PHÒNG GIÁO D CĐÀO T OỤ Ạ Đ THI CH N H C SINH GI I C P HUY NỀ Ọ Ọ Ỏ Ấ Ệ Đ C PHỨ Ổ NĂM H C 2015 2016Ọ Đ CHÍNH TH C Ề Ứ MÔN TOÁN L P 7 Ớ Th i gian 120 phútờ (không k th i gian giao đ ) ể ờ ề Ngày th[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO D CĐÀO T OỤ Ạ Đ THI CH N H C SINH GI I C P HUY NỀ Ọ Ọ Ỏ Ấ Ệ
Đ C PHỨ Ổ NĂM H C 2015 2016Ọ
Đ CHÍNH TH C Ề Ứ
MÔN: TOÁN L P 7 Ớ
Th i gian: 120 phútờ (không k th i gian giao đ ) ể ờ ề Ngày thi: 10/4/2016
Câu 1: (5 đi m) ể
a) Tính giá tr bi u th c P = ị ể ứ 1 1
2014 2016
a− + −a , v i ớ 1
2015
a= .
b) Tìm s nguyên x đ tích hai phân s ố ể ố 6
1
x+ và
1 3
x−
là m t s nguyên. ộ ố
Câu 2: (5 đi m) ể
a) Cho a > 2, b > 2. Ch ng minh ứ ab a b> + b) Cho ba hình ch nh t, bi t di n tích c a hình th nh t và di n tích c a hình th hai t lữ ậ ế ệ ủ ứ ấ ệ ủ ứ ỉ ệ
v i 4 và 5, di n tích hình th hai và di n tích hình th ba t l v i 7 và 8, hình th nh t và hình thớ ệ ư ệ ứ ỉ ệ ớ ứ ấ ứ hai có cùng chi u dài và t ng các chi u r ng c a chúng là 27 cm, hình th hai và hình th ba có cùngề ổ ề ộ ủ ứ ứ chi u r ng, chi u dài c a hình th ba là 24 cm. Tính di n tích c a m i hình ch nh t đó.ề ộ ề ủ ứ ệ ủ ỗ ữ ậ
Câu 3: (3 đi m) ể
Cho ∆DEF vuông t i D và DF > DE, k DH vuông góc v i EF (H thu c c nh EF). G i M làạ ẻ ớ ộ ạ ọ trung đi m c a EF. ể ủ
a) Ch ng minh ứ MDH E Fﾷ = −ﾷ ﾷ b) Ch ng minh EF DE > DF DH ứ
Câu 4: (2 đi m) ể
Cho các s ố 0< <a1 a2 < <a3 <a15. Ch ng minh r ng ứ ằ 1 2 3 15
5
+ + + + <
+ +
Câu 5: (5 đi m) ể
Cho ∆ABC có ﾷA=1200. Các tia phân giác BE, CF c a ủ ﾷABC và ﾷACB c t nhau t i I (E, F l nắ ạ ầ
lượt thu c các c nh AC, AB). Trên c nh BC l y hai đi m M, N sao cho ộ ạ ạ ấ ể ﾷBIM CIN=ﾷ =300
a) Tính s đo c a ố ủ ﾷMIN
b) Ch ng minh CE + BF < BCứ
H tế
Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ộ ả
Trang 2PHÒNG GDĐT Đ C PH Đ THI H C SINH GI I C P HUY NỨ Ổ Ề Ọ Ỏ Ấ Ệ
MÔN: TOÁN L P 7Ớ
Đ CHÍNH TH C NĂM H C 2015 2016Ề Ứ Ọ
HƯỚNG D N CH MẪ Ấ
1
2.5 đ
a) Tính giá tr bi u th c P = ị ể ứ 1 1
2014 2016
a− + −a , v i ớ 1
2015
Thay 1
2015
a= vào bi u th c P = ể ứ 1 1 1 1
2015 2014− + 2015 2016−
Ta có P 1 1 1 1
2014 2015 2015 2016
P 1 1
2014 2016
P 2016 2014 2
2014.2016 2014.2016
−
P = 1 1
1007.2016 2030112=
0.25 0.5 0.5
0.5 0.5 0.25
2.5 đ
b) Tìm s nguyên x đ tích hai phân s ố ể ố 6
1
x+ và
1 3
x−
là m t s nguyên.ộ ố
Đ t A = ặ 6
1
x+ .
