Chương 7I. BI U DI N S :H TH NG SCƠ B NM t s trong h th ng s ñư c t o ra t m t hay nhi u ký s (digit), có th bao g m 2 ph n: ph n nguyên và ph n l , ñư c phân cách nhau b ng d u ch m cơ s (radix). Tr ng s (Weight) c a m i ký s ph thu c vào v trí c pdf

Giá trị của số ñược tính bằng tổng của các tích ký số với trọng số.Ký số ở tận cùng bên trái ñược gọi là ký số có trọng số lớn nhất Most Significant Digit – MSD, ký số ở tận cùng bên phả

Chương 7 HỆ THỐNG SỐ CƠ BẢN

Một số trong hệ thống số ñược tạo ra từ một hay nhiều

ký số (digit), có thể bao gồm 2 phần: phần nguyên và

(radix).

Trọng số (Weight) của mỗi ký số phụ thuộc vào vị trí của ký số ñó

Giá trị của số ñược tính bằng tổng của các tích ký số với trọng số.

Ký số ở tận cùng bên trái ñược gọi là ký số có trọng

số lớn nhất (Most Significant Digit – MSD), ký số ở tận cùng bên phải ñược gọi là ký số có trọng số nhỏ nhất (Least Significant Digit – LSD).

HỆ THỐNG SỐ THẬP PHÂN (DECIMAL - DEC)

Hệ thập phân có cơ số là 10, sử dụng 10 ký số là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

ðể phân biệt số thập phân với số của các hệ thống số khác, ta thêm ký hiệu D (decimal) hoặc 10 ở dạng chỉ

số dưới vào ñằng sau.

5 2

6

7 4

2

10 -3

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

-3 -2

-1

0 1

2

Ví dụ:

Giá trị :

HỆ THỐNG SỐ NHỊ PHÂN (BINARY-BIN)

Hệ nhị phân có cơ số là 2, sử dụng 2 ký số là 0 và 1.

Nguyên tắc tạo ra số nhị phân, cách tính trọng số và giá trị của số nhị phân tương tự với cách ñã thực hiện ñối với số thập phân.

Số nhị phân ñược ký hiệu bởi ký tự B (binary) hoặc

số 2 ở dạng chỉ số dưới.

Bit nằm tận cùng bên trái ñược gọi là bit có trọng số lớn nhất (Most Significant Bit –MSB).

Bit nằm tận cùng bên phải ñược gọi là bit có trọng số nhỏ nhất (Least Significant Bit –LSB).

Số nhị phân ñược dùng ñể biểu diễn các tín hiệu trong mạch số.

Mỗi ký số trong hệ nhị phân ñược gọi là 1 bit (binary digit).

1 1

0

1 0

1

2 -3

2 -2

2 -1

2 0

2 1

2 2

-3 -2

-1

0 1

2

Ví dụ:

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 A B C D E F

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

0 1 2 3 4 5 6 7

II CHUYỂN ðỔI CƠ SỐ :

a Chuyển từ các hệ thống số khác sang hệ thập phân

Bằng cách tính giá trị của số cần chuyển ñổi

Ví dụ: ðổi số 1001.01B sang hệ thập phân

Ví dụ: ðổi số AC18 25H sang hệ thập phân

b Chuyển từ hệ thập phân sang các hệ thống số với

cơ số r

+ Phần nguyên: chia liên tiếp cho r ñến khi có kết

quả của phép chia là 0 rồi lấy các số dư theo thứ

tự từ dưới lên.

+ Phần lẻ: nhân liên tiếp với r, sau mỗi lần nhân

lấy ñi số phần nguyên, tiếp tục cho ñến khi kết quả là 0 hoặc ñến khi ñạt ñộ chính xác cần thiết Kết quả là lấy các số nguyên ñi theo thứ tự từ trên xuống.

2 2

Ví dụ : ñổi số 19.8125D sang hệ nhị phân

0,8125 x 2 = 1 ,625 0,625 x 2 = 1 ,25 0,25 x 2 = 0 ,5 0,5 x 2 = 1 ,0

c Từ nhị phân sang thập lục phân:

Nhóm 4 bit nhị phân thành 1 số thập lục phân

d Từ thập lục phân sang nhị phân :

Mỗi ký số thập lục phân tương ứng với 4 bit nhị phân.

