Câu hỏi Phân tích sự cần thiết phải mở rộng các tập hợp số từ tập hợp các số tự nhiên N tới tập hợp các số phức C

Học viên Đậu Phi Quân Câu hỏi thảo luận Câu hỏi 1 Phân tích sự cần thiết phải mở rộng các tập hợp số từ tập hợp các số tự nhiên N tới tập hợp các số phức C Bài làm +) Lí do mở rộng tập số 1 Số nguyên.

Học viên: Đậu Phi Quân

Câu hỏi thảo luận Câu hỏi 1. Phân tích sự cần thiết phải mở rộng các tập hợp số từ tập hợp các số tự nhiên N tới tập hợp các số phức C.

Bài làm

+) Lí do mở rộng tập số

1 Số nguyên

- Từ tự nhiên: Số tự nhiên ra đời do những yêu cầu của thực tiễn đời sống và sản xuất Nhưng số tự nhiên không đủ đáp ứng những yêu cầu của xã hội loài người ngày càng phát triển

- Từ nội tại Toán học: + Phép toán: Trong N thì “+” là phép toán nhưng “–”không phải phép toán

+ Phương trình: Phương trình không phải lúc nào cũng có nghiệm trong N

Từ đó, xuất hiện một yêu cầu mở rộng tập hợp N để được một tập hợp số mà trong đó phép trừ luôn luôn thực hiện được, hay cũng vậy phương trình luôn luôn có nghiệm

Như vậy, việc xây dựng tập hợp số nguyên (Z) được đặt ra như một yêu cầu nội tại của

2 Số hữu tỉ

+) Số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số âm Tập số này được kí hiệu là Z, để

dễ ghi nhớ, hãy liên hệ Z với Zero, tức là số 0 Ta dễ thấy, 0 chính là “trục đối xứng” của tập số này

Trở lại ví dụ về tài khoản ngân hàng nói ở trên, người chủ ngân hàng chỉ cần ghi tài khoản của tôi là -5 đồng

Có thể hiểu đơn giản, từ “nguyên” trong từ số nguyên mang hàm ý các đơn vị được đếm là những đơn vị nguyên bản, không bị chia nhỏ Nhưng rồi xã hội loài người lại tiếp tục phát triển và nhu cầu đo đếm lại phát sinh những yêu cầu mới Tiền tệ được

chia nhỏ ra hơn nữa để đáp ứng nhu cầu mua sắm, chẳng hạn một đồng bây giờ bằng

10 xu Giá một con gà ở chợ bán là 1 đồng, nhưng tôi chỉ có 5 xu, vậy là người bán có thể bán cho tôi một nửa con gà Nếu tôi có 7 xu, tôi có thể mặc cả mua 3/4 con gà Xuất phát từ nhu cầu đó, tập số nguyên được mở rộng ra thành tập số hữu tỉ

3 Số thực

+) Hữu là có, tỉ là tỉ lệ hay tỉ số Hữu tỉ tức là có thể được biểu diễn dưới dạng tỉ số Bất kì số nào có thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số   với a, b là 2 số nguyên và b khác

0 đều thuộc tập hợp số Hữu tỉ

Số hữu tỉ ký hiệu là Q Để dễ nhớ hãy liên hệ Q với từ Quotient Quotient chính là Thương trong phép chia  Trong phép chia này, có thể có phần số dư nữa, tiếng anh gọi là remainder

Nhưng cách loài người chúng ta dùng các con số không chỉ dừng lại ở các mốc con số

mà còn dùng đến cả một khoảng giữa các con số Ví dụ, hãy hình dung trục số trên biểu trưng cho trục thời gian lịch sử loài người Mốc số 0 được coi là mốc đánh dấu Công nguyên Bây giờ giả sử tôi muốn chọn khoảng thời gian từ năm thứ 3 trước Công nguyên đến năm thứ 2 trong Công nguyên, thì hàm ý của tôi là tất cả những con

số nằm trong đoạn này [-3, 2] Tuy nhiên trong khoảng này lại chứa một giá trị là  Nhưng   lại không phải là số hữu tỉ bởi vì nó không thể biểu diễn dưới

dạng  Vì vậy, chỉ dừng lại ở tập số Hữu tỉ là chưa đủ dùng, và thế là tập số thực ra đời

4 Số phức

+) Với tập số thực thì chúng ta chỉ giải quyết được bài toán với

Vậy câu hỏi đặt ra khi a<0 thì bài toán sẽ giải quyết như thế nào?