1 3
x−
= 2
1
x+ .
1 1
x−
2( 1)
1
x x
−
= +
2 2 1 2( 1) 4 1 4 2 1
x x x x x
−
= + + −
= +
= −
+
Đ A nh n giá tr nguyên thì x + 1 là (4) = ể ậ ị Ư { 1; 2; 4}
Suy ra x {0; 2;1; 3;3; 5− − − }
0.25 0.25 0.25
0.25 0.5
2
2đ
2. a) Cho a > 2, b > 2. Ch ng minh ứ ab a b> +
T ừ 2 1 1
2
a
a
> � <
2 1 1
2
b
b
> � <
0.5 0.5 0.5
Trang 3Suy ra 1 1 1
a b+ < a b 1
ab+ <
�
V y ậ ab a b> +
0.5
3đ
b) Cho ba hình ch nh t, bi t di n tích c a hình th nh t và di n tích c a hìnhữ ậ ế ệ ủ ứ ấ ệ ủ
th hai t l v i 4 và 5, di n tích hình th hai và di n tích hình th ba t l v i 7ứ ỉ ệ ớ ệ ư ệ ứ ỉ ệ ớ
và 8, hình th nh t và hình th hai có cùng chi u dài và t ng các chi u r ng c aứ ấ ứ ề ổ ề ộ ủ chúng là 27 cm, hình th hai và hình th ba có cùng chi u r ng, chi u dài c aứ ứ ề ộ ề ủ hình th ba là 24 cm. Tính di n tích c a m i hình ch nh t đó.ứ ệ ủ ỗ ữ ậ
G i di n tích ba hình ch nh t l n lọ ệ ữ ậ ầ ượt là S S S , chi u dài, chi u r ng1, ,2 3 ề ề ộ
tương ng là ứ d r d r d r theo đ bài ta có1 1, ; , ; ,2 2 3 3 ề
1 2
4; 7
S = S = và d1 =d r r2; 1+ =2 27;r2 =r d3, 3 =24
Vì hình th nh t và hình th hai cùng chi u dài ứ ấ ứ ề
1 1 1 2 1 2
3
+
Suy ra chi u r ng ề ộ r1 =12 ,cm r2 =15cm
Vì hình th hai và hình th ba cùng chi u r ng ứ ứ ề ộ
3
2
7
21
d
V y di n tích hình th hai ậ ệ ứ 2
2 2 2 21.15 315
Di n tích hình th nh t ệ ứ ấ 2
4 4.315 252
5 5
Di n tích hình th ba ệ ứ 2
8 8
.315 360
7 7
0.5 0.5
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 3đ Cho ∆DEF vuông t i D và DF > DE, k DH vuông góc v i EF (H thu c c nhạ ẻ ớ ộ ạ EF). G i M là trung đi m c a EF. ọ ể ủ
a) Ch ng minh ứ MDH E F? = −? ? Hình v đúng, chính xác ẽ
Vì M là trung đi m c a EF suy ra MD = ME = MFể ủ ∆MDE cân t i M ạ ﾷE MDE=ﾷ
Mà ﾷHDE F=ﾷ cùng ph v i ụ ớ ﾷE
Ta có ﾷMDH MDE HDE=ﾷ −ﾷ
V y ậ ?MDH E F= −? ? b) Ch ng minh EF DE > DF DH ứ
Trên c nh EF l y K sao cho EK = ED, trên c nh DF l y I sao cho DI = DHạ ấ ạ ấ
Ta có EF DE = EF EK = KF
DF DH = DF DI = IF
Ta c n ch ng minh KF > IFầ ứ
EK = ED ∆DHK ﾷEDK EKD=ﾷ ﾷEDK KDI EKD HDK+ﾷ =ﾷ +ﾷ =900
KDI HDKﾷ = ﾷ
0.5 0.25 0.25
0.25 0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
Trang 4KID DHKﾷ = ﾷ =900
Trong ∆KIF vuông t i I ạ KF > FI đi u ph i ch ng minhề ả ứ
0.25
0.25 4
(2đ) Cho các s ố 0 1 2 3 15
< < < < <
Ch ng minh r ng ứ ằ 1 2 3 15
5
+ + + + <
+ +
