Ánh xạ đóng và ánh xạ mở trên không gian metric suy rộng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ HỮU ĐẠT ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

ĐỖ HỮU ĐẠT

ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG

BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đà Nẵng - 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

ĐỖ HỮU ĐẠT

ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG

BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn:

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - 2021

Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS.Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tận tình cho emtrong suốt quá trình thực hiện đề tài, nhờ đó em có thể hoàn thành đượcluận văn này.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, em đã gặp không ít khó khăn khitìm tòi và dịch tài liệu cũng như những hạn chế về mặt kiến thức Tuyvậy, nhờ sự động viên từ quý thầy cô giáo, sự quan tâm của gia đình cũngnhư bạn bè đã giúp em có động lực phấn đấu và đã hoàn thành được bàiluận này Đây cũng là kỷ niệm đáng nhớ của em trong thời gian học tậptại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

Em xin chân thành cảm ơn!

SV thực hiện đề tài

Đỗ Hữu Đạt

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 Cơ sở lý thuyết 4

1.1 Khái niệm không gian topo 4

1.2 Lân cận 6

1.3 Tập hợp đóng 9

1.4 Bao đóng của một tập hợp 11

1.5 Phần trong của tập hợp 15

1.6 T1-không gian và T2-không gian 17

1.7 Tập hợp compact và ánh xạ liên tục 19

1.8 Không gian con 23

CHƯƠNG 2 Ánh xạ đóng và ánh xạ mở trên không gian metric suy rộng 25

2.1 Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo 25

2.2 Tính chất của ánh xạ đóng và ánh xạ mở 28

2.3 Một số tính chất mạng bất biến qua ánh xạ đóng 36

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, lý thuyết về không gian metric suy rộngkhông ngừng phát triển và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vựcnghiên cứu khác nhau của topo đại cương Trên cơ sở rất nhiều công trìnhnghiên cứu về cơ sở, mạng vàk-mạng, một số khái niệm liên quan lần lượtđược xuất hiện như mạng Pytkeev,cp-mạng, ck-mạng, cn-mạng, sp-mạng.Một trong những hướng được các tác giả trên thế giới quan tâm nhiều hiệnnay là nghiên mối quan hệ giữa các tính chất mạng trên các không gianmetric suy rộng và bất biến của chúng qua các ánh xạ (xem [3, 7])

Bài toán về sự bảo tồn của một số tính chất topo thông qua các ánh

xạ là một trong những bài toán trọng tâm của topo đại cương Trong[5], Chuan Liu đã chứng minh rằng không gian với cs-mạng hữu hạn địaphương và không gian với cơ sở điểm-đếm được là bảo tồn qua ánh xạđóng, phủ-dãy và liên tục Nhờ đó, các tác giả thu được sự bảo tồn củakhông gian g-khả metric và không gian qua ánh xạ đóng phủ-dãy, quaánh xạ đóng và mở Trong [9], L Q Tuyen đã chứng minh rằng mỗi ánh

xạ đóng phủ-dãy trên không gian với cơ sở yếu điểm-đếm được là ánh xạ1-phủ-dãy Gần đây, S Lin và X Liu đã chứng minh rằng, không gian với

cn-mạng hoặc sp-mạng được bảo tồn qua ánh xạ giả-mở, và không gian với

cs∗-mạng hoặc cs′-mạng được bảo tồn qua các ánh xạ thương-dãy (xem[4, 7])

Với mong muốn nghiên cứu sự bảo tồn của không gian với cn-mạng(hoặc sp-mạng) đếm được địa phương và không gian với cn-mạng (hoặc

sp-mạng) đếm được địa phương qua các ánh xạ mở hoặc ánh xạ đóng,dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết

định chọn đề tài: “Ánh xạ mở và ánh xạ đóng trên không gian metric suyrộng” làm đề tài nghiên cứu khoa học cho mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất mạng, khônggian metric suy rộng, đưa ra một số kết quả mới về bất biến của khônggian và mạng qua ánh xạ đóng