Và để giải quyết vấn đề này thì các nhà bác học đã sáng tạo mở rộng ra tập hợp các số phức C

Số phức (dạng đại số) sẽ có dạng: z = a + bi , trong đó a, b là các số nguyên, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo Và i được xem là đơn vị ảo, qui ước i 2  = -1

Tập hợp số phức được kí hiệu là C

Câu hỏi 2: Có thể xem “Số hóa” như một phần của quá trình “Chuyển đổi số” Hãy

nêu một vài ứng dụng của số học trong quá trình “số hóa”

Bài làm

Ứng dụng của số học trong quá trình “số hóa”.

Ứng dụng hệ thống phân tích dữ liệu trong định hướng quyết định

Phân tích dữ liệu để tìm kiếm cơ hội phát triển sản phẩm/ dịch vụ mới

Giải mã tâm trí khách hàng qua phân tích số liệu về hành vi thay vì lời nói

Tối ưu hóa nguồn lực từ kết nối dữ liệu các phòng ban

Giúp việc lưu trữ, tìm kiếm, chia sẻ thông tin một cách chanh chóng và dễ dàng

Các loại tài liệu số khác nhau được chuyển đổi qua lại linh hoạt

Cắt giảm tối đa chi phí cho các hoạt động quản lý, không gian lưu trữ

Tài liệu có khả năng được chỉnh sửa và tái sử dụng

Câu hỏi 3. Nêu một số tương tự giữa số nguyên và đa thức và bình luận ý nghĩa của

các sự tương tự đó trong giảng dạy, học tập và nghiên cứu về số học

Bài Làm

Trước hết ta thấy rõ, giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức có nhiều tính chất rất giống nhau sau đây:

Các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia hoàn toàn như nhau cho cả hai tập hợp

Ví dụ: (-3)+ 11; 25x2y- (-5x2y); 11xy+ (-xy);

Nếu đối với các số nguyên, ta có số nguyên tố, thì với các đa thức, ta có đa thức bất khả qui

Ví dụ: 3; -7; 13; x+ 3; x2+ 1;

Định nghĩa: Đa thức bất khả qui là đa thức không thể phân tích thành tích của hai đa thức

Đối với các số nguyên, cũng như đối với hai đa thức, ta có thể định nghĩa ước chung lớn nhất Hơn nữa, trong cả hai trường hợp, ước chung lớn nhất này tìm được bằng thuật toán Euclid

“Thuật toán Euclid tìm Ưcln được nhắc lại như sau:

Nếu giữa các số nguyên a, b, q, r có hệ thức a= b.q+ r, thì ta có (a, b)= (b, r)

a/ Cho a, b là các số nguyên dương Nếu một trong hai số là ước của số kia, chẳng hạn

b là ước của a thì ta có (a, b)= b

b/ Nếu trường hợp trên không xảy ra và giả sử rằng a> b, thì ta thực hiện một dãy các phép chia sau đây, với a= r0, b= r1:

r0= r1q0+ r2, 0< r2< r1

r1= r2q1+ r3, 0< r3< r2

r2= r3q2+ r4, 0< r4< r3

rn-2= rn-1qn-1+ rn, 0<rn<rn-1

rn-1= rnqn

Ta đã làm n phép chia Trong các phép chia đó, ta có:

r1 >r2 > > rn-1> rn > rn+1= 0

Vì vậy, quá trình trên kết thúc với rn+1=0 Dãy phép chia có dư liên tiếp này gọi là thuật toán Euclid thực hiện trên hai số a, b

Ta có: (a, b)= (r0, r1)= (r1, r2)= =(rn-1, rn)= rn

Vậy ƯCLN(a, b)= số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclid thực hiện trên hai số đó”

Mỗi số nguyên có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên tố, mỗi đa thức có thể phân tích thành tích các đa thức bất khả qui

Ví dụ:

;

Các số hữu tỉ tương ứng với các hàm hữu tỉ

Ví dụ: ;

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên tương tự như bậc của đa thức

Ví dụ:

có bậc là 3

Trong sự tương tự giữa phân tích bất khả qui và phân tích ra thừa số nguyên tố, các nghiệm của đa thức tương ứng các ước nguyên tố của số nguyên