Ta có a a1+ + + + <2 a3 a4 a5 5a5
a6+ + + +a7 a8 a9 a10 <5a10
a11+a12+a13+a14+a15 <5a15
Suy ra a a1+ +2 +a15 <5(a5+a10+a15)
V y ậ 1 2 3 15
5
+ + + + <
+ +
0.5 0.5
0.5 0.5
5
(5đ)
Câu 5: (5 đi m) ể
Cho ∆ABC có ﾷA=1200. Các tia phân phân giác BE, CF c a ủ ﾷABC và ﾷACB
c t nhau t i I (E, F l n lắ ạ ầ ượt thu c các c nh AC, AB). Trên c nh BC l y hai đi mộ ạ ạ ấ ể
M, N sao cho ﾷBIM CIN= ﾷ =300
a) Tính s đo c a ố ủ ﾷMIN
b) Ch ng minh CE + BF < BCứ
V hình đúng, đ , chính xác.ẽ ủ
a) Tính s đo c a ố ủ ﾷMIN
Ta có ﾷABC + ﾷACB = 1800 ﾷA = 600
ﾷ1 1ﾷ 300
2B+2C=
ﾷ 1500
Mà ﾷBIM CIN=ﾷ =300
ﾷ 900
b) Ch ng minh CE + BF < BCứ
ﾷBIC=1500 ﾷFIB EIC= ﾷ =300
Suy ra ∆BFI = ∆BMI ( gcg) BF = BM
∆CNI = ∆CEI ( gcg) CN = CE
Do đó CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC
Vây CE + BF < BC
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25
0.5 0.5 0.5 0.25 0.25
M t bài toán có th có nhi u cách gi i khác n u đúng và phù h p đ u đ t đi m t i đa ộ ể ề ả ế ợ ề ạ ể ố Giám kh o c n th o l ân, th ng nh t đáp án và bi u đi m tr ả ầ ả ụ ố ấ ể ể ướ c khi ch m. ấ
PHÒNG GDĐT Đ C THỨ Ọ Đ THI H C SINH GI I NĂM H C 20092010Ề Ọ Ỏ Ọ
MÔN TOÁN L P 7Ớ (Th i gian làm bài: 120 phút)ờ
Trang 5Câu 1. Tìm giá tr n nguyên d ng:ị ươ
a) 1 .81 3
27 n = n
; b) 8 < 2n < 64 Câu 2. Th c hi n phép tính:ự ệ
( 1 1 1 1 ) 4 3 5 7 49
8 8.15 15.22 43.50 217
− − − − −
Câu 3. Tìm các c p s (x; y) bi t:ặ ố ế
=
x y a) vﾵ xy = 405
1+5y 1+7y 1+9y b)
Câu 4. Tìm giá tr nh nh t ho c l n nh t c a các bi u th c sau :ị ỏ ấ ặ ớ ấ ủ ể ứ
a) A = x 5 + + 5 b) B =
2 2
x 17
x 7
+ +
Câu 5. Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC l y các đi m M và N sao cho BM = MN = NC. Quaấ ể
đi m M k để ẻ ường th ng song song v i AB c t AN t i I. ẳ ớ ắ ạ
a) Ch ng minh:ứ I là trung đi m c a ANể ủ
b) Qua K là trung đi m c a AB k để ủ ẻ ường th ng vuông góc v i đẳ ớ ường phân giác góc ACB c tắ
đường th ng AC t i E, đẳ ạ ường th ng BC t i F. Ch ng minh AE = BFẳ ạ ứ
Trang 6ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG D N CH M TOÁN 7Đ C THẪ Ấ Ứ Ọ
Câu 1. Tìm giá tr n nguyên d ng:ị ươ
a) (2đi m) ể 1 .81 3
27 n = n; => 34n3 = 3n => 4n – 3 = n => n = 1 b) (2đi m) ể 8 < 2n < 64 => 23 < 2n < 26 => n = 4, n = 5
Câu 2. Th c hi n phép tính: (3đi m) ự ệ ể
8 8.15 15.22 43.50 217
− − − − −
= 1 (1 1 1 1 1 1 1 1 5 (1 3 5 7 49) ).
