Tam giác vuông cân.
Trang 1M T S BÀI TOÁN TỊM C C TR
L i m đ u: N i dung các bài toán tìm giá tr l n nh t, nh nh t thông th ng đ c
nêu d i d ng t ng quát sau đây:
Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c A = f(xi) và các giá tr xi t ng ng v i
i=1 ; n và các xi thu c nh ng mi n xác đ nh nào đó, ho c th a mãn m t h ràng bu c
gk(xi) = ak (k=1 ; k)
V i các đi u ki n xi cho tr c, dùng các phép bi n đ i toán h c đ đ a v d ng b t
đ ng th c M1 A M 2 v i x i, trong đó M1 và M2 là các h ng s , sau đó tìm giá tr
t ng ng c a các xi đ A = M1 ; A = M2 Khi đó M1 là giá tr nh nh t, M2 là giá tr
l n nh t c a A
Sau đây chúng tôi xin gi i thi u m t s bài toán tìm giá tr l n nh t (Max) và nh
nh t (Min) th ng g p trong ch ng trình toán THCS đây s phân chia các d ng toán ch là t m th i ch a bao trùm h t các ki u bài toán tìm Min, Max ph c t p khác
D ng th nh t
Nh ng bài toán tìm Min, Max không có đi u ki n ràng bu c cho các bi n Trong lo i này thông th ng có các ki u bài toán sau đây:
*1 Bi u th c c n tìm c c tr là m t bi u th c nguyên
Cách gi i th ng dùng là vi t bi u th c d i d ng t ng các bình ph ng v i m t
h ng: f(x) = g x 2 K
) (
VD1 Tìm giá tr nh nh t c a f(x) = x2– x + 1
HD gi i: f(x) = x2 – x + 1 = (x –
4
3 4
3 ) 2
1 2
(do (x – ) 0
2
1 2 ) V y GTNN c a f(x) là
4
3
khi x =
2 1
VD2 Tìm GTLN c a f(x) = – x2
+ 6x + 1
HD gi i:
f(x) = – x2 + 6x + 1 = – (x – 3)2
+ 10 10
(do – (x – 3)2
0)
V y GTLN c a f(x) là 10 khi x = 3
VD3 Tìm GTNN c a f(x; y) = 2x2– 2xy + 5y2
+ 2x + 2y
HD gi i:
2
1 ) 1 2
( 2
1 x y 2 y 2
Do (2x – y + 1)2
0
; (3y + 1)2 0 nên GTNN c a f(x; y) b ng –1 khi
3
1
3
2
y
x
VD4 Tìm giá tr l n nh t c a
f(x; y) = – x2– y2
+ xy + 2x + 2y
HD gi i:
– 2f(x; y) = 2x2
+ 2y2 – 2xy – 4x – 4y
Trang 2= (x – y)2
+ (x – 2)2
+ (y – 2)2– 8 f(x; y)= ( ) ( 2 ) ( 2 ) 4 4
2
1 2 2 2
y x
y x
V y f(x; y) có giá tr l n nh t b ng 4 khi x = y = 2
Bài t p áp d ng
1-1 Tìm GTNN c a f(x) = x5– x2– 3x + 5 v i x 0
1-2 Tìm GTNN c a
f(x; y; z) = x4 + y4 + z4 – 1 – 2x2
y2 + 2x2 – 2xz
1-3 Tìm GTNN c a : f(x)= x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
1-4 Tìm GTNN c a : f(x) = x100 – 10x10
+ 10
1-5 Tìm GTNN c a : f(x; y) = x2– 4xy + 5y2
+ 10x – 22y + 28
1-6 Tìm GTLN c a f(x) = 2 + x – x2
*2 Bi u th c c n tìm c c tr có ch a d u giá tr tuy t đ i
VD Tìm GTNN c a f(x) = x – 3 x 5
HD gi i:
Cách 1: Ta có /x – 3/ =
) 3 ( 3
) 3 ( 3 x x
x x
/x – 5/ =
) 5 ( 5
) 5 ( 5 x x
x x