III SỐ NHỊ PHÂN :

a Một số tính chất của số nhị phân

- Số nhị phân chẳn (chia hết cho 2) có LSB = 0.

- Số nhị phân lẻ (không chia hết cho 2) có LSB = 1.

- Bit còn ñược dùng làm ñơn vị ño lường thông tin.

- Các bội số của bit là:

1 1

1 1

0 1

-1 -1

-1

b Các phép toán số học trên số nhị phân

Mã nhị phân cho số thập phân (BCD)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Số thập phân

c Mã nhị phân

- Tiếp tục như vậy cho ñến LSB.

- Sô mã Gray luôn cùng bit với sô nhi phân.

ðổi từ Binary sang Gray

Nhận xét: Có thê‚ tạo ra mã Gray tư€ mã nhi phân theo

cách sau: tính tư€ bên trái, bit ñi sau bit 0 (của sô nhi phân) ñược giưƒ nguyên, bit ñi sau bit 1 thi€ bị ñảo.

d Mã led 7 ñoạn

a g

d

b c

f e

a b c d e f g Giá trị

p q r s t u v w x y z {

|

` a b c d e f g h i j k l

P Q R S T U V W X Y Z [

\

@ A B C D E F G H I J K L

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 :

* + ,

DLE DC1 DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS

NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C

5 4

3 2

1 0

(Cột) b 6 b 5 b 4

f Mã ký tự ASCII:

IV BIỂU DIỄN SỐ NHỊ PHÂN CÓ DẤU :

1 Biểu diễn số có dấu:

a Số có dấu theo biên ñộ (Signed_Magnitude):

- Bit MSB là bit dấu: 0 là số dương và 1 là số âm, các bit còn lại biểu diễn giá trị ñộ lớn.

+ 13 : 0 1 1 0 1

- 13 : 1 1 1 0 1

- Tầm biểu diễn:

- (2n-1 – 1) ÷ + (2n-1 – 1)

b Biểu diễn số có dấu theo số bù 1 (1’s Complement)

= 1 1 1 1 - 1 0 0 1

= 0 1 1 0

Buø_1 (N) = 2n – 1 – N

Số bù 1: bù 1 của số nhị phân N có chiều dài n bit:

Có thể lấy bù 1 của số nhị phân bằng cách ñảo từng bit của nó ( 0 thành 1 và 1 thành 0).

- MSB là bit dấu: 0 biểu diễn

cho số âm

- Các bit còn lại: nếu là số

dương thì biểu diễn bằng ñộ

lớn tương ứng, nếu là số âm

thì biểu diễn bởi số bù 1 của

–6 –5 –4 –3

–2 –1

–0

Biểu diễn theo số bù 1

c Biểu diễn số có dấu theo số bù 2 (2’s Complement)

Biểu diễn theo số bù 2

âm

- Các bit còn lại: nếu là số

dương thì biểu diễn bằng ñộ lớn

tương ứng, nếu là số âm thì

biểu diễn bởi số bù 2 của số

+4 +5 +6 +7

–8 –7

–6 –5 –4

–3 –2

- ðể tìm ñược giá trị của số âm ta lấy bù 2 tương ứng ñể

- Lấy bù_2 hai lần của 1 số thì bằng chính số ñó

- Giá trị -1 ñược biểu diễn là 1 … 11 (n bit 1)

- 3 : 1 0 1 = 1 1 1 0 1

- 7

+ 5

: 1 0 0 1 : 0 1 0 1

-0 1 1 1 + 7 :

* Thực hiện phép trừ bằng cách cộng với số bù 2:

6 13

: 0 1 1 0 : 1 1 0 1

* Trừ với số không có dấu

* Trừ với số có dấu

- 6

- 3

: 1 0 1 0 : 1 1 0 1

A – B = A + Buø_2 (B)

V CẤU TRÚC ðẠI SỐ BOOLE

- ðại số Boole là ñại số dùng ñể mô tả các hoạt ñộng logic.

- Các biến Boole là các biến logic, chỉ mang giá trị 0 hoặc 1

(ñôi khi gọi là True hoặc False).

- Hàm Boolean là hàm của các biến Boole, chỉ mang giá trị

0 hoặc 1.

