Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B.. Vận tốc của xe máy thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe máy thứ hai là 10 km/h nên xe máy thứ nhất đến B trước xe máy thứ hai 1 giờ.. Từ A kẻ
Trang 1Câu 1: (3,0 điểm)
Cho biểu thức A =
2 1
1 :
1
1 1
x x
x x
a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =
3
1
c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m + 2)x + m2 + 7 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2 – 2(x1 + x2) = 4
Câu 3: (1,5 điểm)
Quãng đường AB dài 120 km Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B Vận tốc của xe máy thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe máy thứ hai là 10 km/h nên xe máy thứ nhất đến B trước xe máy thứ hai 1 giờ Tính vận tóc của mỗi xe ?
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B, C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E) Gọi H là giao điểm của
AO và BC
a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng AH.AO = AD.AE
c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K Qua điểm
O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia AB tại P và cắt tia AC tại Q
Chứng minh rằng IP + KQ PQ
- Hết -
Họ và tên thí sinh :………Số báo danh…………
Trang 2Hướng dẫn giải Câu 1: (3,0 điểm)
a) Điều kiện 0x1
Với điều kiện đó, ta có:
:
A
x
b) Để A =
3
1
x
x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy 9
4
x thì A =
3 1
c) Ta có P = A - 9 x = 1 1
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 1 1
Suy ra: P 6 1 5 Đẳng thức xảy ra khi 9 1 1
9
x
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P 5 khi 1
9
x
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
Khi m = 1 ta có phương trình: 2 2
4
x
x x
x
Vậy phương trình có hai nghiệm x 2 và x 4
c) Để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thì
4
(*)
Theo định lí Vi –ét ta có: 1 2
2
1 2
7
x x m
Theo bài ra x1x2 – 2(x1 + x2) = 4 ta có:
m m m m 1
5
m m
Đối chiếu điều kiện (*) ta có m = 5 là giá trị cần tìm
Trang 3Câu 3: (1,5 điểm)
Gọi vận tốc của xe máy thứ hai là x km h / ,x 0
Vận tốc của xe máy thứ nhất là x 10
Theo bài ra ta có phương trình: 120 120 1 2 10 1200 0
x x
30 40
x x
Đối chiếu điều kiện ta có x = 30
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 40 (km/h) và vận tốc của xe thứ hai là 30 (km/h)
Câu 4:
a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên
ABOACO o
Suy ra ·ABO·ACO 180o
Vậy tứ giác ABOC nội tiếp
b) Ta có ABO vuông tại B có đường
cao BH, ta có :
AH.AO = AB2 (1)
Lại có ABD : AEB (g.g)
AB
AE
AD
AB
AB2 = AD.AE (2)
Từ (1), (2) suy ra:
AH.AO = AD.AE
1
1
2 2
1
3 1
2
H
E
Q
P
K I
C
O B
A
D
c) Xét tam giác VOIP và VKOQ
Ta có P Qµ µ (Vì tam giác APQ cân tại A)
2I = 180 - BOD = DOQ + BOP = 2(O + O ) = 2KOQ hay OIP = KOQ· ·
Do đó VOIP : VKOQ (g.g)
Từ đó suy ra
KQ
OQ OP
IP
IP.KQ = OP.OQ =
4
2
PQ
hay PQ2 = 4.IP.KQ
Mặt khác ta có: 4.IP.KQ (IP + KQ)2 (Vì IP KQ 2 0)
Vậy 2 2
PQ IP KQ IP KQ PQ