N u x < 3 thì f(x) = 8 – 2x > 2
N u 3 x 5 thì f(x) = 2
N u x > 5 thì f(x) = 2x – 8 > 2
Giá tr nh nh t c a f(x) = 2 khi 3 x 5
Cách 2:
f(x) = /x – 3/ + / x – 5/= /x – 3/ + /5 – x/ x 3 5 x 2
V y GTNN c a f(x) là 2 <==> (x – 3)(5 – x) 0 3 x 5
Bài t p áp d ng
2-1 V i m i giá tr nguyên c a x, tìm GTNN c a
f(x) = /x – 2/ +/x – 3/ +/ x – 4/ +/x – 5/
2-2 Tìm GTNN c a
f(x) = /x2 – 1/ + /x2 – 4/ + /x + 1/ + /x + 2/
2-3 Tìm GTNN c a : f(x) = x 4 x 4 x 4 x 4
) 1994 (
) 1993 ( x x
2-5 Tìm GTLN, GTNN c a : f(x) = 1 x x 1
*3 Bi u th c c n tìm GTLN, GTNN là m t bi u th c h u t ch a m t bi n VD1: Tìm GTLN, GTNN c a : y =
1
1
2
2
x x x
HD gi i:
Cách 1:
Trang 3y = 2
4
3 ) 2
1 (
) 1 ( 2 1
1 2 1
) 1 2
(
2
2
2 2
2 2
2
x
x x
x
x x x
x
x
x
GTLN c a y là 2 khi x = 1
y =
) 1 (
3
) 1 ( 3 1
1
2 2 2
2
x x
x x
x
x
=
3 2
4
9 ) 2
1 ( 3
) 1 ( 3
2 )
1 (
3
) 1 2 ( ) 1
(
2
2
2 2
2 2
x
x x
x
x x x
x
V y GTNN c a y là
3
2 khi x = – 1 Cách 2:
Do x2– x + 1 > 0 v i m i x nên ta có th vi t:
y(x2– x + 1) = x2
+ 1 <==>
(y – 1)x2– yx + y – 1 = 0 (*)
N u y = 1 thì x = 0
N u y 1 thì ph ng trình (*) ph i có nghi m
0 4 8 3 ) 1 (
2
2 3
2 9
4 )
3
4
( 2
V y GTNN c a y là
3
2 khi x = – 1 GTLN c a y là 2 khi x = 1
VD2 Tìm GTLN, GTNN c a
y = 2 2
4
)
1
(
1
x
x
v i x 0
HD gi i: y = 4 22 2 22 2 22 2
) 1 (
2 1 ) 1 (
2 )
1 (
1 2
x
x x
x x
x x
1
GTLN c a y là 1 khi x = 0
tìm GTNN có hai cách sau:
Cách 1: Dùng đi u ki n có nghi m c a ph ng trình b c hai:
Bi n đ i thành (y – 1)x4
+ 2yx2 + y – 1 = 0 Khi y = 1 thì x = 0, n u y 1 thì ph ng trình ph i có nghi m
0
1
2
'
<==> y
2
1
, GTNN c a y là
2
1
khi x = 1
Cách 2: Bi n đ i y =
2
1 1
1 2
2
2
x x
Bài t p áp d ng
3-1 Tìm GTNN, GTLN c a : y =
3 2
2
2 2
x x
x x
3-2 Tìm GTNN, GTLN c a : y =
2
3 2
2
2
x x x
Trang 43-3 Tìm giá tr l n nh t c a : y = 2
) 1993 ( x
x
3-4 Tìm GTLN, GTNN c a : y =
1
) 1 (
2
2
2
x
x x
3-5 Tìm GTLN c a y = 2 4
1 x
x
3-6 Tìm GTNN c a y =
x
x
x 2 )( 8 (
V i m i x > 0
3-7 Tìm GTLN c a y =
2 2
7 4 2
2 2
x x
x x
3-8 Tìm GTLN c a y = 2 x 1 x
3-9 Tìm GTLN và GTNN c a : y = x + 2
2 x
3-10 Xác đ nh a và b đ bi u th c A =
1
2
2
x
b ax
x có GTNN b ng – 1
D ng th hai:
Nh ng bài toán c c tr có đi u ki n ràng bu c gi a các bi n Xin gi i thi u m t s b
đ có liên quan:
B 1 T ng hai s d ng là m t h ng s thì tích c a chúng l n nh t khi hai s đó b ng
nhau
B 2 Tích hai s d ng là m t h ng s thì t ng c a chúng nh nh t khi hai s đó b ng
nhau
x
x d u b ng x y ra khi x = 1