- ðại số Boole gồm các phép toán cơ bản: ðảo (NOT),

Giao hay Nhân (AND), Hợp hay Cộng (OR).

1 Giao hoán

A + B = B + A A*B = B*A

4 ∃∃ hai phần tử trung hòa ñược ký hiệu là 0 và 1

A + 0 = A A*1= A

A

0 A

* A

1 A

A

=

= +

5 ∀∀A∈∈X, ∃∃ phần tử bù của A, ñược ký hiệu là :

Tập (X,+,*,0,1, NOT) thỏa 5 tiên ñề sẽ hình thành nên cấu trúc ñại số Boole.

* A

B

A + + =

B

A

* B

*

Bù của một tích bằng tổng các bù:

Bù của một tổng bằng tích các bù:

ðịnh ly 3 : (luật phu‚ ñịnh của phu‚ ñịnh)

ðịnh ly 6 : (luật hấp thu hay luật nuốt)

A + ( A B) = A

A (A + B) = A

B A

B A A

B A )

B A

( A

+

= +

= +

ðịnh ly 7 : (luật dán)

VII CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN HÀM BOOLE

1 Phương pháp ñại sô

Hàm Boole ñược biểu diễn dưới dạng một biểu thức ñại sô của các biến boole (biến nhi phân), quan hê với nhau bởi các phép toán cộng(OR), nhân (AND) hay phép lấy bu€ (NOT) Với các gia trị cho trước của các biến, hàm Boole có thê‚ có gia trị 1 hoặc 0.

Ví duT :

z x y

x )

z , y , x (

MSB

2 Phương pháp bảng chân trị

đê‚ biểu diễn hàm Boole dưới dạng bảng chân trị, ta liệt kêẮ một danh sách 2 n tô‚ hợp các gia trị 0 va€ 1 của các biến Boole va€ một cột chỉ ra gia trị của hàm F.

0 1

1 1

0 0

1 1

0 1

0 1

0 0

0 1

1 1

1 0

1 0

1 0

1 1

0 0

0 0

0 0

F

A B C

Vắ duT:

3 Phương pháp dạng chính tắc và dạng chuẩn

Minterm (Tích chuẩn): là tích số của ñầy ñủ các biến ở dạng bù hay không bù Nếu giá trị của biến là 0 thì biến sẽ ở dạng bù, còn nếu giá trị của biến là 1 thì biến sẽ ở dạng không bù.

Với n biến có thể tạo ra 2 n minterm

Minterm ñược ký hiệu là mi, với i là tổ hợp nhị phân tạo bởi giá trị các biến.

KyV hiệu Biểu thức

minterm B

A 0 0 1

A B

A B

Ví du:

Maxterm (tổng chuẩn): là tổng số của ñầy ñủ các biến ở dạng bù hay không bù Nếu giá trị của biến là 1 thì biến sẽ ở dạng bù, còn nếu giá trị của biến là 0 thì biến sẽ ở dạng không bù.

Với n biến có thể tạo ra 2 n Maxterm

Maxterm ñược ký hiệu là Mi, với i là tổ hợp nhị phân tạo bởi giá trị các biến.

Ví du:

KyV hiệu Biểu thức

Maxterm B

A

0 0 1 1

M 0

M 1

M 2 M

B

A + +

0 1 0 1

B

A + +

B

A + +

Dạng chính tắc 1 : là dạng tổng của các tích chuẩn (SOP – Standard Sum-Of-Products) làm cho hàm Boole có giá trị 1

x + x y z + x y z + x y z + x y z

) z y

x ( + + ( x + y + z ) ( x + y + z )

Dạng chuẩn (Standard Form):

a Dạng chuẩn 1: là dạng tổng các tích (S.O.P – Sum of Product)

Ghi chú: Bù của minterm là Maxterm và ngược lại.

A + +

=

TRƯỜNG HỢP TÙY ðỊNH

Trong thực tế có những trường hợp một vài tổ hợp nhị phân của các biến là không xảy ra Do ñó, giá trị của hàm tương ứng với những tổ hợp nhị phân này có thể là 0 hay 1 ñều ñược, người ta gọi ñó là những trường hợp tùy ñịnh (don’t care, viết tắt là d) Khi ñiền vào bảng chân trị những trường hợp tùy ñịnh, ta dùng

ký hiệu X.

