Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Tuy nhiên, ket quả nghiên cáu bang phương pháp này mới chỉ có ở bài toán đong hóa dã li¾u liên tục cho cho h¾ Navier-Stokes hai chieu [5] và m t vài α-mô hình ba chieu [2, 1]; trong trườ

TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I

——————— * ———————

BÙI HUY BÁCH

BÀI TOÁN ĐONG HÓA Dữ LI U ĐOI V I

M T SO PHƯƠNG TRÌNH TIEN HÓA TRONG CƠ HOC CHAT LONG

LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC

Hà N i - 2020

TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I

——————— * ———————

BÙI HUY BÁCH

BÀI TOÁN ĐONG HÓA Dữ LI U ĐOI V I

M T SO PHƯƠNG TRÌNH TIEN HÓA TRONG CƠ HOC CHAT LONG

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã so: 9 46 01 03

LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC

NGƯ I HƯ NG DȀN KHOA HOC

GS.TS Cung The Anh

Hà N i - 2020

L I CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cáu của tôi dưới sự hướng dan của GS.TS Cung The Anh Các ket quả được phát bieu trong lu¾n án là hoàn toàn trung thực và chưa tàng được ai công bo trong bat cá m t công trình nào khác

Nghiên cfíu sinh

Bùi Huy Bách

L I CÁM ƠN

Lu¾n án được hoàn thành dưới sự hướng dan nghiêm khac, t¾n tình, chu đáo của GS.TS Cung The Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trong và biet ơn sâu sac tới GS.TS Cung The Anh, người Thay đã dan dat tác giả làm quen với nghiên cáu khoa hoc tà nhãng ngày hoc cao hoc Ngoài nhãng chỉ dan ve

m t khoa hoc, sự đ ng viên và lòng tin tưởng của Thay dành cho tác giả luôn

là đ ng lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cáu

Tác giả xin trân trong gải lời cảm ơn đen Ban Giám hi¾u, Phòng Sau Đại hoc, Ban Chủ nhi¾m Khoa Toán-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N i, đ c bi¾t là PGS.TS Tran Đình Ke và các thay giáo, cô giáo trong B môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N i đã luôn giúp đỡ, đ ng viên, tạo môi trường hoc t¾p và nghiên cáu thu¾n lợi cho tác giả

Tác giả xin được bày tỏ lòng biet ơn đen Sở Giáo dục và Đào tạo Hà N i, Ban Giám hi¾u trường THPT Chúc Đ ng, các thay cô và các anh chị đong nghi¾p công tác tại trường THPT Chúc Đ ng đã luôn tạo đieu ki¾n thu¾n lợi, giúp đỡ và đ ng viên tác giả trong suot quá trình hoc t¾p và nghiên cáu Tác giả xin gải đen các anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân của Khoa Toán-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N i, các bạn bè gan xa, lời cảm ơn chân thành ve tat cả nhãng giúp đỡ, đ ng viên mà tác giả

đã nh¾n được trong suot thời gian qua

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, nhãng người luôn yêu thương, chia sẻ, đ ng viên tác giả vượt qua khó khăn đe hoàn thành lu¾n án

Mnc lnc

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

M t so kí hi¾u dùng trong lu¾n án 6

M ĐAU 7

1 Lí do chon đe tài 7

2 Tőng quan van đe nghiên cáu 9

3 Mục đích, đoi tượng và phạm vi nghiên cáu 13

4 Phương pháp nghiên cáu 15

5 Ket quả của lu¾n án 15

6 Cau trúc của lu¾n án 16

Chương 1 KIEN THÚC CHUȀN B± 17

1.1 M t so α-mô hình trong cơ hoc chat lỏng 17

1.2 Toán tả n i suy I h .18

1.3 T¾p hút toàn cục 20

1.4 Các không gian hàm 22

1.5 Các toán tả 22

1.6 M t so bat đȁng thác sơ cap thường dùng 26 Chương 2 BÀI TOÁN ĐONG HÓA DŨ LINU R I RẠC ĐOI V I HN

4

LERAY-α 27

2.1 Đ t bài toán 27 2.2 Sự ton tại duy nhat và sự h i tụ của nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m

khảo sát 30 Chương 3 BÀI TOÁN ĐONG HÓA DŨ LINU R I RẠC ĐOI V I HN

NAVIER-STOKES-α 41

3.1 Đ t bài toán 41 3.2 Sự ton tại duy nhat và sự h i tụ của nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m

khảo sát 44 Chương 4 BÀI TOÁN ĐONG HÓA DŨ LINU LIÊN TỤC RÚT GON ĐOI

V I HN BARDINA ĐƠN GIẢN HÓA 58 4.1 Đ t bài toán 58 4.2 Sự ton tại duy nhat và sự h i tụ của nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m

khảo sát trong trường hợp toán tả phép đo loại I 62 4.3 Sự ton tại duy nhat và sự h i tụ của nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m

khảo sát trong trường hợp toán tả phép đo loại II 71 Chương 5 BÀI TOÁN ĐONG HÓA DŨ LINU RÚT GON ĐOI V I HN

