Phương pháp sai nhân với phương trình Elliptic có bước nhảy gián đoạn doc

Mở đầuNhững năm gần đây đã có không ít công trình nghiên cứu về lĩnhvực tìm nghiệm đúng của lớp các bài toán biên mà chủ yếu là phươngtrình elliptic cấp hai, mục đích chính của các phươn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

QUẢN THỊ TỐ QUYÊN

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS.VŨ VINH QUANG

Thái Nguyên - Năm 2011

Mục lục

Mục lục i

Mở đầu 1 Nội dung 3 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3 1.1 Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng 3

1.1.1 Khái niệm về phương trình đạo hàm riêng 3

1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai 4

1.2 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng 7

1.2.1 Bài toán vi phân 7

1.2.2 Hàm lưới 8

1.2.3 Đạo hàm lưới 8

1.2.4 Bài toán sai phân 9

1.2.5 Lưới sai phân 9

1.2.6 Bài toán biên elliptic 10

1.2.7 Giới thiệu về thư viện RC2009 11

2 PHƯƠNG PHÁP CIM (Coupling Interface Method) 17 2.1 Giới thiệu về bài toán biên với mặt phân cách gián đoạn 17

2.2 Phương pháp CIM trong không gian một chiều 18

2.2.1 Phương pháp CIM1 trong không gian một chiều 19 2.2.2 Phương pháp CIM2 trong không gian một chiều 22 2.3 Phương pháp CIM không gian hai chiều 27 2.3.1 Phương pháp CIM1 trong không gian 2 chiều 28 2.3.2 Phương pháp CIM2 trong không gian 2 chiều 30 2.4 Phương pháp CIM trong không gian d chiều 34 2.4.1 Phương pháp CIM1 trong không gian d chiều 34 2.4.2 Phương pháp CIM2 trong không gian d chiều 36 2.5 Một số số liệu thực nghiệm 39

3.1 Phương pháp chia miền đối với bài toán gián đoạn qua mặt

phân cách 43 3.2 Mô hình tính toán song song 45 3.3 Các kết quả thử nghiệm 48

Mở đầu

Những năm gần đây đã có không ít công trình nghiên cứu về lĩnhvực tìm nghiệm đúng của lớp các bài toán biên mà chủ yếu là phươngtrình elliptic cấp hai, mục đích chính của các phương pháp là đưa bàitoán vi phân về bài toán rời rạc trên một điểm lưới Nếu miền hình học làmiền phức tạp, các hệ số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụngphương pháp số cho cả miền là trở nên khó khăn

Chính vì vậy, các công trình nghiên cứu đã tập trung đưa ra các hướngnghiên cứu chủ yếu là đưa ra các phương pháp sai phân, đặc biệt là xungquanh lân cận kỳ dị hoặc các biên phân chia để đưa bài toán đang xét về

hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển

về việc giải hệ phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gầnđúng Hướng thứ hai là sử dụng phương pháp chia miền chuyển bài toántrên miền đang xét về hai bài toán không chứa các điểm kỳ dị, sau đóxuất phát từ lời giải các bài toán trên hai miền ta thu được nghiệm củabài toán gốc

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

Trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, cơ sởphương pháp lưới và giới thiệu thư viện chương trình giải phương trìnhelliptic với hệ số hằng số trong miền chữ nhật

Chương 2: Phương pháp CIM (Coupling Interface Method)Trình bày cơ sở phương pháp CIM bao gồm: phương pháp CIM1, CIM2trong không gian một chiều,hai chiều và d chiều, các thuật toán cơ bản

về các phương pháp tương ứng, các kết quả thực nghiệm đối với các bàitoán cụ thể

Chương 3: Mô hình tính toán song song đối với bài toánbiên gián đoạn qua mặt phân cách

Trình bày cơ sở phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạnqua mặt phân cách, mô hình tính toán song song trong trường hợp tồntại nhiều biên phân chia trong miền, xây dựng các sơ đồ lặp giải bài toánbiên elliptic tồn tại mặt gián đoạn theo hướng hiệu chỉnh giá trị hàm trênbiên, xây dựng các chương trình thực nghiệm

