Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AD và SB theo a.. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B và C biết tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC là I5;1.. Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm C và tiếp xỳ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MễN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phỳt.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Cõu I: (2.0 điểm) Cho hàm số y x 3 3 x2 cú đồ thị (C) 1
1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tỡm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và AB= 4 2
Cõu II : (3.0 điểm)
1) Cho hệ phương trỡnh:
2
x y
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hệ phương trỡnh cú ba nghiệm phõn biệt (x1; y1), (x2; y2) và (x3; y3) sao cho x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.
2) Giải phương trỡnh: cotx – 1 = os2x sin2 1 sin 2
c
2 2
3 1
1 x
x x
Cõu III : (2.0 điểm)
1) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O, cạnh a, gúc BAD = 60 , SO (ABCD) và0
SO = a Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AD và SB theo a.
2) Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món: x2 + y2 + z2 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
II PHẦN RIấNG (3 điểm) THÍ SINH CHỌN MỘT TRONG HAI PHẦN SAU
1 Theo chương trỡnh Cơ bản
Cõu IVa: (2.0 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC, cỏc đường thẳng chứa đường cao và đường trung
tuyến kẻ từ đỉnh A cú phương trỡnh lần lượt là: x 2y 13 0 và 13x 6y 9 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B
và C biết tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC là I(5;1)
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d: 1 1
x y z
trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
Cõu Va: (1.0 điểm) Giải phương trỡnh:( 2 )( 3)( 2) 10
z z z
2 Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu IVb: (2.0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC, cú điểm A(2; 3), trọng tõm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần
lượt nằm trờn hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm
C và tiếp xỳc với đường thẳng BG.
2) Trong khụng gian toạ độ cho đường thẳng d: 3 2 1
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trỡnh đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuụng gúc với
d đồng thời thoả món khoảng cỏch từ M tới bằng 42
Cõu Vb: (1.0 điểm) Giải hệ phương trỡnh 1 4
4
1
25
y x
- hết -
(Thớ sinh khụng sử dụng tài liệu, giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm!)
Họ và tờn thớ sinh: , số bỏo danh:
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu I
Cho hàm số y x 3 3 x2 1 có đồ thị (C) 1
- Tập xác định
- Sự biến thiên
- Đồ thị
0.25 0.5 0.25
2
Giả sử A a a ( ; 3 3 a2 1), ( ; B b b3 3 b2 1) thuộc (C), với a b .
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:
y a ( ) y b ( )
3 6 3 6 2( ) 0 ( )( 2) 0
a b 2 0 b 2 a Vì a b nên a 2 a a 1
Tacó:
AB ( b a )2 ( b3 3 b2 1 a3 3 a2 1)2 ( b a )2 ( b3 a3 3( b2 a2 2))
b a 2 b a 2 b a 2 ab 2
AB2 ( b a ) 1 ( 22 ab )2 (2 2 ) 1 ( a 2 a2 2 a 2)2
4( 1) 1 ( 1) 3 4( 1) ( 1) 6( 1) 10
Mà AB 4 2 nên 4( a 1)6 24( a 1)4 40( a 1)2 32
Đặt t ( a 1) ,2 t 0 Khi đó (*) trở thành:
t3 6 t2 10 8 0 t ( 4)( t t2 2 2) 0 t t 4
( 1) 4 1 3
Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A (3;1), ( 1; 3) B .
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu II
1
Cho hệ phương trình:
2(2)
x y
+ Từ (2), ta có y = x 2 thay vào (1) ta có : (2x - 2)[x2 - 2x + 4 - m] = 0 2 1
x
+ Nhận xét : (*) có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thì : x1 < 1 < x2 và x1 + x2 = 2 (thỏa
mãn 3 nghiệm lập thành cấp số cộng với mọi m để pt có 2 nghiệm phân biệt)
+ YCBT pt (*) có 2 nghiệm phân biệt ' = 1 - 4 + m > 0 m > 3
0.25x4
2
Giải phương trình: cotx – 1 = os2x 2 1
c
1 tan 0 2 sin 0 cos sin 0 2 sin
x x x
x x
0.25x4
Trang 3+ PT x x x
x x
x x x
x x
cos sin sin
sin cos
cos 2 cos sin
sin
x
x x
cos sin sin
cos sin cos
sin
sin
cosx sinxsinx(1 sin2x)
(cos sin )(sin cos sin2 1) 0
x
(cosx sinx)(sin2xcos2x 3)0
+ (cos )( 2 sin(2 ) 3) 0
4
x sinx x
4
x sinx
+ cos x sin x 0 tanx = 1 ( )
3
2 2
3 1
1 x
x x
2 2
1
x 1
x x
+ Đặt t= 1
x
x thì dt= 2
1 1
x
+ Khi x=1 => t= 2 ; khi x=2 => t= 5
2 + I=
-5 2
2
dt t
+ =
-2
5
ln 2 t = 4
ln 5
0.25x4
Câu III
1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD = 600
SO(ABCD), SO = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB theo a
+ Ta có : VS.BCD = 1
2VS.ABCD =
1 2
1
3a
3 sin600 = 3
12 a 3
+ (SBC) chứa SB và (SBC) song song với AD nên khoảng cách từ AD đến SB là khoảng cách từ AD đến (SBC) bằng khoảng cách từ D đến (SBC)
+ SSBC = 19
8 a 2
+ Khoảng cách cần tìm là : 2 57
19 a
0.25x4
2 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3 Tìm giá trị nhỏ
P
P
xy yz zx x y z
0.25x4
Trang 4+ 9 3
6 2
P
+ Vậy GTNN là Pmin = 3
2 khi x = y = z.
