đề thi thử - luyện thi đại học môn toán các khối a,b,d ( có đáp án)

Goi M là trung điểm của đoạn thắng A°C”, I là giao điểm của AM và A°C.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 2; 0 là trung điểm của cạnh AB.. Xác định tọa độ điểm D t

NĂM HỌC: 2010-2011 Môn thi : TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT(không kể thời gian giao dé)

Câu I:(2 điểm)

2 Giai phuong trinh: (2 — log, x log 9x 3- ———— = 1 1-log,;x

Câu III: (2 điểm)

sin 2xdx 1.Tính nguyên hàm: F(x) = J 3+4sinx-cos2x

2.Giai bat phuong trinh: Vx -1—Vx-2 >Vx-3

Cau IV: (1 diém)

Trong mặt phăng Oxy cho tam giác ABC có trọng tam G(—2, 0) biét phuong trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14=0; 2x + 5y —2=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Chú ý:Thí sinh chỉ được chọn bài làm ở một phần nếu làm cả hai sẽ không được chấm

A Theo chương trình chuẩn

Câu Va :

1 Tìm hệ số của xŸ trong khai triển (x” + 2)", biết: A3 — 8C? + CÌ = 49

2 Cho đường tròn (C): xŸ + yˆ— 2x + 4y + 2= 0

Viết phương trình đường tròn (C') tam M(5, 1) biết (C) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = M3

B Theo chương trình Nâng cao

Cau Vb:

2

1 Giải phương trinh : log;(x ~ 1) + log „(2x ~ 1) =2

2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tam O, SA vuông góc với đáy hình chóp

Cho AB=a, SA =a/2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD

Chứng minh SC L (AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

e Sự Biến thiên: y' = ——Ở « 0VxeD (@z+1ŸƑ

Nên hàm số nghịch biến trên (—œ; — 2)Y4( x +00)

Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là a(- +)

Phương trình tiếp tuyến (A) qua A có dạng y = (x + |

x +1 =k (s + ;)

=k có nghiệm (2 + 1

=X#! Íx+T]] q 2x+l 2

-3

sas › sin2x cos2x

1 Giải phương trình: ——— + — =tgx—cotgx (1)

cos2xcosx+sin2xsinx _ sinx cosx

Hess sin x cosx cosx sinx

cos(2x —x) — sin” x— cos” x

sin x cosx sin x cosx

2cos’ x +cosx—-1=0A sin2x #0

= 008x => (cosx =—I:loai vi sinx #0) 0,25

Ta có F(x)= 3+4sin x—(I—2sinˆ x) : 2 =| 2sinˆ x+4sinx+2 7) : 0,25

Vi G(—2, 0) là trọng tâm của AABC nên

3ÿyo =YA +Yp +Yc Yp+Yc=~2

Gọi H' là trung điểm của A'B'

= BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

=> AH vuông góc với (SBC) —> AH vuông goc SC (1)

+ Tương tự AK vuông góc SC (2) (1) và (2) >S§C vuông góc với (AHK ) 0,25

SB? = AB’ + SA? =3a* > SB =ay3

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tai A)

0,25

Ta có HK song song với BD nên HK 5H =HK= 2av2 :

kẻ OE// SC => OE (AHK)(doSC L (AHK)) suy ra OE là đường cao của | 0,5

hình chóp OAHK va OE=1/2 IC=1/4SC = a/2

Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có 0,25

cos(2x -x) sin” xX—€os“ x

©—————— =— sin x COS xX sin x cos x

© cosx =—cos2x A sin2x #0

2cos’ x +cosx—1=0A sin2x 0

ecosx= 1 (cosx =—1 :loai vi sinx #0)

Tọa độ A là nghiệm của hệ 1 — 0 © f — » => AC-4, 2)

Vì G(—2, 0) là trọng tâm của AABC nên

2 (Ban doc tu vé hinh)

+BC vuông góc với (SAB)

= BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

=> AH vuông góc với (SBC) > AH vuông góc SC (1)

+ Tương tự AK vuông góc SC (2)

(2) và (2) >SC vuông góc với (AHK )

SB’ = AB? +SA? =3a’ > SB =ay3

AH.SB = SA.AB = AH= ~~ = SH= san =SK= 2a

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

Ta có HK song song với BD nên HK = SH => HK= 2a2 -

Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có

V, OAHK =-~OA.S.e=———.-HK.AM=—— 3 AHK 3 2 2 21

Cách khác:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

A= O (0:0:0), B(a;0:0), C( a:a:0), D(0:a:0), S (0:0; a/2 )

Caulk

1 Khao sat (Ban doc tu lam)

2 Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là a(-}.0)

Phương trình tiếp tuyến (A) qua A có dạng y = th + 5)

—x+l =kÍx+ 1

£ X41) —k có nghiệm

2 Phương trình đường tròn (C): x? + y— 2x + 4y + 2 = 0 có tam I(1, -2) R = V3

Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB L IM tại trung điểm H của đoạn AB Ta có AH=BH=ÂB_~ 3 2 2

Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tam I

Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB

Gọi H' là trung điểm của A'B'

Ta co: IH'=1H = VIA*— AH? =, /3-|

Ta có: RỆ = MA? =AH?+MH? =Š+ 2= S2 =13 4.4 4

RỆ=MA2=A'H2+MH°=Š ° 4 + 169 _ 17? _43 4 4

Vậy có 2 đường tròn (C9 thỏa ycbt là: (x — 5)? + (y— 1)? = 13

hay (x~ 5)” + (y- I”=43

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); Œ+^/2 :0) (C’)

2 x?lx?—2Ì =m 2x?| xˆ — 2| = 2m (*)

(*) là phương trình hoành độ giao điêm của (C)) :

y= 2x”lx”—2| và (đ): y= 2m

Ta co (C’) =(C); néux <-V2 hay x >2

(C) đối xứng với (C) qua trục hoành nếu -/2 <x< 2

Theo đồ thị ta thầy ycbt © 0 <2m< 2 © 0< m< I 5

° Ssinx +> sin 3x +3 cos3x =2cos4x 425m siSx

©sin3x + ¥3cos3x = 2cos4x

° Loin 3x+ X3 say =cos4x

L=-

lacy x+IỊ

Ta có: `

2 3 v- ideas _ 1 94° aV3 _9a°

A=3(xt+y!+x’y?)-2(x? +y?)+1=3[ (x? +7)? —x’y? ]-207 +97) +1

2a[ oc ey Capa ayy

5(x-y) =-x+7y y=5xid,

Phương trình hoành độ giao điểm của dị và (C) : (x— 2)” + (— 2x)” =

2 THI: (P)//CD.Tacé : AB=(-3;-1;2),CD =(-2;4;0)

Pt mat phẳng (Q) qua A va // (P) : 1(x + 3) —2(y—0) + 2(z— 1) =0

©x—~2y+2z + I =0 Gọi A là đường thang bat ky qua A

Gọi H là hình chiêu của B xuông mặt phăng (Q) Ta có :

d(B, A) = BH; d (B, A) dat min < A qua A và H

x=l*+t

Pt tham số BH:4 y=—I—2t

z=3+2t Tọa độ H = BH ñ (Q) thỏa hệ phương trình :

© 2x’—mx-—1=0 (*) (vì x=0 không là nghiệm của (*))

Vi a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt # 0

Do đó đồ thị và đường thăng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B

AB = 4© (xg — xA)” + [(xg + m) — (-xA + m)]Ÿ = 16 © 2(xg — xA)” = l6

m°+8

Hắt

17

ĐÈ THỊ TUYẾN SINH ĐẠI HỌC KHÔI D NĂM 2009

Môn thi : TOÁN PHAN CHUNG CHO TÁT CẢ THÍ SINH

Câu I (2,0 điểm)