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn

TS Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trìnhlàm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo ViệnToán,Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tham giagiảng dạy, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2011

Tác giảQuản Thị Tố Quyên

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong Chương này luận văn sẽ trình bày các kiến thức cơ bản baogồm: các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng, phương pháp lướigiải phương trình đạo hàm riêng và giới thiệu thư viện RC2009 giải sốbài toán biên elliptic với hệ số hằng số Các kiến thức cơ bản được thamkhảo trong các tài liệu [1,2,3,4]

1.1 Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng

1.1.1 Khái niệm về phương trình đạo hàm riêng

trong đó: f (x, y), x0, x, X, η là hàm số cho trước.

ta có đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến x:

là phương trình đạo hàm riêng cấp 2

1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp 2 tuyến tính:

Aupp + 2Buqp + Cuqq = F (1.1)với A, B, C, F là những hàm số phụ thuộc p, q, up, uq

hàm u = u(p, q) và có phương trình q = q (p) , hay ϕ(p, q) = 0

trên luôn có nghiệm

Nếu Det(M ) 6= 0 trên Γ thì hệ trên có nghiệm duy nhất trên Γ ,

nhất theo vế phải

Nếu Det(M ) = 0 trên Γ thì hệ trên vẫn có nghiệm duy nhất trên Γ

xác định một cách không duy nhất theo vế phải Trong trường hợp này

ta gọi là một “đường đặc trưng” của phương trình đạo hàm riêng (1.1)

kiện này viết như sau:

Det(M ) = A (dq)2 + 2B(dqdp) + C (dp)2 (1.2)hay:

ta gọi dq

định phương đặc trưng, nó là phương trình vi phân của đường đặc trưng

dp Xét ∆ = B2− AC

• Nếu B2 − AC > 0 tại (p, q) ∈ miền Ω nào đó thì phương trình

dq

dp =

−B ±√B2 − AC

A

• Nếu B2 − AC = 0 tại (p, q) ∈ miền Ω nào đó thì phương trình

dq

dp =

BA

• Nếu B2 − AC < 0 tại (p, q) ∈ miền Ω nào đó thì phương trình(1.3) không có hai nghiệm thực nào mà chỉ có hai nghiệm phức liên hợptại (p, q) ∈ Ω :

dq

dp =

−B ± i√B2− AC

A

mà chỉ có hai phương trình đặc trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình(1.1) thuộc loại ellip trong Ω

1.2 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm

riêng

Phương pháp lưới (hay còn gọi là phương pháp sai phân) là phươngpháp được áp dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nộidung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân(tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại cácđiểm khác nhau)

1.2.1 Bài toán vi phân

Cho hai số a và b với a < b

Lu = −(ku0)0+ qu = f (x); a < x < b (1.4)

trong đó k = k(x), q = q(x), f (x) là những hàm số cho trước đủ trơnthỏa mãn:

0 < c0 ≤ k(x) ≤ c1; c0, c1 = const; q(x) ≥ 0, (1.6)

Đây chính là bài toán biên của phương trình elip một chiều

1.2.2 Hàm lưới

Ta chia đoạn [a, b] bởi n điểm chia a = x0 < x1 < x2 < xn = b.Đặt: h = b − a

n , xi = a + ih, (i = 0, 1, 2, , n) Tập các điểm x0, x1, x2, , xn được gọi là không gian lưới kí hiệu là Ωh

Giá trị của hàm lưới v tại nút xi viết là vi

giá trị tại nút xi là ui = u(xi)

Khi h đủ bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” đạo hàm thường.

xi ∈ Ωh Gọi các giá trị gần đúng đó là vi Để tìm vi ta thay bài toán (1.4)– (1.5) bởi bài toán sai phân:

Lhv ≡ − avx−
xi+ qivi = fi, vo = α, vn = β



xi− h2

các nút biên ký hiệu là Γhk, tập Ωhk = Ωhk∪ Γhk gọi là một lưới sai phân

1.2.6 Bài toán biên elliptic

Xét bài toán biên:

biên Dirichlet hoặc Neumann trên các phần biên khác nhau trong đó tồntại ít nhất một điều kiện biên Dirichlet trên một cạnh để đảm bảo bàitoán có nghiệm duy nhất Để giải số bài toán trên, trong lý thuyết toánhọc tính toán thường sử dụng các phương pháp gần đúng như phươngpháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn với ý tưởng chung là đưabài toán vi phân về bài toán rời rạc trên một lưới điểm