− + + + + +
= 1 (1 1 5 (12.50 25) 1 49 5 625 ). . . 7.7.2.2.5.31 2
7 50 217 7 50 7.31 7.2.5.5.7.31 5
Câu 3. Tìm các c p s (x; y) bi t:ặ ố ế
(2đi m)ể a) x = y vﾵ xy = 405
x y xy 405 9
25 = 81 = 5.9 = 45 =
=> x2 = 9.25 = 152 => x = 15
=> y2 = 9.81 = 272 => y = 27
Do x, y cùng d u nên:ấ
x = 15; y = 27 và x = 15; y = 27
(2đi m)ể b) 1+5y = 1+7y = 1+9y
Áp d ng tính ch t dãy t s b ng nhau ta có:ụ ấ ỉ ố ằ
1+5y 1+7y 1+9y 1 9y 1 7y 2y 1 7y 1 5y 2y
=> 2y 2y
5x 7x 24 =
− − => 5x = 7x – 24 => x = 2
Thay x = 2 vào trên ta được:
1 5y y
24 5
− => 5 25y = 24 y => 49y = 5 => y =
5 49
−
V y x = 2, y = ậ 5
49
− tho mãn đ bàiả ề
Câu 4. Tìm giá tr nh nh t ho c l n nh t c a các bi u th c sau: ị ỏ ấ ặ ớ ấ ủ ể ứ
a) (2đi m) ể A = x 5 + + 5
Ta có : x 5 + 0. D u “=” x y ra ấ ẩ x = 5. A 5
V y: Min A = 5 ậ x = 5.
Trang 7b) (2đi m)ể B =
2 2
x 17
x 7
+
2
x 7 10
x 7
+ + + = 1 + 2
10
x + 7
Ta có: x2 0. D u = x y ra ấ ả x = 0 x2 + 7 7 (2 v dế ương)
2
10
x + 7
10
7 => 1 + 2
10
x + 7 1 +
10
7 B
17 7
D u “=” x y ra ấ ả x = 0
V y: Max B = ậ 17
7 x = 0.
Câu 5.
a) (3đi m)ể T I k đừ ẻ ường th ng // BC c t AB t i H. N i MH.ẳ ắ ạ ố
Ta có: ∆BHM = ∆IMH vì:
BHM IMH ﾷ = ﾷ (so le trong)
BMH IHM = (so le trong)
C nh HM chung =>BM = IH = MN ạ
∆AHI = ∆IMN vì:
IH = MN (k t qu trên)ế ả
AHI IMN ( ABC) ﾷ = ﾷ = ﾷ
AIH INM ﾷ = ﾷ (đ ng v )ồ ị
=> AI = IN (đpcm)
b) (2đi m) ể T A k đừ ẻ ường th ng song song v i BC c t EF t i P. ẳ ớ ắ ạ ∆PKA = ∆FKB vì:
PKA FKB ﾷ = ﾷ (đ i đ nh)ố ỉ
APK BFK ﾷ = ﾷ (so le trong)
AK = KB (gt)
=> AP = BF (1)
EPA KFC ﾷ = ﾷ (đ ng v )ồ ị
CEF KFC ﾷ = ﾷ (∆CFE cân)
=> EPA CEF ﾷ = ﾷ => ∆APE cân
=> AP = AF (2). T (1) và (2) => AE = BF (đpcm)ừ
A
B
H
I
P K
F B
A E
C
Trang 8PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẬU LỘC
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2013-2014 Môn thi: Toán Lớp 7 THCS
Ngày thi: 07 tháng 4 năm 2014
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang
Câu 1(5 đi m): ể
a) Cho bi u th c: P = x 4xy + y. Tính giá tr c a P v i ể ứ ị ủ ớ x =1,5; y = 0,75
b) Rút g n bi u th c: ọ ể ứ ( )
6
2 3 4 81 A
2 3 8 3
−
=
+
Câu 2 (4đi m): ể
a) Tìm x, y, z, bi t:ế
2x = 3y; 4y = 5z và x + y + z = 11
b) Tìm x, bi t: ế x+ + + + + =1 x 2 x 3 4x
Câu 3(3 đi m) ể Cho hàm s : y = f(x) = 4xố 3 + x
a) Tính f(0), f(0,5)
b) Ch ng minh: f(a) = f(a).ứ
Câu 4: (1,0 đi m) ể : Tìm c p s nguyên (x;y) bi t: x + y = x.y ặ ố ế
Câu 5(6 đi m): ể Cho ∆ABC có góc A nh h n 90ỏ ơ 0. V ra ngoài tam giác ABC các tam giác ẽ vuông cân t i A là ạ ∆ABM và ∆ACN
a) Ch ng minh r ng: ứ ằ ∆AMC = ∆ABN;
b) Ch ng minh: BN ứ ⊥ CM;
c) K AH ẻ ⊥BC (H BC). Ch ng minh AH đi qua trung đi m c a MN. ứ ể ủ
Câu 6 (1 đi m) ể :Cho ba s a, b, c thõa mãn: ố 0 a b+1 c+2 và a + b + c = 1. Tìm giá tr ị
nh nh t c a c.ỏ ấ ủ
H tế
Chú ý: Giám th không gi i thích gì thêm ị ả
H c sinh không đ ọ ượ c dùng máy tính.
