319(10), pp 4288-4324

5 N Q Thang, N D Tan (2007), “On the Galois and flat cohomology of unipotent algebraic groups over local and global function fields, II”, preprint

6 N Q Thang, N D Tan (2007), “On an analog of Serre's conjectures, Galois cohomology and defining equation of unipotent algebraic groups”, preprint

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và

thảo luận tại:

-Hôi nghị Đại số-Hình học-Tôpô, Đà Lạt (2003)

-Hội nghị quốc tế về Lý thuyết số và các vấn đề liên quan, Hà Nội (2006)

-Seminar Lý thuyết số, Viện Toán học

-Seminar Esnault-Viehweg, Đại học Essen, Đức (2006)

-Colloquium Đại học Eichstatt, Đức (2006)

Rosenlicht (1957-1963) đưa ra những kết quả đầu tiên về cấu trúc củanhóm lũy đơn trên trường hoàn thiện Nếu k là trường hoàn thiện và G

là k-nhóm đại số lũy đơn liên thông thì theo Rosenlicht, cấu trúc của G

là khá đơn giản: tồn tại một dãy hợp thành các nhóm con chuẩn tắc G =

G0 > G1 > ã ã ã > Gn = 1, sao cho các nhóm thương Gi/Gi+1 là k-đẳngcấu với nhóm cộng tính Ga Nói riêng, nhóm G(k) các k-điểm hữu tỷ trùmật theo tôpô Zariski trong G Ông cũng chỉ ra các tính chất "khác lạ" củanhóm lũy đơn trên trường không hoàn thiện Chẳng hạn, ông đưa ra một

ví dụ chứng tỏ rằng tập các điểm hữu tỷ của nhóm lũy đơn liên thông G

trên trường không hoàn thiện có thể hữu hạn và nói riêng, không trù mậttheo tôpô Zariski trong G Tiếp theo, Tits (1967) hoàn chỉnh thêm lý thuyếtnhóm lũy đơn trên một trường tùy ý Ông đưa ra những kết quả, khái niệmquan trọng trong lý thuyết nhóm lũy đơn, đặc biệt là khái niệm "nhóm lũy

đơnk-xoắn" trên một trường bất kỳ Raynaud, Demazure và Gabriel (1970),xây dựng lý thuyết lược đồ nhóm lũy đơn affine trên một trường tùy ý Sau

đó, Kambayshi, Miyanishi và Takeuchi (1974) có những nghiên cứu tương

đối hệ thống về cấu trúc các nhóm lũy đơn mà là những k-dạng của nhómvéctơ Gna hoặc có số chiều ≤ 2, và một số tính chất hình học của chúng.Gần đây nhất, Oesterlé (1984) có những nghiên cứu cơ bản về lý thuyết sốhọc của nhóm lũy đơn trên các trường địa phương và toàn cục Ông đưa racác kết quả về số Tamagawa của nhóm lũy đơn, nghiên cứu tập các điểmhữu tỷ của nhóm lũy đơn xoắn trên trường hàm toàn cục đặc số dương, và

đưa ra một số câu hỏi mở liên quan đến tính chất số học và hình học củanhóm lũy đơn.

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu số học của trường

và của nhóm đại số tuyến tính trên trường đó là đối đồng điều Galois Đểbiết sâu thêm tính chất của đối tượng được nghiên cứu (trường hoặc nhóm),người ta cần biết đối đồng điều Galois của chúng là tầm thường, hữu hạnhay vô hạn Trong trường hợp trường hoàn thiện, từ kết quả của Rosenlichtnêu ở trên, ta suy ra rằng đối đồng điều Galois bậc 1 của một nhóm lũy

đơn liên thông là tầm thường Nhưng điều này không còn đúng nữa nếu k

là không hoàn thiện Serre (1965) đưa ra một ví dụ về một trường hàm k

(nói riêng,k là không hoàn thiện) và k-nhóm lũy đơn liên thôngG, sao cho

đối đồng điều Galois bậc 1 của G là không tầm thường Hơn nữa, Oesterlé(1984) đã đưa ra ví dụ về một nhóm lũy đơn liên thông có nhóm đối đồng

