Tính hầu tự đồng hình của các dòng chất lỏng chảy qua một vật cản

Microsoft Word 207 Lê Th? S?c Nguyen Thi Van doc Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN 978 604 82 2981 8 210 TÍNH HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH CỦA CÁC DÒNG CHẤT LỎNG CHẢY QUA MỘT VẬT CẢN Lê Thế Sắ[.]

TÍNH HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH CỦA CÁC DÒNG CHẤT LỎNG CHẢY QUA MỘT VẬT CẢN

Lê Thế Sắc1, Nguyễn Thị Vân1

1 Trường Đại học Thủy lợi, email: SacLT@tlu.edu.vn

1 GIỚI THIỆU CHUNG

Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm hầu tự đồng

hình của các luồng chất lỏng chảy qua một

vật thể được mô tả bởi phương trình

Navier-Stokes-Oseen Xét một vật thể di chuyểnD

trong một chất lỏng nhớt không thể nén lấp

đầy toàn bộ không gian

( )

div in ,

0 in ,

0 on , lim , 1.1

t

x

u u

u t x u∞

→∞

⎧

⎪

⎪

⎪

⎩

\

\

\

: \ D

Ω = \ là bề ngoài của vật thể với biên ∂Ω trơn; u là vận tốc của chất lỏng;

p là áp suất và divF là ngoại lực

2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chúng tôi phát triển phương pháp sử dụng trong bài báo [1] sang trường hợp các hàm hầu

tự đồng hình hoặc ]−hầu tự đồng hình

Phương pháp này liên quan đến lí thuyết nội

suy, đánh giá đối ngẫu và đến tính chất trơn

p q

L − của phương trình tuyến tính liên kết L

Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra rằng không gian các

dữ liệu ban đầu có thể mở rộng tới lớp các

hàm ] hầu đồng hình, nghiệm thu được vẫn

là hầu tự đồng hình, điều này tổng quát hóa

một định lí mở rộng loại Massera trong [2]

3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

3.1 Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 Hàmf ∈BC(\;X)là hầu tự đồng hình nếu ∀dãy số ( )s′ ∃ n , dãy con (sn) sao cho

Nghĩa là ∃ hàm g t( ) sao cho các giới hạn sau tồn tại với mỗi ( ) lim ( n)

n

→∞

= + và

n

→∞

= − ∈ \ (1.3)

Ký hiệu BPC(\;X)là không gian các hàm trong B(\;X)liên tục trong /\ ] có giới hạn hữu hạn trong ]

Định nghĩa 1.2 Hàm f∈BPC(\;X) gọi

là ] - hầu tự đồng hình nếu∀dãy số nguyên

( )s′ n , ∃ dãy con ( )s n sao cho các giới hạn trong ( )1.3 đúng Dễ thấy

AP \ X ⊂AA \ X ⊂]AA \ X Đặt A u O := − Δ +P( )u P(u∞∇v),

3.2 Phương trình Navier-Stokes-Oseen

Ký hiệu ( ).

,

p c

Lσ =C∞σ Ω

C∞σ Ω = ν∈C∞ Ω ν = Ω Với 1 r< < ∞ và 1≤ ≤ ∞ ký hiệuq , L là r q,

không gian Lorentz Chú ý rằng

,

L Ω =L Ω và L rω( )Ω =: L r, ∞( )Ω gọi là không gianL ryếu

Đặt , ( ) ( )

,

r q

r q

Lσ Ω =Rg P

loc

L Ω =Lσ Ω ⊕ ∇ ∈p L p L∈ Ω

L Ω =Lσ Ω ⊕G Ω

loc

G Ω = ∇ ∈p L Ω p L∈ Ω Gọi P P là phép chiếu Helmholtz trên = r

r

L Ω hạn chế của nó P P xác định một = r q, phép chiếu bị chặn trên L r q, ( )Ω

Cho ( )3

c

C

ϕ∈ ∞ \ thỏa mãn ϕ≥0, 1ϕ≡ trên một lân cận của Ω và c suppϕ⊂B 0;r( )

Đặt b∞:=Bog D( ( )∇ϕ u∞),với Bog là toán D

tử Bogovskii trên D={x∈Ω: x <r}

Ta có b C c∞( )

∞∈ Ω thỏa mãn divb∞ = và 0

b∞=u∞ trên ∂Ω

Với α∈` , n0 ∃ > sao cho C 0

αb∞ L∞( ) C u ∞.

