Hướng dẫn HS đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021 2022 Trang 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lý do chọn đề tài Toán học là môn học phát[.]
Trang 1ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lý do chọn đề tài
Toán học là môn học phát triển trí tuệ, đòi hỏi sự tìm tòi và sáng tạo không
ngừng Trong quá trình giảng dạy môn toán và hướng dẫn học sinh giải toán, đặc
biệt là khi hướng dẫn học sinh giỏi giải các bài toán khó tôi vẫn thường thấy một
thực trạng học sinh tìm tòi lời giải theo thói quen là: Tìm cách phân tích để đưa bài
toán về các tính chất toán học đã học như định nghĩa, định lý hoặc là các hệ quả
Việc giải như vậy là một phương pháp suy luận mà giáo viên thường hướng dẫn
học sinh suy luận theo một lối mòn nhất định, tôi thiết nghĩ nếu chỉ để học sinh tìm
tòi lời giải theo những phương pháp thông thường theo lối mòn sẽ làm học sinh
mất đi tính sáng tạo của các em Theo tôi ngoài các định nghĩa, định lý và hệ quả ra
chúng ta còn vô số các bài toán có thể xem là bài toán mẫu trong quá trình suy
luận, tìm tòi phương pháp giải
Trên thực tế thì các định lý hay hệ quả cũng chính là các bài toán đã được
chứng minh trọn vẹn để cho chúng ta áp dụng trong quá trình suy luận, phân tích
và tìm tòi lời giải Vậy tại sao ta không thử đặt câu hỏi với những bài toán mà
mình đã chứng minh ta xem như là một định lý hay hệ quả của bản thân mình trong
quá trình suy luận và tìm tòi lời giải, đó là một thành quả riêng của bản thân mà có
thể sử dụng khi cần thiết Việc phân tích bài toán để đưa nó về bài toán quen thuộc
đôi khi sẽ dể dàng hơn là cố gắng đưa bài toán về sử dụng định lý hay hệ quả mà ta
đã biết Ngoài ra việc sử dụng được bài toán đã giải chúng ta không những có thể
giải quyết nhanh vấn đề mà còn có thể tìm được lời giải hay và ngắn gọn Bên cạnh
đó khi hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải theo hướng này các thầy cô lại hình
thành cho hoc sinh một thói quen trong việc tìm tòi lời giải không những xuất phát
từ những định lý hay hệ quả mà cách phân tích tìm tòi lời giải cũng có thể bắt đầu
từ một bài toán quen thuộc mà các em đã từng giải, hình thành cho học sinh thói
quen tự tìm tòi và sáng tạo lời giải của mình
Với những lý do trên tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh đưa một bài toán
về bài toán đã chứng minh- Phần quỹ tích hình học cấp THCS” nhằm giới thiệu
cách tận dụng một bài toán đã giải để đưa vào vận dụng khi giải một số bài toán
khó để có được lời giải hay và ngắn gọn
Trong đề tài này tôi chỉ trình bày cách phân tích và tìm tòi lời giải của các
bài toán thông qua một bài toán đã được giải mà không có ý đi giải hay trình bày
lời giải của từng bài toán cụ thể
Trang 2Hướng dẫn HS đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS
2 Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu chủ yếu là hướng dẫn học sinh phương pháp phân tích và đưa một
bài toán về bài toán gốc đã được chứng minh Từ đó tập cho học sinh có thói quen
xâu chuỗi, hệ thống các dạng bài tập đã được học, biến những bài tập mới đọc
tưởng chừng là lạ thành những bài tập quen thuộc Tìm hiểu những hạn chế và
những khó khăn của học sinh trong quá trình giải các bài toán lớn, bồi dưỡng học
sinh khá, giỏi lớp 8,9 để có những biện pháp giúp đỡ học sinh khắc phục dần
những khó khăn mà học sinh thường mắc phải
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng là học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 của trường;
- Phạm vi nghiên cứu: + Chương trình toán 8,9;
+ Sách giáo khoa toán 8,9;
+ Sách giáo viên toán 8,9;
+ Sách tham khảo, nâng cao toán 8,9;
4 Giả thuyết khoa học
Thực hiện tốt các phương pháp và cách hướng dẫn của sáng kiến kinh nghiệm
này chắc chắn sẽ góp phần nâng cao chất lượng môn Toán, nâng cao điểm tuyển sinh
vào các trường THPT của đơn vị và học sinh sẽ yêu thích học môn Toán hơn