LERAY-α CẢI BIÊN 87

5.1 Bài toán đong hóa dã li¾u liên tục rút gon đoi với h¾ Leray-α

cải biên 87 5.1.1 Đ t bài toán 87 5.1.2 Sự ton tại duy nhat và sự h i tụ của nghi¾m xap xỉ tới

nghi¾m khảo sát 90

5.2 Bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc rút gon đoi với h¾ Leray-α cải

biên 104 5.2.1 Đ t bài toán 104

5 5.2.2 Sự ton tại duy nhat và sự h i tụ của nghi¾m xap xỉ tới

nghi¾m khảo sát 105

KET LU¾N 118

1 Ket quả đạt được 118

2 Kien nghị m t so van đe nghiên cáu tiep theo 118

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HOC 119

TÀI LINU THAM KHẢO 120

M T SO KÍ HI U THƯ NG DÙNG TRONG LU¾N ÁN

và các α-mô hình

α-mô hình

X

M ĐAU

1 Lí do chon đe tài

Vi¾c nghiên cáu nhãng lớp phương trình tien hóa trong cơ hoc chat lỏng

có ý nghĩa quan trong trong khoa hoc và công ngh¾ Chính vì v¾y nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhieu nhà khoa hoc trên the giới Sau khi nghiên cáu tính đ t đúng của bài toán, vi¾c nghiên cáu bài toán đong hóa dã li¾u (data assimilation), tác là dự đoán dáng đi¾u của nghi¾m trong tương lai

tà nhãng phép đo thu được, rat quan trong vì nó cho phép ta hieu và dự đoán

xu the phát trien của h¾ trong tương lai; đieu này đ c bi¾t quan trong trong các bài toán dự báo, chȁng hạn bài toán dự báo khí tượng Đây là m t hướng nghiên cáu được phát trien mạnh mẽ trong nhãng năm gan đây

Ve m t toán hoc, ta có the phát bieu bài toán đong hóa dã li¾u như sau Giả sả m t quá trình phác tạp (chȁng hạn dự báo khí tượng) được mô tả bởi phương trình tien hóa (nói chung rat phác tạp) có dạng

W (t) của Y (t) tà các “phép đo” đã biet, sao cho W (t) dan tới Y (t) (theo m t

chuȁn thích hợp) khi thời gian t tien tới vô cùng

M t phương pháp cő đien của đong hóa dã li¾u liên tục, xem ví dụ [18],

là thay các phép đo quan sát được trực tiep vào m t mô hình sau này được lay tích phân theo thời gian Chȁng hạn, ta có the thay các quan sát che đ thap Fourier vào phương trình cho sự tien hóa của các che đ cao Khi đó các giá trị của che đ thap và che đ cao sẽ được ket hợp đe tạo ra m t xap xỉ đay đủ cho trạng thái của h¾ Cách tiep c¾n này đã được thực hi¾n cho h¾ Navier-Stokes hai chieu trong [31, 46] và m t so h¾ khác trong cơ hoc chat lỏng [2, 21, 22, 28, 40] Ve m t toán hoc, cách tiep c¾n này dựa trên sự ton tại t¾p hút toàn cục hãu hạn chieu và tính chat các mode xác định (determining modes) của h¾ Navier-Stokes [38], m t tính chat khá phő bien cho các h¾ tiêu hao mạnh, nhưng có nhược điem là không áp dụng được khi các dã li¾u thu được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì ta không the lay đạo hàm theo bien không gian tại các điem rời rạc đó M t cách tiep c¾n hi¾u quả khác áp dụng cho các h¾ tien hóa tuyen tính được đe xuat bởi J.P Puel trong [48] Cách tiep c¾n này dựa trên các bat đȁng thác kieu Carleman, tỏ ra rat háa hen và hi¾u quả, trên cả phương di¾n lí thuyet và tính toán so, nhưng có hạn che là chỉ áp dụng được cho các bài toán tuyen tính

Năm 2014, Titi và c ng sự đã đe xuat m t phương pháp mới [5] khac phục được nhược điem của các phương pháp nói trên Ý tưởng của phương pháp này là sả dụng m t so hạng đieu khien phản hoi cháa dã li¾u quan sát được

