Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu

Mục lục Bảng kí hiệu ii 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1 1 Đại số Steenrod 1 1 1 1 Định nghĩa và tính chất 2 1 1 2 Cấu trúc của đại số Steenrod 4 1 2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda 5 1 2 1 Lý thuyết bất[.]

Mục lục

1.1 Đại số Steenrod 1

1.1.1 Định nghĩa và tính chất 2

1.1.2 Cấu trúc của đại số Steenrod 4

1.2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda 5

1.2.1 Lý thuyết bất biến 6

1.2.2 Phức dây chuyền Γ∧M 10

1.2.3 Một mở rộng của đại số lambda 12

1.2.4 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Θ 13

1.2.5 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Λ 14

2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu 17 2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati và dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu 17

2.1.1 Đồng cấu Lannes-Zarati 17

2.1.2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu 22

2.2 Biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati 23

3 Toán tử squaring và đồng cấu Lannes-Zarati 33 3.1 Các toán tử squaring 33

3.1.1 Toán tử squaring cổ điển 33

3.1.2 Toán tử squaring Kameko 34

3.1.3 Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson 37 3.2 Tính giao hoán của các toán tử squaring qua đồng cấu Lannes-Zarati 38

3.3 Chứng minh dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu trong trường hợpk=3, 4 433.4 Chứng minh dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu trong trường hợpk=5 48

Năm 1950, Cartan đã chứng minh

với x, y ∈ H∗(X) Công thức này được gọi là công thức Cartan

Năm 1952, Adem đã chứng minh rằng tất cả các quan hệ trong đại số Steenrodđều được sinh ra từ tập các quan hệ sau, gọi là các quan hệ Adem,

trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2.

Năm 1953, Serre chỉ ra rằng đại số Steenrod có một cơ sở cộng tính được gọi

là cở sở chấp nhận được

Milnor [29] đã nghiên cứu một cách sâu sắc cấu trúc của đại số Steenrod Ông

đã chứng minh rằng đại số Steenrod là một đại số Hopf, phân bậc, có bổ sung, đốigiao hoán, liên thông, và đối ngẫu của nó là một đại số đa thức

sjss Ta thấy rằng, khi J khôngphải là một dãy chấp nhận được, thì bắt đầu từ phải qua trái ta áp dụng quan

hệ Adem cho cặp đầu tiên js, js+1, với js < 2js+1, lúc này SqJ sẽ được phân tíchthành tổng các đơn thức có moment nhỏ hơn m(J ) Vì hàm moment bị chặn dướinên quá trình này sẽ dừng lại sau hữu hạn bước và do đó {SqI}, với I chấp nhậnđược, là một hệ sinh của A

Định lý 1, chương 3, trong [27] đã nêu ra một vài tính chất của toán tử Steenrodnhư sau:

(1) Sqi(x) = 0 nếu i > deg(x)

(2) Sq0 là ánh xạ đồng nhất

(3) Sqi(x) = x2 nếu i = deg(x)

Ta biết rằng đối đồng điều hệ số F2 của không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều

P (∞) là vành đa thức một biến F2[x] Tác động của các toán tử Steenrod trênvành đối đồng điều này được mô tả qua mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2 (Mosher-Tangora [27]) Với mỗi u ∈ H1(P (∞); F2), ta có Sqi(uj) =

j

i
uj+i

Chứng minh Trước hết, ta thấy với j = 1, mệnh đề hiển nhiên đúng

Giả sử mệnh đề đúng với mọi k ≤ j và mọi i ≤ k Ta chứng minh mệnh đềcũng đúng với j + 1 Thật vậy, theo công thức Cartan, ta có

Do tính chất Sqi(x) = 0 nếu i > deg(x), nên ta thấy

Sqi(uj+1) = Sqi−1(uj)Sq1(u) + Sqi(uj)Sq0(u)

