G là trọng tâm của tam giác ABC , hai mặt phẳng SGB, SGC cùng vuông góc với đáy.. Tính thể tích khối chóp theo a.. Viết phương trình đường thẳng CD.. Xác định các điểm C,D sao cho ABCD
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút.
I Phần chung
Câu 1 Cho hàm số y = x4- 2(m+1)x2 +2m +1 (Cm ) , điểm K(3;-2)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
2 Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm A, B, C,D phân biệt sao cho diện tích tam
giác KAC bằng 4 (các điểm A, B, C , D được sắp xếp theo thứ tự hoành độ tăng dần)
Câu 2 Giải các phương trình sau :
1
x
x x
sin cos
3 3
2 cos 2
1 sin
cos
2 4 4
2 2 2x 4 4 2 x 9x2 16
Câu 3 Tính tích phân :
x x
2
0
2
1 1
Câu 4 Cho hình chóp S.ABC có SA= 3a ( a> 0 ) , SA tạo với đáy (ABC) góc 600 Tam giác ABC vuông tại B , góc ACB bằng 300 G là trọng tâm của tam giác ABC , hai
mặt phẳng (SGB), (SGC) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp theo a
Câu 5 Cho
3
1
< x
2
1
và y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2 2 2
2
1
y x y
x
II
.Phần riêng( 3 điểm)Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a ( 1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T) :x2y2 x 9y18 0 và
hai điểm A(4;1), B(3;-1).Gọi C,D là hai điểm thuộc (T) sao cho ABCD là một hình bình hành
Viết phương trình đường thẳng CD
Câu 7a( 1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;4;-3), B( 4;0;1) và đường thẳng
Xác định các điểm C,D sao cho ABCD là hình thoi biết rằng D nằm trên d
Câu 8a.( 1 điểm) Cho z z là các nghiệm phức của phương trình 1, 2 2z2 4z11 0 Tính giá trị của
biểu thức
2012
1 2
z z M
z z
B
.Theo chương trình nâng cao
Câu 6b ( 1 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn ( C) : 2 2
và đường thẳng d: x y 1 0 Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp đường
tròn ( C) biết điểm A thuộc d
Câu 7b ( 1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
d: 1
Và tạo với mặt phẳng ( Q) : 2x 2y z 1 0 góc 60 Tìm tọa độ giao điểm M0
của mặt phẳng (P) với trục Oz
Câu 8b( 1 điểm).Giải hệ phương trình.
2 2
4
y x y x x xy y
x y
Trang 2HƯỚNG DẪN
1 1
1 điểm
1.2
TXĐ: D= R
xlim
y’ = 4x3- 4x = 0 x= 0 , x=1
Bảng biến thiên
x - -1 0 1 +
y’ - 0 + 0 - 0 +
+ +
1
y
0 0
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -1;0) ; (1 ;+) ,
Hàm sốnghịch biến trên các khoảng (- ; 1) ; (0 ; 1 )
Hàm số đạt cực đại tại x= 0 , ycđ = 1
Hàm số đạt cưc tiểu tại x= 1 , x= -1 , yct = 0
y
Đồ thị : cắt trục hoành tại (-1;0) ;(1;0)
Cắt trục tung tại (0;1)
Nhận oy làm trục đối xứng
1
-1 0 1 x
Phương trình hoành độ giao điểm :
x4 - 2(m+1)x2 + 2m+1 = 0
đặt x2 = t 0 phương trình trở thành : t2 - 2(m +1)t +2m+1 = 0 (1)
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai
0 1 2
.
0 1
2 0
2 1
2 1
2 '
m t
t
m t
t
m
2 1 0
m m
2 0
m m
(* )
Với điều kiện (* ) phương trình (1) có hai nghiệm 0< t1 < t2 , lúc đó đồ thị cắt trục hoành
tại 4 điểm phân biệt A(- t2 ; 0 ) ; B (- t1 ; 0 ) ; C ( t1 ; 0 ) ; D( t2 ; 0 )
0,25
0.25
0.25
0.25
0.5
Trang 3Câu 2
1
2
Diện tích tam giác KAC là S =
2
1
AC d(K; AC ) = 4 ( 2)
Trong đó d(K; AC ) = | yK | = 2 , AC = t1 + t2
( 2)
2
1
( t1 + t2 ) 2 = 4 t1 +t2 +2 t1.t2 = 16 2(m +1) + 2 2m 1=16
49 14 1 2 7
2
m m m m
m = 4 ( tm)
Giải phương trình :
x
x x
sin cos
3 3
2 cos 2
1 sin
cos
2 4 4
Điều kiện : cos(
3 2
x
) o
2( cos2x - sin2x ) +1 = 2cos(
3 2
x
).( 3 cosx sinx) 3cos2x - sin2x = 2cos(
3 2
x
) ( 3 cosx sinx)
( 3 cosx sinx ) ( 3 cosx sinx-2cos(
3 2
x
) ) = 0 3 cosx sinx = 0 hoặc cos(x +
6
) - cos(
3 2
x
) = 0
x =
3
2 + k2 ; x = - + k4 hoặc x =
9
+ k
3
4
là nghiệm Giải phương trình : 2 2x 4 4 2 x 9x2 16 (3)
ĐK: |x| 2
(3) 32 - 8x2 + 16 2 4 x2 = x2 + 8x