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số tính chất mạng, không gian metric suy rộng, ánh xạ đóng, ánh

xạ Lindel¨of, ánh xạ hoàn chỉnh và các bất biến qua ánh xạ đóng

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu mối liên hệ giữa các mạng, sự bất biến của các tính chấtmạng qua ánh xạ Lindel¨of, đóng, liên tục và toàn ánh

5 Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương

• Thu thập các sách, các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liênquan đến các tính chất mạng, ánh xạ mở, ánh xạ đóng, sự bất biếncủa một số mạng qua các ánh xạ

• Đọc kỹ và chứng minh chi tiết các kết quả đã tìm kiếm

• Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quảđang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình của mình

6 Cấu trúc của đề tài

Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương Ngoài ra, đề tài có

Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo.

Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằmphục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2

Chương 2, trình bày về bất biến qua ánh xạ Lindel¨of, đóng, liên tục vàtoàn ánh bao gồm 3 mục: Mục 2.1, trình bày về cơ sở và cơ sở lân cận củakhông gian Topo; Mục 2.2, trình bày về tính chất của ánh xạ đóng và ánh

xạ mở; Mục 2.3, trình bày về một số tính chất mạng bất biến qua ánh xạđóng

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về topo đạicương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôitrình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức vềtopo, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính củachương sau ([2]) Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trongtoàn bộ bài nghiên cứu

N = {1, 2, }, ω = N∪ {0}

1.1 Khái niệm không gian topo

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập hợp và τ là họ nào đó gồm các tậpcon của tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau

ˆ τ được gọi là một topo trên X

ˆ Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo

ˆ Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở

ˆ Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó

Ví dụ 1.1.2 Giả sử X là một tập hợp, τ1 là họ gồm tất cả các tập concủa X và τ2 = {∅, X} Khi đó, τ1, τ2 là các topo trên X Lúc này, ta nóirằng τ1 là topo rời rạc và τ2 là topo thô trên X.

Ví dụ 1.1.3 (1) Giả sử (X, d) là một không gian metric Ta đặt

Ví dụ 1.1.4 Giả sử (X, d) là một không gian metric và

τ = {A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)}

Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo được sinh bởimetric d Đặc biệt, nếu X = R và metric d là khoảng cách thông thườngtrên R, nghĩa là

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R,

thì ta nói rằng τ là topo thông thường trên R

Nhận xét 1.1.5 Đối với không gian topoX, các khẳng định sau là đúng.1) ∅, X là các tập hợp mở;

với mọi n ∈ N.

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là tập con khác rỗng của không gian topo

(X, τ ) Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của tập A nếutồn tại V ∈ τ sao cho

A ⊂ V ⊂ U

Ngoài ra, nếu U ∈ τ, thì ta nói rằng U là lân cận mở của A Đặc biệt,nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x

Nhận xét 1.2.2 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

(1) Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp mở Tuynhiên, mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó

(2) Giao hữu hạn các lân cận của A cũng là một lân cận của A Tuynhiên, giao tùy ý các lân cận của A có thể không là lân cận của A.Thật vậy, giả sử R là tập số thực với topo thông thường Khi đó,(1) Ta lấy U = [−1, 1], thì U là lân cận của 0 nhưng U không mở.(2) Ta đặt

với mọi n ∈ N.

Khi đó, theo chứng minh của Nhận xét (1.1.5), ta suy ra rằng T

n∈N

An =⊂{0} không là một lân cận của 0

Bổ đề 1.2.3 Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tươngđương

1) U là tập hợp mở;

2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U

Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U mở và x ∈ U Khi đó, nếu ta chọn

V = U ∈ τ, thì x ∈ V ⊂ U Như vậy, U là lân cận của x

(2) =⇒ (3) Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó và x ∈ U.Khi đó, U là một lân cận của x Như vậy, nếu ta chọn Vx = U, thì Vx làlân cận của x và x ∈ Vx ⊂ U