điều Galois bậc 1 trên một trường địa phương đặc số dương là vô hạn Tuynhiên, cho đến bây giờ, chưa có một kết quả tổng quát nào để đặc trưng tínhvô hạn của đối đồng điều Galois của nhóm lũy đơn liên thông trên trườnghàm nói riêng và hãy còn nhiều câu hỏi mở liên quan đến tính hữu hạn của

đối đồng điều Galois và ứng dụng của chúng vào việc nghiên cứu tính chất

số học, hình học của nhóm lũy đơn trên trường không hoàn thiện nói chung.Trong bản luận án này, chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu về đối đồng điềuGalois (đối đồng điều phẳng) của (lược đồ) nhóm lũy đơn: tính chất của ánhxạ địa phương hóa của đối đồng điều Galois (phẳng) của (lược đồ) nhómlũy đơn, tính hữu hạn (vô hạn) của nó, nguyên lý địa phương-toàn cục cho

đối đồng điều Galois, và một số ứng dụng như tính chất xấp xỉ yếu của

đa tạp phân loại của nhóm lũy đơn trơn, nguyên lý địa phương-toàn cục cho

p-đa thức

Bản luận án này được chia làm 5 chương Trong Chương 0, chúng tôinhắc lại các kiến thức cơ bản cần thiết trong luận án Các kết quả mới đượctrình bày trong các chương còn lại của luận án: Chương 1, 2, 3 và 4

Trong Chương 1, chúng tôi chứng minh tính toàn ánh của ánh xạ địaphương hóa của đối đồng điều Galois của nhóm lũy đơn trơn xác định trêntrường, xem Định lý 1.1.1 Một hệ quả của định lý này là đa tạp phân loạicủa một nhóm lũy đơn trơn luôn có tính chất xấp xỉ yếu, xem Hệ quả 1.2.3.Chúng tôi cũng chỉ ra rằng khi bỏ điều kiện trơn ở nhóm, tức là xét cáclược đồ nhóm lũy đơn không nhất thiết trơn, và đối đồng điều Galois được

thay thế bởi đối đồng điều phẳng thì ánh xạ địa phương hóa nói chung khôngphải là toàn ánh, xem Mệnh đề 1.3.1 Tuy nhiên, khi trang bị cho các tập

đối đồng điều tôpô tự nhiên cảm sinh từ tôpô của định giá trên trường, thì

ánh xạ địa phương hóa luôn có ảnh trù mật, xem Định lý 1.3.3

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu đối đồng điều Galois hay phẳngcủa các nhóm lũy đơn trên trường không hoàn thiện, tập trung vào các nhómvới số chiều ≤ 1 Trong Mục 2.1, chúng tôi tính toán đối đồng điều Galoiscủa một số nhóm lũy đơn; các nhóm lũy đơn này đóng vai trò là các ví dụcơ bản nhưng quan trọng Chẳng hạn, chúng tôi chỉ ra rằng có những nhómlũy đơn xoắn và có nhóm đối điều Galois là tầm thường, hoặc có nhóm

đối đồng điều là hữu hạn nhưng không tầm thường, xem Mệnh đề 2.1.2 vàMệnh đề 2.1.4 (Khác với trường hợp trường hoàn thiện, khi trường là khônghoàn thiện thì việc tìm ra các nhóm lũy đơn xoắn có đối đồng điều Galoishữu hạn là một việc không dễ dàng, ít nhất là đối với chúng tôi.) TrongMục 2.2, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ cho nhóm lũy đơn, giao hoán,với số mũ p, có nhóm đối đồng điều Galois là vô hạn, xem Định lý 2.2.2.Trong Mục 2.3, áp dụng các kết quả trong Mục 2.2, chúng tôi tập trungnghiên cứu nhóm đối đồng điều Galois (phẳng) của nhóm lũy đơn số chiều

≤ 1 Chúng tôi chỉ ra rằng, nói chung, đối đồng điều Galois của chúng làvô hạn Xem Mệnh đề 2.3.1 cho trường hợp nhóm lũy đơn số chiều 0 Đốivới trường hợp nhóm lũy đơn số chiều 1, ta có định lý Định lý 2.3.5 Đâycũng là kết quả chính của Chương 2