Cho ham sé y= x*— (3m + 2)x? + 3m có đồ thị là (C„), m là tham só

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

2 Tìm m đề đường thắng y = -I cắt đồ thị (C„) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

CAu III (1,0 diém) Tính tích phân I= Is ; ee

Câu IV (7,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ co day ABC 1a tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Goi M là trung điểm của đoạn thắng A°C”, I là giao điểm của AM và A°C Tính theo a thể tích khối tứ diện [ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Câu V (1,0 diém).Cho cac số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x” + 3y)(4y” + 3x) + 25xy

PHAN RIENG (3,0 điển)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phan (phan A hodc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VILa (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x — 2y— 3 = 0 và 6x — y

~4=0 Viết phương trình đường thắng AC

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z-— 20 =0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thắng AB sao cho đường thắng CD song song với mặt phẳng (P)

Câu VIH.a (7,0 điển) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tim tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z~— (3 — 4i)| = 2

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VILb (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toa dé Oxy, cho đường tròn (C) : (x — 1)” + yŸ = 1 Goi I là tâm của (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho [MO= 300

18

x2 = = = ' và mặt phẳng (P): x + 2y~ 3z + 4 =0 Viết phương trình đường thắng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thắng A

Cau VII.b (1,0 diém)

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thắng A:

Tìm các giá trị của tham sô m dé đường thăng y = -2x + m căt đô thị hàm sô y = x +x tai hai diém phan biét A, B sao cho trung điểm của đoạn thắng AB thuộc trục tung

]BÀI GIẢI GỢI Ý

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); đœ&⁄2 30)

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C„) và đường thang y = -1 1a

Câu II 1) Phương trình tương đương :

A3 cos5x — (sin 5x + sin x) — sỉn x =0 <> V3 cos5x —sin5x = 2sinx

-© V3 oo55x— sin 5x =sinx © sin| 2—5x |=sinx

AC? =9a?—4a? =5a? = AC = a5

BC” =5a”— ad” =4a” > BC =2a

H là hình chiếu của I xuống mặt ABC

Vậy d(A,IBC) =Š/2øc „j4, 3 2a _ 2av5 Sine 9 2@V5 V5 5

CâuV S=(4x7+3y)(4y + 3x) + 25xy = 16x y + 12(xÌ + y`) + 34xy

= 16x 2y) + 12[(x + y)’ — 3xy(x + y)] + 34xy = I6x?y + 12(1 — 3xy) + 34xy

z=2t DeAB<D(2-t;I+t;2t)

CD =(I~t;t;2t) Vì C £ (P) nên : CD//(P) © CD L nø;

Câu VI.b.1 (x— 1)°+yˆ= 1 Tâm1I(1;0);R =1

Ta cé IMO = 30°, AOIM cân tại I=> MOI = 300

Ta có thể giải bằng hình học phẳng

Ol=1, 10M = IMO = 30°, do đối xứng ta sẽ có M,

2 điểm đáp án đối xứng với Ox

H là hình chiếu của M xuống OX

Tam gidc OM,H là nửa tam giác đều

d diqua A và có VTCP a, =|a,„n |=(—k2;)) nên pt đ là :

x+3_y-l_z-I

-l 2 1

Cau VILa Gọi z = x + yi Ta có z— (3~— 4i) =x—3 + (y + 4)i

Vậy lz—(3- 4i Ì=2 © (x3) +(y+ 4) =2 & (x- 37 + (y +4) =4

Do đó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tron tam I (3; -4) va ban kinh R = 2 Câu VII.b pt hoành độ giao điểm là : xtxel =-2x+m (1)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYẾN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009

—Tm=reererr=ee===e=========== Môn thi: TOÁN; Khôi: A

ĐÈ CHÍNH THÚC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phat dé PHAN CHUNG CHO TÁT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):