đưa vào trong h¾ ban đau đe được m t h¾ mới goi là h phương trình đong hóa

dũ li u Sau đó ta sẽ thiet l¾p các đieu ki¾n đe đảm bảo h¾ đong hóa dã li¾u

này có m t nghi¾m toàn cục duy nhat và nó h i tụ ve nghi¾m khảo sát của h¾ goc ban đau Tuy nhiên, ket quả nghiên cáu bang phương pháp này mới chỉ

có ở bài toán đong hóa dã li¾u liên tục cho cho h¾ Navier-Stokes hai chieu [5]

và m t vài α-mô hình ba chieu [2, 1]; trong trường hợp rời rạc thì mới chỉ có

ket quả đoi với h¾ Navier-Stokes hai chieu [27]

H¾ Navier-Stokes đóng vai trò quan trong trong cơ hoc chat lỏng Tuy

nhiên, trong trường hợp ba chieu (là trường hợp có ý nghĩa v¾t lí nhat) thì tính đ t đúng toàn cục và vi¾c tính toán so nghi¾m của h¾ này van còn là nhãng van đe mở lớn và tỏ ra rat khó M t trong nhãng cách tiep c¾n đe vượt qua nhãng khó khăn này là sả dụng nhãng h¾ chỉnh hóa của h¾ Navier-Stokes

M t lớp h¾ chỉnh hóa phő bien và thường được sả dụng là các α-mô hình trong

cơ hoc chat lỏng, bao gom h¾ Navier-Stokes-α [25], h¾ Leray-α [15], h¾ Leray-α

cải biên [34] và h¾ Bardina đơn giản hóa [42], Ve m t hình thác, neu cho

α = 0 trong các α-mô hình này ta sẽ thu lại được h¾ Navier-Stokes cő đien

Trong vài năm gan đây, đã có m t so ket quả ve bài toán đong hóa dã li¾u liên

tục cho các α-mô hình, bao gom h¾ Navier-Stokes-α [2], h¾ Bardina đơn giản hóa [1], h¾ Leray-α [24], Tuy nhiên, theo hieu biet của chúng tôi, chưa có ket quả nào ve bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc đoi với các α-mô hình trong

cơ hoc chat lỏng Ngoài ra, bài toán đong hóa dã li¾u liên tục mà chỉ sả dụng phép đo trên hai trong so ba thành phan của vectơ v¾n toc (mà ta sẽ goi là

phép đo rút gon) đoi với các α-mô hình van còn rat ít ket quả; mới chỉ có ket quả gan đây trong [24] đoi với h¾ Leray-α

Tà nhãng phân tích trên ta thay rang m c dù đã có m t so ket quả ban

đau nhưng các ket quả ve bài toán đong hóa dã li¾u đoi với các α-mô hình

trong cơ hoc chat lỏng, đ c bi¾t trong trường hợp đong hóa dã li¾u rời rạc

ho c chỉ sả dụng phép đo trên hai thành phan của vectơ v¾n toc, van còn ít

và đang là van đe thời sự, có ý nghĩa khoa hoc và thực tien, thu hút được sự quan tâm của nhieu nhà toán hoc trên the giới Vì v¾y, chúng tôi chon van đe

"Bài toán đong hóa dũ li u đoi vái m t so phương trình tien hóa trong cơ hoc chat lóng" làm đe tài nghiên cáu lu¾n án tien sĩ của mình

2 Tőng quan van đe nghiên cfíu

Tà cuoi nhãng năm 1960s, các v¾ tinh nhân tạo bat đau thu được các dã li¾u ve thời tiet gan như liên tục theo thời gian Charney, Halem và Jastrow đã

chỉ ra trong [12] m t so phương trình ve khí quyen được dùng đe xả lí các dã li¾u đó và thu được các đánh giá trước ve trạng thái của khí quyen Phương pháp của ho, được goi là đong hóa dã li¾u liên tục, đó là đưa các dã li¾u đo đạc thu th¾p được m t cách trực tiep vào trong m t mô hình và sau đó tích phân lại theo thời gian M t tőng hợp ve vi¾c sả dụng đong hóa dã li¾u liên tục trong thực te dự báo thời tiet cũng được nêu bởi Daley [18]

Bang vi¾c sả dụng cách tiep c¾n cő đien và so mode xác định, Titi và c ng

sự đã nghiên cáu bài toán đong hóa dã li¾u cho h¾ Navier-Stokes hai chieu, trong cả hai trường hợp là dã li¾u thu th¾p được liên tục theo thời gian [46]

và rời rạc theo thời gian [31] Phương pháp này có ưu điem là đơn giản ve m t khái ni¾m, nhưng có nhược điem là không áp dụng được khi các dã li¾u thu được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì không the lay đạo hàm theo bien không gian tại các điem rời rạc đó