(3) =⇒ (1) Giả sử với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho

x ∈ Vx ⊂ U Khi đó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho

Wx Theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra U ∈ τ

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ Tanói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ) nếu mỗi phần tử của

và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B sao cho

Điều kiện đủ Giả sử với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B

sao cho x ∈ V ⊂ U và W ∈ τ Khi đó, với mọi x ∈ W, tồn tại Vx ∈ B saocho x ∈ Vx ⊂ W Do đó,

Hơn nữa, theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra

Ngược lại, giả sử x ∈ [0, 1), kéo theo 0 ≤ x < 1 Do đó, tồn tại n ∈ N

Định lí 1.4.2 Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ).Khi đó, các khẳng định sau là đúng

G = {F ⊂ X : F đóng và B ⊂ F }.

Khi đó,

(1) Bởi vì X là tập hợp đóng chứa A nên X ∈ F, kéo theo F ̸= ∅

Do đó, A luôn tồn tại Hơn nữa, vì A ⊂ F với mọi F ∈ F nên

Ngược lại, giả sử A = A Khi đó, nhờ khẳng định (2), A là tập hợpđóng, kéo theo A là tập hợp đóng trong X

(4) Theo khẳng định (2), A là tập hợp đóng Do đó, nhờ khẳng định(3) ta suy ra rằng A = A

(5) Bởi vì A ⊂ B nên G ⊂ F Do đó,

A = ∩{F : F ∈ F } ⊂ ∩{F : F ∈ G} = B.(6) Theo khẳng định (1), A ⊂ A; B ⊂ B, kéo theo

A ∪ B ⊂ A ∪ B

Mặt khác, theo khẳng định (2), A, B là các tập hợp đóng Do đó, nhờĐịnh lí 1.3.1(2), A ∪ B là tập hợp đóng Như vậy, sử dụng khẳng định (3)

và (5) ta suy ra rằng

A ∪ B ⊂ A ∪ B = A ∪ B (1.1)Hơn nữa, vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên theo khẳng định (5) ta có

A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B

Điều này kéo theo rằng

A ∪ B ⊂ A ∪ B (1.2)Như vậy, từ (1.1), (1.2) ta suy ra A ∪ B = A ∪ B

(7) Theo khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B, kéo theo

A ∩ B ⊂ A ∩ B

Mặt khác, theo khẳng định (2), A và B là các tập hợp đóng Hơn nữa,nhờ Định lí 1.3.1(3), A ∩ B là tập hợp đóng Do đó, sử dụng khẳng định(3) và (5) ta suy ra rằng

A ∩ B ⊂ A ∩ B = A ∩ B

Bây giờ, giả sửX = R với topo thông thường vàA = (0, 1), B = (1, 2).Khi đó, vì A = [0, 1], B = [1, 2] nên ta có

A ∩ B = ∅ = ∅ ̸= {1} = A ∩ B.Như vậy, không xẩy ra đẳng thức trong khẳng định (7)

Định lí 1.4.3 Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau làtương đương

1) x ∈ A;

2) U ∩ A ̸= ∅ với mọi lân cận U của x;

3) Tồn tại một cơ sở Bx của x sao cho U ∩ A ̸= ∅ với mọi U ∈ Bx

Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử x ∈ A Ta chứng minh rằng với mọi lâncận U của x, U ∩ A ̸= ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại lân cận

U của x sao cho U ∩ A = ∅ Bởi vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ

sao cho x ∈ V ⊂ U Do đó, V ∩ A = ∅, kéo theo A ⊂ X \ V Mặt khác,

vì X \ V là đóng nên theo Định lí 1.4.2 ta suy ra

A ⊂ X \ V = X \ V

Do đó, A ∩ V = ∅, kéo theo

x ∈ V ⊂ X \ A

Điều này dẫn đến mâu thuẫn với x ∈ A

(2) =⇒ (3) Giả sử x ∈ X và Bx là họ gồm tất cả các lân cận của x.Khi đó, hiển nhiên rằng Bx là một cơ sở lân cận của x và