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta có Sqi−1(uj) = i−1j
uj+i−1 và Sqi(uj) =

j

i
uj+i Do đó, ta có

Sqi(uj+1) = 

j

i − 1

+ji



uj+i+1

=j + 1i



uj+i+1.Vậy mệnh đề cũng đúng với j + 1 Ta có điều cần chứng minh

Ta nói rằng Sqi là phân tích được nếu Sqi = P

0<t<iatSqt, với mỗi at là tíchcủa một dãy các toán tử Sq và ta nói rằng Sqi là không phân tích được nếu khôngtồn tại một quan hệ như vậy Ví dụ Sq1 là không phân tích được; Sq2 là khôngphân tích được vì Sq1Sq1 = 0; Sq3 là phân tích được vì theo quan hệ Adem

Sq3 = Sq1Sq2

Mệnh đề 1.3 (Mosher-Tangora [27]) Các toán tử Sq2k là không phân tích được,

và đại số Steenrod được sinh bởi Sq0 và Sq2k, với k ≥ 0

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Sqi là không phân tích được nếu và chỉnếu i là một lũy thừa của 2 Thật vậy, gọi α là phần tử sinh của H1(P (∞); Z2)(P (∞) là không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều), ta có Sq2 k

t<2 katSqt(α2 k

) = 0, đây là điều vô lý

Để chứng minh chiều ngược lại, ta đặt i = a + 2k với 0 < a < 2k và đặt b = 2k

Ta nhận thấy b−1a
= 1; do đó Sqi = Sqa+b là phân tích được

Từ đây, ta thấy ngay là đại số Steenrod được sinh bởi Sq0và Sq2k, với k ≥ 0

1.1.2 Cấu trúc của đại số Steenrod

Cho A là một đại số phân bậc có đơn vị Khi đó, A được gọi là một đại sốHopf nếu A được trang bị

(i) một toàn cấu đại số phân bậc (được gọi là phép bổ sung)  : A → F2;(ii) một đồng cấu đại số phân bậc (được gọi là phép đối nhân) ψ : A → A ⊗ A;(iii) các hợp thành

Định lý 1.4 (Milnor [29]) Đại số Steenrod A là một đại số Hopf, với phép bổsung  : A → F2 được xác định bởi

và phép đối nhân ψ : A → A ⊗ A được cho bởi

Hơn nữa, ψ giao hoán

Theo [29], tồn tại một tự đẳng cấu χ trên A, được gọi là đẳng cấu phản đốixứng (phản đồng cấu), thỏa mãn các điều kiện sau:

Sq1 theo cơ sở chấp nhận được

Theo Milnor [29] A∗ cũng là một đại số Hopf Đối nhân và phản đồng cấu trong

A∗ được cho bởi công thức sau:

1 ξrk

k theo cơ sở gồm các đơn thức của

A∗ Khi đó, bậc của Sq(r1, , rk) là r1 + 3r2+ · · · + (2k− 1)rk, và ta có kết quảsau đây

Định lý 1.5 (Milnor [29]) Tập tất cả các phần tử Sq(R) là một cơ sở cộng tínhcủa đại số Steenrod A, xem như một F2-không gian véctơ

Cơ sở của A nói trong Định lý 1.5 được gọi là cơ sở Milnor

1.2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda

Chúng tôi trình bày mục này dựa theo bài báo của William M Singer [31]

Cho Ts ⊆ GLs là nhóm con bao gồm tất cả các ma trận tam giác trên với cácphần tử bằng 1 trên đường chéo chính Vành bất biến PT s

s đã được xác định bởiHuỳnh Mùi [26] Ông chỉ ra rằng PT s

Dickson đã mô tả Qs,i quy nạp theo s như sau

với 0 ≤ i < s và qui ước rằng Qs−1,s−1 = 1 (s ≥ 1), Qs,i = 0 nếu i < 0 hoặc

i > s

Cho S(s) ⊂ Ps là tập con nhân tính sinh bởi tất cả các dạng tuyến tính khác

0 trong Ps Cho Φs là địa phương hóa: Φs = (Ps)S(s) Khi đó, GLs tác động trên

Φs như một nhóm các tự đẳng cấu đại số Từ (1.2), (1.4) và (1.5) ta có

∆s= (Φs)Ts = F2[V1±1, , Vs±1], (1.8)

