PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1,
1,Giải hệ phương trình: 2 0
1 4 1 2
Giải:
Điều kiện:
1 1 4
x y
Từ (1) x x 2 0
x = 4y Nghiệm của hệ (2;1
2)
2, giải phương trình:
2x +1 +x 2 2
Giải:
* Đặt:
2
v u 2x 1
v u 1
v x 2x 3, v 0
2
Ta có:
v u 1
(v u) 1 0 (c)
Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm
Do đó:
2
Trang 2Kết luận, phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1
2
3,
y y
x
x
y y x y
x
) 2 )(
1
(
4 ) (
1
2
2
(x, y R)
Giải:
2
2
1
1
x
x y
y
x
x y
y
Đặt , v x y 2
y
1 x u
2
1 uv
2 v u
Suy ra
1 2 y
x
1 y
1
x2
Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm : (1; 2), (-2; 5)
4,
2 2
1 3 2 2
3
3
y xy
y
x
y
x
Giải:
) 2 ( 0 2
2
) 1 ( 1
2 2
1
2 2
3 3
3 3 3
2 2
3
3
xy y x y x
y x y
xy y
x
y
x
y 0 Ta có:
) 4 ( 0 1 2
2
) 3 ( 1
2 3
3 3
y
x y
x y
x
y x
Đặt : t
y
x
(4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + 1 = 0 t = 1, t =
2
1
a) Nếu t = 1 ta có hệ
3
3 3
2
1 1
y x y
x
y x
b) Nếu t = -1 ta có hệ
y x
y
x3 3 1
hệ vô nghiệm
Nếu t =
2
1
ta có hệ
3
3 2 ,
3
3 2
3 3
y x
x y
y x
5,
2
1
x x
y
y y x y
Trang 3
Giải:
ĐK : y0
hệ
2
2
1
2 0
y x
đưa hệ về dạng
2 2
2
1
,
Từ đó ta có nghiệm của hệ
(-1 ;-1),(1 ;1), (3 7 ; 2
), (
;
) 6,
2 2 2 2
1 2
1
x x y xy y xy
7,
2 2
2
3
1
x y x
x y
GIẢI:
Trang 42 2
2 2 1
3
u v
v x y
8
4 1 1
3
2 2
2
2
y x
xy
y
x
9.
8x y 27 18y (1)
4x y 6x y (2)
Giải:
(2)
x
y
3
Đặt a = 2x; b =
y
3 (2) a b
ab
3 1
Hệ đã cho có nghiệm: 3 5; 6 , 3 5; 6
10, x2 (x 2) x 1 x 2
11,
12 x2 x 2 3 x 5 x2 4 x 6
Giải:
Trang 5Bình phương 2 vế ta được : 6 x x ( 1)( x 2) 4 x2 12 x 4
3 x x ( 1)( x 2) 2 ( x x 2) 2( x 1)
Đặt
( 2)
0 1
x x t
x
ta được bpt 2
2t 3t 2 0
1
2 2
2
t
t t
(dot 0)
Với 2 ( 2) 2 2 6 4 0
1
x x
x
3 13
3 13
3 13
x
x x
( do x 2) Vậy bpt có nghiệm x 3 13
13,
2 2
1 2 2
x y
x y
xy x y x y
( x y , R ) Giải:
* ệ
( 1)( 1)[( 1) ( 1)] 6
1 1
u x
v y
, th được hệ
2 2
5
u v
uv u v
* iải ra được: u u v . v 2 3
* iải ra được:
1 1
1 2
u x
v y
1 2
1 1
u x
v y
3
2
x
y
hoặc
2 3
x y
14, { √ √ √
iải:
Đặt : t = x + y ĐK: t
√ √ √ √ √
Trang 6Vậy hệ dã cho có một nghiệm {
15,
2 2
1 2 2
x y
x y
xy x y x y
( x y , R )
Giải:
Ta có: VT + 3 =
VT
1
4 2
1
4 2
6
6 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2
( Dấ ng xảy ra hi v ch hi x = y = = )
16, 3 3
2 2
9
x y
Giải:
Ta có : x y2 2 9 xy 3 Khi: xy3, ta có: x3y3 4 và 3 3
x y
√ √ [
√ √ ]
Hệ đã cho trở thành {
{
Trang 7
Suy ra: 3 3
;
x y là nghiệm PT X24X27 0 X 2 31
Vậy ngiệm của PT là x32 31,y 32 31 Hayx32 31,y 32 31
Khi: xy 3, ta có: x3y3 4 và 3 3
x y Suy ra: 3 3
;
x y là nghiệm PT
2
X X PTVN
17,
2 2
2 2
1 4
, ( ,x yR)
Giải:
0
y , ta có:
Đặt
2
1
,
x
y
+) Với v3,u1ta có hệ:
2, 5
+) Với v 5,u9ta có hệ:
nghiệm
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; )x y {(1; 2), ( 2; 5)}.
18,
x, y
Giải:
x xy x y y 13 1'
y xy x y x 25 2'
Lấy (2’) - (1’) ta được : x2 y– xy2 = 6 x y xy 6 (3)
Kết hợp với (1) ta có:
I
x y xy 6
Trang 8
2
I
Đặt S = x +z và P = xz ta có :
S S 2P 13 S 2SP 13 S 1
SP 6
SP 6
Ta có x z 1
x.z 6
hệ phương trình có nghiệm:
x 3
z 2
hoÆc
x 2
z 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( 3 ; 2) vµ ( -2 ; -3 )
19,
y x
Giải:
Ta có: 3 3 2 2 3 2 2 3
2 x y 2 y x 2 y x x 2 x y 2 xy 5 y 0
Khi y0 thì hệ VN
Khi y0, chia 2 vế cho y3 0
Đặt t x
y
, ta có : t3 2 t2 2 t 5 0 t 1
Khi t 1 ,ta có : HPT
1
y x
y
20, 7x2x x 5 3 2 xx2 (x )
Giải
2
x x
PT
Trang 93 2 0
5 2( 2)
x x
0
2
5 2.
x x
x x
x
2
x
x 1
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = - 1
21, 2
x x x x
Giải:
Điều kiện : x 1
Phương trình tương đương với 2
x x x x x (*) Đặt y x1,y0 Khi đó (*) có dạng : x2 – x(y - 1) – 2y – 2y2 = 0
2
2
x
Vậy phương trình có nghiệm là: x =2
22) x x y y
x y x y
2 22 0
Giải:
(2) ( 22 2)2 ( 3)2 4 2
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
2
2 3
y v Khi đó (2) 2 2 4
4( ) 8
u v
0
u
v hoặc 0
2
u
v
3
x
3
x
5
x
5
x