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu đối đồng điều Galois của cácnhóm lũy đơn số chiều cao hơn trên các trường hàm địa phương và toàncục Chúng tôi chứng minh rằng, trên trường địa phương (hoặc toàn cục)

k đặc số p > 0, các nhóm lũy đơn trơn với số chiều < p − 1 mà không

là k-phân rã đều có đối đồng điều Galois là vô hạn Cụ thể, kết quả chínhcủa Chương 3 là các Định lý 3.1.1, Định lý 3.2.1 Trong Mục 3.1, chúngtôi chứng minh Định lý 3.1.1 Chứng minh này sử dụng kết quả của Mục2.2, kết quả trong một bài báo của L Dries và F-V Kuhlmann (2002), và lýthuyết Tits về nhóm lũy đơn Chúng tôi cũng chỉ ra rằng chặn p − 1 trong

định lý trên là tối ưu, xem Mệnh đề 2.1.4, Chương 2 Từ tính toàn ánh của

ánh xạ địa phương hóa, xem Định lý 1.1.1, khẳng định của định lý trên chotrường hợp địa phương sẽ suy ra khẳng định của định lý cho trường hợp toàncục Tuy nhiên, trong Mục 3.2, chúng tôi cũng đưa ra một chứng minh khác

(ngắn gọn) cho trường hợp trường là toàn cục Chứng minh này sử dụngcác kết quả của Oesterlé (1984) Trong Mục 3.3, chúng tôi áp dụng các kếtquả ở trên để chứng minh tính đúng đắn của các nguyên lý địa phương-toàncục cho tính tầm thường của đối đồng điều Galois của nhóm lũy đơn trơn

và tính phổ dụng của các đa thức cộng tính tách được

Trong Chương 4 của luận án, chúng tôi nghiên cứu đặc trưng các trường(qua chiều đối đồng điều) mà mọi tập đối đồng điều Galois hay phẳng bậc

1 của nhóm lũy đơn trên chúng đều là tầm thường Việc này cũng tương

tự như việc Serre đưa ra các Giả thuyết I (tương ứng, II) để đặc trưng cáctrường (qua chiều đối đồng điều) mà trên chúng tập đối đồng điều Galoiscủa các nhóm đại số tuyến tính liên thông (tương ứng, các nhóm đại số nửa

đơn đơn liên) là tầm thường Giả thuyết Serre I đã được chứng minh hoàntoàn bởi Steinberg (1965), nhưng Giả thuyết Serre II là còn mở trong trườnghợp tổng quát Trong Mục 4.1, chúng tôi đưa ra một khẳng định tương tựvới các Giả thuyết Serre cho nhóm lũy đơn, xem Định lý 4.1.7 Tiếp theo,chúng tôi đưa ra các quan hệ giữa các khẳng định liên quan đến mở rộngtrường hữu hạn (Galois hoặc chuẩn tắc) có bậc p, chia hết cho p, v.v xem

Định lý 4.1.10, đây cũng là một kết quả chính của Chương 4 Trong Mục4.2, chúng tôi nghiên cứu các phương trình định nghĩa của nhóm lũy đơntrơn số chiều 1 P Russell (1970) đã chỉ ra rằng mọi k-nhóm lũy đơn sốtrơn chiều 1 không k-đẳng cấu với Ga là k-đẳng cấu với một k-nhóm concủa G2a xác định bởi một p-đa thức dạng

với một ai 6∈ kp nào đó Công thức tường minh này là rất quan trọng trongviệc nghiên cứu số học của nhóm lũy đơn trên trường và vành Các tác giảKambayashi, Miyanishi và Takeuchi (1974) đã mở rộng nhiều kết quả củaRussell Ví dụ, họ đã chỉ ra rằng số tự nhiênntrong (1) là xác định duy nhấtbởi G Sử dụng các kết quả của họ, chúng tôi chỉ ra rằng tập {i : ai 6∈ kp}

cũng chỉ phụ thuộc vào lớp k-đẳng cấu của G Thực tế, chúng tôi chứngminh một kết quả tổng quát hơn (xem Mệnh đề 4.2.1)

