Luận văn thạc sĩ sư phạm toán rèn luyện kỹ năng giải phương trình diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỲNH ANH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

——————–o0o——————–

NGUYỄN QUỲNH ANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

——————–o0o——————–

NGUYỄN QUỲNH ANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học

bộ môn Toán

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc nghiêm túc, em đã hoàn thành luận văn này

Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu − trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm sát sao và tận tình hướng dẫn, động viên và góp ý để em hoàn thành tốt luận văn này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trường Đại học Giáo dục − Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy, hướng dẫn, gợi ý

và cho em những lời khuyên bổ ích suốt quá trình phấn đấu, học tập và nghiên cứu tại trường

Em đã rất cố gắng đầu tư nhiều công sức và thời gian nghiên cứu song luận văn khó có thể tránh được những thiếu sót Em rất mong nhận được nhận xét và góp ý của các thầy, cô giáo để em có những định hướng tốt hơn trong quá trình làm luận văn

Em xin chân thành cảm ơn!

Nguyễn Quỳnh Anh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Đặc điểm học sinh các nhóm đối chứng - nhóm thực nghiệm 59 Bảng 3.2 Kết quả điểm kiểm tra của các nhóm 73

Bảng 3.3 So sánh kết quả bài kiểm tra 45 phút của nhóm 1, nhóm 2 sau quá trình thực nghiệm 74 Bảng 3.4 So sánh kết quả bài kiểm tra 45 phút của nhóm 3, nhóm 4 sau quá trình thực nghiệm 75

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1 So sánh điểm kiểm tra 45 phút của nhóm 1, nhóm 2 74 Biểu đồ 3.2 So sánh điểm kiểm tra 45 phút của nhóm 3, nhóm 4 75

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng, khách thể nghiên cứu 3

5 Câu hỏi nghiên cứu 3

6 Giả thuyết nghiên cứu 3

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

9 Mẫu khảo sát 4

10 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Các vấn đề chung về kỹ năng 5

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 5

1.1.2 Đặc điểm kỹ năng 5

1.1.3 Sự hình thành của kỹ năng 5

1.1.4 Những yếu tố tác động đến sự hình thành kỹ năng 6

1.2 Kỹ năng giải toán 6

1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán 6

1.2.2 Vai trò của kỹ năng giải toán 7

1.2.3 Các thành phần liên quan kỹ năng giải toán 8

1.2.4 Các mức độ trong kỹ năng giải toán 10

1.3 Những khó khăn, sai lầm của học sinh THCS khi giải phương trình

Diophant dạng phân thức 10

1.3.1 Khó khăn 10

1.3.2 Các sai lầm thường gặp 11

Kết luận chương 1 12

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC” 13

2.1 Phương trình Diophant tuyến tính 13

2.1.1 Phương trình Diophant tuyến tính hai ẩn 13

2.1.2 Phương trình Diophant tuyến tính nhiều ẩn 19

2.1.3 Nghiệm nguyên dương trong các phương trình Dipophant tuyến tính 22

2.2 Phương trình Diophant dạng phân thức 24

2.2.1 Các dạng toán cơ bản 24

2.2.2 Bài toán tổng quát 29

2.2.3 Biểu diễn đơn vị theo các phân số Ai Cập 41

2.3 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi 45

2.3.1 Phương pháp đưa về dạng tích 45

2.3.2 Phương pháp dùng tính chia hết 47

2.3.3 Phương pháp đánh giá 48

2.3.4 Phương pháp dùng các bất đẳng thức cơ bản 50

2.3.5 Phương pháp tham số hóa 51

2.3.6 Phương pháp sử dụng nguyên tắc cực hạn 51

2.3.7 Phương pháp quy nạp toán học 52

2.4 Một số đề thi tuyển chọn 53

Kết luận chương 2 57

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 58

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 58

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 58

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 58

3.2 Hoạt động thực nghiệm sư phạm 58

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 58

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 60

3.3 Kết quả thực nghiệm 73

3.3.1 Đánh giá định lượng 73

3.3.2 Đánh giá định tính 76

Kết luận chương 3 78

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 79

1 Kết luận 79

2 Khuyến nghị 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giáo dục hiện nay luôn nhận được rất nhiều sự quan tâm bởi lẽ ngành giáo dục không trực tiếp tạo ra của cải vật chất nhưng là nhân tố quan trọng trong việc đào tạo ra một thế hệ tương lai mà từ đó ảnh hưởng trực tiếp đến sự phát triển trong hai mươi đến ba mươi năm của cả một quốc gia, một dân tộc

Trong hệ thống giáo dục, Toán học là một môn khoa học cơ bản đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực tư duy và phát huy sáng tạo để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống Những kiến thức, kỹ năng toán học giúp giải quyết các vấn đề trong khoa học, sản xuất và thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn Toán ở trường THCS vì việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Một trong những điều kiện để thực hiện được mục đích dạy học toán ở trường phổ thông là việc tổ chức dạy học giải toán; nó có tác dụng phát triển tư duy, phát huy sự sáng tạo, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống cụ thể, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, độc lập suy nghĩ và lựa chọn phương