n
i i n
i i
1 1
; 0
D u b ng x y ra khi x1 = x2…= xn
+ y2)(a2 + b2) 2
) ( ax by
D u b ng x y ra khi ax = by
1 1
2 1
n
i i i n
i i n
i
a
D u b ng x y ra khi:
n
n
b
a b
a b
a
2 2 1 1
* 4 Nh ng bài toán áp d ng B 1, 2
VD1 Cho a + b = 1, tìm GTNN c a A = a2
+ b2; B = a4 + b4 ;
C = a8 + b8
HD gi i: A = a2
+ b2 = (a + b)2 – 2ab = 1 – 2ab Theo B 1 thì ab l n nh t b ng
4
1
khi a = b =
2 1
V y A nh nh t b ng
2
1
khi a = b =
2 1
Do a2 + b2
2
1
==> a4 + a2b2 + b4
4 1
và
Trang 5a4 – 2a2
b2 + b4 0 nên 2(a4 + b4)
4
1
GTNN c a B =
8
1
khi a = b =
2 1
T ng t ta c ng tìm đ c GTNN c a C là
64
1
khi a = b =
2 1
Bài t p áp d ng
4-1 Cho a + b = 1, tìm GTNN c a a3
+ b3 + ab
4-2 Tìm GTLN c a f(x; y) = (a – x)(b – y)(cx – dy)
V i a, b, c, d là các s d ng, a > x, b > y,
cx + dy > 0
4-3 Tìm GTLN c a A = xy v i 3x + 5y = 12
4-4 V i a > 0, b > 0, ab = 1, tìm GTNN c a : (a + 1 )(b + 1)
4-5 Tìm GTLN c a : f(x) = (2x2
+ 1)(5 – x2) v i x2 5
4-6 Tìm GTNN c a y =
1
2
2 x
x v i x > 1
VD1 Tìm GTNN c a : f(x; y) = 3 ( 2) 8 ( ) 10
2 2
2
x
y y
x x
y y x
HD gi i: đ t t = t 2 t2 4 t2 4 0
x
y y x
Khi đó: f(x; y) = f(t) = t2 – 4 + 2(t – 2)2
0
f(t) = 0 khi t = 2 x y 1
V y GTNN c a f(x; y) = 0 khi x = y = 1
VD2 Tìm GTNN c a f(x; y) = x2
+ y2v i ax + by = k (a, b, k là h ng s )
HD gi i: (ax + by)2
(a2 + b2 )(x2 + y2) Hay x2 + y2 2 2
2
b a
k
d u b ng x y ra khi
y
b
x
a t đó suy ra GTNN c a f(x; y)
VD3 Tìm GTLN, GTNN c a x bi t r ng
13
7
2 2
2
2
c b
a
x
c
b
a
x
HD gi i: Ta ch ng minh đ c:
3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2
Hay: 3(13 – x2
) (7 – x)2 4x2 – 14x + 10 0
2x2 –7x + 5 0
2(x – 1)(x – ) 0
2
5
1 x
2 5
Trang 6-GTNN c a x là
2
5
khi a = b = c =
2 3
- GTLN c a x là 1 khi a = b =c = 2
VD4 Cho h
) 3 ( 12
) 2 ( 16
) 1 ( 9
2 2
2 2
yz xt
t y
z x
V i m i x, y, z, t là s th c d ng
Tìm GTLN c a x + y
HD gi i: Nhân (1) v i (2) v theo v : x2
y2 + x2t2 + z2y2 + z2t2 = 144 (4) Bình ph ng hai v c a (3) : x2
t2 + 2xyzt + y2z2 144 (5)
T (4) và (5): x2
y2 + z2t2– 2xyzt = 0 Suy ra xy = zt (6)
C ng (1) và (2) ta có:
x2 + y2 + z2 + t2 = 25 (7)
T (6) và (7) ta có:
x2 + y2 + 2xy + z2 + t2– 2zt = 25
Hay: (x + y)2 + (z – t)2
= 25
x + y l n nh t thì z – t = 0
Vây x + y = 5, z = t = 2,4
Tính đ c (x, y, z, t) = (1,8; 3,2; 2,4; 2,4)
Bài t p áp d ng
5-1 V i x, y 0, tìm GTNN c a : f(x;y) = ( ) ( 2) ( )
2 2 2 4
4 4 4
x
y y
x x
y y
x x
y y
5-2 Tìm GTLN c a M = xy + yz + xz