Nham khac phục nhãng nhược điem trên, năm 2014 Titi và c ng sự đã đe xuat m t phương pháp mới đe nghiên cáu bài toán đong hóa dã li¾u [5] Ý tưởng của phương pháp này là sả dụng m t so hạng đieu khien phản hoi đưa vào trong phương trình đe được m t phương trình mới, goi là phương trình đong hóa dã li¾u Phương pháp này còn được goi là phương pháp nudging Newton hay phương pháp giãn đ ng lực (dynamic relaxation) [32]

N i dung của phương pháp đong hóa dã li¾u trong [5] như sau: Giả sả rang

m t h¾ phương trình có dạng

dY

dt

cách sả dụng các thiet bị đo đạc, ta biet m t phan của nghi¾m trong khoảng

hóa dã li¾u rời rạc) Vì không biet chính xác đieu ki¾n ban đau nên ta không

the tính được Y (t) Do đó, thay vì đi tính Y (t), ta đi tìm W (t), là nghi¾m

dW

của m t phương trình mới goi là phương trình đong hóa dũ li u, sao cho W (t)

h i tụ ve Y (t) (theo m t chuȁn thích hợp) khi thời gian t tien tới vô cùng Khi đó, W (t) goi là nghi m xap xí và nghi¾m Y (t) goi là nghi m khảo sát

đây, tham so h đ c trưng cho đ phân giải không gian của phép đo Toán tả

cả trường hợp các mode xác định (determining modes), cũng như các nút xác định (determining nodes) và các phan tả the tích xác định (determining finite volume) (xem [2])

dương µ được goi là tham so giãn Ta sẽ tìm các đieu ki¾n đủ của các tham

so µ và h (h đủ nhỏ, µ đủ lớn) đe h¾ (2) có nghi¾m toàn cục duy nhat W (t)

và W (t) h i tụ tới Y (t) khi thời gian t tien tới vô cùng Theo quan điem v¾t

lí, đ phân giải không gian h của phép đo thường là khó và ton kém đe thay đői, trong khi tham so giãn µ là tham so toán hoc có the de dàng thay đői, do

đó ta t¾p trung vào vi¾c tìm đieu ki¾n của h đe ton tại m t giá trị µ đảm bảo cho sự thành công của thu¾t toán Sau khoảng thời gian T > 0 đủ lớn, nghi¾m

W (T ) có the được sả dụng làm đieu ki¾n ban đau trong h¾ (1) đe đưa ra dự

đoán trong tương lai của nghi¾m tham chieu Y (t) khi t > T ho c ta có the

tiep tục với chính h¾ đong hóa dã li¾u (2), neu dã li¾u đo van tiep tục được cung cap

Đoi với bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc, tình huong gan với thực tien hơn,

đieu ki¾n đủ của h, µ và κ sao cho h¾ (3) có nghi¾m toàn cục duy nhat W (t)

và W (t) h i tụ tới Y (t) khi thời gian t tien tới vô cùng

Phương pháp đong hóa dã li¾u chỉ áp dụng được cho các mô hình đ t đúng, nói riêng là các h¾ mà đã cháng minh được sự ton tại và tính duy nhat nghi¾m Chính vì lí do đó, ket quả đong hóa dã li¾u đoi với h¾ Navier-Stokes mới chỉ có trong trường hợp hai chieu [5, 27], còn trong trường hợp ba chieu

ta chưa cháng minh được các ket quả tương tự Đe nghiên cáu các tính chat nghi¾m nói chung và bài toán đong hóa dã li¾u nói riêng của h¾ Navier-Stokes

ba chieu, m t cách làm phő bien là nghiên cáu trên các α-mô hình, được coi như là nhãng xap xỉ của h¾ Navier-Stokes khi tham so α nhỏ Gan đây đã có

m t so ket quả đoi với bài toán đong hóa dã li¾u liên tục cho các α-mô hình như h¾ Navier-Stokes-α [2], h¾ Bardina đơn giản hóa [1], h¾ Leray-α [24],