U ∩ A ̸= ∅ với mọi U ∈ Bx

(3)=⇒ (1) Giả sử rằng tồn tại cơ sở lân cận Bxtạix sao choU ∩A ̸= ∅

với mọi U ∈ Bx nhưng x /∈ A Khi đó, X \ A là một lân cận mở của x.Mặt khác, vì Bx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại U ∈ Bx sao cho

Chứng minh Giả sử x ∈ A ∩ V và U là một lân cận bất kỳ của x Khi đó,

vì U ∩ V là một lân cận của x và x ∈ A nên

Nhận xét 1.5.2 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ )

Ta ký hiệu

G(A) = {V ⊂ X : V ∈ τ, V ⊂ A}

Khi đó, ta suy ra rằng

IntA = ∪{V : V ∈ G(A)}

Định lí 1.5.3 Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ) Khi đó,

x ∈ IntA khi và chỉ khi tồn tại lân cận U của x sao cho x ∈ U ⊂ A

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x ∈ IntA Khi đó, tồn tại U ∈ G(A)

sao cho x ∈ U Bởi vì U ∈ G(A) nên U mở và U ⊂ A Như vậy, tồn tạilân cận U của x sao cho U ⊂ A

Điều kiện đủ Giả sử rằng tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ A.Bởi vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho x ∈ V ⊂ U Như vậy,

V ∈ G(A) và x ∈ IntA

Định lí 1.5.4 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A và B là các tậpcon của X Khi đó, các khẳng định sau là đúng.

1) IntA là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A;

2) Nếu A ⊂ B, thì IntA ⊂IntB;

3) A mở khi và chỉ khi IntA = A;

4) Int(A ∩ B) = IntA ∩IntB

Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.5.1

(2) Giả sử A ⊂ B Khi đó, G(A) ⊂ G(B) Suy ra IntA ⊂IntB

(3) Giả sử A mở Khi đó, vì A ⊂ A nên A ∈ G(A) Suy ra A ⊂ IntA.Nhờ khẳng định (1) ta suy ra A = IntA

Bây giờ, giả sử A = IntA Khi đó, theo khẳng định (1) ta suy ra rằng

A là tập hợp mở

(4) Theo khẳng định (1) ta có IntA ⊂ A và IntB ⊂ B, kéo theo

IntA ∩IntB ⊂ A ∩ B

Mặt khác, theo khẳng định (1), Int(A ∩ B) là tập hợp mở lớn nhất nằmtrong A ∩ B nên

IntA ∩IntB ⊂ Int(A ∩ B) (1.3)

Ngược lại, vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo khẳng định (2) ta suy

ra rằng

Int(A ∩ B) ⊂ IntA và Int(A ∩ B) ⊂ IntB

Do đó,

Int(A ∩ B) ⊂ IntA ∩IntB (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra Int(A ∩ B) =IntA ∩IntB

Định lí 1.5.5 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ) Khi

X \ X \ A ∈ G(A),

kéo theo

X \ X \ A ⊂IntA (1.5)Theo Định lí 1.5.4(1) ta có IntA ⊂ A và IntA là một tập hợp mở Do đó,

1.6 T1-không gian và T2-không gian

Định nghĩa 1.6.1 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

1) (X, τ ) được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x ̸= y, tồntại các lân cận U của x và V của y sao cho x /∈ V và y /∈ U;

2) (X, τ ) được gọi là T2-không gian hay là không gian Hausdorff nếu vớimọi x, y ∈ X mà x ̸= y, tồn tại các lân cận U của x và V của y saocho U ∩ V = ∅.

Định lí 1.6.2 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

1) T2-không gian =⇒ T1-không gian;

2) T1-không gian ̸=⇒ T2-không gian

Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.6.1

(2) Giả sử X là tập hợp vô hạn và

τ = A ⊂ X : A = ∅ hoặc X \ A hữu hạn Khi đó, (X, τ ) là T1-không gian nhưng không là T2-không gian Thật vậy,(a) τ là một topo trên X

• Hiển nhiên rằng∅ ∈ τ Hơn nữa, vìX \ X = ∅ là hữu hạn nên X ∈ τ

• Giả sử A, B ∈ τ Khi đó, nếu A = ∅ hoặc B = ∅, thì

X \

S

2) U được gọi là phủ mở của A nếu U là một phủ của A và mỗi phần tửcủa U là tập hợp mở.