Ω

0

O

với :v = −u u∞+b∞

Do (u⋅∇)u=div(u u ⊗ nên u là nghiệm )

của ( )1.1 khi và chỉ khi v là nghiệm của

' O div , 3.1

v t +A v t = P G v t

v v v b

∞

+ ⊗ − ⊗

Bổ đề 3.1

a Với p∈ ∞( )1; , 1≤ ≤ ∞q ,−A O sinh ra nửa nhóm bị chặn ( )e−tA O trên Lσp( )Ω và

( )

p q

Lσ Ω

b Với1< ≤ < ∞p q ,∃ > sao cho C 0

3 1 1 2

,1

tA

p q

− ⎜ − ⎟

c Với 1< ≤ ≤p q 3,∃ > sao cho C 0

1 3 1 1

2 2

,1

p

− − ⎜ − ⎟

′

3.3 Nghiệm hầu tự đồng hình

a) Trường hợp tuyến tính

Xét phương trình:

u t'( )+A u t O ( )=PdivF t( ), t∈\ 4.1( )

Đặt B= Pdiv và

Y =Lσ∞ Ω Y =Lσ∞ Ω X =Lσ ∞ Ω Theo [2] chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm hầu tự đồng hình của ( )4.1

Bổ đề 4.1 Cho ( 3/2, ( )3 3)

;

F L∈ ∞ \ L ∞ Ω × và

( )

3,

Y =Lσ∞ Ω Khi đó ( )4.1 có duy nhất nghiệm đủ tốt u BCˆ∈ (\;Y) xác định bởi:

t

u t e− −τ BF τ τd

−∞

= ∫ Hơn nữa, tồn tại hằng số M >0không phụ thuộc vào F sao cho

( ; ) ( ; 3/ 2, ( ) 3 3)

u \ ≤ M F ∞\ ∞ Ω ×

Chúng ta định nghĩa toán tử nghiệm như sau: ( )( ): ( ) O div ( )

t

S F t e− −τ F τ τd

−∞

Kết quả chính của mục này được phát biểu dưới đây

Đinh lý 4.2 NếuF∈]AA(\;X) thì

u t ∈AA \Y Chứng minh Để chứng minh kết quả này

chúng ta sử dụng kết quả từ hai bổ đề dưới đây và thực tế rằng các hàm ]AA-liên tục

đều là hầu tự đồng hình

Bổ đề 4.3. Toán tử nghiệm ánh xạ

] \ vào chính nó

Bổ đề 4.4. Nếu F khả tích địa phương và

bị chặn thì nghiệm đủ tốt u( ) liên tục đều Trường hợp nửa tuyến tính

Đặt B= Pdiv, ( )3.1 trở thành

u t +A u t =BG u t t∈ \ với G BPC: (\;Y)→BPC(\;Y) và

u u u b

∞

+ ⊗ − ⊗

u BC∈ \Y là nghiệm đủ tốt của (4.2) nếu

t

u t e− −τ BG u τ τd

−∞

= ∫ Đặt

aa

Định lý 4.3 NếuF∈]AA(\;X) thì tồn tại nghiệm đủ tốt duy nhất u AAˆ∈ (\;Y) của

( )3.1 trong aa, ( )0

R Y

3 TÀI LIỆU THAM KHẢO

A.Seyfert, On periodic and almost periodic solutions to imcompressible viscous fluid flow problems on the whole line, conference: Mathematics for Nonlinear Phenomena: Analysis and Computation (2017)

[2] R Finn, Mathematical questions relating

to viscous fluid flow in an exterior domain, Rocky Mountain J Math 3 (1973), 107-140