Rat gan đây m t hướng nghiên cáu mới, đó là giảm so chieu phép đo xuong thap hơn so chieu không gian, cũng đang thu hút sự quan tâm của nhieu nhà khoa hoc [23, 24] Bài toán đong hóa dã li¾u liên tục rút gon so chieu phép đo

ve cơ bản van được thiet l¾p như trường hợp đay đủ so chieu phép đo, nhưng

I h (Y2(t)) và I h (Y3(t)) (với t ∈ [t0, T ]), thì giờ đây chỉ được bieu dien bởi so

thành phan ít hơn, ví dụ như đoi với không gian ba chieu là hai thành phan

Vi¾c không có dã li¾u nào đoi với thành phan phép đo bị thieu dan tới khó khăn trong vi¾c xây dựng nghi¾m xap xỉ và cháng minh sự h i tụ của nghi¾m

xap xỉ tới nghi¾m khảo sát theo thu¾t toán đong hóa dã li¾u liên tục Khó khăn này đã được khac phục trong m t so mô hình cụ the, đó là h¾ Navier-Stokes

hai chieu [23] và h¾ Leray-α ba chieu [24], bang cách sả dụng đieu ki¾n không nén được ∇ · Y = 0 đe bieu dien các so hạng áng với thành phan chưa biet

thông qua các so hạng áng với các thành phan đã biet Tuy nhiên, "chìa khóa"

này chưa the khȁng định luôn dùng được cho moi mô hình nói chung và các

α-mô hình nói riêng Đó là trong trường hợp bài toán đong hóa dã li¾u liên tục, còn theo hieu biet của chúng tôi bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc với phép

đo rút gon cho đen nay van chưa được thiet l¾p và nghiên cáu

Tà nhãng phân tích trên, nhãng van đe mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cáu trong lu¾n án này bao gom:

• Bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc đoi với m t so α-mô hình trong không

gian ba chieu

• Bài toán đong hóa dã li¾u liên tục đoi với m t so α-mô hình trong không

gian ba chieu, trong đó chỉ sả dụng phép đo trên hai thành phan của vectơ v¾n toc

• Bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc đoi với m t so α-mô hình trong không

gian ba chieu, trong đó chỉ sả dụng phép đo trên hai thành phan của vectơ v¾n toc

3 Mnc đích, đoi tư ng và phạm vi nghiên cfíu

• Mực đích của lu¾n án: Nghiên cáu bài toán đong hóa dã li¾u, cả trong trường hợp liên tục và trường hợp rời rạc, đoi với m t so α-mô hình trong

cơ hoc chat lỏng

• Đoi tưạng nghiên cúu: Nghiên cáu sự ton tại duy nhat toàn cục và đánh

giá ti¾m c¾n theo thời gian của hi¾u giãa nghi¾m của h¾ đong hóa dã li¾u (goi là nghi¾m xap xỉ) với nghi¾m khảo sát của h¾ goc (nói riêng là

sự h i tụ của nghi¾m xap xỉ ve nghi¾m khảo sát khi thời gian ra vô cùng

neu phép đo không có sai so), đoi với m t so α-mô hình trong cơ hoc

chat lỏng

trên hai thành phan của vectơ v¾n toc đoi với h¾ Bardina đơn giản hóa ba chieu:

∂v

∇ · u = ∇ · v = 0

phép đo trên hai thành phan của vectơ v¾n toc đoi với h¾ Leray-α

cải biên ba chieu:

∂v

∇ · u = ∇ · v = 0

4 Phương pháp nghiên cfíu

• Nghiên cáu bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc: sả dụng phương pháp đe xuat trong [27] bởi E Titi và các c ng sự

• Nghiên cáu bài toán đong hóa dã li¾u liên tục: sả dụng phương pháp đe xuat trong [5, 23, 24] bởi E Titi và các c ng sự

5 Ket qua cua lu n án

Lu¾n án đã đạt được nhãng ket quả chính sau đây:

• Cháng minh được sự ton tại duy nhat của nghi¾m xap xỉ và đánh giá được ti¾m c¾n theo thời gian của hi¾u giãa nghi¾m xap xỉ và nghi¾m

khảo sát cho bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc đoi với h¾ Leray-α ba chieu và h¾ Navier-Stokes-α ba chieu trong trường hợp phép đo có the

có sai so Đ c bi¾t, khi không có sai so ta thu được sự h i tụ theo toc đ

mũ của nghi¾m xap xỉ h i tụ tới nghi¾m khảo sát khi thời gian tien tới

vô cùng Đây là n i dung chính của Chương 2 và Chương 3

• Cháng minh được sự ton tại duy nhat của nghi¾m xap xỉ và sự h i tụ theo toc đ mũ của nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát đoi với bài toán đong hóa dã li¾u liên tục đoi với h¾ Bardina đơn giản hóa ba chieu mà chỉ sả dụng phép đo trên hai thành phan của vectơ v¾n toc Đây là n i dung chính của Chương 4

• Cháng minh được sự ton tại duy nhat của nghi¾m xap xỉ và sự h i tụ theo toc đ mũ của nghi¾m xap xỉ ve nghi¾m khảo sát cho cả bài toán

