BÀI T P : GI I PH NG TRÌNH-H PH NG TRÌNH( S D NG O HÀM)
Bài 1: Gi i ph ng trình
1 3
2 3
22x + 2x = x + x+1+x+
Gi i:
Ta có f(x)=2x+3x+x t ng trên R, nên ph ng trình t ng đ ng
) 1 ( )
2
( = f x+
Hàm s g(x)=2x −(x+1)xác đ nh trên R
x x
g x
g/( )=2xln2−1⇒ /( )≥0⇔ ≥log2 log2
V y ph ng trình có nhi u nh t 2 nghi m trên (−∞ ; log2(log2e)) v (log2(log2e) ; +∞)
Th tr c ti p tìm đ c hai nghi m là x=0 ; x=1
Bài 2: Gi i ph ng trình
1 5
1 4 3 1
2 log5⎜⎝⎛ − − + + − − ⎟⎠⎞= x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1−
x x
x x
Gi i :
i u ki n x≥1 t t= x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1≥0(ch ng minh)
ph ng trình t ng đ ng log5( +1)=5t −1
t
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
+
=
⇔
−
=
−
+
=
⇔
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
⇔
t y
t t
y
y t
y t t y
t
1 5
(*) 5
5
1 5
1
5
1
5
0
=
⇔ t
0 1 1 4 3 1
−
5
2≤ ≤
Bài 3: Gi i ph ng trình
4 24 4
2 2
x
Gi i :
0 2 12 2
Xét hàm s y=x4 −4x3−2x2 +12x−2⇒ y/ =4x3−12x2 −4x+12
L p b ng bi n thiên, suy ra hàm s có tr c đ i x ng x =1
Do đó đ t x = X +1, ta có ph ng trình
⎢
⎢
⎣
⎡
+
±
=
−
±
=
⇔
= +
−
11 4 1
11 4 1 0
5
8 2
4
x
x X
X
Bài 4: Gi i ph ng trình
x)2 4cos 3.4cos cos
1
Gi i :
t cosx=y −1≤ y≤1
1
⇔
t
4 2
4 4 ln 6 ) ( 1 4
2
4 3
)
+
=
⇒
−
− +
=
y
y y
y
y f y
y
f
Trang 2( )2 /
4 2 4 4 ln 16
0
)
y
ây là ph ng trình b c hai theo y
4 , nên có không quá 2 nghi m V y theo đ nh lý Roolle
ph ng trình f(y)=0 có không quá 3 nghi m
2
1 ,
y là 3 nghi m c a ph ng trình f(y)=0
3
2 ,
2 ,
k
Bài 5: Gi i ph ng trình
1 3 1
2 4
2
+ +
+
x x x
x x
Gi i :
2 4 1 2008
2008 1
2
2
6
2
2 2 4
1 2 6
+
= + +
⇔
=
+
+
+
+
+ +
x x
x x
x
x
x
x x
x x
f( )= 2008 t ng trên R
Gi i ph ng trình x6−3x2 −1=0⇔u3−3u−1 u≥0 ph ng trình ch có nghi m trong (0,2)
t
2 0
cos
2 < <π
u
2
1 3 cos =
Suy ra ph ng trình có nghi m
9 cos
±
=
x
Bài 6: Gi i ph ng trình
x x
x x
cos sin
2
5 sin 2
5
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Gi i :
Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghi m Xét
2
π
k
x≠
x x
x x
cos 2 5 sin
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
5 )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t t f
t
Hàm s f (t)ngh ch bi n
Suy ra x= x⇔ x=π +kπ
4 cos
sin
Bài 7: Gi i ph ng trình
3 2 2 3 2
5 4 log
) 2 (
2 2
+
+ + +
x
x x x
Gi i :
k 2x+3>0
log 1
)
2
t f(t)=t+log2t (t>0)
T ng t
Trang 3Ph ng trình có nghi m x=−1
Bài 8: Gi i ph ng trình
x x
x
1975
cos
1 sin
1 cos
Gi i :
x
x x
1975
cos
1 cos
sin
1
1 cos
;
1
sinx = x = không là nghi m c a ph ng trình
t hàm s ( )= 1975 − 20071 t∈(−1;0)∪(0;1)
t t t f
Ta có /()=1975 1974 +20072008 >0
t t t
) ( : ) 0
; 1
t∈ − ch nh n giá tr d ng
) ( : ) 1
;
0
t∈ ch nh n giá tr âm
Nên f x = f x ⇔ x= x⇔ x=π +kπ
4 cos
sin ) (cos )
(sin
Bài 9: Gi i ph ng trình
x x
x x x
2
cos 2 cos 3 sin sin 2 2 cos 2 cos sin
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
Gi i :
