TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN Anten và truyền sóng Đề số 13 Giảng viên hướng dẫn ThS Nguyễn Hồng Anh Nhóm sinh viên thực hiện Vũ Hữu Chiến 20172433 Tr. Đề bài: Đề 13: Cho một dipole kích thước vô cùng nhỏ (infinitesimal dipole) nằm song song với mặt đất, cách mặt đất một khoảng bằng λ4 a. Chứng minh rằng biểu thức của cường độ trường tại điểm thu gây ra bởi đường truyền thẳng là: Chứng minh rằng biểu thức của cường độ trường tại điểm thu gây ra bởi đường truyền phản xạ là: b. trong đó Rh là hệ số phản xạ đối với phân cực ngang. Viết biểu thức của Rh.
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN: Anten và truyền sóng
Đề số 13
Giảng viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Hồng Anh
Nhóm sinh viên thực hiện:
Hà Nội, 2021
Trang 2Đề bài:
Đề 13: Cho một dipole kích thước vô cùng nhỏ (infinitesimal dipole) nằm song song với mặt đất, cách mặt đất một khoảng bằng λ/4
a Chứng minh rằng biểu thức của cường độ trường tại điểm thu gây ra bởi đường truyền thẳng là:
E= j 30 kIdl e − jk R R 1
1
b Chứng minh rằng biểu thức của cường độ trường tại điểm thu gây ra bởi đường truyền phản xạ là: E= j 30kIdl e − jk R R 2
2 R h, trong đó Rh là hệ số phản xạ đối với phân cực ngang Viết biểu thức của Rh
Bài làm:
a Ta có một infinitesimal dipole nằm song song mặt đất, cách mặt đất một khoảng h = λ/4
Hình 1
- Dipole được đặt tại điểm P, song song với trục Oz, phân cực vuông góc
- E1 là cường độ điện trường tại điểm thu Q gây bởi đường truyền thẳng
- Đặt phương truyền sóng song song với mặt phẳng Oxy
Trang 3 Xét cường độ điện trường gây bởi dipole lên một điểm bất kỳ
Hình 2
- Dipole tuyến tính kích thước vô cùng nhỏ (l ≪ λ) đặt đối xứng tại gốc toạ độ của hệ Oxyz
- Trục dipole là trục Oz
- Sự biến thiên của dòng điện: I(z ')= ^a z I o với Io là hằng số, az là vector đơn vị dọc theo trục Oz
- Vì nguồn chỉ mang dòng điện Ie, ta có hàm thế vector
A(x, y , z)= μ 4 π∫
c
❑
I e ( x ' , y ' , z ' ) e − jkr R dl '(2)
với (x,y,z) là toạ độ điểm quan sát, (x’,y’,z’) ứng với tọa độ nguồn
Vì dipole kích thước vô cùng nhỏ nên ta coi (x’, y’,z’) = 0
Ta có: I e(x ' , y ' ,z ')= ^a z I o (3-a)
Khoảng cách từ gốc toạ độ đến điểm quan sát:
R=√(x−x ')2
+(y− y ')2
+(z−z ')2
=√x2+ y2+z2=r=const (3-b)
- Từ 3−ađến3−cta có:
A(x, y , z) =^a z μ I o
4 πr e − jkr ∫
−l / 2
l/ 2
dz'=^ a z μ I o l
4 πr e − jkr(4)
Trang 4- Chuyển phương trình về hệ toạ độ cầu:
[A r
A θ
A ϕ]=[sinθcosϕ sinθsinϕ cosθ
cosθcosϕ cosθsinϕ −sinθ
−sinϕ cosϕ 0 ] [A x
A y
A z](5)
Vì Ax = Ay = 0 nên ta có:
A r = A z cosθ= μ I0I e − jkr
4 πr cosθ(6−a)
A❑θ =− A z sin θ= −μ I0I e − jkr
4πr sinθ (6−b)
A ϕ =0 (6−c)
- Ta có:
H= 1
μ ∇× A( 7 )
⇒ H =^ a❑ϕ
1
μr[ δ
δr(rA❑ϕ)−δ A r
δθ ](8)
Từ (6-a) –(6-c) và (8), ta có:
H r =H θ =0(9−a)
H ϕ = j k I0lsin θ
4 πr [1+ 1
jkr]e − jkr (9−b)
Ta có:
∇ × H A = j+ jωt E A( 10 ) Với mật độ dòng điện j=0, ta có:
E=E A =− jωA− j 1
ωμt ∇(∇ A) = 1
jωt ∇× H( 11 ) Thay (9-a), (9-b) vào ta có:
E r =η I o l cosθ
2π r2 [1+ 1
jkr]e − jkr(12−a)
E θ = jη k I 4 πr0l sin θ[1+ 1jkr− 1