đong hóa dã li¾u liên tục và rời rạc đoi với h¾ Leray-α cải biên ba chieu

mà chỉ sả dụng phép đo trên hai thành phan của vectơ v¾n toc Đây là

n i dung chính của Chương 5

Các ket quả của lu¾n án là nhãng đóng góp có ý nghĩa cho Lí thuyet các phương trình đạo hàm riêng trong cơ hoc chat lỏng và Lí thuyet đong hóa dã

li¾u; góp phan vào vi¾c hoàn thi¾n các lí thuyet này và giải quyet m t so van

đe mở được nhieu nhà khoa hoc trong và ngoài nước quan tâm

Các ket quả chính đạt được đã được công bo ho c đang gải đăng trên m t

so tạp chí chuyên ngành quoc te (xem phan Danh mục công trình khoa hoc)

và đã được báo cáo tại các h i thảo và seminar khoa hoc sau:

• H i nghị toán hoc toàn quoc lan thá 8, Nha Trang, tháng 8/2018;

• H i nghị nghiên cáu khoa hoc của nghiên cáu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N i, các năm 2017 và 2018;

• Seminar của B môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm

Hà N i

6 Cau trúc cua lu n án

Ngoài phan mở đau, ket lu¾n, danh mục các công trình khoa hoc liên quan đen lu¾n án và danh mục tài li¾u tham khảo, lu¾n án gom 5 chương:

• Chương 1 Kien thác chuȁn bị

• Chương 2 Bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc đoi với h¾ Leray-α

• Chương 3 Bài toán đong hóa dã li¾u rời rạc đoi với h¾ Navier-Stokes-α

• Chương 4 Bài toán đong hóa dã li¾u liên tục rút gon đoi với h¾ Bardina

đơn giản hóa

• Chương 5 Bài toán đong hóa dã li¾u rút gon đoi với h¾ Leray-α cải biên

Chương 1 KIEN THỨC CHUȀN B±

Trong chương này, chúng tôi nhac lại m t so kien thác cơ bản ve các α-mô

gian hàm, toán tả, và các bat đȁng thác được sả dụng trong cháng minh các ket quả chính của lu¾n án ở các chương sau

1.1 M t so α-mô hình trong cơ hoc chat long

M t lớp h¾ chỉnh hóa phő bien và thường g p của h¾ Navier-Stokes ba chieu là

các α-mô hình trong cơ hoc chat lỏng Các α-mô hình này thu được bang cách

∂v

∇ · v = 0,

xuat phát tà mục đích ban đau là dùng đe mô phỏng so cho h¾ Navier-Stokes,

nhưng các α-mô hình cũng đã được chỉ ra là có moi liên h¾ giãa các nghi¾m

của chúng với các dòng chảy hon loạn trên các kênh và các đường ong (xem

[13]) Ve m t hình thác, trong các α-mô hình này neu thay α bang 0 ta sẽ thu được h¾ Navier-Stokes Dưới đây ta li¾t kê các α-mô hình được nghiên cáu

Trong tat cả các h¾ trên, u = u(x, t) bieu dien cho v¾n toc của dòng chảy,

hướng, bieu thị cho áp suat và f là hàm ngoại lực

Trong nhãng năm gan đây, đã có nhieu ket quả ve sự ton tại duy nhat nghi¾m toàn cục và dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m thông qua sự ton tại và tính

chat của t¾p hút toàn cục cho các α-mô hình; xem, chȁng hạn, [10, 11, 15, 34,

40, 41, 42, 55] Xin xem thêm bài báo [33] ve m t so α-mô hình quan trong

khác trong cơ hoc chat lỏng và ket quả toán hoc liên quan đen chúng

1.2 Toán tfi n i suy I h

mãn m t trong hai trường hợp sau, lan lượt goi là toán tả n i suy loại I và toán tả n i suy loại II

ǁϕ − I h (ϕ)ǁ L2 (Ω) ≤ γ0h ǁϕǁ2 H1 (Ω), ∀ϕ ∈ H 1(Ω)

(xem thêm trong [2, 5])

Ví dự 1 (toán tả n i suy I h loại I): Phép chieu Fourier

Ví dự 2 (toán tả n i suy I h loại I): Các phan tả the tích

N

Giả sả (X, ǁ · ǁ) là m t không gian Banach và nảa khoảng cách Hausdorff

a∈A b∈B

ǁa − bǁ, với A, B ⊂ X

√ 3

Định nghĩa 1.1 H đ ng lực là m t c p (X, S(t)) gom m t không gian

Banach X và m t ho các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0, thỏa mãn:

1) S(0) = Id;

2) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s);

