Giáo trình toán cao cấp a2 phần đại số trường cđ công nghệ thông tin tp hcm

BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ )[.]

GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY

GIÁO TRÌNH

TOÁN CAO CẤP A2

PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ )

TP HỒ CHÍ MINH 2013

Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình

Chân thành cảm ơn

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán

trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ

Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn

TOÁN CAO CẤP A2 dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật

Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn,

trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng

Khoa học trường phê duyệt

Nội dung cuốn sách là phần Đại số tuyến tính và Tính gần

đúng, giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học,

giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học

khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh

tế Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với

nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng

Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi

chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện

Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp

sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo

chương trình đào tạo tín chỉ Trong quá trình giảng dạy, giáo

trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy

đủ hơn Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu

biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh

khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận

được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài

trường Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ

biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN

Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM Địa chỉ

minhthu15916@gmail.com

Xin chân thành cảm ơn

BỘ MÔN TOÁN

MỤC LỤC

PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Trang

1.1 TẬP HỢP 7

1.3 TẬP HỢP SỐ THỰC 14

1.4 SỐ PHỨC 16

CHƯƠNG II

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

23

2 1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 23

I Định nghĩa ma trận

II Phân loại ma trận III Các phép toán về ma trận

IV Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

2 2 ĐỊNH THỨC 30

I Định nghĩa định thức của ma trận vuông

II Tính chất của định thức III Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột

IV Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp

2 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 37

I Định nghĩa

II Các định lý III Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

2 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 42

I Định nghĩa

II Phương pháp tìm hạng của ma trận

CHƯƠNG III

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

49 3.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 49

I Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

II Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli 3.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

53

I Phương pháp Cramer

II Phuơng pháp Gauss-Jordan III Hệ thuần nhất

CHƯƠNG IV MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH GẦN ĐÚNG

68

I Số gần đúng và sai số II.Sai số tính toán 4.2 TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG

TRÌNH MỘT ẨN SỐ

75 I.Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

II.Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm 4.3 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 84

I.Phương pháp hình thang

II Phương pháp Simpson

ĐỀ THI THAM KHẢO 92

CHƯƠNG I

SỐ PHỨC

Tập R rất phong phú Nhưng phương trình x2 + 1 = 0 không có

nghiệm là số thực Vì vậy, người ta xây dựng thêm những số

mới ,gọi là số phức

1.1 TẬP HỢP

I Khái niệm về tập hợp

1 Khái niệm

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học, người ta không định nghĩa khái niệm tập hợp qua những khái

niệm khác đơn giản hơn được

Để kí hiệu một tập hợp người ta dùng chữ cái in: A,B…

Một vật, một đối tượng nằm trong tập hợp gọi là một phần tử của tập hợp, thường ký hiệu bằng chữ cái thường:

a,b,c,…

Để chỉ rằng x là một phần tử của tập hợp E, ta viết x ∈E

Để chỉ rằng x là một phần tử không thuộc tập hợp E,

ta viết x ∉E hoặc x∉ E

Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp

trống ( rỗng) kí hiệu ∅

2 Các phương pháp biểu diễn một tập hợp :

a Biểu diễn theo kiểu liệt kê: Liệt kê tất cả các phần tử của

tập hợp trong dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết 1 lần

Ví dụ : {2,3,4,7}

b Biểu diễn theo thuộc

tính đặc trưng : Chỉ ra các đặc tính của tập hợp

Ví dụ : Tập hợp

A = {x x2+2.x+ =1 0}

c Biểu diễn theo giản đồ

VENN: Minh họa tập hợp bởi 1 miền phẳng giới hạn bởi 1 đường cong hay đường gấp khúc kín Xem hình 1-1

3 Quan hệ giữa các tập hợp

a) Tập con : Cho 2 tập hợp E, F Nếu mọi phần tử của E đều là

phần tử của F thì ta nói E bao hàm trong F hay E là tập con của

F

Kí hiệu E ⊂ F Minh họa hình học xem hình 1-2

b) Tập hợp bằng nhau:

Hai tập E và F được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử

của E đều là một phần tử của F và ngược lại.Kí hiệu : E = F

4 Một số tập hợp thường gặp

N : là tập hợp các số tự nhiên

2

4 3

7 A Hình 1-1

E

F

Hình 1-2

Z : là tập hợp các số nguyên

Q : là tập hợp các số hữu tỉ

R : là tập hợp các số thực

II Các phép toán về tập hợp

1 Phép hợp :

Hợp của 2 tập hợp A và B

là một tập hợp các phần tử hoặc

thuộc A hoặc thuộc B,

kí hiệu:

A∪ B = {x x A x B∈ ∨ ∈ }

Minh họa hình học xem hình 1-3

2 Phép giao

Giao của hai tập hợp A và B là

tập hợp tất cả các phần tử thuộc

phần tử chung của A và B,

Kíhiệu: A∩ B={x x A x B∈ ∧ ∈ }

Minh họa hình học xem hình 1-4

Các tính chất cơ bản:

- Tính chất 1 : Tính giao hoán :

A∪ B = B ∪ A ; A ∩ B= B ∩ A

- Tính chất 2 : Tính kết hợp :

A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C);

A∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Hình 1-3 A

B

A

Hình 1-6

A

- Tính chất 3 : Tính phân bố :

A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

A (B C)=(A B) (A C)∪ ∩ ∪ ∩ ∪

3 Phép hiệu hai tập hợp

Cho 2 tập A và B Tập hợp gồm mọi phần tử của A nhưng

khơng thuộc B gọi là hiệu của tập A với tập B

Ký hiệu

A\B={x x A: ∈ và x B∉ }

Minh họa hình học xem hình

1-5

4 Phần bù

Tập hợp A⊂ B, thì ta gọi

tập B\A là tập bù của tập A

đối với tập B

Ký hiệu là CBA Hay A

Minh họa hình học xem hình 1-6

Hình 1-5 B

A

III Khái niệm về các kí hiệu lôgic

1 Mệnh đề toán học : là một khẳng định toán học chỉ có thể

đúng hoặc sai

Để diễn tả các lập luận toán học một cách thuận lợi người ta sủ dụng các kí hiệu logic

2 Các kí hiệu

Kí hiệu: A ⇒ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B

Kí hiệu : A⇔ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B và

ngược lại Hay nói một cách khác là A và B là hai mệnh đề

tương đương

Kí hiệu : = được hiểu là được định nghĩa

Kí hiệu ∀ x ∈A: α nghĩa là với mọi x thuộc A mệnh đề α

đươc thỏa mãn

Kí hiệu ∃ x ∈A: α nghĩa là tồn tại phần tử x thuộc A mệnh

đề α được thỏa mãn

Kí hiệu x : nghĩa là “không x ”

Ta có : ∀ ∈x E:α ⇔ ∃ ∈x E:α

∀ ∈y E:β ⇔ ∃ ∈y E:β

1.2 ÁNH XẠ

Mở đầu: Ánh xạ là một khái niệm rất quan trọng trong toán

học Ánh xạ dùng để khảo sát các tính chất, các mối quan hệ

của một tập hợp và các phần tử của nó

I.Các định nghĩa

1 Định nghĩa ánh xạ: Anh xạ từ tập E vào tập F là một

luật tương ứng sao cho với mỗi phần tử x∈E có một phần tử

tương ứng xác định y ∈ F

Kí hiệu : f: E F ; E là tập nguồn ; F là tập đích

Phần tử y ứng với x được gọi là ảnh của x qua f

kí hiệu y=f(x) hay x y=f(x); x y

Tập ảnh : f(E) = {y y= f x x E( ); ∈ }

VÍ DỤ 1 : E = F = R; x∈R liên hệ với y∈R bởi y=x3 lá ánh

xạ f: R R Xác định bởi y=x3

VÍ DỤ 2 : f: R R : xác định bởi y=x2

VÍ DỤ 3 : E={x x R x∈ : ≤ ; F=2 ; x∈E liên hệ với y∈R 1}

theo qui luật y=cung có sin là x Là ánh xạ f: E R

Chẳng hạn x=1/2 ∈E thì các cung 2

6 k

và 5. 2

đều có sin là 1/2

2 Đơn ánh

f:E F được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f(x’) , suy ra x = x’

Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của nhiều nhất một phần tử

x∈E Hay phương trình f(x)=y; y∈F với ẩn x có nhiều là một

nghiệm với mọi y

VÍ DỤ: f : R R, xác định y=x3 là đơn ánh

Giải phương trình x2 = y ; y ∈R có 2 nghiệm khác nhau

nếu y>0

3 Toàn ánh

f:E F được gọi là toàn ánh nếu f(E)=F Nghĩa là một

phần tử y∈F là ảnh của ít nhất một phần tử x∈E Hay phương

trình f(x)=y; y∈F có nghiệm với mọi y∈F

VÍ DỤ : f : R R, xac định y=x3 là toàn ánh còn f:R R xác

định y=x2 không phải là toàn ánh vì phương trình x2=y có

nghiệm khi y≥ 0

4 Song ánh

E F được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là

toàn ánh

Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của một và chỉ một phần tử

x∈E Hay phương trình f(x)=y; có duy nhất một nghiệm

VÍ DỤ: f : R R, xác định y = 3x + 5 là 1 song ánh

5.Anh xạ ngược

f: E→F là một song ánh thì y∈F có một phần tử duy nhất

x∈E sao cho f(x)=y Khi đó ánh xạ từ F→E gọi là ánh xạ

ngược của f.Kí hiệu f -1

Vậy f-1 : F→E ⇒ f(x) = y ⇒ f-1(y) = x ; x∈E; y∈F

VÍ DỤ: f: R→R xác định y=x3 ⇒ f-1 : R→R được xác định

y∈R x=3 y ∈R

II Tích của hai ánh xa (ánh xa hợp)

g:E→F ; f:F→G ; h: E→G xác định h(x) = f(g(x)) với mọi

x thuộc E được gọi là ánh xạ tích Kí hiệu h = f.g

1.3 TẬP HỢP SỐ THỰC

I Khái niệm về số hữu tỉ – vô tỉ và số thực

1 Số hữu tỉ

là tất cả các số có thể viết dưới dạng tỉ số của 2 số nguyên

kể cả số không

VÍ DỤ : 1/3 ; 6/7; 0,18 …

Số hữu tỉ có thể viết thành một số thập phân hữu hạn hoặc

vô hạn nhưng tuần hoàn

VÍ DỤ: 3 0,75

4= 4 1,33

3=

2 Số vô tỉ

Một số có thể viết thành một phân số thập phân vô hạn

không tuần hoàn gọi là số vô tỉ

VÍ DỤ : π = 3,1415926 ; 2 1, 414 =

Suy ra : số vô tỉ không thể là tỉ số của hai số nguyên

3 Số thực là các số hữu tỉ và các số vô tỉ hợp lại

Ký hiệu R : là tập số thực

II Các định lí:

Định lí 1 : Tập Q là đếm được

Định lí 2 : Tập hợp tất cả các phân số thập phân vô hạn là

không đếm được

Hệ quả : Tập R không đếm được

III Khoảng số thực

Cho a, b, ∈ R, a < b ta định nghĩa

[a,b] = {x∈ R : a ≤ x ≤ b } (a,b) = {x∈ R : a < x < b } [a,b) = {x∈ R : a ≤ x < b } (a,b] = {x∈ R : a < x ≤ b }