(kr) 2]e jkr(12−b)
E ϕ=0 (12−c) Trong đó:
k= 2π
λ là hằng số sóng
η làtrở khángnộitại củamôi trường
-Trong không gian tự do η = 120π
- Xét ở trường khu xa (r ≫ λ) (kr ≫ 1) ta thấy:
1
r2≈ 0; 1 kr ≈ 0;
Trang 5Do đó ta có thể viết lại công thức (12-a) – (12-c) như sau:
E r ≈ E ϕ=0(13)
E θ ≈ jη k I0l e − jkr
4πr sin θ( 14 )
⇒ E=E θ = jη k I0l e − jkr
4 πr sin θ(15)
Xét trong điều kiện đã cho (hình 1)
- Coi hệ xét ở trường khu xa
- Coi phương trình truyền sóng với trục Oxy, cho nên góc θ là 90° ⇒ sinθ = 1
- Dipole kích thước vô cùng nhỏ (l ≪ λ), ta coi l = dl
η = 120π trong khoảng không gian tự do
- Thay vào công thức (15), ta được
E= j 120 π kIdl e 4 πr − jkr sin 90°
với r = R1
ta được công thức phải chứng minh:
E= j 30kIdl e − jkR1 R
1 (Điều phải chứngminh)
b
Hình 3
Trang 6 Xét đường truyền phản xạ
- Vì kích thước dipole vô cùng nhỏ (l ≪ 1)
Ta coi sóng điện từ do dipole phát ra là sóng phẳng
- Ta có phương trình truyền sóng
E=E0e γ (xcos(n0, x)+ ycos(n0, y)+ zcos(n0, z))
E là cường độ điện trường truyền
γ là hệ số truyền lan phức; γ = α + jk
α là hằng số suy giảm
k là hằng số pha
n0 là vector đơn vị trên hướng truyền
n0=cos(n0,x)i x+cos(n0, y)i y+cos(n0, z)i z
r=xi x + y i y +z i z
ξ=r n0=xcos(n0,x)+ ycos(n0, y)+zcos(n0, z)
Hay ξ=lx+my+nz
Với l, m, n là các cosin chỉ phương
Do đó:
Hình 4
- Sóng phân cực ngang, xét sự phản xạ và khúc xạ:
Trang 7η0, η1 là trở kháng nội tại của môi trường không gian tự do và của mặt đất
θi là góc tới
θt là góc khúc xạ
γ0 = jk0 là hệ số truyền lan trong không gian tự do
γ1 = α1 + jk1 : hệ số truyền lan của mặt đất
- Đối với sóng tới:
Các thành phần cosin chỉ phương:
l1=cos(n0,x)=−cosθ
m1=cos(n0, y)=sin θ
n1=cos(n0, z)=0
⇒ E1=E tới e γ0 (− xsinθ i + ysin θ i)
H1=E tới
η0 e γ0(− xsinθ i + ysin θ i)
- Đối với sóng phản xạ:
l '=cos(n0,x)=cosθ i
m '=cos(n0, y)=sin θ i
n '=cos(n0, z)=0
⇒ E1' =E px e γ1(x cosθ i + y sinθ i)
H1'=E px
η0 e γ1 (x cosθ i + y sinθ i)
- Đối với sóng khúc xạ:
l2=cos(n0,x)=−cosθ t
m2=cos(n0, y)=sin θ t
n2=cos(n0, z)=0
⇒ E2=E kx e γ2 (− xcosθ t + y sinθ t)
H2=E kx
η0 e γ2 (−x cosθ t + y sin θ t)
Áp dụng điều kiện bờ tại x = 0 đối với En, Et, Hn, Ht
Đối với Thành phần điện trường:
E t 1 +E t 1 ' =E t 2
E tới e γ0 y sin θ i +E px e γ1 y sin θ i =E kx e γ2 y sin θ t
Phương trình đúng với mọi y
⇒ γ0sin θ i =γ2sin θ t
⇒ E tới +E px =E kx (16)
- Đối với thành phần từ trường:
Trang 8H t 1 cosθ i −H t 1 ' cosθ i =H t 2 cosθ t
Ta được:
cosθ i(E tới
η0 −
E px
η0 )=E kx
η1 cosθ t( 17 )
Từ (16) và (17), ta được:
E px=η1cosθ i −η0cosθ t
η1cosθ i +η0cosθ t E tới
Đặt: R h=η1cosθ i −η0cosθ t
η1cosθ i +η0cosθ t là hệ số phản xạ đối với phân cực ngang
Xét trong bài toán:
Hình 5
- Tại điểm phản xạ A:
Từ công thức E= j 30kIdl e − jkr
r
⇒ E tới = j 30kIdl e jkPA
PA
E px =E tới R h = j30 kIdl e PA jkPA R h
- Khi sóng phản xạ truyền đến điểm quan sát Q
Trang 9E= j 30kIdl e jk(PA + AQ)
(PA+ AQ)R h
Đặt R2=P ' A + AQ=PA+ AQ(PA=P A ')
⇒ E= j30kIdl e R jk R2
2 R h(Điều phảichứng minh)
Với R n=η1cosθ i −η0cosθ t
η1cosθ i +η0cosθ t