Chương 0

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong toàn bộ bản luận án này, chúng tôi chỉ xét nhóm đại số affine, lược

đồ nhóm đại số và affine, các định giá là hạng 1 (tức là, giá trị tuyệt đối).Trong Chương 0, chúng tôi trình bày ngắn gọn một số khái niệm, kết quảcơ bản cần thiết trong luận án

Trong Mục 0.1, chúng tôi nêu lại một số khái niệm, kết quả cơ bản củanhóm đại số affine trên một trường tùy ý: định lý nhúng nhóm đại số affinevào nhóm tuyến tính tổng quát GLn, phân tích Jordan trong nhóm đại sốaffine, định nghĩa nhóm đại số lũy đơn,

Trong Mục 0.2, chúng tôi nhắc lại các khái niệm, kết quả cơ bản trong

lý thuyết của Tits về nhóm lũy đơn trên một trường: khái niệm "nhóm cón

k-xoắn", các định lý về cấu trúc của nhóm lũy đơn trên một trường tùy ý, Trong Mục 0.3, chúng tôi trình bày sơ lược về lý thuyết lược đồ nhóm

đại số affine và lược đồ nhóm lũy đơn: các khái niệm lược đồ nhóm hữuhạn, étale, , các định lý về cấu trúc của lược đồ nhóm lũy đơn trên mộttrường

Trong Mục 0.4, chúng tôi trình bày sơ lược về đối đồng điều Galois khônggiao hoán của nhóm đại số affine: định nghĩa tập đối đồng điều Galois bậc

1, phép xoắn các đối xích, các định lý về các dãy khớp các tập đối đồng

điều liên kết với dãy khớp các nhóm đại số,

Trong Mục 0.5, chúng tôi trình bày sơ lược về đối đồng điều phẳng củalược đồ nhóm lũy đơn trên một trường: định nghĩa tập đối đồng điều phẳngbậc 1, mối liên hệ giữa đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng, Trong Mục 0.6, chúng tôi trình bày các khái niệm, ký hiệu hay dùngtrong lý thuyết trường

Chương 1

Tính toàn ánh của ánh xạ địa phương hóa

Cho k là một trường tùy ý, G là một k-nhóm lũy đơn trơn, S là một tậphữu hạn các định giá (không tương đương của k) và với mỗi v ∈ S, gọi kv

là bao đầy đủ của k tại v Với k0/k là một mở rộng trường bất kỳ, ký hiệu

ks0 là bao tách được của k0 trong một bao đóng đại số k ¯0 của k0, và ký hiệu

H1(k0, G) := H1(Gal(ks0/k0), G(ks0)) là (tập) đối đồng điều Galois bậc 1của G Ta có ánh xạ địa phương hóa ϕv : H1(k, G) → H1(kv, G) và kýhiệu ϕS := Q

hiển nhiên là toàn ánh Trong chương này, chúng tôi chứng minh rằng với

k là một trường tùy ý thì ánh xạ ϕS luôn là toàn ánh, xem Định lý 1.1.1.Sau đó, chúng tôi đưa ra vài hệ quả của định lý này Chẳng hạn, chúng tôichứng minh rằng đa tạp phân loại của một k-nhóm lũy đơn trơn luôn cótính chất xấp xỉ yếu (đối với một tập hữu hạn các định giá), xem Hệ quả1.2.3 Trong Mục 1.3, chúng tôi xét sự mở rộng Định lý 1.1.1 cho trườnghợp lược đồ nhóm không nhất thiết là trơn Trong trường hợp này, đối đồng

điều Galois là không phù hợp và được thay thế bởi đối đồng điều phẳng.Chúng tôi chỉ ra rằng, nói chung, ánh xạ địa phương hóa cho đối đồng điềuphẳng không là toàn ánh, xem Mệnh đề 1.3.1 Tuy nhiên, khi trang bị chocác tập đối đồng điều tôpô tự nhiên cảm sinh từ định giá của trường, chúngtôi chỉ ra ánh xạ này luôn có ảnh trù mật, xem Định lý 1.3.3 Các kết quảcủa chương này được trình bày chủ yếu dựa trên [1,5]