Γs= (Φs)GLs

= F2[Q±1s,0, Qs,1, , Qs,s−1] (1.9)Nếu ta đặt

v1 = V1, vk= Vk/V1V2 Vk−1 (k ≥ 2) (1.10)sao cho

Vk = v12k−2v22k−3 vk−1vk (k ≥ 2), (1.11)thì (1.8) được viết lại như sau

Ta đặt ∆ = ⊕s≥0(∆s); lúc này, kết hợp các ánh xạ 1.13 ta thu được đối tích

ψ : ∆ → ∆ ⊗ ∆ mà với đối tích này ∆ trở thành một đối đại số

Tương tự, ta đặt Γ = ⊕s≥0(Γs) Ta sẽ chỉ ra rằng Γ là một đối đại số con của

minh công thức cũng đúng cho s Thật vậy,

ψp,q(Qs,i) = ψp,q(VsQs−1,i+ Q2s−1,i−1) (do (1.7))

Q2p,0q−2jQ2p,i−jj ⊗ Qq,j (đổi biến j=k+1)

Vậy công thức (1.14) đúng cho s và mệnh đề đã được chứng minh

Singer định nghĩa Γ∧s là môđun con của Γs = Ds[Q−1s,0] sinh bởi tất cả các đơnthức γ = Qi0

Chứng minh Đây là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.7

Bổ đề 1.9 (Singer [31]) Φ : Is → Js là một song ánh và ψ là ánh xạ ngược củanó.

Ta lấy một cơ sở của ∆s là một tập gồm các đơn thức sau {vj1

Chứng minh Ta sẽ sử dụng mô tả của Γ2trong (1.9) để chỉ ra rằng π(Qr2,0Qs2,1) = 0với mọi r ∈ Z và s ≥ 0 bằng quy nạp theo s Với s = 0 ta có điều khẳng định vì

Sq2r+1Sqr+1 = 0 trong đại số Steenrod A

Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính ∂ : ∆s⊗ M → ∆s−1⊗ M bằng công thức

Mệnh đề 1.12 (Singer [31]) Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên H0(Γ∧M ) = F2⊗AM Chứng minh Xét phức dây chuyền

−→ Γ∧1 ⊗ M −→ Γ∧

0 ⊗ M −→ 0,

ta thấy từ phức này H0(Γ∧M ) = ker(∂0)/Im(∂1) Mặt khác, ta có ker(∂0) = Γ∧0⊗

M và từ định nghĩa của ∂1 ta suy ra H0(Γ∧M ) = Γ∧0 ⊗ M/A+

M = F2⊗AM Mệnh đề 1.13 (Singer [31]) Nếu 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 là một dãy khớpngắn của các A-môđun thì 0 −→ Γ∧M −→ Γ∧N −→ Γ∧P −→ 0 là dãy khớp ngắncủa các phức dây chuyền

Chứng minh Mệnh đề này là hiển nhiên vì với mỗi s ≥ 0 thì Γ∧s là một môđun tựdo.

Mệnh đề 1.14 (Singer [31]) Với bất kì một dãy khớp ngắn của các A-môđun

0 −→ M −→ N −→ P −→ 0, thì ta có dãy khớp dài sau

−→ Hs(Γ∧N ) −→ Hs(Γ∧P ) −→ Hs−1(Γ∧M ) −→ −→ H0(Γ∧P ) −→ 0.Chứng minh Mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.13

Mệnh đề 1.15 (Singer [31]) Hs(Γ∧A) = 0 nếu s > 0

Chứng minh Nếu SqI = Sqi1 Sqip là một đơn thức chấp nhận được trong Athì ta gọi l(I) = p là độ dài của nó Ta xác định một lọc tăng trên Γ∧A bằng cáchđặt