8 ( 4 - x2 ) + 16 2 4 x2 = x2 + 8x
Đặt 2 4 x2 = t 0 t2 = 2 (4 - x2 ) phương trình trở thành :
4t2 + 16 t - x2 -8x = 0 có = (2x + 8)2
Phương trình có 2 nghiệm là : t =
2
x
hoặc t =
-2
x
- 4 ( loại ) Với t =
2
x
2 4 x2 =
2
x
0 32
9 2
x x
x =
3
2 4
là nghiệm của pt
x x
2
0
2
1 1
x x dx
2
0
2 1
2
0
2 sin
dx x x
= (
2
1
ln( x2 +1) +
4
2
x
-
4
2
sin x
x
-
8
2
cos x
) 2 0
=
2
1
ln(1 +
4
2
) +
16
2
+
4 1
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
Trang 4Câu 3
Câu 4
G
C
K
B A
S
Mặt phẳng (SGB) , (SGC) cắt nhau theo giao tuyến SG và cùng vuông góc với mặt
phẳng đáy nên SG là đường cao của hình chóp
Góc SAG = 600 , trong tam giác vuông SGA có SG = SA Sin600 =
2
3
3a
AG = SA Cos600 =
2
3a
, AK =
2
3
AG =
4
9a
với K là trung điểm của BC Đặt AB = x , tam giác vuông ABC có BC = AB.cot300 = x 3 BK =
2
3
x
Trong tam giác vuông ABK có AK2 = AB2 + BK2
16
81a2
= x2 +
4
3x2
=
4
7x2
x =
7 2
9a
Diện tích tam giác ABC là S =
2
1
AB.2BK =
56
3
81a2
Thể tích V =
3
1
SG SABC =
112
243a3
Cho
3
1
< x
2
1
và y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
2 2 2
2
1
y x y
x
Đặt a =
x
1
, b = 1y , 0 < b 1 , 2 a < 3 , P = 12
a + 12
b +
4 2
1
b
a
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 12
b ,
4 2
1
b
a
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
Trang 5Câu 5
P 12
a + 4 a2 b .b
12
a +
4 2
8
a
( áp dụng cauchy cho b và 4-a-b )
12
a +
2
4
1
a
+
2
4
7
a
4 aa
2
+
2
4
7
a
( cauchy cho 12
a và
4 2
1
a
4
9
( vì (4-a )a 4 và (4-a)2 4 với 2 a < 3 ) Dấu bằng xảy ra khi
1 2
b a
tức
1 2 / 1
y x
Vậy MinP =
4
9
0.25
0.5
0.25
II.Phần riêng
Câu
6a
1 điểm
Ta có ( T):
2 2
và R= 10
2
AB(-1 ;-2 ) , AB = 5 Đường thẳng CD song song với AB nên có phương trình
dạng 2x y m 0
2 5
m
Ta có CD= AB nên
2
1
m m
m
m
Vậy CD có phương trình 2x y 6 0 hoăc 2x-y + 1=0
0,25
0,25
0,25 0,25 Câu
7a.
1điểm
d có vtcp u (2;1;3) và có Ptts
6 2 1
4 3
Ta thấy điểm Bd kết hợp với giả thiết Dd nên tâm I của hình thoi cũng
thuộc d Do ABCD là hình thoi nên ACBD, hay I là hình chiếu của A trên
Gọi I( 6+2t; 1+t; 4+3t)d Khi đó AI (5 2 ; 3 t t;7 3 ) t
hay I( 2;-1;-2)
Do C và D lần lươt đối xứng với A và B và qua I nên C( 3;-6;-1) và
D ( 0;-2;-5)
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 6Câu
8a
1điểm
Gải Phương trình:2z2 4z11 0 ta được nghiệm : 1 1 3 2
2
2
Suy ra: 1 2 22
2
z z ;z1z2 2
Do đó : M =
2012 2012
11 11
11
0,25 0,5
0,25 Phần B.
Câu 6b
1điểm
Đường tròn ( C ) : x 42y32 4 Tâm I ( 4;-3); Bán kính R =2
-Gọi điểm A (a; 1-a)d M,N lần lượt là trung điểm AB và AD Do ABCD là
Hình vuông ngoại tiếp ( C) nên
AI= 2 2 2(4 a)2 8 a2 8a12 0 a a 62 A A(6; 5)(2; 1)
I là tâm đường tròn cũng là tâm hình vuông nên A( 6;5) thì C( 2;-1) hoặc
ngược lại.
Cạnh hình vuông bằng 2R = 4
(Gọi D ( x;y) Ta có : AD DC 0 và AD = 4
Hay D( 6;-1) thì B( 2;-5)
Vậy bốn đinh hình vuông là :A(6;-5) B(2;-5) C(2;-1);D(6;-1)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 7b -Đường thẳng d đi qua điểm A(1,0,0) và có vtcp u (1; 1; 2)
Mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyên là n (2; 2; 1)
Giao điểm M(0;0;m)Oz ;AM ( 1;0; )m
Mặt phẳng (P) có vtpt là : n = [ AB , u ] = (m ; m-2 ; 1 )
Cos600=
9
1 1 2 2 2
2
m m
m m
2
1
=
5 4 2
1
2
m
m 2 2 4 5
m
2m2-4m +1 = 0 m =
2
2
2 hoặc m =
2
2
2
Vậy tọa độ điểm M ( 0;0;
2
2
2 ); M (0;0;
2
2
2 )
0,25
0,25 0,25
0,25 Câu 8b
1 điểm
ĐK: x0;y0 Ta có :
2
y
x xy y x y x y
Xét x>y 3 3
(1) 0
(1) 0
VT
VP
vô nghiêm nên hệ vô nghiệm
0,25 0,25
Trang 7Xét x<y 3 3
(1) 0
(1) 0
VT
VT
vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
Do đó x=y thay vào hệ ta có 2 2
0 0
2
Vậy nghiệm của hệ là (x;y) = ( 2; 2)
0,25 0,25
Lưu ý: Các cách giải đúng đều cho điểm tối đa.