Đưa vào không gian lưới:

Ωkh = xij = (ik, jh), i = 0, M , j = 0, N , với k = L1

M, h =

L2N

Khi đó bài toán vi phân đang xét luôn được đưa về các hệ phươngtrình vectơ ba điểm có dạng:

(1.10)

phải và giá trị hàm hoặc đạo hàm trên biên

Để giải được bài toán (1.8) bằng phương pháp số, điều quan trọngnhất là ta phải xác định được thuật toán nhanh giải các hệ phương trìnhvector ba điểm (1.9),(1.10) là các hệ phương trình đại số tuyến tính Dotính chất đặc biệt của hệ, trong nội dung này luận văn giới thiệu phươngpháp thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nicolaev đề xuất [8] với

viện chương trình tìm nghiệm bằng số của bài toán elliptic với các điềukiện biên khác nhau được thiết kế trên môi trường MATLAB

1.2.7 Giới thiệu về thư viện RC2009

Để giải bài toán biên elliptic (1.8), sử dụng phương pháp sai phân xâydựng lược đồ sai phân cho các bài toám biên, chuyển bài toán vi phân(1.8) về các bài toán sai phân tương ứng với các phương trình vesctơ bađiểm Sau đó áp dụng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán giải các

hệ phương trình đại số được dẫn đến Các kết quả được công bố trongcông trình [3]

a Bài toán biên Dirichlet

(M × N ) điểm lưới, trong đó N = 2n, n > 0 Ký hiệu h1 = L1

M, h2 =

L2N

pháp sai phân với độ chính xác O(h21+ h22) chuyển bài toán vi phân (1.11)

về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vectơ ba điểm

−Yj−1+ CYj − Yj+1 = Fj, Y0 = F0, YN = FN, j = 1, N − 1

k 2ϕ1,j + rg0,j

h 2 2

k 2ϕ2,j

h 2 2

k 2ϕM −2,j

h 2 2

Hàm v0000(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, N, M, n, p1, p2, q1, q2) trả lại

(p2, q2)

b Bài toán biên Neumann

Xét bài toán biên hỗn hợp:

trong đó l là toán tử điều kiện biên (lu = u nếu điều kiện biên là

Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạngNeumann

toán vi phân (1.12) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trìnhvectơ ba điểm

Yj−1+CYj−Yj+1 = Fj, Y0 = F0, −2YN −1+CYN = FN, j = 1, N − 1

k 2ϕ1,N + 2h2b4(1) + rb1(N )

h 2 2

k 2ϕ2,N + 2h2b4(2)

h 2 2

k 2ϕM −2,N + 2h2b4(M − 2)

h 2 2

k 2ϕ1,j + rb1(j)

h 2 2

k 2ϕ2,j

h 2 2

k 2ϕM −2,j

h 2 2

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết

bằng cách:

Thiết kế hàmRC0001(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, N, M, n)thực hiệnthuật toán thu gọn hàm v0001(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, N, M, n, p1,

(p1, q1) đến (p2, q2)

Trong trường hợp khi điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại làdạng Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàmchuẩnRC0001( ) xây dựng các hàm v0010( ) ,v0100( ),v1000( )

trả lại nghiệm bằng số của các bài toán tương ứng

Trường hợp 2: Điều kiện biên trên ba cạnh của hình chữ nhật làdạng Neumann

Tương tự như trên, thiết kế hàm RC0003(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1,

k2, c, N, M, n) thực hiện thuật toán thu gọn khối lượng và xây dựng cáchàm v0111( ) , v1110( ),v1101( ), v1011( ) trả lại nghiệm bằng

số cho các bài toán tương ứng

Trường hợp 3: Điều kiện biên trên tất cả các cạnh của hình chữnhật là Neumann

Với độ chính xác O(h21 + h22) chuyển bài toán vi phân (1.12) về bàitoán sai phân tương ứng với hệ phương trình vectơ ba điểm.