khi x + y + z = 1 và z, y, z là các s không âm
5-3 Cho x; y; z > 0 và x + y + z = 1
Tìm GTNN c a
z y x
1 1
1
5-4 Cho x + y + z = 1, tìm GTNN c a x2
+ y2 + z2
5-5 V i p > 1, tìm GTNN c a A = 4
2
1 2
2
x x
p v i x 0
5-6 V i:
6 9
4
2 2
2 2
yz xt
t z
y x
(x; y; z; t > 0)
Tìm giá tr l n nh t c a x + y
5-7 Cho các s t nhiên x; y; z; t Tìm GTNN c a
M = x2 + y2 + 2z2 + t2 v i
101 4
3
21
2 2
2
2
2
2
z y
x
t
y
x
5-8 Cho a2 + b2 + c2 = 1
Tìm GTNN, GTLN c a a + b + c
5-9 V i a + b + c 3 Tìm GTNN c a : M = a2
Trang 75-10 V i a, b, c 0 và ab + bc + ac = 1 Tìm GTNN c a a + b + c
5-11 Cho 1 x y z t n Tìm GTNN c a : A =
t
z y
x
* 6 Nh ng bài toán dùng n ph đ đ a v ph ng trình b c hai ho c dùng b t
đ ng th c
VD1 Tìm GTLN, GTNN c a:
f(x; y) = 2x – 3y v i 3x2 – xy + 2y2
= 5 (*)
Gi i: t t = 2x – 3y ==> y =
3
2 x t
thay vào (*) 29x2– 5tx + 2t2– 45 = 0, bài toán có c c tr khi ph ng trình có nghi m:
0 5220
207 2
23
580 23
580
T đó suy ra GTLN, GTNN c a f(x; y)
VD2 Tìm GTLN c a A = ab khi a + 2b = 1
HD gi i: A = ab = b(1 – 2b) ==> – 2b2 + b – A = 0
8
1 0
8
1
A A , suy ra GTLN c a A b ng
8
1
khi a =
4
1
;
2
1
b
Bài t p áp d ng
6-1 Tìm GTNN, GTLN c a A = 2x2 – xy – y2 v i x2
+ 2xy + 3y2 = 4
6-2 Cho x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0
Tìm GTLN, GTNN c a S = x + y + 1
6-3 Cho (x2 – y2
+ 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2
=0 Tìm GTNN, GTLN c a S = x2
+ y2
6-4 Cho h :
8
5 zx yz xy
z y x
Tìm GTLN, GTNN c a x
6-5 Tìm GTNN c a S = x + y v i x, y > 0
Và
a y
x
1 1
1
2
2 (trong đó a là h ng s d ng)
6-6 Cho x2 + 3y2 + z2= 2 Tìm GTLN c a : A = 2x + y – z
6-7 Tìm GTNN c a : f(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7)
VD1 Cho ph ng trình b c hai:
x2– mx – 12 0
m , có hai nghi m x1, x2
Tìm GTNN c a x14
+ x24
HD gi i: Tính đ c
x14 + x24 = 4 24 4
m m
x14 + x24 2 2 4
GTNN b ng 4 2 2 khi m = 8
2
Bài t p áp d ng
Trang 87-1 Cho ph ng trình b c hai: x2– ax + a – 1 = 0 có hai nghi m x1, x2
Tìm GTLN, GTNN c a: M =
) 1
( 2
3 2
2 1 2
2 2 1
2 1
x x x
x
x x
7-2 Cho ph ng trình b c hai có hai nghi m x1, x2 : x2– 2(m – 1)x + m – 3 = 0
Tìm GTNN c a x12
+ x22
7-3 Cho ph ng trình b c hai : (m2
+ m + 1)x2 – (m2 + 8m + 3)x – 1 = 0 Tìm GTLN, GTNN c a x1 + x2
7-4 Cho ph ng trình b c hai : x2 + 2(m – 2)x – 3m + 10 = 0
Tìm GTNN c a x12
+ x22
VD1 Cho hình vuông ABCD c nh b ng a Xác đ nh v trí c a đi m M trên đ ng chéo
BD đ di n tích tam giác CEF đ t GTNN và tính GTNN đó theo a E và F là hình chi u