1.1 Tính toàn ánh của ánh xạ địa phương hóa

1.1.1 Định lý ([1]) Với các ký hiệu như trên, nếu G là mộtk-nhóm lũy đơntrơn thì ánh xạ địa phương hóa ϕS luôn là toàn ánh

Để chứng minh định lý này, ta có thể giả thiết k là trường không hoànthiện với đặc số p > 0, và nói riêng, k là vô hạn Trong quá trình chứngminh định lý theo quy nạp, ta cần bổ đề dưới đây Ký hiệuΓlà nhóm Galois

bK của K (nhận được bằng cách xoắn b) và với mọi mở rộng trường L/k,

ta có H2(L, bK) = 0 Khi đó, nếu khẳng định của Định lý 1.1.1 đúng cho

Sau đó, sử dụng các kết quả trong lý thuyết của Tits về nhóm lũy đơn vàdùng bổ đề ở trên, chúng tôi đưa về việc chứng minh bổ đề sau

1.1.3 Bổ đề ([1]) Khẳng định của Định lý 1.1.1 đúng với các k-nhóm lũy

đơn trơn, giao hoán, k-xoắn, với số mũ p

1.2 Một vài ứng dụng

Một hệ quả trực tiếp từ Định lý 1.1.1 là để kiểm tra tính tầm thường của

định giá của k Ta sẽ sử dụng điều này nhiều lần ở các chương tiếp theo.1.2.1 Hệ quả ([1]) Gọi k = Fq(t) là trường toàn cục đặc số p > 2 và gọi

G là một k-nhóm lũy đơn xác định bởi phương trình yp = x + txp Khi đó,

đây và ý tưởng chứng minh của nó là tương tự với khẳng định của Kneser(1962).

1.2.2 Mệnh đề ([1]) Cho k là một trường, S là một tập hữu hạn các địnhgiá (không tương đương) củak, Glà một k-nhóm con trơn của k-nhóm trơn

H Nếu ánh xạ địa phương hóa γ : H1(k, G) → Qv∈S H1(kv, G) là toàn

ánh và η : H1(k, H) → Qv∈S H1(kv, H) là đơn ánh, và H có tính chấtxấp xỉ yếu đối với S Khi đó, H/G cũng có tính chất xấp xỉ yếu đối với S.1.2.3 Hệ quả ([1]) Đối với mọi trường k, với mọi k-nhóm lũy đơn trơn thì

đa tạp phân loại của G có tính chất xấp xỉ yếu

1.3 Một mở rộng của Định lý 1.1.1 cho lược đồ nhóm lũy đơn

Chúng ta xét trường hợp G là lược đồ nhóm lũy đơn không trơn Khi đó, vì

đối đồng điều Galois trong trường hợp này không được định nghĩa nên nócần được thay thế bởi một loại đối đồng điều tổng quát hơn, trong trườnghợp này là đối đồng điều phẳng Một câu hỏi tự nhiên là trong trường hợp

G không nhất thiết là trơn thì phải chăng ánh xạ địa phương hóa cho đối

1.3.1 Mệnh đề Cho k = Fq(t), với q = pn, p nguyên tố lớn hơn 2, và

là lược đồ k-nhóm lũy đơn tương ứng với k[T ]/(Tp) Khi đó, ánh xạ địaphương hóa

ϕv : H1f l(k, αp) → H1f l(kv, αp)

không là toàn ánh

Như vậy, nói chung ánh xạ địa phương hóa cho trường hợp lược đồ nhómlũy đơn không trơn không là toàn ánh Ta biết rằng nếu k được trang bị mộttôpô từ một định giá nào đó thì đối với các lược đồk-nhóm đại số affine giaohoán G, ta có thể trang bị tôpô tự nhiên trên các nhóm đối đồng điều, sao

cho các ánh xạ cảm sinh (một cách hàm tử) trong các dãy khớp dài của cácnhóm đối đồng điều là liên tục (Trong trường hợp k là trường địa phươngthì tôpô trang bị trên các nhóm đối đồng điều như trên là Hausdorff) Chúngtôi chứng minh rằng, với tôpô trang bị cho các nhóm đối đồng điều như trênthì ánh xạ địa phương hóa có ảnh trù mật (trong trường hợp lược đồ nhóm