Ví duT: F ( A , B ) = ∑ ( 0 , 2 ) + d ( 1 )

0 1 0 1

0 0 1 1

F B

A

0

1 1 X

4 Phương pháp bìa KARNAUGH

Bìa K cho hàm 2 biến

10

3

1

Bìa K cho hàm 3 biến

2 3

4 5 6

Bìa K cho hàm 5 biến

Cách ñiền vào bìa K

1 Nếu hàm F ñược biểu diễn dưới dạng chính tắc 1 (dạng ∑∑) thi€ ta ñiền gia trị 1 vào các ô có sô thư tư tương ứng với các minterm (tích chuẩn), ñiền X vào các ô ứng với các trường hợp tùy ñịnh va€ ñiền 0 vào các ô còn lại.

Ta có thê‚ chỉ ñiền vào bìa K hai ky hiệu 0 va€ X, hoặc 1 va€ X Các ô bo‚ trống ñược ngầm hiểu.

Ví du: F ( A , B , C ) = ∑( 0 , 1 , 3 , 6 )+ d ( 4 , 7 )

00 01 11 10 0

1

AB C

2 Nếu hàm F ñược biểu diễn dưới dạng chính tắc 2 (dạng ∏∏) thi€ ta ñiền gia trị 0 vào các ô có sô thư tư tương ứng với các Maxterm (tổng chuẩn), ñiền X vào các ô ứng với các trường hợp tùy ñịnh va€ ñiền 1 vào các ô còn lại.

Ta có thê‚ chỉ ñiền vào bìa K hai ky hiệu 0 va€ X, hoặc 1 va€ X Các ô bo‚ trống ñược ngầm hiểu.

Ví du: F ( A , B , C , D ) = ∏( 3 , 4 , 6 , 12 , 14 , 15 ) D ( 1 , 7 , 11 )

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

1

3 Nếu hàm F ñược biểu diễn dưới dạng bảng chân trị thi€ ta ñiền 0, 1 hoặc X vào các ô có tô‚ hợp nhi phân trùng với tô‚ hợp nhi phân của bảng chân trị.

Ví du:

1 1

1 1

0 0

1 1

0 1

0 1

1 0

0 1

0 1

1 0

X 0

1 0

X 1

0 0

1 0

0 0

F C

B A

00 01 11 10 0

1

ABC

F

1

1

1 X

X

00 01 11 10 0

1

ABC

F

0

X X

4 Nếu hàm Boole ñược cho dưới dạng chuẩn 1.

+

= A B C D )

D , C , B , A

00 01 11 10

1 1

1

1

1 1

+

D B

5 Nếu hàm Boole ñược cho dưới dạng chuẩn 2.

B ) C A

)(

D C

B A

( )

D , C , B , A (

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

0 0 0 0

0

VIII GIỚI THIỆU CÁC CỔNG LOGIC

1 Cổng NOT (ðảo, Inverter)

0 1

F A

B A

F = • F = A ∧ B F = = A & B F = = A B

0 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

F B

Cổng AND có n ngoƒ vào

n 2

1 X X X

F=

1 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

F B

A

A B

F

Tổng quát

Cổng NAND có n ngoƒ vào

n 2

1 X X X

F=

0011

FB

A

A B

F

B A

F = + F = A ∨ B F = = A | B

Tổng quát

Cổng OR có n ngo4 vào

n 2

X

0 1 0 1

0 0 1 1

F B

A

B A

F = +

A B

F

Tổng quát

Cổng NOR có n ngoƒ vào

n 2

X

6 Cổng EXOR (XOR – Exclusive OR)

Ky hiệu cổng:

Hàm logic:

Bảng chân trị:

0 1 1 0

0101

0011

FB

A

B A B

A B

A

F = ⊕ = +

A B

F

Lưu ý

Cổng XOR chỉ có 2 ngoƒ vào

7 Cổng EXNOR (XNOR – Exclusive NOR)

Ky hiệu cổng:

Hàm logic:

Bảng chân trị:

1 0 0 1

0101

0011

FB

A

B A B

A B

A

F = ⊕ = +

A B

F

F (A, B, C) = Σ (1, 2, 3, 5, 7)

IX.1 RÚT GỌN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðẠI SỐ

Sử dụng các ñịnh lý và tiên ñề ñể rút gọn.