Fp(Γ∧A)s = Γ∧s ⊗ Span{SqI|I chấp nhận được; l(I) ≤ p − s}

Khi này Fp(Γ∧A) là một phức con của Γ∧A với mỗi p ≥ 0 Ta gọi E0Γ∧A làkhông gian phân bậc liên kết: với mỗi p ≥ 0, E0

pΓ∧A = FpΓ∧A/Fp−1Γ∧A làmột phức dây chuyền Một đơn thức y = Qi0

s,0 Qis−1

s,s−1⊗ SqI|y chấp nhận được}, s = q,

0, s > q,với mọi q ≥ 0 Khi đó GqE0Γ∧A là một phức con của E0Γ∧A Ta kiểm tra thấy

Từ đây ta suy ra kết luận của mệnh đề

Định lý 1.16 (Singer [31]) Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên Hs(Γ∧M ) ∼= T orsA(F2, M ).Chứng minh Các tính chất của hàm tử M −→ Hs(Γ∧M ) (s = 0, 1, 2, ) cho bởiMệnh đề 1.12, 1.14, và 1.15 cũng là các tính chất của hàm tử M −→ T orAs(F2, M )

Mà ta biết rằng hàm tử sau được đặc trưng bởi các tính chất này Định lý đượcchứng minh

1.2.3 Một mở rộng của đại số lambda

Cho L là một không gian véctơ phân bậc trên trường F2 với cơ sở bao gồmtất cả phần tử có dạng {λk | k ∈ Z, k ≥ −1}, với degλk = k Gọi T ens L là đại

số liên kết tự do sinh bởi L Lúc đó, T ens L là một đại số song bậc nếu ta viếtbidegλk = (1, k) Trong (T ens L)2 = L ⊗ L, ta định nghĩa một họ các phần tửthuần nhất

λ(p, q) =X

j≥0

pj



và định nghĩa Θ là đại số song bậc đạt được bằng cách lấy T ens L chia thươngcho quan hệ λ(p, q) = 0 (p, q ≥ 0) Các quan hệ này có hai loại Những quan hệchứa λ−1 xuất hiện trong các quan hệ λ(p, 0) = 0:



λj−1λp−j−1+ λp−1λ−1 = 0 (p > 0),

còn các phần tử sinh {λk | k ≥ 0} xuất hiện trong λ(p, q), với q > 0

Ta gọi Λ là đại số con của Θ được sinh bởi các phần tử {λk | k ≥ 0} Như vậy

Λ được xác định bởi quan hệ λ(p, q) = 0 với p ≥ 0 và q > 0 Định nghĩa này giốngvới định nghĩa gốc trong [5] nhưng tích được viết theo thứ tự ngược với tích viếttrong [5]

Trong [5], với mỗi s ≥ 1, một cơ sở của Λs là {λj1 λjs | 0 ≤ j1, j1 ≤2j2, , js−1 ≤ 2js}

Ta định nghĩa một đồng cấu d : Θ → Θ bởi

dx = λ−1x + xλ−1.Ánh xạ d là một đạo hàm và vì λ−1λ−1 = 0 nên ta có d.d = 0

Theo Singer [31] tồn tại duy nhất một đạo hàm χ : T ens L → T ens L thỏamãn điều kiện: χ(λk) = λk+1 (k ≥ −1)

Vậy bổ đề được chứng minh.

1.2.4 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Θ

Mục đích của phần này là xây dựng một ánh xạ tuyến tính ks : Γs → (Θs)∗

Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính trên F2, ks : ∆s → (L⊗s)∗ bởi

hks(vi1

1 vis

s ), λj1 ⊗ · · · ⊗ λjsi = δi1,j1 δis,jsvới mỗi s ≥ 1 và ta gọi k0 : ∆0 → (L⊗0)∗ là ánh xạ đồng nhất trên F2 Với