Ho các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0 thỏa mãn các đieu ki¾n trên được goi

là m t nủa nhóm liên tực trên X Không gian X được goi là không gian pha

(hay không gian trạng thái)

Định nghĩa 1.2 Nảa nhóm S(t) goi là tiêu hao b ch¾n (goi tat là tiêu hao)

m t t¾p hap thự đoi với nảa nhóm S(t)

Định nghĩa 1.3 M t t¾p con khác rong A của X goi là m t t¾p hút toàn

cực đoi với nảa nhóm S(t) neu:

1) A là m t t¾p compact;

2) A là bat bien, tác là S(t)A = A với moi t ≥ 0;

3) A hút moi t¾p con bị ch n B của X, tác là

lim

Định lí dưới đây mô tả cau trúc của t¾p hút toàn cục

Định lí 1.1 ([50]) Giả sủ nủa nhóm S(t) có t¾p hút toàn cực A Khi đó A

là hạp của moi quỹ đạo đay đủ b ch¾n (nói riêng là các điem dùng và các quỹ đạo tuan hoàn, neu có, đeu nam trên A)

Định lí 1.2 ([50]) Giả sủ nủa nhóm S(t) có t¾p hút toàn cực A Cho trưác

1.4 Các không gian hàm

Khi đó H và V là các không gian Hilbert với tích vô hướng lan lượt là

3

V ,V

V ,V

1

liên hợp với nghịch đảo compact Do đó ton tại m t t¾p hợp các hàm riêng l¾p

Với moi u, v ∈ V, kí hi¾u B(u, v) = P[(u · ∇)v] Khi đó B là m t toán tả

Ta nhac lại m t so tính chat quan trong của B(u, v) Các ket quả này có the được tìm thay trong [50, 51] Với u, v, w ∈ V , ta có

và h¾ quả là

Hơn nãa (xem [50, 51]),

Tương tự, với moi u, v ∈ V, kí hi¾u B(u, v) = −P[u × (∇ × v)] Toán tả B

Nói riêng B˜ thỏa mãn đȁng thác sau (xem [26]):

1/2

V ' ,V

D

Ta cũng có với moi v ∈ V, u, w ∈ D(A):

bat đȁng thác Agmon trong không gian ba chieu, ta thu được (1.12) tà (1.13)

−1/4

˜

Cuoi mục này ta nhac lại m t so bat đȁng thác giãa các không gian hàm, thường xuyên được sả dụng trong lu¾n án

Ta có các phiên bản sau của bat đȁng thác Poincaré (xem [50, 51]):

Do đó

và

Trong không gian ba chieu, ta có bat đȁng thác Agmon (xem [50, 51]):

bat đȁng thác Ladyzhenskaya (xem [50, 51]):

và bat đȁng thác Sobolev (xem [50, 51]):

dx(t)

∫ t

1.6 M t so bat đang thfíc sơ cap thư ng dùng

Dưới đây là m t so bat đȁng thác sơ cap thường xuyên được sả dụng trong lu¾n án

• Bat đȁng thác Cauchy với ϵ:

trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0, T ] Khi đó

Chương 2 BÀI TOÁN ĐONG HÓA Dữ LI U R I RẠC ĐOI V I H

LERAY-α

Trong chương này, chúng ta nghiên cáu bài toán đong hóa dã li¾u cho h¾

Leray-α ba chieu, khi phép đo thu được dưới dạng rời rạc theo thời gian và có

the cháa sai so Dưới nhãng đieu ki¾n thích hợp của h¾ so giãn, đ phân giải không gian của phép đo và khoảng cách giãa các lan đo, ta thu được m t đánh giá ti¾m c¾n theo thời gian của hi¾u giãa nghi¾m xap xỉ và nghi¾m khảo sát tương áng với các dã li¾u phép đo thu th¾p được, theo m t chuȁn thích hợp Nói riêng, trong trường hợp sai so bang 0, ta có sự h i tụ với toc đ mũ của nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát

N i dung của chương này dựa trên công trình [CT1] trong Danh mục công trình khoa hoc của tác giả liên quan đen lu¾n án

2.1 Đ t bài toán

Trong nhãng năm gan đây, nhãng van đe toán hoc liên quan tới h¾ Leray-

α, bao gom sự ton tại, tính chính quy của nghi¾m, sự h i tụ và dáng đi¾u của

nghi¾m theo thời gian đã thu hút sự chú ý của nhieu nhà toán hoc [3, 11, 14,

15, 19, 29, 49, 53] Bài toán đong hóa dã li¾u cho h¾ Leray-α ba chieu mới đây

đã được nghiên cáu trong trường hợp dã li¾u thu th¾p là liên tục theo thời gian và không có sai so [24]