án tối ưu Do vậy việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh là việc làm hết sức cần thiết, từ đó tác động đến tình cảm và đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập cho học sinh

Việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh trong các trường THCS

đã và đang được quan tâm, cụ thể: nhiều buổi tập huấn được tổ chức, đổi mới cách thức sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn, đổi mới phương pháp giảng dạy khi coi người học là trung tâm Tuy nhiên do chương trình toán học trải dài với nhiều mảng kiến thức và nội dung khác nhau đảm bảo cho từng trình độ, độ tuổi nên việc dạy và học nhằm phát triển năng lực cho học sinh còn chưa đáp ứng được yêu cầu học tập và nhu cầu của xã hội

Số nguyên là một mảng kiến thức số học cơ bản và vô cùng quan trọng của Toán học Thực tế học sinh đã làm việc với số nguyên không âm (số tự nhiên) từ chương trình tiểu học Từ lớp 6, học sinh đã bước đầu làm

quen với bài toán tìm các số nguyên thỏa mãn những điều kiện nhất định.

Ở lớp 8, 9 học sinh đã giải quyết các bài toán về giải phương trình nghiệm nguyên Phương trình Diophant hay còn được gọi là phương trình nghiệm nguyên là một trong những dạng toán lâu đời nhất của Toán học và trải qua một lịch sử phát triển lâu dài Từ thế kỉ XVII trước công nguyên, các nhà toán học Babylon cổ đại đã nắm được sự liên hệ trong phương trình

và tìm ra các bộ số tự nhiên thỏa mãn phương trình này Nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Diophant (thế kỉ III sau công nguyên) là người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống phương trình nghiệm nguyên và ông đã giải được một số phương trình có nghiệm nguyên dương Vì thế người ta đặt tên ông cho phương trình nghiệm nguyên Trong các kỳ thi vào lớp 10 các trường THPT chuyên, THPT năng khiếu, kì thi học sinh giỏi thành phố, quốc gia và quốc tế, phương trình Diophant nói chung và phương trình Diophant dạng phân thức nói riêng vẫn thường xuyên xuất hiện dưới các hình thức khác nhau và luôn được đánh giá là khó do tính không mẫu mực của nó, các bài tập biến đổi linh hoạt và đa dạng

Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sở”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu và phát triển năng lực, kỹ năng giải các toán đưa về giải bằng phương trình Diophant; góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán tại các trường THCS, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp học sinh rèn luyện, củng

cố năng lực và giải quyết các bài toán có nội dung hay và khó trong các

kì thi học sinh giỏi, thi vào các trường THPT chuyên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa cơ sở lý luận về dạy học phương trình Diophant dạng phân thức

- Đóng góp những biện pháp sư phạm nhằm phát triển kỹ năng giải

- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng về phương trình Diophant dạng phân thức trong các hoạt động học tập ở trường THCS

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giải thuyết khoa học và đánh giá tính khả thi, hiệu quả trong vận dụng dạy học môn toán theo chuyên

đề bồi dưỡng ở trường THCS

4 Đối tượng, khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng

và phát triển tư duy giải phương trình Diophant dạng phân thức

- Khách thể nghiên cứu: Học sinh có trình độ khá, giỏi tại các trường THCS

5 Câu hỏi nghiên cứu

- Phương trình Diophant dạng phân thức thể hiện qua các bài toán

cụ thể nào?

- Thực trạng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, đặc biệt là chuyên đề giải phương trình Diophant dạng phân thức ở trường phổ thông hiện nay ra sao?

- Các biện pháp sư phạm nào có thể sử dụng để rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực giải phương trình Diophant cho học sinh?

6 Giả thuyết nghiên cứu

Khi dạy học phương trình Diophant dạng phân thức, nếu có thể xây dựng một hệ thống các nội dung kiến thức cơ bản và quan trọng đồng thời định hướng các biện pháp giải cho từng dạng bài tập và các biện pháp dạy học phù hợp thì sẽ phát huy được kỹ năng và năng lực giải toán cho học sinh, giúp học sinh ghi nhớ sâu những kiến thức đã học, nhạy bén và linh hoạt hơn, phát huy tính tích cực trong dạy và học toán ở trường THCS

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Nội dung kiến thức của môn toán ở THCS

- Thời gian nghiên cứu từ 25/2/2019 - 8/11/2019

8 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Tìm hiểu, nghiên cứu, phân tích, khái quát hóa và hệ thống hóa các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Nghiên cứu nội dung, xu hướng của các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT

- Nghiên cứu các bài viết khoa học môn toán, sách báo phục vụ cho

đề tài, tìm hiểu các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp tới đề tài

- Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu tham khảo ở trong và ngoài nước về các vấn đề của đề tài luận văn

- Nghiên cứu hệ thống chương trình Toán học bậc THCS – Phần Số học và Đại số nhằm phục vụ hoàn thành luận văn

b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra giáo dục

- Quan sát và nhận định ở các hoạt động dạy và học thực tế

- Tham khảo ý kiến trực tiếp của người dạy và người học

- Tổng hợp ý kiến và kinh nghiệm của các chuyên gia

c) Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

- Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau khi thực nghiệm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, đặc biệt trong các tiết học tự chọn

và tăng cường Toán hoặc tiết bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS d) Phương pháp thống kê toán học:

- Sử dụng các phần mềm thống kê toán học nhằm xử lí các số liệu điều tra khảo sát thực tế

9 Mẫu khảo sát

- Học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán khối 8 trường THCS Lê Quý Đôn, quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội

- Học sinh câu lạc bộ Toán 8 trường THCS Cự Khối, quận Long Biên, thành phố Hà Nội

10 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo trong

đó nội dung cụ thể sẽ được trình bày trong 3 chương chính:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2 Rèn luyện kỹ năng cho học sinh THCS thông qua chuyên

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Các vấn đề chung về kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Theo từ điển tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [11, tr246] Theo giáo trình Tâm lý học giáo dục: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, tri thức, phương pháp ) để giải quyết một nhiệm

vụ mới” [7, tr102]

Các định nghĩa trên tuy khác nhau về cách diễn đạt tuy nhiên đều có chung một nhận định kỹ năng là khả năng vận dụng các kiến thức để giải quyết những công việc đề ra

Phân loại kỹ năng: xét theo tổng quan thì kỹ năng chia làm ba loại

là kỹ năng chuyên môn, kỹ năng sống và kỹ năng làm việc

1.1.2 Đặc điểm kỹ năng

- Ý chí cá nhân có sự tham gia ở mức độ cao

- Chưa bao quát được một cách có hệ thống các hành động

- Thị giác đóng vai trò kiểm tra các hành động diễn ra

- Chú ý rằng kỹ năng hoàn toàn khác so với phản xạ Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi trường và mang tính thụ động, trong khi đó

kỹ năng là phản ứng có ý thức và mang tính chủ động

1.1.3 Sự hình thành của kỹ năng

- Hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, tìm đường hướng giải quyết để đạt được mục tiêu cụ thể theo yêu cầu đặt ra

- Giáo viên cần chú ý khi tổ chức hoạt động nhằm hình thành kỹ năng cho học sinh ở các điểm sau:

+ Giúp học sinh biết cách phân tích, tìm hiểu để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm là gì cùng mối quan hệ giữa chúng

+ Giúp học sinh hình thành khả năng khái quát hóa để giải quyết các đối tượng cùng loại, các bài tập tương tự

+ Xác lập mối quan hệ giữa các kiến thức tương ứng cần dùng cho các bài tập khái quát đó

1.1.4 Những yếu tố tác động đến sự hình thành kỹ năng

- Nội dung chính của bài tập và nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị các yếu tố phụ che khuất làm lệch hướng tư duy, ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

- Tâm thế, thói quen cũng đóng vai trò ảnh hưởng đến sự hình thành

kỹ năng Cần chú ý rằng kỹ năng hoàn toàn khác so với thói quen, hầu hết thói quen hình thành một cách vô thức, khi diễn ra thường khó kiểm soát trong khi kỹ năng được hình thành một cách có ý thức trong quá trình luyện tập

- Mức độ khái quát, tổng hợp, nhìn đối tượng hay sự việc một các tổng thể, bao quát

1.2 Kỹ năng giải toán

1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

- Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng kiến thức của bộ môn Toán

và kinh nghiệm đã có nhằm thực hiện các hành động học tập toán học để

đi đến những lời giải một cách chính xác và hiệu quả

- So với kiến thức thuần túy thì kỹ năng trong toán học được nhận định quan trọng hơn Có thể nói, kỹ năng là kiến thức trong hành động vì

kỹ năng giải toán có bản chất là cách thức, thủ thuật và thể hiện trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã đặt ra

- Để đạt được kỹ năng giải toán không đơn thuần chỉ là việc học sinh cung cấp lời giải cho học sinh bởi biết lời giải không quan trọng bằng làm thế nào để phát hiện được lời giải đó Để tăng hiệu quả và hứng thú học tập cho học sinh, giáo viên cần định hướng để học sinh hình thành một cách thức chung khi giải quyết một bài toán

- Khi giải toán thường có các bước sau:

+ Bước 1: Tìm hiểu đề bài của bài toán

Để giải được một bài toán trước hết cần hiểu bài toán có gì và cần

gì, đâu là ẩn và các dữ kiện liên quan, có thể kí hiệu, phân biệt các thành