ψp,q: ∆s → ∆p⊗ ∆q được định nghĩa ở (1.13), ta có

hks(γ), αβi = h(kp ⊗ kq)ψp,q(γ), α ⊗ βi (1.20)với α ∈ L⊗p, β ∈ L⊗q, γ ∈ ∆s

Bổ đề 1.18 (Singer [31]) Với mọi γ ∈ Γ2 và mọi số nguyên p, q ≥ 0 ta có

hk2(γ), λ(p, q)i = 0

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh bổ đề cho trường hợp γ = Qa2,0Qb2,1, với

a, b là các số nguyên và b ≥ 0 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo b Trướchết với b = 0, ta có hk2(Qa2,0), λ(p, q)i = hk2(v12av2a),P

j≥0

p

j
λ2q+j−1λp+q−j−1i =P

với χ là đạo hàm của T ens L được nhắc đến ở mục trước Lúc này, nếu ta gọi

γ = Qa

2,0Qb

2,1 thì do giả thiết quy nạp và tính giao hoán của biểu đồ trên, ta có

hk2(Qa−12,0 Qb+12,1 ), λ(p, q)i = hk2ρ(γ), λ(p, q)i

= hχ∗k2(γ), λ(p, q)i

= hk2(γ), χλ(p, q)i

= hk2(γ), λ(p + 1, q)i

= 0

Vậy bổ đề được chứng minh

Bổ đề 1.18 được khái quát thành mệnh đề sau

Mệnh đề 1.19 (Singer [31]) Cho β ∈ L⊗s nằm trong idean hai phía của T ens Lsinh bởi các phần tử λ(p, q), khi đó ta có hks(γ), βi = 0 với mọi γ ∈ Γs

Chứng minh Ta giả sử β = α1α2α3 với α1 ∈ L⊗r, α2 = λ(p, q) ∈ L⊗2, và α3 ∈

L⊗s−r−2, với r nào đó Từ đẳng thức (1.20), Mệnh đề 1.6, và Bổ đề 1.18 ta suy rađiều phải chứng minh

1.2.5 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Λ

Từ Mệnh đề 1.19, ta thấy hạn chế của ks : ∆s → (L⊗s)∗ tới Γs cho ta ánh xạsau

ks : Γs → (Θs)∗,

ta cho hợp thành với phép chiếu tự nhiên (Θs)∗ → (Λs)∗ để thu được ánh xạ tuyếntính sau

ls : Γ∧s → (Λs)∗.Mệnh đề 1.20 (Singer [31]) ls là một đẳng cấu với mỗi s ≥ 0

Chứng minh Ta lấy một cơ sở của (Λs)∗ là cơ sở đối ngẫu với cơ sở chấp nhậnđược và cho nó một thứ tự từ điển ngược Như ta đã biết, tập tất cả các đơn thức

với (j1, , js) = Φ(i0, , is−1), trong đó Φ là song ánh được nhắc đến trong Bổ

đề 1.9 Đẳng thức này cho ta điều cần chứng minh

Bằng cách đồng nhất Γ∧s với (Γ∧F2)s ta thu được vi phân ∂ : Γ∧s → Γ∧

s−1 đượcđịnh nghĩa như ở công thức (1.18) Rõ ràng vi phân này thu được bằng cách hạnchế tới Γ∧s của ánh xạ ∂ : ∆s → ∆s−1 cho bởi

1 v−1s ), λk1 λks−1λ−1i

Bổ đề 1.8 cho thấy hls(vj1

1 vs−1), λ−1λk1 λks−1i = 0, do đó mệnh đề được chứngminh khi js = −1

Trường hợp 2: js6= −1

Khi đó cả vế trái và phải đều bằng nhau và bằng 0

Vậy mệnh đề được chứng minh

Bây giờ, ta gom các ánh xạ ls (s ≥ 0) để thu được ánh xạ l : Γ∧F2 → Λ∗

Mệnh

đề sau là hệ quả trực tiếp từ Mệnh đề 1.20 và 1.21

Mệnh đề 1.22 (Singer [31]) l : Γ∧F2 → Λ∗ là một đẳng cấu của các phức dâychuyền

Ta gom các ánh xạ ks (s ≥ 0) để tạo thành ánh xạ k : Γ → Θ∗, ta có mệnh đềsau đây.