Trong chương này, ta sẽ nghiên cáu m t trường hợp mang tính thực te hơn, khi mà các dã li¾u thu th¾p được là rời rạc theo bien thời gian và có the cháa sai so Dưới đây, ta sẽ giải thích rõ ve van đe sẽ được nghiên cáu

Giả sả rang sự tien hóa của u được mô tả bởi h¾ Leray-α ba chieu với đieu

∂v

∇ · u = ∇ · v = 0,

và α > 0 là m t tham so cho trước, p là m t hàm vô hướng bieu thị cho áp suat và f là hàm ngoại lực, với giả thiet f không phụ thu c thời gian

các so li¾u được thu th¾p Ta giả thiet rang

Hơn nãa, ta kí hi¾u khoảng cách lớn nhat giãa hai lan đo liên tiep bởi tham

so dương κ, tác là

Bây giờ, dựa trên cách tiep c¾n trong [27] ta giới thi¾u thu¾t toán đong

hóa dã li¾u rời rạc nham đi tìm m t nghi¾m xap xỉ z của nghi¾m khảo sát v:

−

Σ

trong đó ν và f tương áng là h¾ so nhớt và hàm ngoại lực lay tà (2.1), q là hàm

so giãn (h¾ so nudging) Như đã được đe c¾p đen trong [27], m t ưu điem của

cách tùy ý

Chương 1, ta có the viet lại h¾ (2.3) dưới dạng tương đương sau

Pη n χ n ,

(2.4)

thời gian của giới hạn của hi¾u giãa nghi¾m xap xỉ z và nghi¾m khảo sát v

thỏa mãn (2.1) là bị ch n trên bởi tích của giá trị cực đại của các sai so với

m t hang so dương Nói riêng, ket quả thu được chỉ ra rang sẽ không có sự tích lũy của các sai so theo thời gian Đong thời, trong trường hợp không có

sai so, ta thu được sự h i tụ mũ của z tới v, tương tự như ket quả thu được

trong trường hợp đong hóa dã li¾u liên tục trong [24]

Vì mục tiêu của chúng ta là nghiên cáu dáng đi¾u ti¾m c¾n của nghi¾m,

∂t

P

nên trong chương này ta giả thiet nghi¾m khảo sát v là m t quỹ đạo nam trong t¾p hút toàn cục A của h¾ Leray-α ba chieu Tuy v¾y, các ket quả này van đúng neu ta giả thiet rang v là m t nghi¾m của h¾ Leray-α ba chieu xuat

được thỏa mãn, sai khác m t hang so dương Tat cả các ket quả này van đúng

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cáu các van đe sau đoi với h¾ đong hóa dã li¾u rời rạc (2.4):

• Sự ton tại và tính duy nhat của nghi¾m xap xỉ (tác là nghi¾m của h¾ đong hóa dã li¾u (2.4));

• Đánh giá ti¾m c¾n theo thời gian của hi¾u giãa nghi¾m xap xỉ và nghi¾m khảo sát; nói riêng là sự h i tụ của nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát khi phép đo không có sai so

2.2 Sfi ton tại duy nhat và sfi h i tn cua nghi m xap xi t i nghi m khao sát

Ta viet lại h¾ Leray-α ba chieu dưới dạng

dv

dt

Trước tiên ta nhac lại ket quả ve tính đ t đúng của h¾ Leray-α ba chieu

đã được cháng minh trong [15]

Định lí 2.1 ([15]) Giả sủ f ∈ H và v0 ∈ H Khi đó h Leray-α (2.5) có duy

nhat m t nghi m toàn cực v thóa mãn

Hơn nũa, nủa nhóm tương úng S(t) : H → H có m t t¾p hút toàn cực A trong

H Hơn nũa, vái moi v ∈ A, ta có

Định lí 2.2 Giả sủ z0 ∈ H, f ∈ H và v là m t quỹ đạo nam trong t¾p hút

toàn cực A của h Leray-α ba chieu Khi đó, ton tại duy nhat m t nghi m z

dz , ∞; V ),

Tiep tục thực hi¾n theo quy nạp, ta có với moi n ∈ N ton tại duy nhat

z n−1(t n ) ∈ H

Đ t

Định lí sau đây là ket quả chính của chương này

Định lí 2.3 Giả sủ v là m t quỹ đạo nam trong t¾p hút toàn cực A của h

0 0 2 2

thì

vào các tham so của h

Vì v là m t quỹ đạo nam trong t¾p hút toàn cục A, ta có the sả dụng đánh

giá (2.7) Tà (1.2), (1.19) và bat đȁng thác Cauchy, ta có

nãa, ta thu được giong như ở (2.34) rang