x
2
cos 2 cos 2
cos cos
2 2 cos 2 cos cos
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
2 cos cos
2 cos 2
cos 2 cos 2 cos 2
2
2 cos 2 )
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
t
f (t) gi m
3 cos
2 cos ) (cos )
2
x x x
x f
x
Bài 10: Gi i ph ng trình
) 376 34
(
x x
x x
x x
x x
Gi i :
t t =x2 −34x+376 (t≥87)
) 256 256 ( log 256 2 2 35 ) 2
(
log
2t t3 2 t t3 = 283 = 256 3 2 t 3
⇔
Hàm s ( ) 2 log (2 3)
2 3
t t
t
f = t t đ ng bi n trên [1; +∞)
4
; 30 256
376 34
=
Bài 11: Gi i ph ng trình
) 1 6 cos 2 cos 4 ( log 2 cos 2
1 2
4
2 sin 2
−
− +
= +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x x
x
x
Gi i :
Trang 4t 1)
3
1 ( 2
y
) 1 3 ( log 2
1
y y
y
t t =log2(3y−1)⇔2t =3y−1 (t≤1)
y
t
t
y
+
= +
⇔
⎩
⎨
⎧
−
=
− +
=
2 2
1 3 2
1 2
2
Xét hàm s g(u)= 2u +u, hàm s đ ng bi n trên R
0 1 3 2 ) ( 1 3
Xét hàm s f(t)=2t −3t+1, s d ng đ nh lý Roll cm ph ng trình có không quá 3 nghi m
Ph ng trình có nghi m t=1 t=3(L), suy ra ph ng trình có nghi m x=kπ
Bài 12: Gi i ph ng trình
1 1
7 4 12 8 343 8
64x− x− = + x x−
Gi i :
7 2
; 4
;
c b
a
0 3
3 3
2
) ( ) ( ) ( ) (
2 2
2
= + +
⇔
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
+ +
0 7
2
4
7
2 4 ln 4 ) ( 7
2 4 2 )
x f x
Ph ng trình f /(x)=0 có nghi m duy nh t nên theo đ nh lí Lagrange ph ng trình f(x)=0 không có quá 2 nghi m phân bi t
Ph ng trình có nghi m x=1 ; x=2
Bài 13: Gi i ph ng trình
) 3 2 ( log ) 2 2 (
3 2
Gi i :
i u ki n x<−1v 3<x
) 3 2 ( log ) 2 2 (
log8 4 3 2− − = 7 4 3 2− −
t a=7+4 3 và t =x2 −2x−3
t
a ( 1) log
log 1 + =
t y=loga t
1 1
1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⇔
y y
a a
a
1
=
⇔ y là nghi m duy nh t
Ph ng trình có nghi m x=1± 11+4 3
Bài 14: Gi i h ph ng trình
Trang 5( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
=
4 log
log
4 log
log
4 log
log
3 5
3 5
3 5
x z
z y
y x
Gi i :
H ph ng trình không đ i qua phép hoán v vòng quanh⇒ x= y=z
T đó ta có log5 x=log3( x+4), đ t t=log5 x
1 3
1 4
3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⇔
t t
Ph ng trình có đúng 1 ngi m t =2 do hàm s 1
3
1 4 3
5 )
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
t t
t
H ph ng trình có 1 nghi m x= y=z=25
Bài 15: Gi i h ph ng trình
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
− +
− +
−
−
=
−
−
0 4 1 2
2
2
3 2
2
2 2 2
2
2 1
x y
x x y x
xy
y
x x
Gi i :
T ph ng trình (2) ( 2) 1 1 22
x
x y
xy
⇔
2
2
2 1 2
2
1
2 1 2
2
1
x
x x
x
x
−
=
−
− +
−
2
1 2 ln 2 ) ( 2
2 ) ( = t + ⇒ / = t + >
t f
t t
f
2 2
2
2
2 1
2
1
x
x x
−
⇔
H ph ng trình có 1 nghi m
4
3 ,
x
Bài 16: Gi i h ph ng trình
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+ + +
= +
+
=
−
1 ) 2 (
log 2 ) 6 2 ( log 3
1 1
2 3
2
2
2 2
y x y
x
y
x
e y x
Gi i :
k x + y2 +6>0 và x + y+2>0
(1) ⇔ln(x2 +1)+x2 +1=ln(y2 +1)+y2 +1
Hàm s f(t)=lnt+t t>1 đ ng bi n trên (0 ; +∞)
y x y
.N u x=−y (2)⇔log (6−x)=1⇔ x=3 ; y=−3
Trang 6.N u x= y
