Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê trong y học chương 2 biến ngẫu nhiên

1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐN

Bài giảng

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ

THỐNG KÊ TRONG Y HỌC

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt

Kênh video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

Ngày 12 tháng 2 năm 2022

Nguyen Cong Nhut Lý thuyết xác suất và thống kê trong y học Ngày 12 tháng 2 năm 2022 1 / 52

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TRONG Y HỌC

Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học

Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về, in ra và mang theo khi học Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học

Điểm quá trình: 20%

Kiểm tra giữa kỳ: 20%

Thi cuối kỳ: 60%, thi trắc nghiệm 60 phút

Cán bộ giảng dạy

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt

ĐT: 0933373432

Email: ncnhut@ntt.edu.vn

Zalo: 0378910071

1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

4 LÝ THUYẾT MẪU

5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN

8 THỐNG KÊ MÔ TẢ

1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

4 LÝ THUYẾT MẪU

5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN

8 THỐNG KÊ MÔ TẢ

BIẾN NGẪU NHIÊN

NỘI DUNG

2-1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

2-2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2-4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

2-6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Một biến ngẫu nhiên (random variable) với giá trị thực là một hàm số đo được trên một không gian xác suất:

Hình: Biến ngẫu nhiên X.

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Ví dụ 1

Thực hiện phép thử tung đồng xu 3 lần, gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số mặt sấp có được trong 3 lần tung

Và biến ngẫu nhiênX : Ω →R có các giá trị như sau:

X(NNN)=0,

X(NNS)=1,

X(NSN)=1,

X(NSS)=2,

X(SNN)=1, X(SNS)=2, X(SSN)=2, X(SSS)=3

Như vậy về mặt xác suất của biến ngẫu nhiên ta có:

P(X =0) = 18;P(X =1) = 38;P(X =2) = 38;P(X =3) = 18

Lưu ý Ký hiệuP(X =2) = 38 có thể hiểu là xác suất tung đồng xu 3 lần 2 lần được sấp

là bằng 3/8

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Người ta thường dùng các chữ in X ; Y ; Z để ký hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữ thường x; y; z để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên

Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x làX =x và xác suất đểX nhận giá trịx là

P(X =x)

Có hai loại biến ngẫu nhiên:

Biến ngẫu nhiên rời rạc: nếu tập giá trị của biến ngẫu nhiên chỉ nhậnhữu hạn hoặc vô hạn đếm đượccác giá trị Ta có thể liệt kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc

x1,x2, ,xn

Biến ngẫu nhiên liên tục: là biến ngẫu nhiên mà các giá trị của nó lấp đầy một hoặc một số khoảng nào đó trên trục số thực, hoặc toàn bộ trục số thực

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bảng phân phối xác suất

X x1 x2 · · · xk · · ·

P(X =xi) p1 p2 · · · pk · · ·

Tính chất

1 pi ≥0, ∀i,

2

∑

i = 1P(X =xi) =

∑

i = 1pi =1

3 P(a≤X ≤b) = ∑

a ≤ x i≤bP(X =xi) = ∑

a ≤ x i≤bpi

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 2

Biến ngẫu nhiên rời rạc X có luật phân phối xác suất như sau:

P 3/10 4/10 m 2/10

Tìm

a) m =1− (3/10+4/10+2/10) =1/10

b) P( ≤X ≤3) =P(X =1) =4/10

c) P( <X <6) =P(X =4) =1/10

d) P(X2 ≤3) =P(X =0) +P(X =1) =3/10+4/10=7/10

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục - Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function)

Định nghĩa (Hàm mật độ xác suất)

Cho biến ngẫu nhiên liên tục X, có tập giá trị D, hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiênX là hàmf(x)thỏa với mọi a, b∈D thì:

b

Z

a

f(x)dx

Hàm f(x)xác định trên Rthỏa mãn các tính chất sau:

1 f(x) ≥0, ∀x ∈R,

2

R

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function)

Ví dụ 3

Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ dạng

f(x) =



kx3, khi 0<x <1

0, khix ≤0∨x ≥1

2 TínhP(0.4≤X ≤0.6),

1 Theo tính chất (2) ta có

R+∞

1 0dx =1⇔kR1

0 x3dx =1

⇔k1

4 =1⇔k =4

2.P(0, 4≤X ≤0, 6) =R0,6

0,4 4x3dx = 12513

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiênX, kí hiệuF(x), là một đại lượng cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị củaX nằm về phía bên trái của số nào đó:

F(x) =P(X ≤x), với mọix ∈R.