Cõu IVa
1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏcABC, cỏc đường thẳng chứa
đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A cú phương trỡnh lần lượt là:
0 13
2
y
x và 13x 6y 9 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B và C biết tõm
đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC là I(5;1)
+ Theo giả thiết thỡ A(-3 ;-8) + Đường thẳng qua I(-5;1) và song song với x-2y-13=0 cắt đường thẳng 13x-6y-9=0 tại M(3;5)
+ Đường thẳng qua BC cú phương trỡnh là: 2x + y – 11 = 0 nờn B(xB; 11-2xB) Mà
IA = IB nờn B(4; 3) hoặc B(2;7) + Vậy B(4; 3) và C(2;7) hoặc C(4; 3) và B(2;7) là hai nghiệm cần tỡm
0.25x4
2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng
x y z
Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với
d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
+ Phương tham số của d:
t z
t y
t x
3 1
2 1
Gọi H là hình chiếu của A trên
d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
+ Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI=> HI lớn nhất khi
I
A
+ Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến
) 3 1
;
; 2 1
H d
H vì H là hình chiếu của A trên d nên
) 3
; 1
; 2 ( ( 0
) 5
; 1
; 7 ( )
4
; 1
; 3
+ Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
7x + y -5z -77 = 0
0.25x4
Cõu Va
Giải phương trỡnh:( 2 )( 3)( 2) 10
z z z
+ PT z(z2)(z1)(z3)10 ( 2 2 )( 2 2 3) 0
z z z z
+ Đặt tz22z Khi đú phương trỡnh trở thành: t2 3t100
6 1
1 5
2
z
i z
t t
+Vậy phương trỡnh cú cỏc nghiệm: z 1 6 ;z1i
0.25x4
Cõu IVb 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC, cú điểm A(2; 3), trọng tõm G(2;
0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trờn hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm C và tiếp xỳc với đường thẳng BG
+ Giả sử B x y ( ;B B) d1 xB yB 5; ( ; C x yC C) d2 xC 2 yC 7
Vỡ G là trọng tõm nờn ta cú hệ: 2 6
3 0
+ Từ cỏc phương trỡnh trờn ta cú: B(-1;-4) ; C(5;1) + Ta cú BG (3;4) VTPT n BG(4; 3)
nờn phương trỡnh BG: 4x – 3y – 8 = 0 + Bỏn kớnh R = d(C; BG) = 9
5 phương trỡnh đường trũn là:
0.25x4
Trang 5(x – 5)2 + (y – 1)2 = 81
25
2
Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: 3 2 1
x y z
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42
+ Ta có phương trình tham số của d là:
3 2 2 1
toạ độ điểm M là nghiệm của hệ
3 2 2 1
2 0
x y z
(tham số t) M (1; 3;0)
+ Lại có VTPT của(P) là n P(1;1;1)
, VTCP của d là ud(2;1; 1)
Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u u nd, P (2; 3;1)
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đóMN x ( 1; y 3; ) z
Ta có MN vuông góc với u
nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
Lại có N(P) và MN = 42 ta có hệ:
2 0
x y z
+ Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5) + Nếu N(5; -2; -5) ta có pt 5 2 5
:
Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt 3 4 5
:
x y z
0.25x4
Câu VIb
Giải hệ phương trình 1 4
4
1
25
y x
+ Điều kiện: 0
0
y x y
+ Hệ phương trình
4
y x
2
3
25
10
y
0.25x4
Trang 6+
x y
x y
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
(không thỏa mãn đk) (không thỏa mãn đk)