(2)⇔3log3(x+2)=2log2(x+1)=6u
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
= +
= +
9
8 9
1 2
1
3 2
3
u u
x
x
Hàm s
u u
u
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
9
8 9
1 )
( ngh ch bi n trên R, suy ra u=1 là nghi m duy nh t
H ph ng trình có 2 nghi m
4
3 ,
x và x=7 ; y=7
Bài 17: Gi i h ph ng trình
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
= + +
−
=
−
+
+ +
2
7 2
3 2
) 2
( 3 4
2
2
2
1 2 8 1 2
y x
x y
y x
y x
Gi i :
k x ; y≥0
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
+
= +
⇔
+
+
+ +
7 3
2
4 3 2
3 2
1
2
1 2 ) 4 ( 1
2
y x
y x
y x
y x
Hàm s f(x)=2x2+1+3 x đ ng bi n trên [0;∞)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
= +
=
⇔
=
+
=
⇔
5 1 5 4 1
4 )
1 ( )
(
) 4 ( )
(
y
x y
x
y x f
y
x
f
y f
x
f
Bài 18: Gi i h ph ng trình
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
=
−
−
=
−
−
=
) 5 2 cos cos
8 ( log cos
) 5 2 cos cos
8 ( log cos
) 5 2 cos cos 8 ( log cos
2 2 2
z y
z
y x
y
x z
x
Gi i :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ +
=
+ +
=
+ +
=
⇔
4 2 2
8
4 2 2
8
4 2 2
8
2 2 2
Z Y
Y X
X Z
Z
Y
X
8
1 )
(t = + t2 +
f t đ ng bi n trên ⎜⎝ ⎥⎦⎤
⎛ 1
; 2 1
8
=
=
=
Gi i b ng đ th ⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
=
=
⇔
) ( 2
1
l Z Y X
Z Y X
H ph ng trình có 2 nghi m x=k2π , y=l2π ; z=m2π
Trang 7Bài 19: Gi i h ph ng trình
⎩
⎨
⎧
+
= +
+
= +
2 ) (cos log ) sin 3 1 ( log
2 ) (sin log ) cos 3 1 ( log
3 2
3 2
x y
y x
Gi i :
k cosx ; siny≥0
) (sin log ) sin 3 1 ( log ) (cos log ) cos
3
1
(
⇒
Hàm s f(t)=log2(1+3t)+log3t 0
3 ln
2 2 ln ) 3 1 (
3 )
(
+
=
⇒
t t
t
x
sin =
⇒
Thay vào ph ng trình (1) ⇒log2(1+3cosx)=log3(cosx)+2
L p BBT hàm s g(v)=log2(1+3v)−log3v v i v=cosx∈(0,1] ph ng trình ch có 2 nghi m
3
1 cos
,
1
cosx= x=
Bài 20: Gi i h ph ng trình
28
⎪
⎨
⎪⎩
Gi i:
H t ng đ ng
2
28 (1)
0 ( ) 18 2 (2)
⎨
⎪⎩
(2)
4
3 8
y
⇒ = − , thay vào (1) đ c:
3 4
3
3 8
28
y
⎢⎜ − ⎟ − ⎥=
(3)
t
f t = −t −t + tta có:
f t = t + t −t + > ∀ >t
Ch ng t hàm s f(t) đ ng bi n trên kho ng (0;+∞) ph ng trình f(t) = 0 n u có nghi m trên Kho ng (0;+∞) thì nghi m đó là nghi m duy nh t T đó suy ra h ph ng trình đ cho n u
có nghi m (x0, y0) thì nghi m đó là nghi m duy nh t c a h
N u ch n x = 2y thì t (1) ta có: 4
y = ⇔ =y ⇒ =x R ràng c p s (2 2; 2)
th a (2)
V y h có nghi m duy nh t (2 2; 2)
Bài 21: Tìm s nghi m c a n m trong kho ng (0;2π c a ph ng trình )
2
5 )
sin 10 sin
12 sin
8
cos
2 2
+
= +
x
Gi i :
Trang 80 1
1
t
g'
g
1-3 6 0
u
6
t
0
t t =sin2x= y 0≤t≤1
2
5 )
10 12
8
)
1
(
e t x t x
t
Xét hàm s ( ) 2 ( 1 )(8 3 12 2 10)
t t t e x
)
/
t g e t
t t t
t e
x
⇒
V i g(t)=8t3 −24t2 +22t−5⇒ g/(t)=2(12t2 −24t+11)
L p b ng bi n thiên, suy ra ph ng trình g(t)=0 có nghi m duy nh t
6
3 1 0
, < < −
t
L p b ng bi n thiên hàm s f (t), suy ra ph ng trình f(t)=0 có nghi m duy nh t
u v
v
t= ,0< <
Suy ra ph ng trình sinx=± v có 4 nghi m phân bi t x∈(0, 2π)