Hàm phân phối xác suất hay còn gọi là hàm phân phối tích lũy

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc

x i < xpi

Bảng phân phối xác suất

X x1 x2 · · · xk · · · xn

P(X =x) p1 p2 · · · pk · · · pn

F(x) =



















p1+p2 ;x2 ≤x <x3

.

p1+p2+ .+pn− 1 ;xn− 1 ≤x <xn

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

F(x) =P(X ≤x) =

x

Z

−∞

f(t)dt, ∀x ∈R

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ 4

Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suấtf(x) =



4x3, khi 0<x <1

0, khix ≤0∨x ≥1

Lập hàm phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên X

Nếux <0 ta cóF(x) =Rx

Nếu0≤x <1ta có

F(x) =Rx

0 f(t)dt =Rx

0 4t3dt= t4

x

0 =x4

F(x) =Rx

0 f(t)dt+Rx

1 0dt =R1

0 4t3dt =1

F(x) =







0 ,x <0

x4 , 0≤x <1

1 , 1≤x

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.3 Tính chất

Tính chất

1 0≤F(x) ≤1,

2 F(x)là hàm không giảm, liên tục trái,

3 F(+∞) =1,F(−∞) =0,

4 Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, nếu F khả vi tại điểm x thìF′(x) =f(x)

Hệ quả

Nếu X liên tục thì

P(a≤X ≤b) =P(a<X ≤b) =P(a≤X <b) =P(a<X <b) =F(b) −F(a)

2.4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Hai biến ngẫu nhiên X , Y được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi xác suất biến ngẫu nhiên này nhận giá trị không ảnh hưởng đến xác suất biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị Và theo công thức nhân xác suất ta có:

P[(X =xi) · (Y =yj)] =P(X =xi) ·P(Y =yj) =piqj ∀i, j

2.4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Ta có biến ngẫu nhiên X+Y có bảng phân phối xác suất dạng:

Bảng phân phối xác suất

X +Y z1 z2 · · · zk · · · zn

P P1 P2 · · · Pk · · · Pn

Trong đó {z1;z2; ;zk} ≡

xi +yj/i =1,n; j =1,m

x i ;y j x i + y j = z i

P(X =xi) ·P(Y =yj) = ∑

x i ;y j x i + y j = z i

piqj

2.4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Ví dụ 5

P(X =x) 0,3 0,4 0,2 0,1

P(Y =y) 0,3 0,5 0,2

P 0,09 0,27 0,06 0,29 0,1 0,13 0,04 0,02

Trong đó:

P(X+Y =0) =P(X = −1 P(Y =1) =0, 3.0, 3=0, 09

P(X+Y =2) =P(X = −1 P(Y =3) +P(X =1 P(Y =1

=0, 3.0, 5+0, 4.0, 3=0, 27

· · ·

2. 4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Hai biến ngẫu nhiên X , Y gọi độc lập với xác suất biến ngẫu nhiên nhận giá trị không ảnh hưởng đến xác suất biến ngẫu nhiên nhận giá trị Và theo... data-page="19">

2. 4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Ta có biến ngẫu nhiên X +Y có bảng phân phối xác suất dạng:

Bảng... hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Ví dụ

P(X =x) 0,3 0,4 0 ,2 0,1

P (Y =y) 0,3 0,5 0 ,2

P 0,09 0 ,27 0,06 0 ,29 0,1 0,13 0,04 0, 02

Trong đó:

P(X+Y