−Yj−1+CYj−Yj+1 = Fj; CY0−2Y1 = F0; −2YN −1+CYN = FN, j = 1, N

k 2ϕ0,0− 2h2b3(1) − rh1b1(1)

h 2 2

k 2ϕ1,0− 2h2b3(2)

h 2 2

k 2ϕM −1,0 − 2h2b3(M − 1)

h 2 2

k 2ϕ0,N + 2h2b4(1) + rb1(N )

h 2 2

k 2ϕ1,N + 2h2b4(2)

h 2 2

k 2ϕM −1,N + 2h2b4(M − 1)

h 2 2

k 2ϕ0,j + rb1(j)

h 2 2

k 2ϕ1,j

h 2 2

k 2ϕM −1,j

h 2 2

phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt giới thiệu về thư viện RC2009 giải

số phương trình đạo hàm riêng Các kết quả này là công cụ để sử dụngthực nghiệm các bài toán được đưa ra trong Chương 2 và Chương 3 củaluận văn

trở thành bài toán biên elliptic bình thường Đối với bài toán này, ta có

thể tìm được lời giải số qua các phương pháp sai phân thông thường (như

đã trình bày tại Chương 1 của luận văn )



ε∂u

∂n



được Đối với các bài toán này, có hai hướng nghiên cứu giải quyết:

- Hướng 1: Xây dựng các phương pháp sai phân đặc biệt xung quanh

sai phân tương ứng

- Hướng 2: Sử dụng phương pháp chia miền với đường phân chia trùng

Điểm x∗ gọi là điểm phân cách nếu tại đó ∃ các bước nhảy τ và σ.

Chia [a, b] bởi N điểm chia với h = b − a

N ,xi = a + ih

a = x0hx1hx2 hxkhx∗hxk+1h hxN = b

Điểm xi gọi là điểm trong nếu [xi−1, xi) hoặc [xi, xi+1) không chứa điểm

Trong hình 2.2, xk,xk+1 là các điểm ngoài

Ta xét phương pháp sai phân của phương trình (2.1)



pháp CIM2:

2.2.1 Phương pháp CIM1 trong không gian một chiều

Giả sử có một điểm phân cách x∗ ∈ [xi, xi+1)

Hình 2.3: Phương trình tuyến tính của CIM1: u là đạo hàm của 2 hàmtuyến tính trên [xi, xi+1), điểm phân cách x∗ được xác định.



≈ τ

ε+ u0
+i+1/2− ε− u0
−

i+1/2

Xét trên đoạn [xi−1, xi) , u0
−i−1

−u0

− i−12



+ 0 (h) (2.6)

Kết hợp (2.3) – (2.6) ta thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với

∀ui(i = 1, 2, 3 , N − 1) giải được với thuật toán truy đuổi ba đườngchéo Các thuật toán trung gian được biểu diễn bằng các thuật toán

Thuật toán 1 và Thuật toán 2.

Thuật toán 1: CIM1 trong một chiều

(u0i+1 2

9: ρ± ← ε±

ε

10: Dui ← sρ+(u (xi+ sh) − u (xi))

11: end function

2.2.2 Phương pháp CIM2 trong không gian một chiều

Xét một điểm phân cách x∗ ∈ [xi, xi+1)

u+(xi+1) = ui+1, u+(xi+2) = ui+2

Từ điều kiện bước nhảy:

u+(x∗) − u−(x∗) = τ,



εu0

+(x∗) −



εu0

−(x∗) = σ (2.8)

Ta thu được hệ phương trình đại số tuyến tính giải ra u00i và u00i+1

u00i = 1

h2(L(1)ui+ Ji) + O(h) (2.9)

u00i+1 = 1

h2(L(−1)ui+1+ Ji+1) + O(h) (2.10)

Ở đây:

L(1) = ai,−1ui−1+ ai,0ui+ ai,1ui+1+ ai,2ui+2

L(−1) = ai+1− 2ui−1+ ai+1,−1ui+ ai+1,0ui+1+ ai+1,1ui+2

Ji = − (1 + 2β) ρ+τ − β + β2
σh

ε∗

Ji−1 = (1 + 2α) ρ−τ − α + α2
σh

ε∗

2 hàm bậc 2 trên [xi−1, xi+2)

