Đề thi Olympic Tây Hồ năm 2012 môn Toán lớp 11 pdf

với tham số aR.. Chứng minh rằng dãy số v n là một cấp số cộng.. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.. a Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT

BA ĐÌNH – TÂY HỒ

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012

Môn Toán học - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1 (7 điểm):

a) Giải phương trình lượng giác: 3 2(sin 4xcos4x)tanxcotx

b) Tính các giới hạn sau:

3 2 lim

3n

3

2 0

lim

x

B

x



Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số (u n),n  * xác định bởi:

1 1, 2 2

u  u  và u n22u n1u n 2012a n với tham số aR

a) Khi a  0 Xét dãy số (v n) với v n u n1u n, nN* Chứng minh rằng dãy số ( )v n là một cấp số cộng Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n)

Câu 3 (7 điểm): Trong không gian, cho 3 tia Ox Oy Oz, , đôi một vuông góc với nhau A, B,

C lần lượt là các điểm di động trên các tia Ox Oy Oz, , sao cho:

k

OA OB OC  với k là một hằng số dương

a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn cách O một khoảng không đổi

b) Chứng minh rằng: S2ABC S2OAB S2OBC S2OCA trong đó SABC,SOAB,SOBC,

OCA

S lần lượt là diện tích các tam giác ABC OAB, ,OBC OCA,

c) M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC (M không thuộc các cạnh của tam giác) Gọi

, ,

   lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC

Chứng minh rằng:

4

Câu 4 (2 điểm): Cho dãy số  a n với nN*, gồm các số tự nhiên, được xác định như sau:

12

a , a n1(n1)a n 1,  n N* Với mỗi nN*, xét a  n 1 điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không

có 3 điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối hai trong a  n 1 điểm này được tô bằng một trong n màu khác nhau Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong a  n 1 điểm

đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu

- HẾT -

Họ và tên Thí sinh: ……… Số Báo danh: ………