5 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp giải và cách định hướng cho học sinh giải các bài toán
về quỹ tích hình học Tổng kết thực tiễn việc thực hiện trong quá trình giảng dạy
chuyên đề này
6 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, khảo sát;
- Phương pháp thể nghiệm;
- Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa
7 Phạm vi nghiên cứu
Một số cách giải bài toán quỹ tích trong chương trình THCS
8 Dự báo được sự đóng góp của đề tài
Đề tài sẽ tác động đến việc tạo hứng thú và tính tích cực cho học sinh khi
gặp dạng toán này
Trang 3B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I Cơ sở lí luận
Trong thực tế đối với một bài toán lớn bao giờ cũng được xây dựng trên nền
tảng của một bài toán cơ bản mà học sinh đã được học, được làm trên lớp hoặc đã
được làm trong sách giáo khoa Bài toán mới có thể là bài toán hoàn toàn mới,
cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu những bài toán đã biết Thực chất khó có thể
tạo ra một bài toán hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương
pháp với những bài toán đã có Vì vậy để tạo ra một bài Toán mới từ bài toán ban
đầu thì phải tuân theo các con đường sau:
1 Lập bài toán tương tự
2 Lập bài toán đảo
3 Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hóa
4 Bớt một số yếu tố rồi khái quát hóa
5 Thay đổi một số yếu tố và kết hợp giữa các kiến thức liên quan
II Cơ sở thực tiễn
Thông thường khi đứng trước một bài toán lớn học sinh thường hay lúng
túng không biết bắt đầu từ đâu, không biết vận dụng những kiến thức đã học và kết
quả của những bài toán nào; chính vì thế học sinh khó tìm được cách giải bài toán
Vì vậy để có những bài tập phù hợp với yêu cầu của từng tiết dạy, phù hợp với
từng đối tượng học sinh của mình, phù hợp với hoàn cảnh thực tế địa phương
mình, ngoài việc khai thác triệt để các bài tập trong SGK, SBT giáo viên phải tự
mình biên soạn thêm những câu hỏi và bài tập mới khai thác từ những bài toán
quen thuộc
III Giải pháp thực hiện
Trong quá trình dạy học giải bài tập giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh
phân tích bài toán để học sinh định hướng được cách đi tìm lời giải
Trong quá trình dạy học giải bài tập giáo viên cần phải xâu chuỗi được các
bài tập, mở rộng các bài tập hoặc cũng có thể chia nhỏ các bài toán, tổng hợp các
bài toán nhỏ thành bài toán lớn Một vấn đề quan trọng nữa là hướng dẫn học sinh
biết cách đưa bài toán mới về bài toán đã gặp
IV Ví dụ áp dụng
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin được trình bài bài toán mở đầu (gọi
là bài toán gốc) một cách cụ thể Để tránh tình trạng lặp đi lặp lại nhiều lần một
cách giải, những bài toán khác khi đưa về bài toán gốc xin không giải tiếp
Trang 4Hướng dẫn HS đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS
1 Kiến thức cần nhớ:
- Các kiến thức về bài toán qũy tích
- Các kiến thức về hình bình hành
- Các kiến thức về tam giác đồng dạng
2 Bài toán mở đầu (bài toán gốc)
Cho tam giác ABC, M là một điểm di động trên BC Tìm qũy tích trung
điểm I của AM
2.1 Phân tích bài toán Khi M trùng với B
thì I trùng với trung điểm của AB Khi M trùng
với C thì I trùng với trung điểm của AC Khi đó
ta dự đoán qũy tích trung điểm I của AM là
đường trung bình của tam giác ABC
Bài toán gốc là một bài toán tương đối dễ chỉ cần học sinh nắm được kiến
thức về đường trung bình là ta có thể phân tích và tìm tòi được lời giải một cách
dễ dàng Mặc dù đây là một bài toán tương đối dễ tuy vậy nếu ta biết vận dụng nó
trong quá trình suy luận để tìm tòi lời giải thì thật là thú vị
Dưới đây là một số bài toán được giải nhờ vận dung bài toán nói trên
3 Những bài toán vận dụng
Bài toán 1: “Trích bài toán 164, trang 77, sách bài tập Toán 8”
Cho đoạn thẩng AB = a Trên AB lấy điểm M Vẽ về một phía của AB các
hình vuông AMNP; BMLK có tâm theo thứ tự là C và D gọi I là trung điểm của
Trang 5CD Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I chuyển động trên đường
thẳng nào?