Mệnh đề 1.23 (Singer [31]) k : Γ → Θ∗ là một đồng cấu của các đối đại số phânbậc

Ta sẽ trang bị cho Γ∧F2 cấu trúc của một đối đại số vi phân và chỉ ra rằng l

là một đẳng cấu của các đối đại số vi phân Ta có thể thấy là Γ∧F2 không phải làmột đối đại số con của Γ nhưng nó là một đối đại số thương của Γ Ta sẽ chỉ ranhận xét này như sau

Xét đồng cấu của các đối đại số k : Γ → Θ∗, cho k hợp thành với phép chiếu

Θ∗ → Λ∗ ta thu được đồng cấu đối đại số ¯k : Γ → Λ∗ Hạn chế của ¯k tới Γ∧ làđẳng cấu l : Γ∧ → Λ∗

Do đó nếu ta định nghĩa Γ− là không gian véctơ

Γ−= ker(¯k : Γ → Λ∗)thì ta có một phân tích tổng trực tiếp:

Γ = Γ∧⊕ Γ−.Mặt khác, ta có ¯k là một đồng cấu của các đối đại số nên Γ− là một đối iđean haiphía của Γ Do đó, bằng cách đồng nhất Γ∧ với thương Γ/Γ− ta thu được một cấutrúc đối đại số trên Γ∧, và vì ¯k là một đồng cấu đối đại số nên l cũng vậy Cuốicùng, ta nhận xét rằng Λ∗ là một đối đại số vi phân, và vì l là một đẳng cấu bảotoàn vi phân và đối tích nên Γ∧ là một đối đại số vi phân Ta có định lý sau đây.Định lý 1.24 (Singer [31]) l : Γ∧ → Λ∗ là một đẳng cấu của các đối đại số viphân

Chương 2

Dạng đại số của giả thuyết cổ

điển về các lớp cầu

2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati và dạng đại số của

giả thuyết cổ điển về các lớp cầu

2.1.1 Đồng cấu Lannes-Zarati

Cho N là một A-môđun, ta ký hiệu F (N ) là một dải thức tự do của N Ta biếtrằng các vi phân trong một dải thức tự do có song bậc là (−1, 0) Khi đó, với mỗi

k ≥ 0, T orAk(M, N ) và ExtkA(N, P ) là các không gian véctơ phân bậc ExtkA(N, P )

là nhóm đồng điều thứ k của đối phức dây chuyền HomA(F (N ), P ), nó còn đượcbiết đến như là nhóm các lớp tương đương của các dãy khớp các A-môđun xuấtphát từ P , kết thúc ở N và đi qua A-môđun trung gian (xem [37])

Với f ∈ Extr

A(N, P ) và g ∈ Extk

A(Q, N ) ta viết f ◦ g ∈ Extr+kA (Q, P ) là phéphợp thành, hay còn gọi là tích Yoneda, của g và f

Cho N , P là các A-môđun, lúc đó, N ⊗ P cũng là một A-môđun với tác độngđường chéo Nếu F (N ) và F (P ) là các giải thức tự do tương ứng của N và P thì

F (N )⊗F (P ) là giải thức A-tự do của N ⊗P (xem [4]) Khi đó, với f ∈ Extr

A(N, P )

và g ∈ ExtkA(Q, R), tích chéo của f và g được kí hiệu là f ×g ∈ Extr+kA (N ⊗Q, P ⊗R) Đặc biệt, nếu f ∈ ExtkA(N, P ) được biểu diễn bởi dãy khớp từ P đến N , kýhiệu Q là ánh xạ đồng nhất trong Ext0A(Q, Q), thì f × Q ∈ ExtkA(N ⊗ Q, P ⊗ Q)

biểu diễn bởi dãy khớp nhận được từ dãy khớp ban đầu bằng cách tensor với Q.Một mối quan hệ giữa tích chéo và tích hợp thành được cho bởi quy tắc sau.Nếu f ∈ Extr

A(N, P ) và g ∈ Extk

A(Q, R) thì (xem [21], trang 229)

f × g = (f × R) ◦ (N × g)