Do đó, số các nghiệm phân biệt của một đa thức có vai trò như số các ước của một số nguyên

Cơ sở thực tiễn

Từ thực tế đứng lớp giảng dạy trong nhiều năm cũng như qua việc trao đổi với đồng nghiệp ở tổ bộ môn Hơn nữa, việc tiếp cận kiến thức mới của học sinh được tích lũy dần suốt 4 năm học tập bậc THCS

Số nguyên được học ngay từ lớp 6 Ngay những giờ đầu: làm quen với số nguyên âm thông qua một số ví dụ cụ thể, như là số tiền nợ, độ sâu của thềm lục địa so với mực nước biển, nhiệt độ, Từ đó, giúp cho học sinh thấy rằng khi học về tập số tự nhiên nhiều vấn đề đặt ra như thế không thể giải quyết trọn vẹn được Do đó, việc mở rộng tập số tự nhiên là vấn đề hết sức cần thiết hoàn toàn do tính khách quan từ thực tế cuộc sống

Đa thức được trình bày khá đầy đủ lớp 7, học sinh được học khái niệm đa thức, biểu thức nguyên, biểu thức phân, giá trị của biểu thức đại số, bậc của đa thức và cộng trừ các đa thức nói chung và đa thức của một biến nói riêng Ở đây học sinh được tiếp cận việc tìm nghiệm của đa thức một biến (làm cơ sở để giải phương trình sau này và thực

tế là học sinh đã giải bài toán tìm x, y ở những lớp dưới) Đến lớp 8 đa thức được trình bày một cách hoàn chỉnh hơn: Việc cộng, trừ, nhân, chia đa thức và nhiều phép toán

về đa thức liên quan Đến lớp 9 tìm nghiệm của đa thức bậc hai và một số vấn đề về

đa thức bậc hai và ứng dụng của các đa thức đối xứng trong việc nghiên cứu sâu các vấn đề về đa thức bậc hai

Từ sự gắn kết chặt chẽ như thế, rõ ràng số nguyên và đa thức có nhiều sự tương đồng phụ thuộc nhau, không thể tách rời nhau, đồng thời số nguyên bổ sung rất nhiều cho

đa thức Tuy nhiên, có nhiều bài toán khó từ số nguyên phải được giải quyết trên đa thức Chính sự lí thú này đã làm phong phú thêm bức tranh tổng thể toán học

Chúng ta ngày ngày đứng trên bụt giảng do vậy, sự cần thiết phải hiểu rõ và phát họa một cách tổng thể sự tương tự từ tập hợp số nguyên và tập hợp đa thức để có phương pháp tốt trang bị kiến thức cơ bản cần thiết nhất giúp cho học sinh tiếp thu một cách bền vững góp phần khắc phục tình trạng học tập thụ động, hay tiếp thu nhưng chưa rõ vấn đề

Thực trạng và những mâu thuẫn

- Đề tài này được vận dụng trong toàn khối THCS, nội dung sát với những kiến thức chuẩn và có sự mở rộng cần thiết Do đó, sự tiếp cận không quá khó đối với đại đa số học sinh Có cả sự nâng cao đối với nhiều học sinh giỏi say mê Toán học

- Người dạy có điều kiện tổng kết và kiểm nghiệm lại, vấn đề nào cần thiết trang bị cho học sinh vấn đề nào để học sinh khá giỏi tự mình xem xét vấn đề dù chỉ là ở khía cạnh nhỏ mang tính hệ thống lại hoặc chỉ là trình bày lại Thấy được sự tương tự khi

đã dạy tập hợp số nguyên sang tập hợp các đa thức

Đây là đề tài về chuyên môn, Toán học là lĩnh vực rộng và khó Do vậy, chỉ đề cập một khía cạnh nhỏ về sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức Đồng thời, phát triển thêm từ suy nghĩ trong quá trình giảng dạy

Đa phần học sinh là ham học Tuy nhiên, trong tình hình hiện nay thái độ học tập của học sinh nói chung cũng như thái độ học tập môn Toán của một số học sinh, tính chuyên cần cũng còn những hạn chế nhất định, điển hình là các em ít đọc sách Toán trước ở nhà, tài liệu tham khảo rất ít chỉ tập trung vào sách giáo khoa là chính Vì vậy, phần nào hiệu quả chưa cao đối với những đối tượng học sinh này