Giải:
- Phân tích tìm tòi lời giải:
Làm thế nào để đưa bài toán đang
giải về bài toán gốc? Làm thế nào để I
lại là trung điểm của một đoạn thẳng nối
từ đỉnh tới một điểm trên cạnh đối điện
của tam giác đó
Kéo dài AN cắt BL tại E, khi đó
tam giác AEB là tam giác vuông cân
tại E có AB không đổi
Ta có: ECM = CED = EDM = 90o => tư giác CEDM là hình chữ nhật vây
trung điểm của CD chính là trung điểm của EM
Vậy bài toán của chúng ta đã được đưa về bài toán gốc và ta tiếp tục giải
như bài toán gốc
- Kết luận:
Qũy tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam giác AEB
Bài toán 2:
Cho đoạn thẳng AB = a Trên AB lấy điểm M, Vẽ tam giác ACM và tam
giác BDM trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB sao cho tam giác ACM đồng dạng
với tam giác MBD và CAM = ; DBM = không đổi
Tìm qũy tích trung điểm của CD khi M di chuyển trên AB
Giải
- Phân tícht tìm tòi lời giải
Với cách đặt vấn đề như ở bài toán
1 ta thấy điểm M ở bài toán này có vai
trò như điểm M ở bài toán gốc vì vậy ta
có lời giải như sau
Kéo dài AC và BD cắt nhau tại E
Từ (1) và (2) => CEDM là hình bình hành => I là trung điểm của CD đồng
thời là trung điểm của EM
Vậy bài toán đã được đưa về bài toán gốc
- Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam
Trang 6Hướng dẫn HS đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS
Bài toán 3:
Cho đoạn thẳng AB trên AB lấy điểm M Trên cùng một nữa mặt phẳng có
bờ AB vẽ các nữa đường tròn đường kính AM và BM Trên nữa đường tròn đường
kính AM và BM lần lượt lấy các điểm C và D sao cho
sđ CM = sđ DB và luôn không đổi Tìm qũy tích trung điểm I của CD khi M di
chuyển trên AB
Giải:
- Phân tích tìm tòi lời giải
Với cách đặt vấn đề như bài
toán 1 và 2 Trong bài toán này tuy
cách phát biểu có khác nhưng nếu
ta nối CM và DM thì ta nhận ra
ngay là:ACM MDB Qua
cách phân tích ta thấy bài toán 3
chính là bài toán 2 nhưng được phát
biểu dưới một dạng khác Ta dễ
dàng đưa bài toán 3 về bài toán gốc
Ta có cách giải như sau:
Kéo dài AC và BD cắt nhau tại K dễ dàng chứng minh được CKDM là hình
chữ nhật vì vậy I là trung điểm của CD đồng thời là trung điểm của KM Bài toán
trở về bài toàn gốc Tiếp tục giải như bài toán gốc
- Kết luận:
Qũy tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam giác AKB
Bài toán 4: “Trích bài 177 trang 57 sách một số vấn đề phát triển hình học
8 tác giả Vũ Hữu Bình”
Cho tam giác ABC vuông cân cố định Điểm M chuyển động trên cạnh
huyền BC, đường thẳng qua M vuông góc với BC căt đường thẳng AB và AC lần
lượt tại D và E Gọi I là trung điểm của CE, K là trung điểm của BD
Tìm qũy tích trung điểm của IK
Giải:
- Phân tích tìm tòi lời giải:
Do tam giác ABC vuông
cân tại A => B = C + 45o (1)
Từ (1) => BMD
vàCME vuông cân tại M
I, K lần lượt là trung điểm
của CE và BD nên dễ dàng suy ra
=> AKMI là hình chữ nhật
vì vậy O là trung điểm của IK
đồng thời là trung điểm của AM
Trang 7như vậy ta đã đưa được bài toán
về bài toán gốc
Tiếp tục giải như bài toán gốc
- Kết luận:
Quỹ tích trung điểm O của IK là đường trung bình PQ của tam giác ABC
Bài toán 5: “ Trích bài 5 trang 23 sách 100 bài quỹ tích dựng hình của tác
giả Bùi Văn Thông”
Cho đường tròn (O) với AB và CD là hai đường kính vuông góc Gọi M là
di động trên cung nhỏ AC, BM căt CD tại N Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại
tiếp tứ giác AMNO
Giải:
- Phân tích tìm tòi lời giải:
Ta thấy: AMN = 90o (góc nội tiếp chắn
nữa đường tròn)
AON = 90o (gt)
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AMNO là trung điểm của đoạn thẳng AN