Gọi P1 = F2[x] với |x| = 1 Gọi ˆP ⊂ F2[x, x−1] là môđun con sinh bởi {xp | p ≥

−1} Tác động thông thường của A trên P1 được thác triển chính tắc (duy nhất)thành một A-tác động trên F2[x, x−1] (xem [3], [36]) Khi đó, ˆP là một A-môđuncon của F2[x, x−1] Ta có một dãy khớp ngắn của các A-môđun

A-tử khớp phải Gọi Dk là hàm tử dẫn xuất thứ k của D, với k ≥ 0

Giả sử M1, M2 là các A-môđun Tích cap

∩ : ExtrA(M1, M2) ⊗ Dk(M1) → Dk−r(M2),

(f, z) 7→ f ∩ z,được xác định như sau Lấy F∗(Mi) là một giải thức tự do của Mi, với i = 1, 2.Khi đó, Dk(Mi) = Hk(D(F∗(Mi))) Mỗi phần tử f ∈ Extr

A(M1, M2) xác định duynhất (sai khác một tương đương đồng luân) một ánh xạ dây chuyền F : F∗(M1) →

F∗−r(M2) Ta viết f = [F ] Gọi Z ∈ Fk(M1) là một đại diện của z ∈ Dk(M1),

ik[Z] = [1 ⊗

A Z],với Z ∈ Fk(M ) Chuyển qua đồng điều, ta thu được một đồng cấu

là các đẳng cấu bậc trong tương ứng là 1 và −1

Định nghĩa 2.2 (Lannes-Zarati [22]) Đồng cấu ϕk với bậc trong bằng 0 là đốingẫu của

ϕ∗k= Σ−1ik(1 ⊗

A α−1k )Σ : F2⊗

A Dk → T orAk(F2, Σ−kF2)

Nhận xét 2.3 Lưu ý rằng ta cũng ký hiệu bởi ϕ∗k là hợp thành của đồng cấu ϕ∗knói ở trên với đẳng cấu treo Σk: T ork,iA(F2, Σ−kF2) → T orAk,k+i(F2, F2).

Bây giờ, ta sẽ mô tả αk= ek(ΣF2) qua các đồng cấu nối

Giả sử rằng f ∈ Ext1

A(M3, M1) được biểu diễn bởi một dãy khớp ngắn của cácA-môđun 0 −→ M1 −→ M2 −→ M3 −→ 0 Ta gọi ∆(f ) : Ds(M3) → Ds−1(M1) làđồng cấu nối liên kết với dãy khớp ngắn này Ta có thể kiểm tra thấy rằng

∆(f )(z) = f ∩ z,với bất kỳ z ∈ Ds(M3)

Bước 1 Theo Định lý 2.1, ek(Σ2F2) : Dk(Σ2−kF2) → Σ2Dk là một đẳng cấu.

Từ định nghĩa, ta có biểu đồ giao hoán

Giả sử k = p + q

(a) Ánh xạ đường chéo thông thường ∆ : Dk → Dp ⊗ Dq cảm sinh ánh xạđường chéo

∆ : Σ2Dk → ΣDp⊗ ΣDq.(b) Gọi M, N là hai A-môđun trái và F∗(M ), F∗(N ) là hai giải thức tự dotương ứng Khi đó, F∗(M ) ⊗ F∗(N ) là giải thức tự do của M ⊗ N Ta có thể chọn

F∗(M ⊗ N ) = F∗(M ) ⊗ F∗(N ) Chuyển qua hàm tử dẫn xuất D∗ ta thu được ánh

∆p−i,q−j : Dk−(i+j)(Σ2Pi+j) → Dp−i(ΣPi) ⊗ Dq−j(ΣPj)

Ta khẳng định rằng

(f ⊗ g) ∩ ∆p,q(x) = ∆p−i,q−j[(f ⊗ g) ∩ x]

trong Dp−i(ΣPi) ⊗ Dq−j(ΣPj) với f ∈ ExtiA(Σ1−iF2, ΣPi), g ∈ ExtjA(Σ1−jF2, ΣPj)