Cho x∈ R và ε > 0 Ta gọi Bε (x) = (x - ε, x + ε) là ε - lân cận

của điểm x

Tập con E ∈ R gọi là mở nếu ∀x∈E, ∃ε > 0 : Bε (x) ⊂E Với

mọi a, b ∈R, a < b, ta có (a, b) là tập mở

IV Trị tuyệt đối của số thực

1 Định nghĩa a a

a

⎧

= ⎨−

⎩ nếu

0 0

a a

≥

− <

2 Các tính chấ:

Tính chất 1 : Nếu x < a ⇔ -a < x < a

Tính chất 2 : Nếu x >b ⇔ x > b hoặc x< -b

Tính chất 3 : a+b ≤ a +b

Tính chất 4 : a-b ≤ a −b

Tính chất 5 : a.b ≤ a b

Tính chất 6 : a a

b = b

1.4 SỐ PHỨC

I Định nghĩa số phức

1.Định nghĩa 1 :(Dạng hình họccủa số phức)

Số phức là một cặp số thực (a,b)

a∈ R là thành phần thứ nhất b∈ R là thành phần thứ hai

Tập tất cả các số phức kí hiệu là C

2.Định nghĩa 2 (Về sự bằng nhau của hai số phức)

( , )a b C

∀ ∈ ( ', ')∀ a b ∈ : (a,b) = (a’,b’) ⇔ a=a’ ; b=b’ C

3.Định nghĩa 3 : Dạng chính tắc của số phức

(Dạng đại số của số phức)

z= a+b.i ; i2 = -1 ; a,b ∈ R

a : gọi là phần thực ; a= Re (z)

b: gọi là phần ảo ; b= im(z) i :đơn vị ảo

4.Định nghĩa 4 :

Số phức liên hợp của z=a+b.i là số phức z = a-b.i

II Biểu diễn số phức trên mặt phẳng

Cho z= a+b.i Trên mặt phẳng Oxy bằng điểm A(a,b)

Nếu b = 0 ⇒ A∈ Ox ⇒ z = a:số thực

Nếu a= 0 ⇒ A∈ Oy⇒ z = b.i:số thuần ảo

Nối A với O ta được OA là biểu diễn hình học số phức đã cho

III Dạng đại số của số phức

1 Phép cộng và trừ

Cho Z1 = a1 + i b1 ; Z2 = a2 + i b2 thì

Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) +i ( b1 + b2 )

Z1-Z2 = (a1- a2) + (b1-b2) i

Đặc biệt ( a + i.b ) +(a-i.b) = 2.a

VÍ DỤ: (3 +2.i) +(5 – 4.i) = (3+5) + (2-4).i=8-2i

VÍ DỤ: (3 +2.i) -(5 – 4.i) = (3-5) + (2+4).i.=-2+6i

VÍ DỤ: (3 +2.i) +(3 -2.i) = 2.3=6

2 Phép nhân số phức:

Cho Z1 = a1 + i b1 ; Z2 = a2 + i b2 thì

Z1.Z2 = (a1.a2 – b1.b2) +(b1.a2+a1.b2).i

Đặc biệt : ( a+ i.b ).(a-i.b) = a2+b2

VÍ DỤ: (3 +2.i) (5 – 4.i) = (3.5-2(-4) )+ (2.5+3.(-4)).i=23-2i

VÍ DỤ: (3 +2.i) (3 – 2.i) = 9+ 4=13

3 Phép chia số phức

( 1 1) ( 2 2)

1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a i b a i b

i

VÍ DỤ: 2 3. (2 3 )(4 5 ) 7 22

i

4.Phép lũy thừa: z n = .

lan

n

z z z z

VÍ DỤ TỔNG QUÁT :

Tính

2 3

3 2

(2 1) (1 ) (3 2 ) (2 )