S báo danhố
… ……
Trang 9PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO Ụ
HUY N H U L CỆ Ậ Ộ
HƯỚNG D N CH M Đ THI H C SINH GI I TOÁN 7Ẫ Ấ Ề Ọ Ỏ
NĂM H C 20132014Ọ
Câu 1
(5đi m) ể
a) Ta có: x =1,5�x=1,5ho c x = 1,5ặ +) V i x = 1,5 và y = 0,75 thì ớ
P = 1,5 4.1,5(0,75) 0,75 = 1,5(1 + 3) = 6 0,75 = 5,25 +) V i x = 1,5 và y = 0,75 thìớ
P = 1,5 4(1,5).(0,75) 0,75 = 1,5(1+3) 0,75 = 6,75
1,5 1,5
6
2 3 4 81 A
2 3 8 3
−
=
+ =
2 3 2 3 2 3 (3 1) 1
2 3 2 3 2 3 (3 1) 3
Câu 2
(4 đi m) ể
3 2 5 4 15 10 10 8
15 10 8 15 10 8 33 3
x = 5; y = 10
3 ; z = 8
3
1
1
b) x+ + + + + =1 x 2 x 3 4x (1)
Vì VT 0 4x 0 hay x 0, do đó:
x+ = +x x+ = +x x+ = +x
(1) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x x = 6
1 1
Câu 3
(3đi m) ể
a) f(0) = 0 f(0,5) = 4.(1
2)3 1
2 = 1 1 0
2 2− =
1 1
b) f(a) = 4(a)3 a = 4a3 a
f(a) = ��−4a3+a�� = 4a3 a f(a) = f(a)
0,5 0,5
Trang 10y
y
−
vì x z� �y yM −1� y− +1 1My−1�1My−1 ,
do đó y 1 = 1 �y=2 ho c y = 0 ặ
N u y = 2 thì x = 2ế
N u y = 0 thì x = 0ế
V y các c p s nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2)ậ ặ ố
0,5
0,5 Câu 5
ABN, có:
AM = AB (∆AMB
vuông cân)
AC = AN (∆ACN
vuông cân)
MAC = NAC ( = 900 + BAC)
Suy ra ∆AMC = ∆
ABN (c g c)
D
K I
H
E F
A M
N
1,0 1,0
0,5
b) G i I là giao đi m c a BN v i AC, K là giao đi m c a BN v i ọ ể ủ ớ ể ủ ớ
MC
Xét ∆KIC và ∆AIN, có:
ANI = KCI (∆AMC = ∆ABN)
AIN = KIC (đ i đ nh)ố ỉ
IKC = NAI = 900, do đó: MC ⊥ BN
1 1 0,5 c) K ME ẻ ⊥ AH t i E, NF ạ ⊥AH t i F. G i D là giao đi m c a MN ạ ọ ể ủ
và AH
Ta có: BAH + MAE = 900(vì MAB = 900)
L i có ạ MAE + AME = 900, nên AME = BAH
Xét ∆MAE và ∆ABH , vuông t i E và H, có:ạ
AME = BAH (ch ng minh trên)ứ
MA = AB
Suy ra ∆MAE = ∆ABH (c nh huy ngóc nh n) ạ ề ọ
ME = AH
Ch ng minh tứ ương t ta có ự ∆AFN = ∆CHA
FN = AH
Xét ∆MED và ∆NFD, vuông t i E và F, có:ạ
ME = NF (= AH)
EMD = FND(ph v i ụ ớ MDE và FDN, mà MDE =
FDN) ∆MED = ∆NFD BD = ND
0,25 0,25
0,25 0,25