2.1.2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu

Nguyễn H V Hưng đã đưa ra dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớpcầu trong [11] như sau:

Giả thuyết 2.5 (Hưng [11]) Đồng cấu Lannes-Zarati

ϕk : Extk,k+iA (F2, F2) → P (F2 ⊗

GL k

H∗(BVk))ibằng 0 tại mọi phần tử có gốc i dương với k > 2

Giả thuyết 2.5 đã được Nguyễn H V Hưng chứng minh cho k = 3 trong [11]

và k = 4 trong [14]

Trong [12], Nguyễn H V Hưng đã đưa ra giả thuyết sau:

Giả thuyết 2.6 (Hưng [12]) Nếu q ∈ Dk+, thì [q] = 0 trong T orAk(F2, F2), với

k > 2

Giả thuyết 2.6 đã được Nguyễn H V Hưng chứng minh cho k = 3 trong [12]

Ta sẽ sử dụng công thức (2.3) để xây dựng một biểu diễn cấp độ dây chuyềncủa αk Đồng thời, ta cũng sẽ chỉ ra sự tương đương giữa hai Giả thuyết 2.5 và2.6

2.2 Biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu

của đồng cấu Lannes-Zarati

Giả sử M là một A-môđun trái phân bậc Ta gọi B∗(M ) là giải thức bar của

với I là iđêan bổ sung của A và tích tensor lấy trên F2 Môđun B∗(M ) = ⊕kBk(M )

là một môđun song bậc, một phần tử a0⊗ a1⊗ · · · ⊗ ak⊗ x của B∗(M ) được gánbởi bậc đồng điều k và bậc trong Pk

i=0deg(ai) + degx

Vi phân dk: Bk(M ) → Bk−1(M ) được xác định bởi

Giả sử N là một A-môđun phải phân bậc Khi đó, vì giải thức bar là một giảithức tự do nên ta có

k Do vậy, bổ đề đượcchứng minh.

triệt tiêu trên Γk⊂ ∆k, với 1 ≤ p < k

Chứng minh Ta xét ánh xạ đường chéo ψ : ∆k → ∆p−1⊗ ∆2⊗ ∆k−p−1 xác địnhbởi công thức

Chứng minh Trước tiên ta thấy rằng Sqjk +1(Σ1−k1) = 0 với mọi jk≥ 0 Từ nhậnxét đó và từ định nghĩa của vi phân trên giải thức bar ta có

Theo Mệnh đề 1.6, ta có ψ(Γk) ⊂ Γs⊗ Γk−s Mặt khác, vì q ∈ Dk⊂ Γk, ta suy raP

F2) Ta kí hiệu d là vi phân trong B∗(Σ1−k

F2), ta cód(X

Chứng minh Ta sẽ sử dụng công thức sau để tính αk

αk = ∆(e1(ΣF2) ⊗ Pk−1) ◦ · · · ◦ ∆(e1(Σ3−kF2) ⊗ P1) ◦ ∆e1(Σ2−kF2)

= δk δ1.Trong đó δs= ∆(e1(Σ1−k+sF2) ⊗ Ps−1)

Xét dãy khớp ngắn biểu diễn cho e1(Σ2−kF2)

J

Sqj1 +1⊗ · · · ⊗ Sqj k +1⊗ Σ2−kx−1k ∈ EB∗(Σ2−kP ),ˆ

trong đó P1 = F1[xk], ˆP = Span{xik | i ≥ −1} Biên của phần tử này trong

EB∗(Σ2−kP ) được kéo ngược bởi i tới một chu trình trong EBˆ ∗(Σ2−kP1), mà chutrình này biểu diễn δ1[˜q] Điều này có nghĩa là

trong đó đẳng thức cuối cùng suy ra từ Bổ đề 3.5

Tương tự như vậy, δ2 : Hk−2(EB∗(Σ2−kP1)) → Hk−3(EB∗(Σ3−kP2)) là đồngcấu nối được cảm sinh từ dãy khớp ngắn biểu diễn e1(Σ3−k