C B A C

B A C

B A C

B A C

B

=

) A A

( C B )

A A

( C B )

C C

( B

=

C B C

B B

=

) B B

( C B

=

C B

A + +

=

Ví dụ:

IX.2 RÚT GỌN HÀM BOOLE BẰNG BÌA KARNAUGH

1 ðịnh nghĩa các ô kê cận

Hai ô ñược gọi là kê cận nhau, nếu chúng ứng với 2 tích chuẩn (minterm) hoặc 2 tổng chuẩn (Maxterm), chỉ khác nhau ở 1 biến.

00 01 11

0

00 01 11 10

00 01 11 10

1 1

Bốn ô kê cận: gồm 2 nhóm 2 ô kê cận

00 01 11 10

00 01 11 10

0 0

Bốn ô kê cận: gồm 2 nhóm 2 ô kê cận

00 01 11 10

00 01 11

1 1

00 01 11 10

00 01 11 10

0 0

00 01 11 10

00 01 11 10

Việc gom các ô kê cận

- Khi gom 2 n ô kê cận có cùng gia trị 1, ta ñược 1 tích.

- Gom 2 n ô ta loại ñươc n biến.

- Các biến giống nhau còn lại ñược ghi dưới dạng bu€, nếu nó

có gia trị bằng 0, ngược lại sẽ ñược ghi dưới dạng không bu€.

- Khi gom 2 n ô kê cận có cùng gia trị 0, ta ñược 1 tổng Các biến sẽ ñược ghi theo qui ước ngược lại với dạng tích.

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11

1 1

Một số ví du

DC

DA

DA

DB

00 01 11 10

00 01 11 10

0 0

00 01 11 10

00 01 11 10

0 0

00 01 11 10

00 01 11 10

1 1

D C

C A

D B

C B

00 01 11 10

00 01 11 10

A

- Chọn các liên kết tối ña có thê‚ có.

- Những ô ñaƒ liên kết rồi có thê‚ dùng ñê‚ liên kết nữa ñê‚ có ñược tô‚ hợp tối ña có thê‚ có.

- Các ô có gia trị là tùy ñịnh thi€ có thê‚ xem bằng 0 hoặc 1 ñê‚ có kết quả là ñơn giản nhất.

- Không tạo ra các liên kết thừa.

Rút gọn hàm sau

∑

= ( 0 , 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 14 , 15 ) )

D , C , B , A ( F

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

1

1 1

1

1

1 1

1

=

) D , C , B , A (

Liên kết thừa

Rút gọn hàm sau

∏

= ( 0 , 2 , 4 , 6 , 9 , 11 , 12 , 13 , 15 ) )

D , C , B , A (

F

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11

0 0

0

0

=

) D , C , B , A (

F ( + A + D ) ( + A + D )

0

) D C

B

( + +

=

) D , C , B , A (

F ( + A + D ) ( + A + D ) ( A + B + C )

Rút gọn hàm sau

= ( 0 , 1 , 2 , 3 , 11 ) d ( 6 , 7 , 9 ) )

D , C , B , A ( F

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11

1

X X

1

=

) D , C , B , A (

1

D B

Rút gọn hàm sau

∑

= ( 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 , 12 , 13 , 14 ) )

D , C , B , A

00 01 11

1

D B

1

C +

Rút gọn hàm sau

C B A D

C B A D

C B C

B A )

D , C , B , A (

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11

0110

A )

D , C , B , A (

F

Sơ ñô€ logic OR - AND ñược tạo ra tư€ hàm Boole có dạng

tích các tổng.

Ví duT:

) D C

A )(

B A

( )

D , C , B , A (

2 Cấu trúc OR – AND

F

Ví du:

D AC B

A )

D , C , B , A (

B C D

3 Cấu trúc NAND – NAND

D AC

B A )

D , C , B , A (

D AC

B A )

D , C , B , A (

F A

) D C

A )(

B A

( )

D , C , B , A (

B C D

4 Cấu trúc NOR – NOR

) D C

A )(

B A

( )

D , C , B , A (

) D C

A ( )

B A

( )

D , C , B , A (

A

F