S

=

Khai triển, rút gọn, nhân liên hợp, ta được:

i

− +

5 Phép khai căn bậc n: n z = ε nếu εn = z

IV Dạng lượng giác của số phức

1 Định nghĩa : Cho z= a + i.b

Gọi r≥ 0 và ϕ là tọa độ cực của A(a,b) đối với trục Ox và Oy

r gọi la môđun của số z; ϕ gọi là acgumen của z

Kí hiệu: z = a + i.b

ϕ = Arg (a +i.b)⇒ a= r cos ϕ ; b = r.sin ϕ

Vậy dạng lượng giác của số phức là z = r ( cosϕ + i.sin ϕ)

Ngược lại r = a2+b2 ; tg ϕ = b/a

Chú ý: tg ϕ = b/a có 2 gócϕ ta chọn gócϕ sao cho sinϕ

cùng dấu với b

VÍ DỤ Viết số sau dưới dạng lượng giác: Z= 1+i

Ta có: r = 12+ =12 2

tg ϕ = 1/1 =1 chọn ϕ= π /4 vì b=1>0

Vậy dạng lượng giác của số phức Z = 1+ i là

Z= 2(cos

4

π

+i.sin 4

π

)

VÍ DỤ tương tự :

1 = 1 (cos 0+i.sin0); -1 =1 (cosπ +i.sinπ )

-i =1 (cos3.

2

π

+i.sin3.

2

π

); i =1 (cos

2

π

+i.sin 2

π

)

2.Các phép toán

Cho Z1= r1.(cosϕ1+i.sin ϕ1) ; Z2= r2.(cosϕ2+i.sin ϕ2)

a)Phép nhân

Z1.Z2 = r1.r2.[cos(ϕ1+ϕ2) +i.sin(ϕ1+ϕ2)]

Đặc biệt : Z1.Z1 = r12[cos2.ϕ1 +i.sin2.ϕ1]

VÍ DỤ

Cho Z1= 2(cos

4

π

+i.sin 4

π

) và Z2 =1 (cos3.

2

π

+i.sin3.

2

π

) thì

Z1.Z2 = 2.1[cos(

4

π

+3.

2

π

)+i sin(

4

π

+3.

2

π

)]

Z1.Z1 = 2 2 [cos(2

4

π

)+i sin(2

4

π

)]

b) Phép chia

1 1

2 2

Z r

Z = [cos(r ϕ1-ϕ 2) +i.sin(ϕ1-ϕ2)]

Đặc biệt:

1

1

Z =

1

1

r [cos(-ϕ1) +i.sin(-ϕ1)]

VÍ DỤ

Cho Z1= 2(cos

4

π

+i.sin 4

π

) và Z2 =1 (cos3.

2

π

+i.sin3.

2

π

) thì

1 2

1

=

Z

π

-3.

2

π

) +i.sin(

4

π

-3.

2

π

)]

1

Z = 1

2 [cos(-4

π

)

+i.sin(-4

π

)]

c) Phép lũy thừa

Cho Z= r (cos ϕ+i.sinϕ) thì Zn= rn (cos n.ϕ+i.sin.n.ϕ)

VÍ DỤ Cho Z= 2(cos

4

π

+i.sin 4

π

) thì

Z3 = ( )3

2 (cos 3

4

π

+i.sin.3

4

π

) Công thức Moivre:

Từ Zn= rn (cos ϕ+i.sinϕ )n Và Zn= rn (cos n.ϕ+i.sin.n.ϕ)

ta có : (cos ϕ +i.sinϕ) n = cos nϕ+i.sin nϕ

Công thức đúng với mọi n ∈ Z

VÍ DỤ

3

d) Phép khai căn : n z =ε nếu εn = z

Giả sử : Z= r.(cosϕ+i.sin ϕ)

ε = (cosθ +i.sinθ )⇒ ρn(cosθ +i.sinθ )n = r.(cosϕ+i.sin ϕ)

⇒ ρn(cosnθ +i.sinnθ ) = r.(cosϕ+i.sin ϕ)

2

n

k

n

ρ ρ

⎡ =

Vậy :