c a M trên AB và AD
HD gi i: E
A B
F M
D E’ C
K ME’ vuông góc v i CD, khi đó MFDE’ là c ng là hình vuông t ME’ = x ==>
ME = a – x = AF,
A* = S(CEF) = S(MEF) + S(MEC) + S(FMC)
= S(AFB) + S(FMC)
2
1 2
1 ) (
2
x a x a x
x a
A* đ t GTNN khi x(a – x) đ t GTLN,
do x + (a – x) = a nên tích x(a – x) l n nh t khi
x = a – x =
2
a
==> x = a/2 ==> ME’ = a/2
==> MD =
2
2 a
V y M chính là giao đi m c a hai đ ng chéo AC và BD và khi đó S(CEF) = 3a2
/8
VD2 Cho đi m M n m trong tam giác ABC ( AB = c, BC = a, CA = b) G i kho ng cách t M đ n các c nh AB, BC , CA là z, x, y Hãy xác đ nh v trí c a M đ bi u th c:
P =
z
c
y
b
x
a đ t GTNN
HD gi i:
A
Trang 9M
B C
Ta có 2S = ax + by + cz
(S là di n tích tam giác ABC)
z
c y
b x
a
2 )
2SP = a2 + b2 + c2 + ab( ) ( ) ( )
x
z z
x ca y
z z
y bc x
y y
Do 2
x
y
y
x
, nên 2SP (a + b + c)2
V y P đ t GTNN b ng (a + b + c)2 /2S khi x = y = z t c là khi đi m M là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ABC (giao đi m ba đ ng phân giác)
VD3 Ch ng minh r ng trong các tam giác vuông có chu vi không đ i thì tam giác có
c nh huy n nh nh t là tam giác vuông cân
HD gi i: Chuy n bài toán hình h c sang đ i s :
0
,
,
,
2
2
2
k
c
b
a
c
b
a
k
c
b
a
Tìm GTNN c a c
a2 + b2 = c2 = (k – a – b)2
<==> k2 – 2ka – 2kb + 2ab = 0
<==> ab + k2 – ka – kb = k2
/2
<==> (k – a)(k – b) = k2/2 (h ng s ), v y
k – a + k – b nh nh t khi k – a = k – b hay a = b
khi đó a + b l n nh t nên c nh nh t Tam giác vuông cân
Bài t p áp d ng
8-1 Cho hình vuông ABCD c nh a, xét các hình thang có b n đ nh trên b n c nh c a hình vuông và hai đáy song song v i m t đ ng chéo c a hình vuông Tìm hình thang
có di n tích l n nh t và tính di n tích y
8-2 Cho đo n th ng AB = m và đ ng th ng d song song v i AB M là m t đi m không thu c AB và M n m trong n a m t ph ng b AB không ch a đ ng th ng d G i C và
D là giao đi m c a MA, MB v i d, tìm nh ng v trí c a M đ tam giác MCD có di n tích nh nh t
8-3 Cho hình vuông ABCD c nh a, O là giao đi m hai đ ng chéo, quay hình vuông ABCD đ n MNPQ tâm quay là O, góc quay là Xác đ nh góc quay đ chu vi ph n chung c a hai hình vuông ABCD và MNPQ là nh nh t
8-4 Hãy tìm trong tam giác ABC m t đi m M sao cho tích các kho ng cách
t đó đ n các c nh c a tam giác có giá tr l n nh t
8-5 Cho hình vuông ABCD, m t hình vuông MNPQ có b n đ nh
n m trên b n c nh c a hình vuông ABCD, xác đ nh v trí c a MNPQ đ di n tích MNPQ nh nh t