3) U được gọi là phủ hữu hạn của A nếu U là một phủ của A chỉ có hữuhạn phần tử

Định nghĩa 1.7.2 Giả sử K là một tập con của không gian topo X Tanói rằng K là tập compact nếu mỗi phủ mở của K, tồn tại một phủ conhữu hạn phủ K

Bổ đề 1.7.3 Mỗi tập con compact trong không gian topo Hausdorff là tậphợp đóng

Chứng minh Giả sử X là không gian Hausdorff, A là tập con compacttrong X và x ∈ X \ A Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên với mỗi

y ∈ A, tồn tại các lân cận mở Uy của x và Vy của y sao cho

Định nghĩa 1.7.4 Giả sử f : X → Y là một ánh xạ liên tục từ khônggian topo X vào không gian topo Y Khi đó,

1) f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận mở V của f (x)

trong Y, tồn tại lân cận mở U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V

2) f được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi

2) f−1(U ) mở trong X với mọi U mở trong Y;

3) f−1(F ) đóng trong X với mọi F đóng trong Y;

4) f (A) ⊂ f (A) với mọi A ⊂ X;

5) f−1(B) ⊂ f−1(B) với mọi B ⊂ Y;

6) f−1(IntB) ⊂ Intf−1(B) với mọi B ⊂ Y

Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử f là một ánh xạ liên tục và U mởtrong Y Ta chứng minh rằng f−1(U ) là mở trong X Thật vậy, giả sử

x ∈ f−1(U ) Khi đó, U là lân cận của f (x) trong Y Bởi vì f là ánh xạliên tục nên tồn tại lân cận V của x trong X sao cho f (V ) ⊂ U Như vậy,

x ∈ V ⊂ f−1(f (V )) ⊂ f−1(U )

Do đó, theo Bổ đề 1.2.3 ta suy ra f−1(U ) mở trong X

(2) =⇒ (3) Giả sử rằng khẳng định (2) thỏa mãn và F đóng trong Y.Khi đó,Y \ F mở trongY Bởi vì khẳng định (2) thỏa mãn nênf−1(Y \ F )

mở trong X Mặt khác, vì

f−1(Y \ F ) = X \ f−1(F )

nên ta suy ra rằng f−1(F ) đóng trong X.

(3) =⇒ (4) Theo Định lí 1.4.2, f (A) đóng trong Y Bởi vì khẳng định(3) thỏa mãn nên f−1 f (A)
đóng trong X Mặt khác, vì A ⊂ f−1(f (A))

nên theo Định lí 1.4.2 ta suy ra

A ⊂ f−1 f (A)
= f−1 f (A)

Điều này kéo theo rằng f (A) ⊂ f (A)

(4) =⇒ (5) Theo khẳng định (4), với mọi B ⊂ Y ta có

f f−1(B)
⊂ f (f−1(B)) ⊂ B.Suy ra f−1(B) ⊂ f−1(B)

(5) =⇒ (6) Với mọi B ⊂ Y, theo Định lí 1.5.5 ta có

f−1(IntB) = f−1(Y \ Y \ B) = X \ f−1(Y \ B) (1.7)Mặt khác, vì khẳng định (5) thỏa mãn nên

X \ f−1(B) = f−1(Y \ B) ⊂ f−1(Y \ B) (1.8)Như vậy, từ (1.7) và (1.8) ta suy ra rằng

f−1(IntB) ⊂ X \ X \ f−1(B) = Intf−1(B)

(6) =⇒ (1) Giả sử x ∈ X và V là một lân cận mở của f (x) trong Y.Khi đó, theo Định lí 1.5.4 ta suy ra IntV = V Bởi vì khẳng định (6) thỏamãn nên

f−1(V ) = f−1(IntV ) ⊂ Intf−1(V )