Sáng kiến kinh nghiệm thpt ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

2 PHӹN 2 N֤I DUNG I M֤T S֜ KIԑN THִC Cҹ S֪ 1) PhҼҺng ph§p giӶi bài toán t³m gi§ tr֗ l֧n nhӸt, gi§ tr֗ nh֛ nhӸt cֳa h¨m s֝ y = f(x) tr°n tԀp s֝ D PhҼҺng ph§p chung LԀp bӶng biԒn thi°n cֳa h¨m s֝ tr°n t[.]

I

y = f(x)

-

- Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2)

-

2)

Bước 1

Bước 2

Bước 3

3)

1/ a, b, c

II

1 , ba

Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát

3

3

.

x y z

P

x y z

Nhận xét và hướng dẫn giải

3

3

t

x y z

t là: P t( ) t 1

t

3

3

3

x y z

t

x y z x y z

1 ( )

t

Vì

2 '

2

1

t

3 ;

1 0 ( ) ( 3 )

3

y x y

2

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có H =

x

y y

x y

x y

y

x

t t t

H

2

2

1

y

x

1

; 2

1

t t t

1

; 2

1

Vì

2 '

2

2

t

H(t) ; 1

2

1

là 2

9

khi: t =

2 1

Đáp số: max(H) =

2

9

x y; 1; 2 ; min(H) = 4 x y 1 x y, 2 )

3 3

Hoạt động khám phá:

- Từ giả thiết 2 2

2

- Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện 2 2

- Biến đổi biểu thức P và thế vào 2 2

2

- Từ giả thiết

2

2

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa P về hàm một biến số nếu ta đặt :

t x y

2

Lời giải

Ta có :

2

2

Ta có

2

2

2

P t t t '( ) 0 1

2

t

P t

t

t -2 1 2

P’(t) + 0 - P(t)

13/2 -7 1 :

2 ; 2

m i nP t( ) P( 2 ) 7 khi x y 1

2 ; 2

;

m a x ( ) (1)

;

:

2 2

Hoạt động khám phá :

- Từ giả thiết x y 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không ?

- Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x y để sử dụng giả thiết

- Chú ý các hằng đẳng thức :

- Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta

- Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức :

2

0

4

1 6x y 1 2 (x y) (x x y y ) 3 4x y

2 2 2

1 6x y 1 2[ (x y) 3x y] 3 4x y, d o x y 1

2 2

1 6x y 2x y 1 2

t x y Do x 0 ;y 0 nên

2

2

4

Ta có f '( )t 3 2t 2 '( ) 0 1

1 6

t 0 1/16 1/4

f(t)

12 25/2 191/16

:

1

0 ;

0 ; 4

2

(x y) 4x y 2

Hoạt động khám phá :

- Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng

dễ dàng hơn Chú ý hằng đẳng thức :

Ta biến đổi được A như sau :

( do

2

4

- Vì vậy ta có thể nghĩ đến việc đưa A về hàm một biến bằng cách đặt 2 2

- Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức

2

2

(x y) 4x y 2 (x y) (x y) (x y) 4x y 2

2

Do

2

:

,

3 2 2 2 3 ( ) 2 2

( do

2

4

Vì

2

2

x y ( do x y 1) nên 2 2 1

2

4

2

9

2

4 '( ) 0

9

:

t 4/9 1/2 '( )

f t +

( )

f t

9

1 6

1 2

t

2

t

Suy ra 9

1 6

2

1 6

: m in 9

1 6

2

(x y x y) x y x y

A 13 13

Hướng dẫn:

A

2

;

1

2

2

1

A