là giao hoán) Khi lược đồ nhóm là không giao hoán, ta cũng có thể trang

bị tôpô trên các tập đối đồng điều sao cho ánh xạ địa phương hóa vẫn có

ảnh trù mật Trước tiên, ta cần bổ đề sau

1.3.2 Bổ đề ([5]) Cho G là một lược đồ nhóm affine trên trường k, gọi U

là một lược đồ k-nhóm con lũy đơn chuẩn tắc của G Khi đó, ánh xạ tựnhiên

H1f l(k, G) → H1f l(k, G/U )

là toàn ánh

1.3.3 Định lý ([5]) Cho G là một lược đồ nhóm lũy đơn trên trường k, S

là một tập hữu hạn các định giá không tương đương của k Khi đó, ánh xạ

Chương 2

Đối đồng điều Galois của nhóm lũy đơn số chiều ≤ 1 trên trường không hoàn thiện

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số "tính toán" các nhóm đối đồng

điều của một số nhóm lũy đơn Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một điều kiện

đủ cho nhóm lũy đơn xoắn, giao hoán, số mũ p, có nhóm đối đồng điềuGalois bậc 1 là vô hạn, xem Định lý 2.2.2 Chúng tôi áp dụng kết quả nàycho các lược đồ nhóm lũy đơn số chiều ≤ 1 và chỉ rằng nhóm đối đồng

điều bậc 1 của chúng nói chung là vô hạn, xem Mệnh đề 2.3.1 và Định lý2.3.2 Các kết quả của chương này được trình bày chủ yếu dựa trên [2,4]

2.1 Một số tính toán nhóm đối đồng điều bậc 1 của nhóm lũy đơn

Trong mục này, chúng tôi sẽ tính toán nhóm đối đồng điều trên trườngkhông hoàn thiện của một số nhóm lũy đơn qua các ví dụ đơn giản nhưngquan trọng Ta đặc biệt quan tâm đến trường hợp trường hàm địa phương vàtoàn cục

Chúng ta sẽ xem xét một lớp các nhóm lũy đơn dạng đặc biệt trên trườngkhông hoàn thiện đặc số p > 0, cụ thể là các nhóm được xác định bởiphương trình

ứng, Mệnh đề 2.1.4) cho ta các ví dụ về trường địa phương k và k-nhómlũy đơn giao hoán G số chiều 1 (tương ứng, 2) mà H1(kv, G) là hữu hạnnhưng không tầm thường.

2.1.2 Mệnh đề ([2,4]) a) Chokv = Fq((t)), q = 2n, G là Fp(t)-nhóm concủa G2a xác định bởi phương trình y2 = x + tx2 Khi đó, | H1(kv, G)| = 2.b) Cho k là trường hàm toàn cục đặc số 2, t là một phần tử của k \ k2.Gọi G là nhóm con đóng của G2a định nghĩa như ở phần a) Với v là một

định giá không tầm thường của k, kv là bao đầy đủ của k đối với v, thì

| H1(kv, G)| = 2, và H1(k, G) là vô hạn

Đối với trường hợp p > 2, ta có kết quả dưới đây

2.1.4 Mệnh đề ([2,4]) a) Cho k = Fq(t), v là định giá tương ứng với t và

kv = Fq((t)), q = pn, p > 2 GọiGlàFp(t)-nhóm con củaGpaxác định bởiphương trình xp0 + txp1 + ã ã ã + tp−1xpp−1 = xp−1. Khi đó, | H1(kv, G)| = p.b) Cho k là trường hàm toàn cục đặc số p > 2, t là một phần tử trong

Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra một điều kiện đủ để nhóm đối đồng

điều Galois bậc 1 của nhóm lũy đơn trơn trên trường không hoàn thiện k làvô hạn Nhắc lại rằng, nếu P là một p-đa thức r biến T1, , Tr, với

2.2.1 Bổ đề ([4]) Cho k là một trường không hoàn thiện đặc số p, v là một

định giá rời rạc không tầm thường của k Cho P là một p-đa thức r biến