(a) : s = 1 , (b) : s = −1

Trong đó các tham số được xác định:

a−sui−s + a0ui+ asui+s+ a2sui+2s nếu s = ±1

ui−1− 2ui+ ui+1 nếu s = 0 (2.14)

Ta định nghĩa như sau:

Khi đó, chúng ta có thể biểu diễn u00i và − εu0
0

Thuật toán 3: CIM2 trong một chiều

4: s ← 1 không có điểm mặt cắt nào trong [xi+1, xi+2)

2.3 Phương pháp CIM không gian hai chiều.

N, xi = ih, yj = jh, 0 ≤ i, j ≤ N Giả sử γi+1

2 ,j, γi,j+1

2 ≤ 1,với tất cả giá trị 0 ≤ i, j ≤ N − 1

giềng của mặt phân cách Γ Ngược lại (xi, yj) gọi là điểm ngoài.

Đối với điểm trong, các phương pháp sai phân thông thường có thểthực hiện được Ở đây, ta tìm sai phân đối với các điểm ngoài:

2.3.1 Phương pháp CIM1 trong không gian 2 chiều



+ O(1),

dấu "-" ở vế trái của phương trình là giá trị ở miền Ω−

Tìm giá trị của u−x
i±1

2 ,j và u−y

i,j± 1 2

i+12,j gồm 3 bước sau:

trên đoạn [xi, xi+1) × yj Ta có:

u−t
p là giới hạn của ut tại p từ phía Ω−

= 1h



ρ+p (ui+1,j − ui,j) + bptxpTxui,j + Jp

ρ+q (ui,j+1− ui,j) + bptypTyui,j + Jq

nếu cả hai γi−1

và u−x

i− 1

2 ,j và u−y

i,j− 1 2

là độc lập

- Trường hợp (i) ta thu được u−y

p ,ngoài ra có thể tính (ui,j+1 − ui,j−1)

2h

nếu γi−1

2 ,j, γi,j−1

2 = 0

2.3.2 Phương pháp CIM2 trong không gian 2 chiều

một đoạn lưới hoặc hai đoạn lưới như 2 trường hợp của CIM1

trong đó Dx(1) được tính bởi công thức (2.13) trên trục x.

hướng tiếp tuyến

puyy.

Nghịch đảo của M trong (2.21), chúng ta có được phương trình sai

Hình 2.8: Trường hợp 2

2.4 Phương pháp CIM trong không gian d chiều

2 e k ≤ 1 với mọi i và k Điểm (xi, yj) được gọi là

2 e k = γi+1

2 e k = 0 Ngược lại (xi, yj) đượcgọi là điểm ngoài

2.4.1 Phương pháp CIM1 trong không gian d chiều

-Bước 1: Rời rạc từng chiều

εk

(2.22)

Trong đó x∗k là điểm giao của mặt cắt Γ và đoạn lưới (x, x + hek) Các

- Bước 2: Phân tích dữ liệu nhảy ở mỗi chiều

Để tính toán [ε∇u.ek]x∗

nk và tk ở x∗k ; trong đó nk là véc tơ đơn vị của mặt cắt ở x∗k ∈ Ω−, Ω+

, tk là véc tơ đơn vị trong khi chiếu ek lên mặt tiếp tuyến của Γ tại x∗k.Bước nhảy [ε∇u.ek]x∗

k = σ(x∗k) và [∇u.tk]x∗

k = ∂τ

∂tk(x

∗

kiện nhảy cho trước Sau khi thay (2.23) vào (2.22) ta thu được:

Dku(x) = ρk+(u (x + hek) − u(x)) (2.25)

Jk = −(ρk[u] x∗k + βkh([ε∇u.nk]

εk (nkek) + ρk+[∇u.tk]x∗k(tkek))) (2.27)-Bước 3: Ghép đôi và nội suy một phía

triển Taylor như sau:

#

= 1h



(Dku(x) + bkTku(x)(tk.ek) + Jk)dk=1

Trong đó