Khi M di chuyển trên cung AC thì N di
chuyển trên đoạn thẳng OC
Vậy bài toán đã đưa được về bài toán
gốc khi N di chuyển trên đoạn thẳng OC tìm
quỹ tích trung điểm của AN
Ta tiếp tục giải như bài toán gốc
- Kết luận: Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANMO là đường
trung bình PQ của tam giác AOC
Bài toán 6: “ Trích bài 97 trang 176 sách 100 bài toán quỹ tích và dựng hình
của tác giả Bùi Văn Thông”
(để bạn đọc tiện theo dỏi tôi xin trích nguyên cả bài toán nhưng chỉ giải phần quỹ
tích)
Bái toán: Trên cạnh BC, CA và AB của tam giác đều ABC lần lượt lấy các
điểm M, N, P sao cho BM = CN = AP
1 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và của tam giác
MNP có chung tâm O
2 Tìm tập hợp trung điểm I của MN khi M di động trên BC
Giải:
- Phân tích tìm tòi lời giải:
Để đưa được bài toán trên về
bài toán gốc ta cần tìm được hai điểm
có vai trò như hai điểm A và M ở bài
Trang 8Hướng dẫn HS đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS
toán gốc
Ở bài toán này nếu qua M vễ
đường thẳng song song với BC cắt AB
tại K.ta dễ dàng chứng minh được
AKN và KBM là hai tam giác đều
khi đó ta thấy M,N có vai trò giống
với C,D ở bài toán 2 Ta cần chứng
minh được C,K có vai trò giống với
A,M ở bài toán gốc
Ta có: NK // CM (vẽ) (1)
KBM vàAKN là tam giác đều => NCM = KMB = 60o => CN // KM (2)
Từ (1) và (2) => CMKN là hình bình hành, => I là trung điêm của MN đồng thời
là trung điểm của CK Bài toán đã được đưa về bài toán gốc, ta tiếp tục giải như
Bài toán: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi M, N, E, F lần lượt là
các điểm di động trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF
Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN
Giải:
- Phân tích tìm tòi lời giải;
Để đưa được bài toán về bài toán gốc ta cần tạo ra một tam giác như ở
bài toán gốc
Do điểm M và N nằm trên hai cạnh AB và BC
nên ta nghỉ đến việc kẻ đường chéo AC
Từ N kẻ đường thẳng vuông góc
với BC cắt AC tại K nối KM
BNKM là hình chữ nhật
Khi đó I là trung điểm của MN
đồng thời là trung điểm của BK Khi M,N
dịch chuyển trên AB và BC thì K dịch
chuyển trên AC
Bài toán đả đưa được về bài toán gốc,
ta tiếp tục giải theo bài toán gốc
- Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của MN là đường trung bình PQ của tam
Trang 9Bài toán 8: “ Tích bài toán 10 trang 229 luyện thi vào lớp 10 môn toán tác
giả Lương Xuân Tiến; đề thi vào trường Amsterdam và Chu Văn An – Hà Nội
năm học 1996 - 1997” (Để tiện theo giỏi tôi xin trích nguyên văn cả bài toán)
Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường phân giác
của góc A cắt đường tròn O ở điểm D một đường tròn (L) căt hai đường thẳng AB
và AC lần lượt tại M và N(có thể trùng A)
a) Chứng minh rằn BM = CN
b) Tìm tập hợp trung điểm I của MN
c) Xác định vị trí đường tròng (L) sao cho đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ
nhất
Giải:
- Phân tích tìm tòi lời giải
Theo câu a ta có BM = CN khi N về đến
A thì M về tới E ( E tia đối của tia BA
và BE = CA) N về đến A thì N về đến F
(F thuộc tia đối của tia CA và CF = AB)
Từ cách phân tích trên cho ta thấy
tam giác AEF cân tại A và luôn cố định
Để đưa bài toán về bài toán gốc ta cần
có điểm H có vai trò như điểm M ở bài
toán gốc
Qua phân tích ta có thể giải bài toán như sau
Từ M kẻ MH // AC sao cho H EF (*)
Do AEF cân tại A =>MEH cân tại M => ME = MH (1)
Ta lại có BE = AC
MB = NC (cm câu a)
Từ (1) và (2) => MH = AN (**)
Từ (*) và (**) => tứ giác AMHN là hình bình hành