Câu I (2,0 điểm)

x+2 ( 1) 2x+3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toa độ O

Câu V (1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y +z) = 3yz, ta có:

(x+y} +(x+z) +3(x+y)(x+z)(y+z)< 5(y+z)

PHẢN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chí được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

I Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai

đường chéo AC và BD Điểm M(I; 5) thuộc đường thắng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thắng A :x+y—5 =0 Viết phương trình đường thăng AB

22

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S) ix? +y? +z? —2x—4y—6z-11=0 Chimg minh rang mat phang (P) cat mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó

Câu VII.a (1,0 điểm)

Gọi z¡ và Z¿ là hai nghiệm phức của phương trình z” + 2z + 10 = 0 tính giá trị của biểu thức 4 = |z„|” + |z¿|”

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hé toa độ Oxy, cho đường tròn (C): x?+y? +4x+4y+6 =0 và đường thắng

A:x+my~2m+3=0, với m là tham số thực Goi I ld tam của đường tròn (C) Tìm m đề A cắt (C)

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác [AB lớn nhất

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz„, cho mặt phẳng (P) :x—2y+2z-1=0 và hai đường thắng

Ñ)IẾPh l _Z 1 HÀ, CÀ _J=5,_Z-LÍ, mục dụnảiTosiđđiễn07M-Hmifg;ltững Hãng ,A: H88 1 1 67° 2 > 1 -2 cho khoảng cách từ M đến đường thắng A; và khoăng cách từ M đến mặt phăng (P) bằng nhau

Câu VII.b (1,0 điểm)

log, (x? + y) =1+log, (xy)

_2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai

điêm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gôc toạ độ O

Do đó tiếp tuyến cắt Ox tai A( 2x? +8x, +630)

Tam giac OAB can tai O< OA = OB(voi OA > 0)

2x) +8x,+6 (2x, +3)

© (2x, +3) =1 2x, +3=410

Xạ =-2(TM)

1 ĐKXb: JŸ "X2

sinx #1 xe 5 +2ke

xe—Zokomx #7 +k2n

Phuong trinh <> cosx - 2sinxcosx = 43 (1 — sinx + 2sinx — 2sinˆx)

<> cosx — sin2x = 3 + 3 sinx - 2\3 sin’x

© -3 sinx + cosx = sin2x + 43(I — 2sin?x)

© I5u` +4u” -32u+40=0

Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2}

Câu III.Tính tích phân I = (cos*x _ 1) cos’x.dx Ta cé:

Giải:

Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI L (ABCD)

Ta có IB= aV5:BC = aV5:IC = av2;

3aV5

Hạ IH L BC tính được IH= 5°

Trong tam giác vuông SIH có SI=IH tan 60° = _ 3ax15

Sascp = Sarep + Sege = 2a? +a’ = 3a? (E 1a trung diém ctia AB)

3 ABCD’ 3 5 5

26

Câu V.Chứng minh rằng với mọi số thực đương x, y, Z thoả mãn x(x + y + Z) = 3yZ, ta có:

(x+y}`+(x+z)`+3(x+y)(x+z)(y+z)< 5(y+z)` Giái:

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường

chéo AC và BD Điêm M(I; 5) thuộc đường thăng AB và trung điêm E của cạnh CD thuộc đường thăng

A:x+y~—5 =0 Viết phương trình đường thăng AB

Giải: Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I

27

Tuong tng co y; = 02; yo = OI SE; =(7; 02); En = (6; 01)

Suy ra F; = (5; 6), F2=(6; 5)

Từ đó ta có phương trình đường thắng AB là x — 4y + 19 =0 hoặc y= 5

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S) ix’ +y? +z° —2x —4y—6z-11=0 Chimg minh rằng mặt phăng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó

Vì đ(I;(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường tròn

Gọi H là hình chiếu của I trên (P) thì H là giao của mp(P) với đường thăng qua I, vuông góc với