Vậy I là trung điểm của MN củng là trung điểm AH Như vậy bài toán đã
được đưa về bài toán gốc.Ta tiếp tục giải như bài toán gốc
tam giác AEF
Bài toán 9: Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định.Gọi A là điểm di
động trên cung lớn BC của đường tròn (O), (A khác B, C) Tia phân giác của góc
ACB cắt đường tròn (O) tại điểm D khác C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI
= DB Đường thẳng BI cắt đường trong (O) tại điểm K khác điểm B
1 CMR: Tam giác KAC cân
Trang 10Hướng dẫn HS đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS
2 CMR: Đường thẳng AI luôn đi qua điểm cố định J.Từ đó tìm vị trí của A
sao cho AI có độ dài lớn nhất
3 Trên tia đối AB lấy điểm M sao cho AM = AC.Tìm tập hợp các điểm M
khi A di động trên cung lớn BC của (O)
Giải:
1.Ta có: DBI cân tại D
nên:DBI=DIB Mà: DIB = IBC + ICB
(1)
Và: DBI = KCI = KCA + ACD =
KBA + ICB (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABI = CBI Suy
ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
BI là phân giác góc B của tam giác
ABCK là trung điểm cung AC
Tam giác KAC cân
A
D
2 Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI luôn đi qua trung
điểm J của cung nhỏ BC
Ta dễ dàng chứng minh được tam giác BIJ cân ở JJI = JB = const
Suy ra AI = AJ - IJ = AJ - const lớn nhất khi và chỉ khi AJ lớn nhất tức là AJ
là đường kính của (O) A phải nằm tại trung điểm của cung lớn BC
số đo cung nhỏ BC = const
Suy ra quĩ tích điểm M là cung chứa góc nhìn BC dưới một góc bằng
4
1
số
đo cung nhỏ BC
Bài toán 10: Cho đường tròn tâm O cố định Một đường thẳng d cố định cắt
(O) tại A, B; M là điểm chuyển động trên d (ở ngoài đoạn AB) Từ M kẻ hai tiếp
tuyến MP và MN với đường tròn
1 CMR: Đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn đi qua một điểm cố định
khác O
2 Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn đi qua M, N, P
3 Tìm trên d một điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều
Giải:
Trang 111 Gọi K là trung điểm của AB
Dễ thấy M, N, P, O, K đều nằm trên
đường tròn đường kính OM Vậy K
là điểm cố định cần tìm
2 Tâm I của đường tròn đi qua
M,N, P là trung điểm của OM
Từ I hạ IJ vuông góc với
AB Dễ thấy IJ = (1/2).OK=const
Vậy có thể phán đoán quĩ
tích của I là đường thẳng song song
với AB cách AB một khoảng bằng
một nửa đoạn OK trừ đoạn XY với
X,Y lần lượt là trung điểm của OA
và OB
A
N
Y J
I
K X
Từ đó có hai điểm M thảo mãn bài ra
Chú ý: Trong kinh nghiệm này để tiện theo dõi có một số bài toán tôi trích
cả bài nhưng chỉ giải phần quỹ tích và công nhận kết quả của những câu trước
4 Bài tập tham khảo
Với bài toán nói trên ta có thể vận dụng để giải được rất nhiếu bài toán về
qũy tich là trung điểm của một đoạn thẳng Sau đây tôi xin nêu thêm một số ví vụ
để bạn đồng nghiệp cùng tham khảo
Bài tập 1: cho đoạn thẳng AB = a M là điểm di động trên AB Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB dựng các tam giác đều ACM và BDM Tìm quỹ tích
trung điểm I của đoạn thẳng CD
“ trích bài 178 trang 57 – Một số vấn đề phát triển hình học 8 – tác giả Vũ Hữu
Bình”
Bài tập 2: Cho tam giác ABC cố định Hai điểm D và E thứ tự chuyển động
DB EA Tìm tập hợp quỹ tích trung điểm M của DE
Bài tập 3: Cho đoạn thẳng AB = a M, N là hai điểm di động trên AB sao
cho MN = m không đổi Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vễ các nữa đường
tròn đường kính AM và BN Trên nửa đường tròn đường kính AM lấy điểm D và
trên nửa đường tròn đường kính BN lấy điểm E sao cho
sd DM = sd EB không đổi Tìm quỹ tích trung điểm I của DE